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	<title>集智百科 - 复杂系统|人工智能|复杂科学|复杂网络|自组织 - 用户贡献 [zh-cn]</title>
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	<updated>2026-11-03T13:00:21Z</updated>
	<subtitle>用户贡献</subtitle>
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		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%A4%8D%E6%9D%82%E6%80%A7&amp;diff=26144</id>
		<title>复杂性</title>
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		<updated>2021-08-28T08:13:06Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=复杂科学，复杂性&lt;br /&gt;
|description=复杂科学，复杂性&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
物理系统或动态过程的'''复杂性'''表达了组件参与有组织的结构化交互的程度。高度复杂的系统实现了有序和无序(规律性和随机性)的混合，并有很高的可能产生涌现现象。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==各学科中的复杂性==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
尽管复杂性的概念在现代科学和社会中非常重要和普遍存在，但目前还没有一种普遍的、广泛接受的方法来衡量一个物理对象、系统或过程的复杂性。缺乏普遍的衡量标准，可能反映了我们对复杂系统的理解处于初始阶段，缺乏一个贯穿所有自然科学和社会科学的普遍的统一框架。虽然到目前为止，一般性的衡量标准仍然难以捉摸，但是，我们拥有许多适用于具体类型的系统或问题领域的复杂性衡量标准。尽管在定义和测量复杂性方面存在了各种不同的方法，但有一种信念仍然坚持认为所有复杂系统都有共同的特性，而且新的定义和度量正在不断地被一个由物理学家、生物学家、数学家、计算机科学家、经济学家和社会理论家组成的跨学科团体提出和检验。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本文从信息论的角度探讨复杂性问题。读者还可以从[[复杂系统|系统论]]的角度出发理解复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂性的一般特征==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
复杂性的定量或分析学（analytic）定义往往不同意精确的表述，甚至不同意定义复杂性的正式框架。然而，有一种非正式的复杂性概念，它基于大多数(如果不是所有的话)复杂系统和过程所共有的一些要素。赫伯特 · 西蒙是最早讨论复杂系统的性质和结构的人之一(Simon，1981) ，他建议将复杂系统定义为那些“由大量具有许多相互作用的部分组成”的系统。西蒙接着指出，“在这样的系统中，整体不仅仅在[ ... ]的意义上大于各部分之和，考虑到各部分的性质及其相互作用的规律，推断整体的性质不是一件容易事。”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''组分''' 许多复杂的系统可以分解成结构上不同的组成部分(组件、元素、单元) ，且它们可以作为个体发挥作用，产生某种形式的局部行为、活动或动态。复杂系统的组件本身可以分解为子组件，导致系统在多层次的组织中是复杂的，形成（不完全）可分解的组件层次结构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''交互''' 复杂系统的组成部分进行动态交互，导致这些组成部分跨空间和时间整合成一个有组织的整体。交互通常能调节组件的单个动作，从而通过'''中继全局上下文 relaying global context''' 改变其局部功能。在许多复杂系统中，组件子集之间的交互是通过某种形式的通信路径或连接进行的。这样的结构化交互通常是稀疏的，也就是说，所有可能的交互中只有一小部分是在系统中实现的。这些相互作用的具体模式对于确定系统作为一个整体如何运作至关重要。组件之间的某些相互作用可能很强，因为它们对于单个组件具有很大的效力。其他相互作用可能被认为是弱的，因为他们的影响范围或时间是有限的。无论是强相互作用还是弱相互作用，都能对整个系统产生重大影响。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''涌现''' 系统中组件之间的相互作用往往产生不能被简单地归结为组件特性的现象、功能或效应。相反，这些功能是结构化交互的结果，是系统作为一个整体的属性。在许多情况下，即使对单个组件进行详细而全面的检查，也无法预测这些组件作为系统的一部分进行交互时能够发生的突发过程的范围。反过来，将一个集成的系统拆解成组件和相互作用通常会导致涌现过程的丢失。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
总之，具有大量组件的、能够产生涌现现象的、结构化交互的系统可以称为'''复杂系统'''。对复杂系统得观察提出了许多挑战，因为观察者需要同时记录许多组件和交互的状态和状态转换。这种观测要求对状态的定义、状态空间和时间分辨率作出选择。怎样定义和度量系统的状态会影响到其他派生出来的度量方法，比如系统复杂性度量方法。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:complexity_figure1.jpg|thumb|300px|left|F1|复杂性是秩序和混乱的混合体。在胡伯曼和霍格之后绘制（1986 年）。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂性的度量==&lt;br /&gt;
通过应用一个共同的度量标准，复杂性度量使得不同的系统可以相互比较。这对于结构上或功能上相关的系统尤其有意义。这些相关系统之间复杂性的差异可能揭示其组织的特征，从而促进我们对复杂性的理解。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一些复杂性度量是算法性质的，并试图确定最小描述长度（描述一个算法所需要的最短长度）。对于这些度量，复杂性仅适用于描述，而不适用于系统或流程本身。其他衡量复杂性的方法考虑到一个系统的时间演变，并且往往建立在统计信息理论的理论基础之上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
大多数现存的复杂性度量可以分为两大类。第一类(算法信息内容和逻辑深度)的复杂性度量试图捕捉系统或过程的随机性、信息内容或描述长度。随机过程具有最高的复杂性，因为它们最难以压缩。第二类(包括统计复杂性、物理复杂性和神经复杂性)将复杂性概念化为有别于随机性。在这里，复杂系统是那些拥有大量结构或信息的系统，通常跨越多个时间和空间尺度。在这一类度量中，高度复杂的系统处于高度有序(规则)和高度无序(随机)的系统之间。&amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure1.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt; 展示了这些测量方法的示意图。然而，应该再次强调的是，目前并不存在一个普遍接受的、将复杂性和无序性联系起来的定量表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂与随机==&lt;br /&gt;
生成一个符号串的'''算法信息内容 Algorithmic Information Content''' 的定义(Kolmogorov，1965; Chaitin，1977)是生产这个符号串所需的最短计算机程序所包含的信息量。高度规则、周期性或单调的符号串可以由短小的程序生产，因此包含的信息很少，而完全随机的符号串需要一个和该符号串本身至少一样长的程序，因此产生高(最大)信息内容。举个例子，“0.333333...”所包含的算法信息内容很小，可以用“1/3”来生成；“3.14159265358974”次之，可以用求解圆周率的程序生成；“27648.73649325932”的算法信息内容最大，因为他是完全随机的（我随便敲键盘敲出来的），只能用它自己生产自己。算法信息内容(AIC)捕获了符号串的随机性，但似乎不适合应用于生物或神经系统。此外，算法信息内容虽然是一个精妙的概念，但在数学上是不可计算的，因此有诸多不便。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''逻辑深度 Logical Depth'''(Bennett，1988)与 AIC 有关，并定义另一种计算复杂性：解决给定问题类所需的最小计算资源量(时间、内存)。作为逻辑深度的复杂性主要是指能够生成给定符号串或模式的最短程序的运行时间。与 AIC 类似，逻辑深度是对生成过程的度量，并不直接适用于实际存在的物理系统或动态过程。计算逻辑深度需要知道最短的计算机程序，因此受到与 AIC 相同的基本限制。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个序列，如果已知其中的多少部分，就能预测剩下来的部分？这已知部分的序列中包含的信息，就是整个序列的'''有效度量复杂性 Effective Measure Complexity''' (Grassberger，1986)。有的书读了开头就能预测生下来的全部内容，那这本书的有效信息就只有开头所包含的信息量而已。有效度量复杂度可以捕捉在多个尺度范围内的序列中的结构，这与熵的扩展性有关(见下文)。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''热力学深度 Thermodynamic Depth''' (Lloyd and Pagels，1988)将一个系统的熵与导致其系统状态的所有可能历史路径的数量联系起来。“深度”的系统是所有那些“难以建立”的系统，其最终状态蕴含着生成它的许多历史信息。热力学深度是逻辑深度的补充措施，侧重了一个系统的形成历史。虽然热力学深度的优点是可以通过经验来计算，但是如何定义系统状态是一个重要问题(Crutchfield 和 Shalizi，1999)。虽然它的目的是区分复杂系统和随机系统，但它的形式主义本质上抓住了生成过程所产生的随机性，而不区分规则系统和随机系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==作为结构和信息的复杂性==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在结构基础上量化复杂性的一个简单方法是计算一个系统中的'''组件和/或交互的数量'''。对生物进化过程中结构部分的数量(McShea，1996)和功能行为的研究表明，这些指标会随着时间的推移而增加，这一发现有助于持续辩论复杂性是否是自然选择的结果。然而，数量本身可能只是复杂性的'''一个'''指标，而不完全是复杂性的指标。大型和高度耦合的系统可能并不比那些较小和耦合较少的系统复杂。例如，一个完全连接的非常大的系统可以用一种紧凑的方式来描述，并且可能会产生统一的行为，而一个较小但是更多异质的系统的描述可能不那么可压缩，其行为可能更加不同。相同节点数量下，[[无标度网络]]往往比全连接网络更复杂。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''有效复杂性 Effective complexity''' (Gell-Mann，1995)度量了系统规律性的最小描述长度。这种测量方法与 AIC 有关，但它试图区分常规特征和随机或偶然特征，因此属于旨在获取系统包含多少结构的复杂性测量方法的范畴。对于任何给定的经验系统来说，区分开规则特征和随机特征都是困难的，而且它可能取决于外部观察者提供的标准。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''物理复杂度 Physical complexity''' (Adami 和 Cerf，2000)与有效复杂性有关，其目的是估计任何符号序列的复杂性，这些符号是关于物理世界或环境的。因此，这一措施在应用于生物系统时特别有用。给定一个符号序列(比如基因组)，和一些使得该序列具有意义的环境（比如生态位）的描述，它们之间共有的算法复杂度（AIC），就是物理复杂性。由于算法复杂度是不可计算的，物理复杂度也不能。然而，一组序列(例如整个生物体的基因组集合)的平均物理复杂性可以用序列(基因组)集合与其环境(生态学)之间的相互信息来近似。在数字生态学(Adami，2002)中进行的实验表明，自我复制的基因组与其环境之间的互信息随着进化时间的增加而增加。物理复杂度也被用来估计生物分子的复杂性。一组 RNA 分子的结构和功能复杂性与物理复杂性呈正相关(Carothers 等人，2004) ，这表明进化的分子结构的功能与它们编码的信息量之间可能存在联系。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''统计复杂度 Statistical Complexity'''(Crutchfield and Young，1989)是一个更广泛的、被称为'''计算力学 Computational Mechanics'''的理论框架的组成部分，并可以直接从经验数据估算。为了计算统计复杂度，时间序列中的每个点根据某种划分方案映射到对应的符号，使原始数据成为一个连续的符号流。然后，符号序列按照以下规则聚类成因果状态: 如果任何未来符号的条件概率对于这两个历史是相同的，那么两个符号序列(即动力学的历史)就属于相同的因果状态。换句话说，如果两个符号序列预测了同一个未来的动力学分布，那么可以认为这两个符号序列是相同的。一旦确定了这些因果状态，就可以从数据中提取因果状态之间的转换概率，并计算出所有因果状态的长期概率分布。统计复杂度被定义为因果状态上这种分布的香农熵。对于逻辑斯谛映射、元胞自动机和许多基本的马尔可夫过程等抽象系统，统计复杂性可以通过解析方法计算出来。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''预测信息 Predictive Information''' (Bialek 等，2001) ，虽然本身不是一个复杂性度量，但可以用来根据熵的可扩展性原理将系统分成不同的复杂性类别。例如，可扩展性表现在由越来越多的同质独立随机变量组成的系统中。这类系统的香农熵将随其大小线性增长。熵随系统大小的线性增长称为扩展性。然而，复杂系统的组成元素通常是异质的和相互依赖的。因此当随机变量数量的增长，熵并不总是线性增长的。一个给定系统偏离扩展性的方式也可以用来描述其复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:complexity_figure2.jpg|thumb|400px|right|F2|电影帧来自神经动力学的演示模型，由1600个自发活跃的威森-考恩神经质量单元组成，这些单元排列在球体上，并辅之以兴奋连接。 显示三个案例：稀疏耦合（仅限本地连接）、均匀耦合（仅限全球连接）以及本地和全球连接的混合（形成小世界网络）。 神经复杂性（托尼等人，1994年;斯波恩斯等人，2000年）是高只为最后一个案件。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''神经复杂性 Neural Complexity'''(Tononi 等，1994) ，与系统的延伸性相关，可以应用于任何经验系统，包括大脑。神经复杂度中的一个重要概念是'''集成度 Integration'''(也称为多信息) ，这是互信息的多元扩展，用于估计任意大系统中的统计结构的总量。集成度被定义为组成部分的个体熵之和与系统作为一个整体的联合熵之差。集成度在多个空间尺度上的分布表明了系统的复杂性。考虑以下三种情况(&amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure2.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt;)。(1)具有统计独立成分的系统会呈现全局无序或随机动态。它的联合熵将正好等于组成熵之和，系统的集成度将为零，无论哪个空间尺度的系统被检查。(2)各组分之间的统计相关性将导致系统的联合熵相对于个体熵的收缩，从而导致正的集成度。如果一个系统的组成部分是高度耦合的，并且表现出统计依赖性以及同质动力学(即所有组成部分的行为完全相同) ，那么该系统的多个空间尺度上的集成估计平均遵循线性分布。(3)如果统计依赖关系是非同质的(例如涉及组件、模块或层次模式的分组) ，则集成的分布将偏离线性。偏差的总量是系统的复杂性。随机系统的复杂度为零，而齐次耦合系统的复杂度非常低。具有丰富结构和动态行为的系统具有很高的复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
应用于神经动力学，托诺尼等人(1994年)定义的复杂性被发现与神经连接的特定模式有关，例如小世界网络所表现出来的属性(Sporns 等，2000)。这种复杂性度量的和在此基础上提出来的各种度量已经解决了系统与环境的匹配以及它们的简并性问题。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂网络==&lt;br /&gt;
传统上，复杂系统的分析一直使用非线性动力学和统计信息理论的工具。最近，复杂网络的分析学框架引发了对不同科学领域复杂系统之间共性和差异的重新评估(Amaral 和 Ottino，2004)。一个关键的洞察是网络拓扑——交互的图结构，通过引导信息流，创造组件之间的一致性模式，以及塑造宏观系统状态的涌现，对系统的动力学施加了重要的约束。复杂性对网络拓扑的变化高度敏感。因此，连接模式或强度的改变可以作为复杂性的调节器。网络结构与动力学之间的联系是近期复杂性研究中最有前途的领域之一。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==为什么是复杂性？==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到底为什么复杂性会存在，特别是在生物系统中？这个问题的确切答案仍然难以捉摸。一种观点是基于生物系统所面临的进化需求。生物结构和生物体的进化成功取决于它们捕获环境信息的能力，无论是分子层面的还是生态层面的。生物的复杂性可能就会涌现，作为进化压力作用于生物体结构的结果。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一条线索可能在复杂性和网络结构之间的联系中找到。复杂性在大规模集成了不同组件的系统中显得非常突出。这些系统变得更加复杂，因为它们更有效地整合更多的信息，也就是说，它们更有能力既适应专门的组件，也适应将这些组件绑定为一个连贯整体的结构化交互作用。因此，调和部分和整体，复杂性可能是自然界种基本辩证法的表现。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==引用==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Adami, C. (2002) What is complexity?  BioEssays 24, 1085-1094.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Adami, C., Cerf, N.J. (2000) Physical complexity of symbolic sequences.  Physica D 137, 62-69.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Amaral, L.A.N., Ottino, J.M. (2004) Complex networks.  Eur. Phys. J. B 38, 147-162.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Bennett, C.H. (1988) Logical depth and physical complexity.  In: R. Herken (ed.): The Universal Turing Machine. A Half-Century Survey. Pp. 227-257, Oxford: Oxford University Press. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Bialek, W., Nemenman, I., Tishby, N. (2001) Predictability, complexity, and learning.  Neural Computation 13, 2409-2463.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Carothers, J.M., Oestreich, S.C., Davis, J.H., and Szostak, J.W. (2004) Informational complexity and functional activity of RNA structures. J. Am. Chem. Soc. 126, 5130–5137.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Chaitin, G.J. (1977) Algorithmic information theory.  IBM Journal of Research and Development 21, 350-359.  [http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/ibm.pdf]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Crutchfield, J.P., Young, K. (1989) Inferring statistical complexity.  Phys. Rev. Lett. 63, 105-109.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Crutchfield, J.P., Shalizi, C.R. (1999) Thermodynamic depth of causal states: Objective complexity via minimal representations.  Phys. Rev. E 59, 275-283.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Gell-Mann, M. (1995) What is complexity?  Complexity 1, 16-19.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Grassberger, P. (1986) Toward a quantitative theory of self-generated complexity.  Int. J. Theor. Phys. 25, 907-928.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Huberman, B.A., Hogg, T. (1986) Complexity and adaptation.  Physica D 22, 376-384.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Kolmogorov, A. N. (1965) Three approaches to the quantitative definition of information.  Problems of Information Transmission 1, 1-17.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Lloyd, S., Pagels, H. (1988) Complexity as thermodynamic depth.  Annals of Physics 188, 186-213.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*McShea, D.W. (1995) Metazoan complexity and evolution: Is there a trend?  Evolution 50, 477-492.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Simon, H.A. (1981) The Sciences of the Artificial.  MIT Press: Cambridge.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Sporns, O., Tononi, G., Edelman, G.M. (2000) Theoretical neuroanatomy: Relating anatomical and functional connectivity in graphs and cortical connection matrices.  Cereb. Cortex 10, 127-141.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Tononi, G., Sporns, O., Edelman, G.M. (1994) A measure for brain complexity: Relating functional segregation and integration in the nervous system.  Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 91, 5033-5037.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!-- Authors, please check this list and remove any references that are irrelevant. This list is generated automatically to reflect the links from your article to other accepted articles in Scholarpedia. --&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;b&amp;gt;Scholarpedia内部引用&amp;lt;/b&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Marcus Hutter (2007) [[Algorithmic information theory]]. Scholarpedia, 2(3):2519.&lt;br /&gt;
* Valentino Braitenberg (2007) [[Brain]]. Scholarpedia, 2(11):2918.&lt;br /&gt;
* Gregoire Nicolis and Catherine Rouvas-Nicolis (2007) [[Complex systems]]. Scholarpedia, 2(11):1473.&lt;br /&gt;
* James Meiss (2007) [[Dynamical systems]]. Scholarpedia, 2(2):1629.&lt;br /&gt;
* Tomasz Downarowicz (2007) [[Entropy]]. Scholarpedia, 2(11):3901.&lt;br /&gt;
* Arkady Pikovsky and Michael Rosenblum (2007) [[Synchronization]]. Scholarpedia, 2(12):1459.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==外部链接==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[http://www.indiana.edu/~cortex Author 的主页]&lt;br /&gt;
*[http://cse.ucdavis.edu/~chaos/index.html Jim Crutchfield  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://meche.mit.edu/people/faculty/index.html?id=55 Seth Lloyd  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://faculty.kgi.edu/adami/ Chris Adami  的主页]	&lt;br /&gt;
*[http://fds.duke.edu/db/aas/Biology/dmcshea Dan McShea  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://tononi.psychiatry.wisc.edu/ Giulio Tononi  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://www.indiana.edu/~cortex/complexity_movie.wmv 一段展示图2中连接性和动力学的视频]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智学园===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2294 复杂经济学系列读书会]&lt;br /&gt;
复杂性科学的思想和方法可以为经济学研究再开一扇通向未来之门。本次读书会以科研交流为主，希望以此普及复杂经济学思想，促进复杂经济学教育，推进复杂经济学研究。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1634 JPhys Complexity: 复杂系统网络研讨会]&lt;br /&gt;
本课程中，我们邀请了统计物理交叉学科领域五位杰出学者分享他们在复杂网络和系统领域最新的研究成果。JPhys Complexity 主编 Ginestra Bianconi 也将分享在多学科交叉融合的国际大势之下，期刊将如何顺应科学研究的趋势，为有效解决万物互联带来的更加复杂、系统的科学问题和社会问题提供新的洞见。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1131 复杂性与临界现象 2020]&lt;br /&gt;
本系列课程为北京师范大学系统科学学院陈晓松老师开设的《复杂性与临界现象》课程回放。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由 [[用户:Qige96|Ricky]]审校、[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]] 编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:复杂性|复杂性]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%A4%8D%E6%9D%82%E6%80%A7&amp;diff=26143</id>
		<title>复杂性</title>
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		<updated>2021-08-28T08:06:12Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt; - 本词条搬运自[http://www.scholarpedia.org/article/Complexity Scholarpedia页面]，由[[用户:Qige96|Ricky]]审校。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
物理系统或动态过程的'''复杂性'''表达了组件参与有组织的结构化交互的程度。高度复杂的系统实现了有序和无序(规律性和随机性)的混合，并有很高的可能产生涌现现象。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==各学科中的复杂性==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
尽管复杂性的概念在现代科学和社会中非常重要和普遍存在，但目前还没有一种普遍的、广泛接受的方法来衡量一个物理对象、系统或过程的复杂性。缺乏普遍的衡量标准，可能反映了我们对复杂系统的理解处于初始阶段，缺乏一个贯穿所有自然科学和社会科学的普遍的统一框架。虽然到目前为止，一般性的衡量标准仍然难以捉摸，但是，我们拥有许多适用于具体类型的系统或问题领域的复杂性衡量标准。尽管在定义和测量复杂性方面存在了各种不同的方法，但有一种信念仍然坚持认为所有复杂系统都有共同的特性，而且新的定义和度量正在不断地被一个由物理学家、生物学家、数学家、计算机科学家、经济学家和社会理论家组成的跨学科团体提出和检验。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本文从信息论的角度探讨复杂性问题。读者还可以从[[复杂系统|系统论]]的角度出发理解复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂性的一般特征==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
复杂性的定量或分析学（analytic）定义往往不同意精确的表述，甚至不同意定义复杂性的正式框架。然而，有一种非正式的复杂性概念，它基于大多数(如果不是所有的话)复杂系统和过程所共有的一些要素。赫伯特 · 西蒙是最早讨论复杂系统的性质和结构的人之一(Simon，1981) ，他建议将复杂系统定义为那些“由大量具有许多相互作用的部分组成”的系统。西蒙接着指出，“在这样的系统中，整体不仅仅在[ ... ]的意义上大于各部分之和，考虑到各部分的性质及其相互作用的规律，推断整体的性质不是一件容易事。”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''组分''' 许多复杂的系统可以分解成结构上不同的组成部分(组件、元素、单元) ，且它们可以作为个体发挥作用，产生某种形式的局部行为、活动或动态。复杂系统的组件本身可以分解为子组件，导致系统在多层次的组织中是复杂的，形成（不完全）可分解的组件层次结构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''交互''' 复杂系统的组成部分进行动态交互，导致这些组成部分跨空间和时间整合成一个有组织的整体。交互通常能调节组件的单个动作，从而通过'''中继全局上下文 relaying global context''' 改变其局部功能。在许多复杂系统中，组件子集之间的交互是通过某种形式的通信路径或连接进行的。这样的结构化交互通常是稀疏的，也就是说，所有可能的交互中只有一小部分是在系统中实现的。这些相互作用的具体模式对于确定系统作为一个整体如何运作至关重要。组件之间的某些相互作用可能很强，因为它们对于单个组件具有很大的效力。其他相互作用可能被认为是弱的，因为他们的影响范围或时间是有限的。无论是强相互作用还是弱相互作用，都能对整个系统产生重大影响。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''涌现''' 系统中组件之间的相互作用往往产生不能被简单地归结为组件特性的现象、功能或效应。相反，这些功能是结构化交互的结果，是系统作为一个整体的属性。在许多情况下，即使对单个组件进行详细而全面的检查，也无法预测这些组件作为系统的一部分进行交互时能够发生的突发过程的范围。反过来，将一个集成的系统拆解成组件和相互作用通常会导致涌现过程的丢失。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
总之，具有大量组件的、能够产生涌现现象的、结构化交互的系统可以称为'''复杂系统'''。对复杂系统得观察提出了许多挑战，因为观察者需要同时记录许多组件和交互的状态和状态转换。这种观测要求对状态的定义、状态空间和时间分辨率作出选择。怎样定义和度量系统的状态会影响到其他派生出来的度量方法，比如系统复杂性度量方法。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:complexity_figure1.jpg|thumb|300px|left|F1|复杂性是秩序和混乱的混合体。在胡伯曼和霍格之后绘制（1986 年）。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂性的度量==&lt;br /&gt;
通过应用一个共同的度量标准，复杂性度量使得不同的系统可以相互比较。这对于结构上或功能上相关的系统尤其有意义。这些相关系统之间复杂性的差异可能揭示其组织的特征，从而促进我们对复杂性的理解。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一些复杂性度量是算法性质的，并试图确定最小描述长度（描述一个算法所需要的最短长度）。对于这些度量，复杂性仅适用于描述，而不适用于系统或流程本身。其他衡量复杂性的方法考虑到一个系统的时间演变，并且往往建立在统计信息理论的理论基础之上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
大多数现存的复杂性度量可以分为两大类。第一类(算法信息内容和逻辑深度)的复杂性度量试图捕捉系统或过程的随机性、信息内容或描述长度。随机过程具有最高的复杂性，因为它们最难以压缩。第二类(包括统计复杂性、物理复杂性和神经复杂性)将复杂性概念化为有别于随机性。在这里，复杂系统是那些拥有大量结构或信息的系统，通常跨越多个时间和空间尺度。在这一类度量中，高度复杂的系统处于高度有序(规则)和高度无序(随机)的系统之间。&amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure1.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt; 展示了这些测量方法的示意图。然而，应该再次强调的是，目前并不存在一个普遍接受的、将复杂性和无序性联系起来的定量表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂与随机==&lt;br /&gt;
生成一个符号串的'''算法信息内容 Algorithmic Information Content''' 的定义(Kolmogorov，1965; Chaitin，1977)是生产这个符号串所需的最短计算机程序所包含的信息量。高度规则、周期性或单调的符号串可以由短小的程序生产，因此包含的信息很少，而完全随机的符号串需要一个和该符号串本身至少一样长的程序，因此产生高(最大)信息内容。举个例子，“0.333333...”所包含的算法信息内容很小，可以用“1/3”来生成；“3.14159265358974”次之，可以用求解圆周率的程序生成；“27648.73649325932”的算法信息内容最大，因为他是完全随机的（我随便敲键盘敲出来的），只能用它自己生产自己。算法信息内容(AIC)捕获了符号串的随机性，但似乎不适合应用于生物或神经系统。此外，算法信息内容虽然是一个精妙的概念，但在数学上是不可计算的，因此有诸多不便。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''逻辑深度 Logical Depth'''(Bennett，1988)与 AIC 有关，并定义另一种计算复杂性：解决给定问题类所需的最小计算资源量(时间、内存)。作为逻辑深度的复杂性主要是指能够生成给定符号串或模式的最短程序的运行时间。与 AIC 类似，逻辑深度是对生成过程的度量，并不直接适用于实际存在的物理系统或动态过程。计算逻辑深度需要知道最短的计算机程序，因此受到与 AIC 相同的基本限制。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个序列，如果已知其中的多少部分，就能预测剩下来的部分？这已知部分的序列中包含的信息，就是整个序列的'''有效度量复杂性 Effective Measure Complexity''' (Grassberger，1986)。有的书读了开头就能预测生下来的全部内容，那这本书的有效信息就只有开头所包含的信息量而已。有效度量复杂度可以捕捉在多个尺度范围内的序列中的结构，这与熵的扩展性有关(见下文)。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''热力学深度 Thermodynamic Depth''' (Lloyd and Pagels，1988)将一个系统的熵与导致其系统状态的所有可能历史路径的数量联系起来。“深度”的系统是所有那些“难以建立”的系统，其最终状态蕴含着生成它的许多历史信息。热力学深度是逻辑深度的补充措施，侧重了一个系统的形成历史。虽然热力学深度的优点是可以通过经验来计算，但是如何定义系统状态是一个重要问题(Crutchfield 和 Shalizi，1999)。虽然它的目的是区分复杂系统和随机系统，但它的形式主义本质上抓住了生成过程所产生的随机性，而不区分规则系统和随机系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==作为结构和信息的复杂性==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在结构基础上量化复杂性的一个简单方法是计算一个系统中的'''组件和/或交互的数量'''。对生物进化过程中结构部分的数量(McShea，1996)和功能行为的研究表明，这些指标会随着时间的推移而增加，这一发现有助于持续辩论复杂性是否是自然选择的结果。然而，数量本身可能只是复杂性的'''一个'''指标，而不完全是复杂性的指标。大型和高度耦合的系统可能并不比那些较小和耦合较少的系统复杂。例如，一个完全连接的非常大的系统可以用一种紧凑的方式来描述，并且可能会产生统一的行为，而一个较小但是更多异质的系统的描述可能不那么可压缩，其行为可能更加不同。相同节点数量下，[[无标度网络]]往往比全连接网络更复杂。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''有效复杂性 Effective complexity''' (Gell-Mann，1995)度量了系统规律性的最小描述长度。这种测量方法与 AIC 有关，但它试图区分常规特征和随机或偶然特征，因此属于旨在获取系统包含多少结构的复杂性测量方法的范畴。对于任何给定的经验系统来说，区分开规则特征和随机特征都是困难的，而且它可能取决于外部观察者提供的标准。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''物理复杂度 Physical complexity''' (Adami 和 Cerf，2000)与有效复杂性有关，其目的是估计任何符号序列的复杂性，这些符号是关于物理世界或环境的。因此，这一措施在应用于生物系统时特别有用。给定一个符号序列(比如基因组)，和一些使得该序列具有意义的环境（比如生态位）的描述，它们之间共有的算法复杂度（AIC），就是物理复杂性。由于算法复杂度是不可计算的，物理复杂度也不能。然而，一组序列(例如整个生物体的基因组集合)的平均物理复杂性可以用序列(基因组)集合与其环境(生态学)之间的相互信息来近似。在数字生态学(Adami，2002)中进行的实验表明，自我复制的基因组与其环境之间的互信息随着进化时间的增加而增加。物理复杂度也被用来估计生物分子的复杂性。一组 RNA 分子的结构和功能复杂性与物理复杂性呈正相关(Carothers 等人，2004) ，这表明进化的分子结构的功能与它们编码的信息量之间可能存在联系。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''统计复杂度 Statistical Complexity'''(Crutchfield and Young，1989)是一个更广泛的、被称为'''计算力学 Computational Mechanics'''的理论框架的组成部分，并可以直接从经验数据估算。为了计算统计复杂度，时间序列中的每个点根据某种划分方案映射到对应的符号，使原始数据成为一个连续的符号流。然后，符号序列按照以下规则聚类成因果状态: 如果任何未来符号的条件概率对于这两个历史是相同的，那么两个符号序列(即动力学的历史)就属于相同的因果状态。换句话说，如果两个符号序列预测了同一个未来的动力学分布，那么可以认为这两个符号序列是相同的。一旦确定了这些因果状态，就可以从数据中提取因果状态之间的转换概率，并计算出所有因果状态的长期概率分布。统计复杂度被定义为因果状态上这种分布的香农熵。对于逻辑斯谛映射、元胞自动机和许多基本的马尔可夫过程等抽象系统，统计复杂性可以通过解析方法计算出来。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''预测信息 Predictive Information''' (Bialek 等，2001) ，虽然本身不是一个复杂性度量，但可以用来根据熵的可扩展性原理将系统分成不同的复杂性类别。例如，可扩展性表现在由越来越多的同质独立随机变量组成的系统中。这类系统的香农熵将随其大小线性增长。熵随系统大小的线性增长称为扩展性。然而，复杂系统的组成元素通常是异质的和相互依赖的。因此当随机变量数量的增长，熵并不总是线性增长的。一个给定系统偏离扩展性的方式也可以用来描述其复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:complexity_figure2.jpg|thumb|400px|right|F2|电影帧来自神经动力学的演示模型，由1600个自发活跃的威森-考恩神经质量单元组成，这些单元排列在球体上，并辅之以兴奋连接。 显示三个案例：稀疏耦合（仅限本地连接）、均匀耦合（仅限全球连接）以及本地和全球连接的混合（形成小世界网络）。 神经复杂性（托尼等人，1994年;斯波恩斯等人，2000年）是高只为最后一个案件。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''神经复杂性 Neural Complexity'''(Tononi 等，1994) ，与系统的延伸性相关，可以应用于任何经验系统，包括大脑。神经复杂度中的一个重要概念是'''集成度 Integration'''(也称为多信息) ，这是互信息的多元扩展，用于估计任意大系统中的统计结构的总量。集成度被定义为组成部分的个体熵之和与系统作为一个整体的联合熵之差。集成度在多个空间尺度上的分布表明了系统的复杂性。考虑以下三种情况(&amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure2.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt;)。(1)具有统计独立成分的系统会呈现全局无序或随机动态。它的联合熵将正好等于组成熵之和，系统的集成度将为零，无论哪个空间尺度的系统被检查。(2)各组分之间的统计相关性将导致系统的联合熵相对于个体熵的收缩，从而导致正的集成度。如果一个系统的组成部分是高度耦合的，并且表现出统计依赖性以及同质动力学(即所有组成部分的行为完全相同) ，那么该系统的多个空间尺度上的集成估计平均遵循线性分布。(3)如果统计依赖关系是非同质的(例如涉及组件、模块或层次模式的分组) ，则集成的分布将偏离线性。偏差的总量是系统的复杂性。随机系统的复杂度为零，而齐次耦合系统的复杂度非常低。具有丰富结构和动态行为的系统具有很高的复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
应用于神经动力学，托诺尼等人(1994年)定义的复杂性被发现与神经连接的特定模式有关，例如小世界网络所表现出来的属性(Sporns 等，2000)。这种复杂性度量的和在此基础上提出来的各种度量已经解决了系统与环境的匹配以及它们的简并性问题。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂网络==&lt;br /&gt;
传统上，复杂系统的分析一直使用非线性动力学和统计信息理论的工具。最近，复杂网络的分析学框架引发了对不同科学领域复杂系统之间共性和差异的重新评估(Amaral 和 Ottino，2004)。一个关键的洞察是网络拓扑——交互的图结构，通过引导信息流，创造组件之间的一致性模式，以及塑造宏观系统状态的涌现，对系统的动力学施加了重要的约束。复杂性对网络拓扑的变化高度敏感。因此，连接模式或强度的改变可以作为复杂性的调节器。网络结构与动力学之间的联系是近期复杂性研究中最有前途的领域之一。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==为什么是复杂性？==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到底为什么复杂性会存在，特别是在生物系统中？这个问题的确切答案仍然难以捉摸。一种观点是基于生物系统所面临的进化需求。生物结构和生物体的进化成功取决于它们捕获环境信息的能力，无论是分子层面的还是生态层面的。生物的复杂性可能就会涌现，作为进化压力作用于生物体结构的结果。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一条线索可能在复杂性和网络结构之间的联系中找到。复杂性在大规模集成了不同组件的系统中显得非常突出。这些系统变得更加复杂，因为它们更有效地整合更多的信息，也就是说，它们更有能力既适应专门的组件，也适应将这些组件绑定为一个连贯整体的结构化交互作用。因此，调和部分和整体，复杂性可能是自然界种基本辩证法的表现。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==引用==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Adami, C. (2002) What is complexity?  BioEssays 24, 1085-1094.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Adami, C., Cerf, N.J. (2000) Physical complexity of symbolic sequences.  Physica D 137, 62-69.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Amaral, L.A.N., Ottino, J.M. (2004) Complex networks.  Eur. Phys. J. B 38, 147-162.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Bennett, C.H. (1988) Logical depth and physical complexity.  In: R. Herken (ed.): The Universal Turing Machine. A Half-Century Survey. Pp. 227-257, Oxford: Oxford University Press. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Bialek, W., Nemenman, I., Tishby, N. (2001) Predictability, complexity, and learning.  Neural Computation 13, 2409-2463.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Carothers, J.M., Oestreich, S.C., Davis, J.H., and Szostak, J.W. (2004) Informational complexity and functional activity of RNA structures. J. Am. Chem. Soc. 126, 5130–5137.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Chaitin, G.J. (1977) Algorithmic information theory.  IBM Journal of Research and Development 21, 350-359.  [http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/ibm.pdf]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Crutchfield, J.P., Young, K. (1989) Inferring statistical complexity.  Phys. Rev. Lett. 63, 105-109.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Crutchfield, J.P., Shalizi, C.R. (1999) Thermodynamic depth of causal states: Objective complexity via minimal representations.  Phys. Rev. E 59, 275-283.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Gell-Mann, M. (1995) What is complexity?  Complexity 1, 16-19.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Grassberger, P. (1986) Toward a quantitative theory of self-generated complexity.  Int. J. Theor. Phys. 25, 907-928.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Huberman, B.A., Hogg, T. (1986) Complexity and adaptation.  Physica D 22, 376-384.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Kolmogorov, A. N. (1965) Three approaches to the quantitative definition of information.  Problems of Information Transmission 1, 1-17.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Lloyd, S., Pagels, H. (1988) Complexity as thermodynamic depth.  Annals of Physics 188, 186-213.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*McShea, D.W. (1995) Metazoan complexity and evolution: Is there a trend?  Evolution 50, 477-492.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Simon, H.A. (1981) The Sciences of the Artificial.  MIT Press: Cambridge.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Sporns, O., Tononi, G., Edelman, G.M. (2000) Theoretical neuroanatomy: Relating anatomical and functional connectivity in graphs and cortical connection matrices.  Cereb. Cortex 10, 127-141.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Tononi, G., Sporns, O., Edelman, G.M. (1994) A measure for brain complexity: Relating functional segregation and integration in the nervous system.  Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 91, 5033-5037.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!-- Authors, please check this list and remove any references that are irrelevant. This list is generated automatically to reflect the links from your article to other accepted articles in Scholarpedia. --&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;b&amp;gt;Scholarpedia内部引用&amp;lt;/b&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Marcus Hutter (2007) [[Algorithmic information theory]]. Scholarpedia, 2(3):2519.&lt;br /&gt;
* Valentino Braitenberg (2007) [[Brain]]. Scholarpedia, 2(11):2918.&lt;br /&gt;
* Gregoire Nicolis and Catherine Rouvas-Nicolis (2007) [[Complex systems]]. Scholarpedia, 2(11):1473.&lt;br /&gt;
* James Meiss (2007) [[Dynamical systems]]. Scholarpedia, 2(2):1629.&lt;br /&gt;
* Tomasz Downarowicz (2007) [[Entropy]]. Scholarpedia, 2(11):3901.&lt;br /&gt;
* Arkady Pikovsky and Michael Rosenblum (2007) [[Synchronization]]. Scholarpedia, 2(12):1459.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==外部链接==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[http://www.indiana.edu/~cortex Author 的主页]&lt;br /&gt;
*[http://cse.ucdavis.edu/~chaos/index.html Jim Crutchfield  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://meche.mit.edu/people/faculty/index.html?id=55 Seth Lloyd  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://faculty.kgi.edu/adami/ Chris Adami  的主页]	&lt;br /&gt;
*[http://fds.duke.edu/db/aas/Biology/dmcshea Dan McShea  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://tononi.psychiatry.wisc.edu/ Giulio Tononi  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://www.indiana.edu/~cortex/complexity_movie.wmv 一段展示图2中连接性和动力学的视频]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:Complexity_figure2.jpg&amp;diff=26142</id>
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		<updated>2021-08-28T08:05:04Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
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	<entry>
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		<title>复杂性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%A4%8D%E6%9D%82%E6%80%A7&amp;diff=26141"/>
		<updated>2021-08-28T08:04:29Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt; - 本词条搬运自[http://www.scholarpedia.org/article/Complexity Scholarpedia页面]，由[[用户:Qige96|Ricky]]审校。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
物理系统或动态过程的'''复杂性'''表达了组件参与有组织的结构化交互的程度。高度复杂的系统实现了有序和无序(规律性和随机性)的混合，并有很高的可能产生涌现现象。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==各学科中的复杂性==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
尽管复杂性的概念在现代科学和社会中非常重要和普遍存在，但目前还没有一种普遍的、广泛接受的方法来衡量一个物理对象、系统或过程的复杂性。缺乏普遍的衡量标准，可能反映了我们对复杂系统的理解处于初始阶段，缺乏一个贯穿所有自然科学和社会科学的普遍的统一框架。虽然到目前为止，一般性的衡量标准仍然难以捉摸，但是，我们拥有许多适用于具体类型的系统或问题领域的复杂性衡量标准。尽管在定义和测量复杂性方面存在了各种不同的方法，但有一种信念仍然坚持认为所有复杂系统都有共同的特性，而且新的定义和度量正在不断地被一个由物理学家、生物学家、数学家、计算机科学家、经济学家和社会理论家组成的跨学科团体提出和检验。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本文从信息论的角度探讨复杂性问题。读者还可以从[[复杂系统|系统论]]的角度出发理解复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂性的一般特征==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
复杂性的定量或分析学（analytic）定义往往不同意精确的表述，甚至不同意定义复杂性的正式框架。然而，有一种非正式的复杂性概念，它基于大多数(如果不是所有的话)复杂系统和过程所共有的一些要素。赫伯特 · 西蒙是最早讨论复杂系统的性质和结构的人之一(Simon，1981) ，他建议将复杂系统定义为那些“由大量具有许多相互作用的部分组成”的系统。西蒙接着指出，“在这样的系统中，整体不仅仅在[ ... ]的意义上大于各部分之和，考虑到各部分的性质及其相互作用的规律，推断整体的性质不是一件容易事。”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''组分''' 许多复杂的系统可以分解成结构上不同的组成部分(组件、元素、单元) ，且它们可以作为个体发挥作用，产生某种形式的局部行为、活动或动态。复杂系统的组件本身可以分解为子组件，导致系统在多层次的组织中是复杂的，形成（不完全）可分解的组件层次结构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''交互''' 复杂系统的组成部分进行动态交互，导致这些组成部分跨空间和时间整合成一个有组织的整体。交互通常能调节组件的单个动作，从而通过'''中继全局上下文 relaying global context''' 改变其局部功能。在许多复杂系统中，组件子集之间的交互是通过某种形式的通信路径或连接进行的。这样的结构化交互通常是稀疏的，也就是说，所有可能的交互中只有一小部分是在系统中实现的。这些相互作用的具体模式对于确定系统作为一个整体如何运作至关重要。组件之间的某些相互作用可能很强，因为它们对于单个组件具有很大的效力。其他相互作用可能被认为是弱的，因为他们的影响范围或时间是有限的。无论是强相互作用还是弱相互作用，都能对整个系统产生重大影响。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''涌现''' 系统中组件之间的相互作用往往产生不能被简单地归结为组件特性的现象、功能或效应。相反，这些功能是结构化交互的结果，是系统作为一个整体的属性。在许多情况下，即使对单个组件进行详细而全面的检查，也无法预测这些组件作为系统的一部分进行交互时能够发生的突发过程的范围。反过来，将一个集成的系统拆解成组件和相互作用通常会导致涌现过程的丢失。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
总之，具有大量组件的、能够产生涌现现象的、结构化交互的系统可以称为'''复杂系统'''。对复杂系统得观察提出了许多挑战，因为观察者需要同时记录许多组件和交互的状态和状态转换。这种观测要求对状态的定义、状态空间和时间分辨率作出选择。怎样定义和度量系统的状态会影响到其他派生出来的度量方法，比如系统复杂性度量方法。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:complexity_figure1.jpg|thumb|300px|left|F1|Complexity as a mixture of order and disorder. Drawn after Huberman and Hogg (1986).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂性的度量==&lt;br /&gt;
通过应用一个共同的度量标准，复杂性度量使得不同的系统可以相互比较。这对于结构上或功能上相关的系统尤其有意义。这些相关系统之间复杂性的差异可能揭示其组织的特征，从而促进我们对复杂性的理解。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一些复杂性度量是算法性质的，并试图确定最小描述长度（描述一个算法所需要的最短长度）。对于这些度量，复杂性仅适用于描述，而不适用于系统或流程本身。其他衡量复杂性的方法考虑到一个系统的时间演变，并且往往建立在统计信息理论的理论基础之上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
大多数现存的复杂性度量可以分为两大类。第一类(算法信息内容和逻辑深度)的复杂性度量试图捕捉系统或过程的随机性、信息内容或描述长度。随机过程具有最高的复杂性，因为它们最难以压缩。第二类(包括统计复杂性、物理复杂性和神经复杂性)将复杂性概念化为有别于随机性。在这里，复杂系统是那些拥有大量结构或信息的系统，通常跨越多个时间和空间尺度。在这一类度量中，高度复杂的系统处于高度有序(规则)和高度无序(随机)的系统之间。&amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure1.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt; 展示了这些测量方法的示意图。然而，应该再次强调的是，目前并不存在一个普遍接受的、将复杂性和无序性联系起来的定量表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂与随机==&lt;br /&gt;
生成一个符号串的'''算法信息内容 Algorithmic Information Content''' 的定义(Kolmogorov，1965; Chaitin，1977)是生产这个符号串所需的最短计算机程序所包含的信息量。高度规则、周期性或单调的符号串可以由短小的程序生产，因此包含的信息很少，而完全随机的符号串需要一个和该符号串本身至少一样长的程序，因此产生高(最大)信息内容。举个例子，“0.333333...”所包含的算法信息内容很小，可以用“1/3”来生成；“3.14159265358974”次之，可以用求解圆周率的程序生成；“27648.73649325932”的算法信息内容最大，因为他是完全随机的（我随便敲键盘敲出来的），只能用它自己生产自己。算法信息内容(AIC)捕获了符号串的随机性，但似乎不适合应用于生物或神经系统。此外，算法信息内容虽然是一个精妙的概念，但在数学上是不可计算的，因此有诸多不便。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''逻辑深度 Logical Depth'''(Bennett，1988)与 AIC 有关，并定义另一种计算复杂性：解决给定问题类所需的最小计算资源量(时间、内存)。作为逻辑深度的复杂性主要是指能够生成给定符号串或模式的最短程序的运行时间。与 AIC 类似，逻辑深度是对生成过程的度量，并不直接适用于实际存在的物理系统或动态过程。计算逻辑深度需要知道最短的计算机程序，因此受到与 AIC 相同的基本限制。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个序列，如果已知其中的多少部分，就能预测剩下来的部分？这已知部分的序列中包含的信息，就是整个序列的'''有效度量复杂性 Effective Measure Complexity''' (Grassberger，1986)。有的书读了开头就能预测生下来的全部内容，那这本书的有效信息就只有开头所包含的信息量而已。有效度量复杂度可以捕捉在多个尺度范围内的序列中的结构，这与熵的扩展性有关(见下文)。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''热力学深度 Thermodynamic Depth''' (Lloyd and Pagels，1988)将一个系统的熵与导致其系统状态的所有可能历史路径的数量联系起来。“深度”的系统是所有那些“难以建立”的系统，其最终状态蕴含着生成它的许多历史信息。热力学深度是逻辑深度的补充措施，侧重了一个系统的形成历史。虽然热力学深度的优点是可以通过经验来计算，但是如何定义系统状态是一个重要问题(Crutchfield 和 Shalizi，1999)。虽然它的目的是区分复杂系统和随机系统，但它的形式主义本质上抓住了生成过程所产生的随机性，而不区分规则系统和随机系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==作为结构和信息的复杂性==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在结构基础上量化复杂性的一个简单方法是计算一个系统中的'''组件和/或交互的数量'''。对生物进化过程中结构部分的数量(McShea，1996)和功能行为的研究表明，这些指标会随着时间的推移而增加，这一发现有助于持续辩论复杂性是否是自然选择的结果。然而，数量本身可能只是复杂性的'''一个'''指标，而不完全是复杂性的指标。大型和高度耦合的系统可能并不比那些较小和耦合较少的系统复杂。例如，一个完全连接的非常大的系统可以用一种紧凑的方式来描述，并且可能会产生统一的行为，而一个较小但是更多异质的系统的描述可能不那么可压缩，其行为可能更加不同。相同节点数量下，[[无标度网络]]往往比全连接网络更复杂。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''有效复杂性 Effective complexity''' (Gell-Mann，1995)度量了系统规律性的最小描述长度。这种测量方法与 AIC 有关，但它试图区分常规特征和随机或偶然特征，因此属于旨在获取系统包含多少结构的复杂性测量方法的范畴。对于任何给定的经验系统来说，区分开规则特征和随机特征都是困难的，而且它可能取决于外部观察者提供的标准。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''物理复杂度 Physical complexity''' (Adami 和 Cerf，2000)与有效复杂性有关，其目的是估计任何符号序列的复杂性，这些符号是关于物理世界或环境的。因此，这一措施在应用于生物系统时特别有用。给定一个符号序列(比如基因组)，和一些使得该序列具有意义的环境（比如生态位）的描述，它们之间共有的算法复杂度（AIC），就是物理复杂性。由于算法复杂度是不可计算的，物理复杂度也不能。然而，一组序列(例如整个生物体的基因组集合)的平均物理复杂性可以用序列(基因组)集合与其环境(生态学)之间的相互信息来近似。在数字生态学(Adami，2002)中进行的实验表明，自我复制的基因组与其环境之间的互信息随着进化时间的增加而增加。物理复杂度也被用来估计生物分子的复杂性。一组 RNA 分子的结构和功能复杂性与物理复杂性呈正相关(Carothers 等人，2004) ，这表明进化的分子结构的功能与它们编码的信息量之间可能存在联系。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''统计复杂度 Statistical Complexity'''(Crutchfield and Young，1989)是一个更广泛的、被称为'''计算力学 Computational Mechanics'''的理论框架的组成部分，并可以直接从经验数据估算。为了计算统计复杂度，时间序列中的每个点根据某种划分方案映射到对应的符号，使原始数据成为一个连续的符号流。然后，符号序列按照以下规则聚类成因果状态: 如果任何未来符号的条件概率对于这两个历史是相同的，那么两个符号序列(即动力学的历史)就属于相同的因果状态。换句话说，如果两个符号序列预测了同一个未来的动力学分布，那么可以认为这两个符号序列是相同的。一旦确定了这些因果状态，就可以从数据中提取因果状态之间的转换概率，并计算出所有因果状态的长期概率分布。统计复杂度被定义为因果状态上这种分布的香农熵。对于逻辑斯谛映射、元胞自动机和许多基本的马尔可夫过程等抽象系统，统计复杂性可以通过解析方法计算出来。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''预测信息 Predictive Information''' (Bialek 等，2001) ，虽然本身不是一个复杂性度量，但可以用来根据熵的可扩展性原理将系统分成不同的复杂性类别。例如，可扩展性表现在由越来越多的同质独立随机变量组成的系统中。这类系统的香农熵将随其大小线性增长。熵随系统大小的线性增长称为扩展性。然而，复杂系统的组成元素通常是异质的和相互依赖的。因此当随机变量数量的增长，熵并不总是线性增长的。一个给定系统偏离扩展性的方式也可以用来描述其复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:complexity_figure2.jpg|thumb|400px|right|F2|Movie frames from a demonstration model of neural dynamics, consisting of 1600 spontaneously active Wison-Cowan neural mass units arranged on a sphere and coupled by excitatory connections.  Three cases are shown: sparse coupling (local connections only), uniform coupling (global connections only), and a mixture of local and global connections (forming a small-world network).  Neural complexity (Tononi et al., 1994; Sporns et al., 2000) is high only for the last case.]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''神经复杂性 Neural Complexity'''(Tononi 等，1994) ，与系统的延伸性相关，可以应用于任何经验系统，包括大脑。神经复杂度中的一个重要概念是'''集成度 Integration'''(也称为多信息) ，这是互信息的多元扩展，用于估计任意大系统中的统计结构的总量。集成度被定义为组成部分的个体熵之和与系统作为一个整体的联合熵之差。集成度在多个空间尺度上的分布表明了系统的复杂性。考虑以下三种情况(&amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure2.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt;)。(1)具有统计独立成分的系统会呈现全局无序或随机动态。它的联合熵将正好等于组成熵之和，系统的集成度将为零，无论哪个空间尺度的系统被检查。(2)各组分之间的统计相关性将导致系统的联合熵相对于个体熵的收缩，从而导致正的集成度。如果一个系统的组成部分是高度耦合的，并且表现出统计依赖性以及同质动力学(即所有组成部分的行为完全相同) ，那么该系统的多个空间尺度上的集成估计平均遵循线性分布。(3)如果统计依赖关系是非同质的(例如涉及组件、模块或层次模式的分组) ，则集成的分布将偏离线性。偏差的总量是系统的复杂性。随机系统的复杂度为零，而齐次耦合系统的复杂度非常低。具有丰富结构和动态行为的系统具有很高的复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
应用于神经动力学，托诺尼等人(1994年)定义的复杂性被发现与神经连接的特定模式有关，例如小世界网络所表现出来的属性(Sporns 等，2000)。这种复杂性度量的和在此基础上提出来的各种度量已经解决了系统与环境的匹配以及它们的简并性问题。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂网络==&lt;br /&gt;
传统上，复杂系统的分析一直使用非线性动力学和统计信息理论的工具。最近，复杂网络的分析学框架引发了对不同科学领域复杂系统之间共性和差异的重新评估(Amaral 和 Ottino，2004)。一个关键的洞察是网络拓扑——交互的图结构，通过引导信息流，创造组件之间的一致性模式，以及塑造宏观系统状态的涌现，对系统的动力学施加了重要的约束。复杂性对网络拓扑的变化高度敏感。因此，连接模式或强度的改变可以作为复杂性的调节器。网络结构与动力学之间的联系是近期复杂性研究中最有前途的领域之一。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==为什么是复杂性？==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到底为什么复杂性会存在，特别是在生物系统中？这个问题的确切答案仍然难以捉摸。一种观点是基于生物系统所面临的进化需求。生物结构和生物体的进化成功取决于它们捕获环境信息的能力，无论是分子层面的还是生态层面的。生物的复杂性可能就会涌现，作为进化压力作用于生物体结构的结果。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一条线索可能在复杂性和网络结构之间的联系中找到。复杂性在大规模集成了不同组件的系统中显得非常突出。这些系统变得更加复杂，因为它们更有效地整合更多的信息，也就是说，它们更有能力既适应专门的组件，也适应将这些组件绑定为一个连贯整体的结构化交互作用。因此，调和部分和整体，复杂性可能是自然界种基本辩证法的表现。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==引用==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Adami, C. (2002) What is complexity?  BioEssays 24, 1085-1094.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Adami, C., Cerf, N.J. (2000) Physical complexity of symbolic sequences.  Physica D 137, 62-69.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Amaral, L.A.N., Ottino, J.M. (2004) Complex networks.  Eur. Phys. J. B 38, 147-162.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Bennett, C.H. (1988) Logical depth and physical complexity.  In: R. Herken (ed.): The Universal Turing Machine. A Half-Century Survey. Pp. 227-257, Oxford: Oxford University Press. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Bialek, W., Nemenman, I., Tishby, N. (2001) Predictability, complexity, and learning.  Neural Computation 13, 2409-2463.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Carothers, J.M., Oestreich, S.C., Davis, J.H., and Szostak, J.W. (2004) Informational complexity and functional activity of RNA structures. J. Am. Chem. Soc. 126, 5130–5137.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Chaitin, G.J. (1977) Algorithmic information theory.  IBM Journal of Research and Development 21, 350-359.  [http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/ibm.pdf]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Crutchfield, J.P., Young, K. (1989) Inferring statistical complexity.  Phys. Rev. Lett. 63, 105-109.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Crutchfield, J.P., Shalizi, C.R. (1999) Thermodynamic depth of causal states: Objective complexity via minimal representations.  Phys. Rev. E 59, 275-283.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Gell-Mann, M. (1995) What is complexity?  Complexity 1, 16-19.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Grassberger, P. (1986) Toward a quantitative theory of self-generated complexity.  Int. J. Theor. Phys. 25, 907-928.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Huberman, B.A., Hogg, T. (1986) Complexity and adaptation.  Physica D 22, 376-384.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Kolmogorov, A. N. (1965) Three approaches to the quantitative definition of information.  Problems of Information Transmission 1, 1-17.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Lloyd, S., Pagels, H. (1988) Complexity as thermodynamic depth.  Annals of Physics 188, 186-213.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*McShea, D.W. (1995) Metazoan complexity and evolution: Is there a trend?  Evolution 50, 477-492.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Simon, H.A. (1981) The Sciences of the Artificial.  MIT Press: Cambridge.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Sporns, O., Tononi, G., Edelman, G.M. (2000) Theoretical neuroanatomy: Relating anatomical and functional connectivity in graphs and cortical connection matrices.  Cereb. Cortex 10, 127-141.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Tononi, G., Sporns, O., Edelman, G.M. (1994) A measure for brain complexity: Relating functional segregation and integration in the nervous system.  Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 91, 5033-5037.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!-- Authors, please check this list and remove any references that are irrelevant. This list is generated automatically to reflect the links from your article to other accepted articles in Scholarpedia. --&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;b&amp;gt;Scholarpedia内部引用&amp;lt;/b&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* Marcus Hutter (2007) [[Algorithmic information theory]]. Scholarpedia, 2(3):2519.&lt;br /&gt;
* Valentino Braitenberg (2007) [[Brain]]. Scholarpedia, 2(11):2918.&lt;br /&gt;
* Gregoire Nicolis and Catherine Rouvas-Nicolis (2007) [[Complex systems]]. Scholarpedia, 2(11):1473.&lt;br /&gt;
* James Meiss (2007) [[Dynamical systems]]. Scholarpedia, 2(2):1629.&lt;br /&gt;
* Tomasz Downarowicz (2007) [[Entropy]]. Scholarpedia, 2(11):3901.&lt;br /&gt;
* Arkady Pikovsky and Michael Rosenblum (2007) [[Synchronization]]. Scholarpedia, 2(12):1459.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==外部链接==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[http://www.indiana.edu/~cortex Author 的主页]&lt;br /&gt;
*[http://cse.ucdavis.edu/~chaos/index.html Jim Crutchfield  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://meche.mit.edu/people/faculty/index.html?id=55 Seth Lloyd  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://faculty.kgi.edu/adami/ Chris Adami  的主页]	&lt;br /&gt;
*[http://fds.duke.edu/db/aas/Biology/dmcshea Dan McShea  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://tononi.psychiatry.wisc.edu/ Giulio Tononi  的主页]&lt;br /&gt;
*[http://www.indiana.edu/~cortex/complexity_movie.wmv 一段展示图2中连接性和动力学的视频]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:Complexity_figure1.jpg&amp;diff=26140</id>
		<title>文件:Complexity figure1.jpg</title>
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		<updated>2021-08-28T08:02:07Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%A4%8D%E6%9D%82%E6%80%A7&amp;diff=26139</id>
		<title>复杂性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%A4%8D%E6%9D%82%E6%80%A7&amp;diff=26139"/>
		<updated>2021-08-28T07:57:25Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt; - 本词条搬运自[http://www.scholarpedia.org/article/Complexity Scholarpedia页面]，由[[用户:Qige96|Ricky]]审校。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
物理系统或动态过程的'''复杂性'''表达了组件参与有组织的结构化交互的程度。高度复杂的系统实现了有序和无序(规律性和随机性)的混合，并有很高的可能产生涌现现象。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==各学科中的复杂性==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
尽管复杂性的概念在现代科学和社会中非常重要和普遍存在，但目前还没有一种普遍的、广泛接受的方法来衡量一个物理对象、系统或过程的复杂性。缺乏普遍的衡量标准，可能反映了我们对复杂系统的理解处于初始阶段，缺乏一个贯穿所有自然科学和社会科学的普遍的统一框架。虽然到目前为止，一般性的衡量标准仍然难以捉摸，但是，我们拥有许多适用于具体类型的系统或问题领域的复杂性衡量标准。尽管在定义和测量复杂性方面存在了各种不同的方法，但有一种信念仍然坚持认为所有复杂系统都有共同的特性，而且新的定义和度量正在不断地被一个由物理学家、生物学家、数学家、计算机科学家、经济学家和社会理论家组成的跨学科团体提出和检验。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本文从信息论的角度探讨复杂性问题。读者还可以从[[复杂系统|系统论]]的角度出发理解复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂性的一般特征==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
复杂性的定量或分析学（analytic）定义往往不同意精确的表述，甚至不同意定义复杂性的正式框架。然而，有一种非正式的复杂性概念，它基于大多数(如果不是所有的话)复杂系统和过程所共有的一些要素。赫伯特 · 西蒙是最早讨论复杂系统的性质和结构的人之一(Simon，1981) ，他建议将复杂系统定义为那些“由大量具有许多相互作用的部分组成”的系统。西蒙接着指出，“在这样的系统中，整体不仅仅在[ ... ]的意义上大于各部分之和，考虑到各部分的性质及其相互作用的规律，推断整体的性质不是一件容易事。”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''组分''' 许多复杂的系统可以分解成结构上不同的组成部分(组件、元素、单元) ，且它们可以作为个体发挥作用，产生某种形式的局部行为、活动或动态。复杂系统的组件本身可以分解为子组件，导致系统在多层次的组织中是复杂的，形成（不完全）可分解的组件层次结构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''交互''' 复杂系统的组成部分进行动态交互，导致这些组成部分跨空间和时间整合成一个有组织的整体。交互通常能调节组件的单个动作，从而通过'''中继全局上下文 relaying global context''' 改变其局部功能。在许多复杂系统中，组件子集之间的交互是通过某种形式的通信路径或连接进行的。这样的结构化交互通常是稀疏的，也就是说，所有可能的交互中只有一小部分是在系统中实现的。这些相互作用的具体模式对于确定系统作为一个整体如何运作至关重要。组件之间的某些相互作用可能很强，因为它们对于单个组件具有很大的效力。其他相互作用可能被认为是弱的，因为他们的影响范围或时间是有限的。无论是强相互作用还是弱相互作用，都能对整个系统产生重大影响。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''涌现''' 系统中组件之间的相互作用往往产生不能被简单地归结为组件特性的现象、功能或效应。相反，这些功能是结构化交互的结果，是系统作为一个整体的属性。在许多情况下，即使对单个组件进行详细而全面的检查，也无法预测这些组件作为系统的一部分进行交互时能够发生的突发过程的范围。反过来，将一个集成的系统拆解成组件和相互作用通常会导致涌现过程的丢失。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
总之，具有大量组件的、能够产生涌现现象的、结构化交互的系统可以称为'''复杂系统'''。对复杂系统得观察提出了许多挑战，因为观察者需要同时记录许多组件和交互的状态和状态转换。这种观测要求对状态的定义、状态空间和时间分辨率作出选择。怎样定义和度量系统的状态会影响到其他派生出来的度量方法，比如系统复杂性度量方法。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:complexity_figure1.jpg|thumb|300px|left|F1|Complexity as a mixture of order and disorder. Drawn after Huberman and Hogg (1986).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂性的度量==&lt;br /&gt;
通过应用一个共同的度量标准，复杂性度量使得不同的系统可以相互比较。这对于结构上或功能上相关的系统尤其有意义。这些相关系统之间复杂性的差异可能揭示其组织的特征，从而促进我们对复杂性的理解。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一些复杂性度量是算法性质的，并试图确定最小描述长度（描述一个算法所需要的最短长度）。对于这些度量，复杂性仅适用于描述，而不适用于系统或流程本身。其他衡量复杂性的方法考虑到一个系统的时间演变，并且往往建立在统计信息理论的理论基础之上。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Most extant complexity measures can be grouped into two main categories.  Members of the first category (algorithmic information content and logical depth) all capture the randomness, information content or description length of a system or process, with random processes possessing the highest complexity since they most resist compression.  The second category (including statistical complexity, physical complexity and neural complexity) conceptualizes complexity as distinct from randomness.  Here, complex systems are those that possess a high amount of structure or information, often across multiple temporal and spatial scales.  Within this category of measures, highly complex systems are positioned somewhere between systems that are highly ordered (regular) or highly disordered (random). &amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure1.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt; shows a schematic diagram of the shape of such measures, however, it should be emphasized again that a generally accepted quantitative expression linking complexity and disorder does not currently exist.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
大多数现存的复杂性度量可以分为两大类。第一类(算法信息内容和逻辑深度)的复杂性度量试图捕捉系统或过程的随机性、信息内容或描述长度。随机过程具有最高的复杂性，因为它们最难以压缩。第二类(包括统计复杂性、物理复杂性和神经复杂性)将复杂性概念化为有别于随机性。在这里，复杂系统是那些拥有大量结构或信息的系统，通常跨越多个时间和空间尺度。在这一类度量中，高度复杂的系统处于高度有序(规则)和高度无序(随机)的系统之间。&amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure1.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt; 展示了这些测量方法的示意图。然而，应该再次强调的是，目前并不存在一个普遍接受的、将复杂性和无序性联系起来的定量表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂与随机==&lt;br /&gt;
生成一个符号串的'''算法信息内容 Algorithmic Information Content''' 的定义(Kolmogorov，1965; Chaitin，1977)是生产这个符号串所需的最短计算机程序所包含的信息量。高度规则、周期性或单调的符号串可以由短小的程序生产，因此包含的信息很少，而完全随机的符号串需要一个和该符号串本身至少一样长的程序，因此产生高(最大)信息内容。举个例子，“0.333333...”所包含的算法信息内容很小，可以用“1/3”来生成；“3.14159265358974”次之，可以用求解圆周率的程序生成；“27648.73649325932”的算法信息内容最大，因为他是完全随机的（我随便敲键盘敲出来的），只能用它自己生产自己。算法信息内容(AIC)捕获了符号串的随机性，但似乎不适合应用于生物或神经系统。此外，算法信息内容虽然是一个精妙的概念，但在数学上是不可计算的，因此有诸多不便。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''逻辑深度 Logical Depth'''(Bennett，1988)与 AIC 有关，并定义另一种计算复杂性：解决给定问题类所需的最小计算资源量(时间、内存)。作为逻辑深度的复杂性主要是指能够生成给定符号串或模式的最短程序的运行时间。与 AIC 类似，逻辑深度是对生成过程的度量，并不直接适用于实际存在的物理系统或动态过程。计算逻辑深度需要知道最短的计算机程序，因此受到与 AIC 相同的基本限制。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于一个序列，如果已知其中的多少部分，就能预测剩下来的部分？这已知部分的序列中包含的信息，就是整个序列的'''有效度量复杂性 Effective Measure Complexity''' (Grassberger，1986)。有的书读了开头就能预测生下来的全部内容，那这本书的有效信息就只有开头所包含的信息量而已。有效度量复杂度可以捕捉在多个尺度范围内的序列中的结构，这与熵的扩展性有关(见下文)。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''热力学深度 Thermodynamic Depth''' (Lloyd and Pagels，1988)将一个系统的熵与导致其系统状态的所有可能历史路径的数量联系起来。“深度”的系统是所有那些“难以建立”的系统，其最终状态蕴含着生成它的许多历史信息。热力学深度是逻辑深度的补充措施，侧重了一个系统的形成历史。虽然热力学深度的优点是可以通过经验来计算，但是如何定义系统状态是一个重要问题(Crutchfield 和 Shalizi，1999)。虽然它的目的是区分复杂系统和随机系统，但它的形式主义本质上抓住了生成过程所产生的随机性，而不区分规则系统和随机系统。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==作为结构和信息的复杂性==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在结构基础上量化复杂性的一个简单方法是计算一个系统中的'''组件和/或交互的数量'''。对生物进化过程中结构部分的数量(McShea，1996)和功能行为的研究表明，这些指标会随着时间的推移而增加，这一发现有助于持续辩论复杂性是否是自然选择的结果。然而，数量本身可能只是复杂性的'''一个'''指标，而不完全是复杂性的指标。大型和高度耦合的系统可能并不比那些较小和耦合较少的系统复杂。例如，一个完全连接的非常大的系统可以用一种紧凑的方式来描述，并且可能会产生统一的行为，而一个较小但是更多异质的系统的描述可能不那么可压缩，其行为可能更加不同。相同节点数量下，[[无标度网络]]往往比全连接网络更复杂。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''有效复杂性 Effective complexity''' (Gell-Mann，1995)度量了系统规律性的最小描述长度。这种测量方法与 AIC 有关，但它试图区分常规特征和随机或偶然特征，因此属于旨在获取系统包含多少结构的复杂性测量方法的范畴。对于任何给定的经验系统来说，区分开规则特征和随机特征都是困难的，而且它可能取决于外部观察者提供的标准。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''物理复杂度 Physical complexity''' (Adami 和 Cerf，2000)与有效复杂性有关，其目的是估计任何符号序列的复杂性，这些符号是关于物理世界或环境的。因此，这一措施在应用于生物系统时特别有用。给定一个符号序列(比如基因组)，和一些使得该序列具有意义的环境（比如生态位）的描述，它们之间共有的算法复杂度（AIC），就是物理复杂性。由于算法复杂度是不可计算的，物理复杂度也不能。然而，一组序列(例如整个生物体的基因组集合)的平均物理复杂性可以用序列(基因组)集合与其环境(生态学)之间的相互信息来近似。在数字生态学(Adami，2002)中进行的实验表明，自我复制的基因组与其环境之间的互信息随着进化时间的增加而增加。物理复杂度也被用来估计生物分子的复杂性。一组 RNA 分子的结构和功能复杂性与物理复杂性呈正相关(Carothers 等人，2004) ，这表明进化的分子结构的功能与它们编码的信息量之间可能存在联系。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''统计复杂度 Statistical Complexity'''(Crutchfield and Young，1989)是一个更广泛的、被称为'''计算力学 Computational Mechanics'''的理论框架的组成部分，并可以直接从经验数据估算。为了计算统计复杂度，时间序列中的每个点根据某种划分方案映射到对应的符号，使原始数据成为一个连续的符号流。然后，符号序列按照以下规则聚类成因果状态: 如果任何未来符号的条件概率对于这两个历史是相同的，那么两个符号序列(即动力学的历史)就属于相同的因果状态。换句话说，如果两个符号序列预测了同一个未来的动力学分布，那么可以认为这两个符号序列是相同的。一旦确定了这些因果状态，就可以从数据中提取因果状态之间的转换概率，并计算出所有因果状态的长期概率分布。统计复杂度被定义为因果状态上这种分布的香农熵。对于逻辑斯谛映射、元胞自动机和许多基本的马尔可夫过程等抽象系统，统计复杂性可以通过解析方法计算出来。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''预测信息 Predictive Information''' (Bialek 等，2001) ，虽然本身不是一个复杂性度量，但可以用来根据熵的可扩展性原理将系统分成不同的复杂性类别。例如，可扩展性表现在由越来越多的同质独立随机变量组成的系统中。这类系统的香农熵将随其大小线性增长。熵随系统大小的线性增长称为扩展性。然而，复杂系统的组成元素通常是异质的和相互依赖的。因此当随机变量数量的增长，熵并不总是线性增长的。一个给定系统偏离扩展性的方式也可以用来描述其复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Image:complexity_figure2.jpg|thumb|400px|right|F2|Movie frames from a demonstration model of neural dynamics, consisting of 1600 spontaneously active Wison-Cowan neural mass units arranged on a sphere and coupled by excitatory connections.  Three cases are shown: sparse coupling (local connections only), uniform coupling (global connections only), and a mixture of local and global connections (forming a small-world network).  Neural complexity (Tononi et al., 1994; Sporns et al., 2000) is high only for the last case.]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''神经复杂性 Neural Complexity'''(Tononi 等，1994) ，与系统的延伸性相关，可以应用于任何经验系统，包括大脑。神经复杂度中的一个重要概念是'''集成度 Integration'''(也称为多信息) ，这是互信息的多元扩展，用于估计任意大系统中的统计结构的总量。集成度被定义为组成部分的个体熵之和与系统作为一个整体的联合熵之差。集成度在多个空间尺度上的分布表明了系统的复杂性。考虑以下三种情况(&amp;lt;figref&amp;gt;Complexity_figure2.jpg&amp;lt;/figref&amp;gt;)。(1)具有统计独立成分的系统会呈现全局无序或随机动态。它的联合熵将正好等于组成熵之和，系统的集成度将为零，无论哪个空间尺度的系统被检查。(2)各组分之间的统计相关性将导致系统的联合熵相对于个体熵的收缩，从而导致正的集成度。如果一个系统的组成部分是高度耦合的，并且表现出统计依赖性以及同质动力学(即所有组成部分的行为完全相同) ，那么该系统的多个空间尺度上的集成估计平均遵循线性分布。(3)如果统计依赖关系是非同质的(例如涉及组件、模块或层次模式的分组) ，则集成的分布将偏离线性。偏差的总量是系统的复杂性。随机系统的复杂度为零，而齐次耦合系统的复杂度非常低。具有丰富结构和动态行为的系统具有很高的复杂性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
应用于神经动力学，托诺尼等人(1994年)定义的复杂性被发现与神经连接的特定模式有关，例如小世界网络所表现出来的属性(Sporns 等，2000)。这种复杂性度量的和在此基础上提出来的各种度量已经解决了系统与环境的匹配以及它们的简并性问题。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==复杂网络==&lt;br /&gt;
传统上，复杂系统的分析一直使用非线性动力学和统计信息理论的工具。最近，复杂网络的分析学框架引发了对不同科学领域复杂系统之间共性和差异的重新评估(Amaral 和 Ottino，2004)。一个关键的洞察是网络拓扑——交互的图结构，通过引导信息流，创造组件之间的一致性模式，以及塑造宏观系统状态的涌现，对系统的动力学施加了重要的约束。复杂性对网络拓扑的变化高度敏感。因此，连接模式或强度的改变可以作为复杂性的调节器。网络结构与动力学之间的联系是近期复杂性研究中最有前途的领域之一。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==为什么是复杂性？==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到底为什么复杂性会存在，特别是在生物系统中？这个问题的确切答案仍然难以捉摸。一种观点是基于生物系统所面临的进化需求。生物结构和生物体的进化成功取决于它们捕获环境信息的能力，无论是分子层面的还是生态层面的。生物的复杂性可能就会涌现，作为进化压力作用于生物体结构的结果。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一条线索可能在复杂性和网络结构之间的联系中找到。复杂性在大规模集成了不同组件的系统中显得非常突出。这些系统变得更加复杂，因为它们更有效地整合更多的信息，也就是说，它们更有能力既适应专门的组件，也适应将这些组件绑定为一个连贯整体的结构化交互作用。因此，调和部分和整体，复杂性可能是自然界种基本辩证法的表现。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==引用==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Adami, C. (2002) What is complexity?  BioEssays 24, 1085-1094.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*Adami, C., Cerf, N.J. (2000) Physical complexity of symbolic sequences.  Physica D 137, 62-69.&lt;br /&gt;
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*Crutchfield, J.P., Young, K. (1989) Inferring statistical complexity.  Phys. Rev. Lett. 63, 105-109.&lt;br /&gt;
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*McShea, D.W. (1995) Metazoan complexity and evolution: Is there a trend?  Evolution 50, 477-492.&lt;br /&gt;
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*Simon, H.A. (1981) The Sciences of the Artificial.  MIT Press: Cambridge.&lt;br /&gt;
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*Sporns, O., Tononi, G., Edelman, G.M. (2000) Theoretical neuroanatomy: Relating anatomical and functional connectivity in graphs and cortical connection matrices.  Cereb. Cortex 10, 127-141.&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&amp;lt;!-- Authors, please check this list and remove any references that are irrelevant. This list is generated automatically to reflect the links from your article to other accepted articles in Scholarpedia. --&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;b&amp;gt;Scholarpedia内部引用&amp;lt;/b&amp;gt;&lt;br /&gt;
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*[http://www.indiana.edu/~cortex/complexity_movie.wmv 一段展示图2中连接性和动力学的视频]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
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	<entry>
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		<title>汤超</title>
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		<updated>2021-08-21T03:45:18Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 学术工作 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
|description=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{|class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; style=&amp;quot;float:right; margin-left: 10px;&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|姓名&lt;br /&gt;
|汤超&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|出生地 =  南昌 &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|领域&lt;br /&gt;
|物理学 ,  生物学 &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|工作机构&lt;br /&gt;
|北京大学&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|毕业院校&lt;br /&gt;
|中国科技大学  &amp;lt;br /&amp;gt;  芝加哥大学&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|博士导师&lt;br /&gt;
|利奥·卡达诺夫&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|著名领域&lt;br /&gt;
|自组织临界性 &amp;lt;br /&amp;gt;'''Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile'''&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 ，中国物理学家。 北京大学 讲席教授、 北京大学前沿交叉学科研究院 执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 。1977年考入 中国科学技术大学 ，此前在 南昌洪都中学 就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过 中美联合培养物理类研究生计划 赴美国 芝加哥大学 留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在 布鲁克黑文国家实验室 和 凱維里理論物理研究所 从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选 美国物理学会 会士（Fellow）。2005年加盟 加州大学旧金山分校 ，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国 国家自然科学基金委员会 “国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为 长江学者讲座教授 。2011年入选 海外高层次人才引进计划 （千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出 自组织临界性 的概念及理论，在非平衡统计物理与 复杂系统 方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review Letters &lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review A &lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal =  Science &lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal =  美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences &lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''',  Luhua Lai|Lai, L. ,  Qi Ouyang|Ouyang, Q.  and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal =  Molecular Systems Biology &lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author =  Wenzhe Ma|Ma, W. ,  Ala Trusina|Trusina, A. ,  Hana El-Samad|El-Samad, H.  '''Lim, W ''' and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell &lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 邓宏魁 合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell  &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 张奇伟 创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由 [[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝 编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]] &lt;br /&gt;
[[Category:北京大學教授]] &lt;br /&gt;
[[Category:长江学者讲座教授]] &lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
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		<title>汤超</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26078"/>
		<updated>2021-08-21T03:43:54Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
|description=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{|class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; style=&amp;quot;float:right; margin-left: 10px;&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|姓名&lt;br /&gt;
|汤超&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|出生地 =  南昌 &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|领域&lt;br /&gt;
|物理学 ,  生物学 &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|工作机构&lt;br /&gt;
|北京大学&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|毕业院校&lt;br /&gt;
|中国科技大学  &amp;lt;br /&amp;gt;  芝加哥大学&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|博士导师&lt;br /&gt;
|利奥·卡达诺夫&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|著名领域&lt;br /&gt;
|自组织临界性 &amp;lt;br /&amp;gt;'''Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile'''&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 ，中国物理学家。 北京大学 讲席教授、 北京大学前沿交叉学科研究院 执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 。1977年考入 中国科学技术大学 ，此前在 南昌洪都中学 就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过 中美联合培养物理类研究生计划 赴美国 芝加哥大学 留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在 布鲁克黑文国家实验室 和 凱維里理論物理研究所 从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选 美国物理学会 会士（Fellow）。2005年加盟 加州大学旧金山分校 ，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国 国家自然科学基金委员会 “国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为 长江学者讲座教授 。2011年入选 海外高层次人才引进计划 （千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出 自组织临界性 的概念及理论，在非平衡统计物理与 复杂系统 方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review Letters &lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review A &lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal =  Science &lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal =  美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences &lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''',  Luhua Lai|Lai, L. ,  Qi Ouyang|Ouyang, Q.  and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal =  Molecular Systems Biology &lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author =  Wenzhe Ma|Ma, W. ,  Ala Trusina|Trusina, A. ,  Hana El-Samad|El-Samad, H.  '''Lim, W ''' and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell &lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1016/j.cell.2009.06.013&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 邓宏魁 合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell  &lt;br /&gt;
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 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 张奇伟 创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由 [[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝 编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
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[[category:中国物理学家]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
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		<title>汤超</title>
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		<updated>2021-08-21T03:43:11Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
|description=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{|class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; style=&amp;quot;float:right; margin-left: 10px;&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|姓名= 汤超&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|出生地 =  南昌 &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|领域=  物理学 ,  生物学 &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|工作机构 =  北京大学&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|毕业院校=  中国科技大学  &amp;lt;br /&amp;gt;  芝加哥大学&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|博士导师=  利奥·卡达诺夫&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|著名领域 =  自组织临界性 &amp;lt;br /&amp;gt;'''Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile'''&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 ，中国物理学家。 北京大学 讲席教授、 北京大学前沿交叉学科研究院 执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 。1977年考入 中国科学技术大学 ，此前在 南昌洪都中学 就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过 中美联合培养物理类研究生计划 赴美国 芝加哥大学 留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在 布鲁克黑文国家实验室 和 凱維里理論物理研究所 从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选 美国物理学会 会士（Fellow）。2005年加盟 加州大学旧金山分校 ，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国 国家自然科学基金委员会 “国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为 长江学者讲座教授 。2011年入选 海外高层次人才引进计划 （千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出 自组织临界性 的概念及理论，在非平衡统计物理与 复杂系统 方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review Letters &lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
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}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review A &lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal =  Science &lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal =  美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences &lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''',  Luhua Lai|Lai, L. ,  Qi Ouyang|Ouyang, Q.  and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal =  Molecular Systems Biology &lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author =  Wenzhe Ma|Ma, W. ,  Ala Trusina|Trusina, A. ,  Hana El-Samad|El-Samad, H.  '''Lim, W ''' and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell &lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
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}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 邓宏魁 合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell  &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
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}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 张奇伟 创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由 [[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝 编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]] &lt;br /&gt;
[[Category:北京大學教授]] &lt;br /&gt;
[[Category:长江学者讲座教授]] &lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26076</id>
		<title>汤超</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26076"/>
		<updated>2021-08-21T03:42:42Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
|description=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Infobox scientist&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|姓名= 汤超&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|出生地 =  南昌 &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|领域=  物理学 ,  生物学 &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|工作机构 =  北京大学&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|毕业院校=  中国科技大学  &amp;lt;br /&amp;gt;  芝加哥大学&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|博士导师=  利奥·卡达诺夫&lt;br /&gt;
|- &lt;br /&gt;
|著名领域 =  自组织临界性 &amp;lt;br /&amp;gt;'''Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile'''&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 ，中国物理学家。 北京大学 讲席教授、 北京大学前沿交叉学科研究院 执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 。1977年考入 中国科学技术大学 ，此前在 南昌洪都中学 就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过 中美联合培养物理类研究生计划 赴美国 芝加哥大学 留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在 布鲁克黑文国家实验室 和 凱維里理論物理研究所 从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选 美国物理学会 会士（Fellow）。2005年加盟 加州大学旧金山分校 ，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国 国家自然科学基金委员会 “国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为 长江学者讲座教授 。2011年入选 海外高层次人才引进计划 （千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出 自组织临界性 的概念及理论，在非平衡统计物理与 复杂系统 方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review Letters &lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review A &lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal =  Science &lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal =  美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences &lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''',  Luhua Lai|Lai, L. ,  Qi Ouyang|Ouyang, Q.  and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal =  Molecular Systems Biology &lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author =  Wenzhe Ma|Ma, W. ,  Ala Trusina|Trusina, A. ,  Hana El-Samad|El-Samad, H.  '''Lim, W ''' and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell &lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1016/j.cell.2009.06.013&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 邓宏魁 合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell  &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 张奇伟 创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由 [[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝 编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]] &lt;br /&gt;
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[[Category:长江学者讲座教授]] &lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
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		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26075</id>
		<title>汤超</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26075"/>
		<updated>2021-08-21T03:41:10Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
|description=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Infobox scientist&lt;br /&gt;
|姓名= 汤超&lt;br /&gt;
|image =&lt;br /&gt;
|caption =&lt;br /&gt;
|birth_date = &lt;br /&gt;
|出生地 =  南昌 &lt;br /&gt;
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|领域=  物理学 ,  生物学 &lt;br /&gt;
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|工作机构 =  北京大学 &lt;br /&gt;
|毕业院校=  中国科技大学  &amp;lt;br /&amp;gt;  芝加哥大学 &lt;br /&gt;
|博士导师=  利奥·卡达诺夫 &lt;br /&gt;
|著名领域 =  自组织临界性 &amp;lt;br /&amp;gt;'''Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile'''&lt;br /&gt;
|prizes = &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 ，中国物理学家。 北京大学 讲席教授、 北京大学前沿交叉学科研究院 执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 。1977年考入 中国科学技术大学 ，此前在 南昌洪都中学 就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过 中美联合培养物理类研究生计划 赴美国 芝加哥大学 留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在 布鲁克黑文国家实验室 和 凱維里理論物理研究所 从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选 美国物理学会 会士（Fellow）。2005年加盟 加州大学旧金山分校 ，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国 国家自然科学基金委员会 “国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为 长江学者讲座教授 。2011年入选 海外高层次人才引进计划 （千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出 自组织临界性 的概念及理论，在非平衡统计物理与 复杂系统 方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review Letters &lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review A &lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal =  Science &lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal =  美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences &lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''',  Luhua Lai|Lai, L. ,  Qi Ouyang|Ouyang, Q.  and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal =  Molecular Systems Biology &lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author =  Wenzhe Ma|Ma, W. ,  Ala Trusina|Trusina, A. ,  Hana El-Samad|El-Samad, H.  '''Lim, W ''' and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell &lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1016/j.cell.2009.06.013&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 邓宏魁 合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell  &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 张奇伟 创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由 [[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝 编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]] &lt;br /&gt;
[[Category:北京大學教授]] &lt;br /&gt;
[[Category:长江学者讲座教授]] &lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26074</id>
		<title>汤超</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26074"/>
		<updated>2021-08-21T03:40:23Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
|description=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Infobox scientist&lt;br /&gt;
| 姓名= 汤超&lt;br /&gt;
| image =&lt;br /&gt;
| caption =&lt;br /&gt;
| birth_date = &lt;br /&gt;
| 出生地 =  南昌 &lt;br /&gt;
| residence = &lt;br /&gt;
| nationality = &lt;br /&gt;
| death_date =&lt;br /&gt;
| death_place =&lt;br /&gt;
| 领域=  物理学 ,  生物学 &lt;br /&gt;
| erdos_number =&lt;br /&gt;
| 工作机构 =  北京大学 &lt;br /&gt;
| 毕业院校=  中国科技大学  &amp;lt;br /&amp;gt;  芝加哥大学 &lt;br /&gt;
| 博士导师=  利奥·卡达诺夫 &lt;br /&gt;
| 著名领域 =  自组织临界性 &amp;lt;br /&amp;gt;'''Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile'''&lt;br /&gt;
| prizes = &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 ，中国物理学家。 北京大学 讲席教授、 北京大学前沿交叉学科研究院 执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍 江西  弋阳 ，出生于 南昌 。1977年考入 中国科学技术大学 ，此前在 南昌洪都中学 就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过 中美联合培养物理类研究生计划 赴美国 芝加哥大学 留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在 布鲁克黑文国家实验室 和 凱維里理論物理研究所 从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选 美国物理学会 会士（Fellow）。2005年加盟 加州大学旧金山分校 ，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国 国家自然科学基金委员会 “国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为 长江学者讲座教授 。2011年入选 海外高层次人才引进计划 （千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出 自组织临界性 的概念及理论，在非平衡统计物理与 复杂系统 方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review Letters &lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal =  Physical Review A &lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal =  Science &lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''',  汤超|Tang, C.  and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal =  美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences &lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''',  Luhua Lai|Lai, L. ,  Qi Ouyang|Ouyang, Q.  and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal =  Molecular Systems Biology &lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author =  Wenzhe Ma|Ma, W. ,  Ala Trusina|Trusina, A. ,  Hana El-Samad|El-Samad, H.  '''Lim, W ''' and  汤超|Tang, C. &lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell &lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1016/j.cell.2009.06.013&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 邓宏魁 合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal =  Cell  &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与 张奇伟 创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由 [[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝 编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]] &lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]] &lt;br /&gt;
[[Category:北京大學教授]] &lt;br /&gt;
[[Category:长江学者讲座教授]] &lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]] &lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26073</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26073"/>
		<updated>2021-08-21T03:35:14Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 定义 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的介数中心性Betweenness centrality与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt;mat &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math&amp;gt; 是度为 &amp;lt;math&amp;gt; k &amp;lt;/math&amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt;mat &amp;gt; delta &amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;mat &amp;gt; eta &amp;lt;/math&amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt;mat &amp;gt; eta &amp;lt;/math&amp;gt; ，它描述了介数中心性Betweenness centrality如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的介数中心性Betweenness centrality最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt;mat &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math&amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math&amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt;mat &amp;gt; delta &amp;lt;/math&amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt;mat &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math&amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的介数中心性Betweenness centrality的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。渗流中心性Percolation centrality (PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流中心性Percolation centrality 定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt;math&amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math&amp;gt; 是从节点 &amp;lt;math&amp;gt; s &amp;lt;/math&amp;gt; 到节点 &amp;lt;math&amp;gt; r &amp;lt;/math&amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt;math&amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math&amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt;math&amp;gt; v &amp;lt;/math&amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt;math&amp;gt; t &amp;lt;/math&amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math&amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math&amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math&amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的'''介数和紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和紧密中心性Closeness centralities时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
介数中心性Betweenness centrality 与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2328 网络科学导论|网络科学集智课堂第二期]&lt;br /&gt;
本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26072</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26072"/>
		<updated>2021-08-21T03:34:55Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 模型网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt;mat &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math&amp;gt; 是度为 &amp;lt;math&amp;gt; k &amp;lt;/math&amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt;mat &amp;gt; delta &amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;mat &amp;gt; eta &amp;lt;/math&amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt;mat &amp;gt; eta &amp;lt;/math&amp;gt; ，它描述了介数中心性Betweenness centrality如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的介数中心性Betweenness centrality最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt;mat &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math&amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math&amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt;mat &amp;gt; delta &amp;lt;/math&amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt;mat &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math&amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的介数中心性Betweenness centrality的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。渗流中心性Percolation centrality (PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流中心性Percolation centrality 定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt;math&amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math&amp;gt; 是从节点 &amp;lt;math&amp;gt; s &amp;lt;/math&amp;gt; 到节点 &amp;lt;math&amp;gt; r &amp;lt;/math&amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt;math&amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math&amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt;math&amp;gt; v &amp;lt;/math&amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt;math&amp;gt; t &amp;lt;/math&amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math&amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math&amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math&amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的'''介数和紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和紧密中心性Closeness centralities时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
介数中心性Betweenness centrality 与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2328 网络科学导论|网络科学集智课堂第二期]&lt;br /&gt;
本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26071</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26071"/>
		<updated>2021-08-21T03:33:05Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 算法 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的介数中心性Betweenness centrality的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。渗流中心性Percolation centrality (PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流中心性Percolation centrality 定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt;math&amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math&amp;gt; 是从节点 &amp;lt;math&amp;gt; s &amp;lt;/math&amp;gt; 到节点 &amp;lt;math&amp;gt; r &amp;lt;/math&amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt;math&amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math&amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt;math&amp;gt; v &amp;lt;/math&amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt;math&amp;gt; t &amp;lt;/math&amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math&amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math&amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math&amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的'''介数和紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和紧密中心性Closeness centralities时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
介数中心性Betweenness centrality 与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26070</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26070"/>
		<updated>2021-08-21T03:32:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 相关概念 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的介数中心性Betweenness centrality的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。渗流中心性Percolation centrality (PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流中心性Percolation centrality 定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt;math&amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math&amp;gt; 是从节点 &amp;lt;math&amp;gt; s &amp;lt;/math&amp;gt; 到节点 &amp;lt;math&amp;gt; r &amp;lt;/math&amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt;math&amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math&amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt;math&amp;gt; v &amp;lt;/math&amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt;math&amp;gt; t &amp;lt;/math&amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math&amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math&amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math&amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
介数中心性Betweenness centrality 与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26069</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26069"/>
		<updated>2021-08-21T03:31:58Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 渗流中心性 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的介数中心性Betweenness centrality的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。渗流中心性Percolation centrality (PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流中心性Percolation centrality 定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt;math&amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math&amp;gt; 是从节点 &amp;lt;math&amp;gt; s &amp;lt;/math&amp;gt; 到节点 &amp;lt;math&amp;gt; r &amp;lt;/math&amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt;math&amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math&amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt;math&amp;gt; v &amp;lt;/math&amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt;math&amp;gt; t &amp;lt;/math&amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math&amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math&amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math&amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26068</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26068"/>
		<updated>2021-08-21T03:31:14Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 渗流中心性 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt;math&amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math&amp;gt; 是从节点 &amp;lt;math&amp;gt; s &amp;lt;/math&amp;gt; 到节点 &amp;lt;math&amp;gt; r &amp;lt;/math&amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt;math&amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math&amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt;math&amp;gt; v &amp;lt;/math&amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt;math&amp;gt; t &amp;lt;/math&amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math&amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math&amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math&amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26067</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26067"/>
		<updated>2021-08-21T03:30:40Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 渗流中心性 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt;math&amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math&amp;gt; 是从节点 &amp;lt;math&amp;gt; s &amp;lt;/math&amp;gt; 到节点 &amp;lt;math&amp;gt; r &amp;lt;/math&amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt;math&amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math&amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt;math&amp;gt; v &amp;lt;/math&amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt;mat &amp;gt; t &amp;lt;/math&amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math&amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math&amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math&amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt;math&amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math&amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26066</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26066"/>
		<updated>2021-08-21T03:30:21Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 渗流中心性 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt;math&amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math&amp;gt; 是从节点 &amp;lt;math&amp;gt; s &amp;lt;/math&amp;gt; 到节点 &amp;lt;math&amp;gt; r &amp;lt;/math&amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt;math&amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math&amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt;math&amp;gt; v &amp;lt;/math&amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt;mat &amp;gt; t &amp;lt;/math&amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math&amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt;math&amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math&amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26065</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26065"/>
		<updated>2021-08-21T03:29:27Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 渗流中心性 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''渗流中心性 Percolation centrality'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26064</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26064"/>
		<updated>2021-08-21T03:29:13Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 加权网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的[[幂律分布Power law distribution]]，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26063</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26063"/>
		<updated>2021-08-21T03:28:47Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 加权网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt;math&amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26062</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26062"/>
		<updated>2021-08-21T03:28:21Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 加权网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt;a{ij}&amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt;w{ij}&amp;lt;/math&amp;gt; 分别作为 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;&amp;lt;j&amp;lt;/math&amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26061</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26061"/>
		<updated>2021-08-21T03:26:04Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2328 网络科学导论|网络科学集智课堂第二期]&lt;br /&gt;
本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26060</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26060"/>
		<updated>2021-08-21T03:25:45Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了 介数中心性Betweenness centrality的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 介数中心性Betweenness centrality在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高 介数中心性Betweenness centrality的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2328 网络科学导论|网络科学集智课堂第二期]&lt;br /&gt;
本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26059</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26059"/>
		<updated>2021-08-21T03:03:04Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2328 网络科学导论|网络科学集智课堂第二期]&lt;br /&gt;
本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26058</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26058"/>
		<updated>2021-08-21T03:00:53Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.png|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2328 网络科学导论|网络科学集智课堂第二期]&lt;br /&gt;
本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
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		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
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		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26056"/>
		<updated>2021-08-21T02:50:27Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|基于每个顶点从最小(红色)到最大(蓝色)的中间值的无向图。]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2328 网络科学导论|网络科学集智课堂第二期]&lt;br /&gt;
本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26055</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26055"/>
		<updated>2021-08-21T02:49:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 算法 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要'''big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;'''的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为'''Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/2328 网络科学导论|网络科学集智课堂第二期]&lt;br /&gt;
本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26054</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26054"/>
		<updated>2021-08-21T02:48:27Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
|description=网络理论，图的不变量&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===集智课程推荐===&lt;br /&gt;
*[https://campus.swarma.org/course/1167 图网络算法原理探究——图网络读书会]&lt;br /&gt;
本系列课程为图网络论文解读活动“算法原理探究”篇。&lt;br /&gt;
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本期课程将围绕网络动力学这一前沿的方向，帮助大家构建网络科学学习体系。&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:流心不竞|流心不竞]]翻译，[[用户:Zcy|Zcy]]审校，[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
[[Category:网络理论]]&lt;br /&gt;
[[Category:图的不变量]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26052</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26052"/>
		<updated>2021-08-21T02:42:21Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 算法 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26051</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26051"/>
		<updated>2021-08-21T02:41:31Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 模型网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有''' 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26050</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26050"/>
		<updated>2021-08-21T02:40:31Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 真实网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26049</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26049"/>
		<updated>2021-08-21T02:40:14Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 模型网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26048</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26048"/>
		<updated>2021-08-21T02:39:57Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，''' 介数中心性Betweenness centrality'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了''' 介数中心性Betweenness centrality'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高''' 介数中心性Betweenness centrality'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的''' 介数中心性Betweenness centrality'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了''' 介数中心性Betweenness centrality'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的''' 介数中心性Betweenness centrality'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的''' 无标度网络Scale free networks'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于''' 无标度网络Scale free networks'''中度的''' 幂律分布Power law distribution'''，节点的强度也服从''' 幂律分布Power law distribution'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''是加权的''' 介数中心性Betweenness centrality'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。''' Percolation centrality渗流中心性'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' Percolation centrality渗流中心性'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算''' Percolation centrality渗滤中心性'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算''' 介数中心性Betweenness centrality'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和''' 紧密中心性Closeness centralities'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''' 介数中心性Betweenness centrality'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26047</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26047"/>
		<updated>2021-08-21T02:38:51Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 算法 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering&amp;lt;/font&amp;gt;'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''中度的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''，节点的强度也服从'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''是加权的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗滤中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26046</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26046"/>
		<updated>2021-08-21T02:38:34Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* Notes 备注 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering&amp;lt;/font&amp;gt;'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''中度的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''，节点的强度也服从'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''是加权的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗滤中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。&amp;lt;ref name=group&amp;gt;Puzis, R., Yagil, D., Elovici, Y., Braha, D. (2009)[http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf Collaborative attack on Internet users’ anonymity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131207133417/http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf |date=2013-12-07 }}, ''Internet Research'' '''19'''(1)&amp;lt;/ref&amp;gt;群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26045</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26045"/>
		<updated>2021-08-21T02:38:20Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 参考文献 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering&amp;lt;/font&amp;gt;'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''中度的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''，节点的强度也服从'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''是加权的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗滤中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。&amp;lt;ref name=group&amp;gt;Puzis, R., Yagil, D., Elovici, Y., Braha, D. (2009)[http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf Collaborative attack on Internet users’ anonymity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131207133417/http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf |date=2013-12-07 }}, ''Internet Research'' '''19'''(1)&amp;lt;/ref&amp;gt;群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Notes 备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26044</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26044"/>
		<updated>2021-08-21T02:36:34Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 真实网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering&amp;lt;/font&amp;gt;'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''中度的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''，节点的强度也服从'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''是加权的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗滤中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。&amp;lt;ref name=group&amp;gt;Puzis, R., Yagil, D., Elovici, Y., Braha, D. (2009)[http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf Collaborative attack on Internet users’ anonymity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131207133417/http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf |date=2013-12-07 }}, ''Internet Research'' '''19'''(1)&amp;lt;/ref&amp;gt;群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Notes 备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26043</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26043"/>
		<updated>2021-08-21T02:36:22Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 模型网络 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering&amp;lt;/font&amp;gt;'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''中度的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''，节点的强度也服从'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''是加权的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗滤中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。&amp;lt;ref name=group&amp;gt;Puzis, R., Yagil, D., Elovici, Y., Braha, D. (2009)[http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf Collaborative attack on Internet users’ anonymity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131207133417/http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf |date=2013-12-07 }}, ''Internet Research'' '''19'''(1)&amp;lt;/ref&amp;gt;群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Notes 备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26042</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26042"/>
		<updated>2021-08-21T02:35:53Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 定义 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!-- File seems to have never existed&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|Plot showing the power law distribution of load in a scale free network for various values of &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;.Circles: &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;, Squares:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;, Diamonds:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;, X's:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;, Triangles:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
--&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!--&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering&amp;lt;/font&amp;gt;'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''中度的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''，节点的强度也服从'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''是加权的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗滤中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。&amp;lt;ref name=group&amp;gt;Puzis, R., Yagil, D., Elovici, Y., Braha, D. (2009)[http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf Collaborative attack on Internet users’ anonymity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131207133417/http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf |date=2013-12-07 }}, ''Internet Research'' '''19'''(1)&amp;lt;/ref&amp;gt;群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Notes 备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26041</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26041"/>
		<updated>2021-08-21T02:35:35Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 定义 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!--&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!-- File seems to have never existed&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|Plot showing the power law distribution of load in a scale free network for various values of &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;.Circles: &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;, Squares:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;, Diamonds:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;, X's:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;, Triangles:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
--&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!--&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering&amp;lt;/font&amp;gt;'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''中度的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''，节点的强度也服从'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''是加权的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗滤中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。&amp;lt;ref name=group&amp;gt;Puzis, R., Yagil, D., Elovici, Y., Braha, D. (2009)[http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf Collaborative attack on Internet users’ anonymity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131207133417/http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf |date=2013-12-07 }}, ''Internet Research'' '''19'''(1)&amp;lt;/ref&amp;gt;群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Notes 备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26040</id>
		<title>介数中心性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E4%BB%8B%E6%95%B0%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%80%A7&amp;diff=26040"/>
		<updated>2021-08-21T02:35:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。已由Zcy初次审校&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Graph betweenness.svg|thumb|upright=1.3|An [[undirected graph]] colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
An [[undirected graph colored based on the betweenness centrality of each vertex from least (red) to greatest (blue).]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据每个顶点的介数中心性从最小(红色)到最大(蓝色)着色的无向图。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在图论中，'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''是基于最短路径的图中心性的一种度量。对于连通图中的每一对节点，在节点之间至少存在一条最短路径，使得路径通过的边数(对于未加权图)或者边权重的和(对于加权图)最小。节点的中心性是经过该节点的最短路径的数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的提出为中心性的衡量提供了一般的标准: 它适用于网络理论中广泛的问题，包括与社会网络、生物学、交通和科学合作有关的问题。尽管早期的学者直观地将中心性描述为基于介数，但是给出了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的第一个正式定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''在网络理论中有着广泛的应用，它代表了节点之间相互独立的程度。例如，在远程通信网络中，具有较高'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的节点将对网络有更多的控制，因为有更多的信息会通过该节点。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 定义 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''通过以下表达式给出:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(v)= \sum_{s \neq v \neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st } &amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt;的最短路径总数， &amp;lt; math &amp;gt; sigma { st }(v) &amp;lt;/math &amp;gt;是其中通过节点&amp;lt;math&amp;gt;v&amp;lt;/math&amp;gt;的路径数量。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意，如公式中求和指标所示，一个节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与节点对的数量成比例缩放。因此，计算可以通过除以不包括 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点对数来重新标定，使得&amp;lt;math&amp;gt;g \in [0,1]&amp;lt;/math&amp;gt;。有向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2) &amp;lt;/math &amp;gt; 来实现的，而无向图是通过除以 &amp;lt; math &amp;gt; (N-1)(N-2)/2 &amp;lt;/math &amp;gt;来实现的，其中 &amp;lt; math &amp;gt; n &amp;lt;/math &amp;gt; 是巨组元中的节点数。请注意，当每一条最短路径都通过一个节点时，这个节点达到可以缩放的最大可能值。事实往往并非如此，可以在不损失精度的情况下执行标准化&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\mbox{normal}(g(v)) = \frac{g(v) - \min(g)}{\max(g) - \min(g)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果是:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\max(normal) = 1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\min(normal) = 0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
请注意，这种方法将始终是从较小范围到较大范围的缩放，因此不会丢失精度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!--&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 真实网络和模型网络中的负荷分配==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 模型网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
--&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
--&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
--&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!-- File seems to have never existed&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|Plot showing the power law distribution of load in a scale free network for various values of &amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;.Circles: &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;, Squares:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;, Diamonds:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;, X's:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;, Triangles:&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[File:Load Dist.png|thumb|400px|&amp;lt;math&amp;gt;\gamma&amp;lt;/math&amp;gt;为不同值时，无标度网络中负荷的幂律分布曲线.圆圈： &amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.2&amp;lt;/math&amp;gt;，正方形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=2.5&amp;lt;/math&amp;gt;，钻石：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=3.0&amp;lt;/math&amp;gt;，X：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma=4.0&amp;lt;/math&amp;gt;，三角形：&amp;lt;math&amp;gt;\gamma= \infin &amp;lt;/math&amp;gt; &amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh&amp;quot;&amp;gt;K.-I. Goh, B. Kahng, and D. Kim PhysRevLett.87.278701&amp;lt;/ref&amp;gt;]]&lt;br /&gt;
--&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;!--&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
结果表明，[[无标度网络]]的负荷分布遵循由负载指数&amp;lt;math&amp;gt;\delta&amp;lt;/math&amp;gt;所给出的[[幂律]]，{{Sfnp|Goh|Kahng|Kim|2001}}&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g) \approx g^{-\delta}&amp;lt;/math&amp;gt;      (1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这意味着缩放与节点度相关,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;g(k) \approx k^\eta&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 &amp;lt; math &amp;gt; g (k) &amp;lt;/math &amp;gt; 是度为 &amp;lt; math &amp;gt; k &amp;lt;/math &amp;gt; 的节点的平均负载。指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 不是独立的，因为方程(1)指出&amp;lt;ref name=&amp;quot;Bart&amp;quot;&amp;gt;M. Barthélemy. Betweenness centrality in large complex networks. Eur. Phys. J. B 38, 163–168 (2004)&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g)= \int P(k) \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于大 g，也就是大 k，表达式变成&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;P(g\gg1)= \int k^{-\gamma} \delta (g-k^\eta) dk&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\sim g^{-1-\frac{\gamma -1}{\eta}} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证明了如下等式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta=\frac{\gamma -1}{\delta -1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
重要的指数是 &amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; ，它描述了'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''如何依赖于连通性。当所有的最短路径都经过一个节点时，这种情况使节点的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''最大化，这对应于一个树结构(一个没有分簇的网络)。在树形网络的情况下，达到了 &amp;lt; math &amp;gt; eta = 2 &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta = 2 \rarr \delta = \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt; math &amp;gt; eta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最大值(也是 &amp;lt; math &amp;gt; delta &amp;lt;/math &amp;gt; 的最小值)为具有'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#32CD32&amp;quot;&amp;gt; 非零分簇Non-vanishing clustering&amp;lt;/font&amp;gt;'''的网络的负载指数设置了界限。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;\eta \le 2 \rarr \delta \ge \frac{\gamma +1}{2} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这种情况下，指数 &amp;lt; math &amp;gt; delta，eta &amp;lt;/math &amp;gt; 并不是通用的，取决于不同的细节（平均连接性、相关性等）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===真实网络===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现实世界中的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''，如互联网，也遵循幂律负载分布。&amp;lt;ref name=&amp;quot;Goh2&amp;quot;&amp;gt;Kwang-Il Goh, Eulsik Oh, Hawoong Jeong, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Classification of scale-free networks. PNAS (2002) vol. 99 no. 2&amp;lt;/ref&amp;gt; 这是一个直观的结果。无标度网络通过创建一些比大多数网络具有更高连通性的枢纽节点，从而在网络中实现较短的路径长度。由于这种额外的连接，这些枢纽节点自然会承担更高的负载。&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
---&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==加权网络==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在加权网络中，连接节点的链路不再被视为二元的相互作用，而是根据其容量、影响力、频率等按比例加权，这在拓扑效应之外增加了网络内另一个异质性的维度。一个加权网络中的节点的强度是由其相邻边的权重之和来表示的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s_{i} = \sum_{j=1}^{N} a_{ij}w_{ij}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
用 &amp;lt; math &amp;gt; a { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; w { ij } &amp;lt;/math &amp;gt; 分别作为 &amp;lt; math &amp;gt; i &amp;lt;/math &amp;gt; 和 &amp;lt; math &amp;gt; &amp;lt; j &amp;lt;/math &amp;gt; 节点之间的邻接矩阵和权值矩阵。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
类似于'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 无标度网络Scale free networks&amp;lt;/font&amp;gt;'''中度的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''，节点的强度也服从'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 幂律分布Power law distribution&amp;lt;/font&amp;gt;'''。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(k) \approx k^\beta &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对具有介数&amp;lt;math&amp;gt;b&amp;lt;/math&amp;gt;的节点强度的平均值&amp;lt;math&amp;gt;s(b)&amp;lt;/math&amp;gt;的研究表明，功能行为可以用缩放形式来近似&amp;lt;ref name=&amp;quot;Barrat&amp;quot;&amp;gt;A. Barrat, M. Barthelemy, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. The architecture of complex weighted networks. PNAS (2004) vol. 101 no. 11&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;s(b)\approx b^{\alpha} &amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=='''渗流中心性'''==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''是加权的'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''的一种形式，但它在计算该权重时考虑了每条最短路径的源节点和目标节点的“状态”。在许多情况下，复杂网络中都会出现“传染”的渗流现象。例如，病毒或细菌感染可以通过人们的社交网络传播，也就是所谓的接触网络。还可以在更高的抽象层次上考虑疾病的传播问题，设想通过公路、铁路或空中连接起来的城镇或人口中心网络。计算机病毒可以通过计算机网络传播。关于商业活动和交易的谣言或新闻也可以通过人们的社交网络传播。在所有这些情况下，一种“传染病”在一个复杂网络的链接上传播，随着它的传播，无论是可恢复的还是不可恢复的，都会改变节点的“状态”。例如，在流行病学情况下，随着传染病的扩散，个体从“易感”状态转变为“感染”状态。在上面的例子中，随着传染病的传播，每个节点的状态可以是二元的（如接收/没有接收到一条信息）、离散的（易感/受感染/康复），甚至是连续的（如一个城镇中受感染的人群比例）。这些情景的共同特点是，传染病的传播导致网络中节点状态的改变。'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''(PC)就是基于这个思想而提出的，它衡量了节点在帮助网络渗流方面的重要性。这个测度是由 Piraveenan 等人提出的。&amp;lt;ref name=&amp;quot;piraveenan2013&amp;quot;&amp;gt;{{cite journal |last1 = Piraveenan |first1 = Mahendra | year=2013| title = Percolation Centrality: Quantifying Graph-Theoretic Impact of Nodes during Percolation in Networks | journal = PLOS ONE | volume=8 | issue=1 | doi=10.1371/journal.pone.0053095 | pages=e53095 | pmid=23349699 | pmc=3551907| bibcode=2013PLoSO...853095P }}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗流中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''定义了在给定时间内，通过一个给定节点的渗流路径的比例。“渗流路径”是一对节点之间的最短路径，其中源节点被渗流的（例如，被感染）。目标节点可以是渗流的或非渗流的，或处于部分渗流状态。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
:&amp;lt;math&amp;gt;PC^t(v)= \frac{1}{N-2}\sum_{s \neq v \neq r}\frac{\sigma_{sr}(v)}{\sigma_{sr}}\frac{{x^t}_s}{{\sum {[{x^t}_i}]}-{x^t}_v}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中， &amp;lt; math &amp;gt;\sigma_{sr}&amp;lt;/math &amp;gt; 是从节点 &amp;lt; math &amp;gt; s &amp;lt;/math &amp;gt; 到节点 &amp;lt; math &amp;gt; r &amp;lt;/math &amp;gt; 的最短路径的数量总数， &amp;lt; math &amp;gt; \sigma_{sr}(v) &amp;lt;/math &amp;gt; 是其中通过节点 &amp;lt; math &amp;gt; v &amp;lt;/math &amp;gt; 的路径总数。在时间 &amp;lt; math &amp;gt; t &amp;lt;/math &amp;gt; 时，节点的渗流状态用 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i &amp;lt;/math &amp;gt; 表示，两个特殊情况是当 &amp;lt; math &amp;gt; {x^t}_i=0&amp;lt;/math &amp;gt;， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是非渗流状态，而当 &amp;lt;math&amp;gt;{x^t}_i=1&amp;lt;/math&amp;gt;时， 表示在时间&amp;lt;math&amp;gt;t&amp;lt;/math&amp;gt;时是完全渗流状态。两者之间的值表示部分渗流状态（例如，在一个城镇网络中，这是该城镇感染者的百分比）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
渗流路径的权重取决于分配给源节点的渗流水平，前提是源节点的渗流水平越高，源节点的路径就越重要。因此，位于源自高渗流节点的最短路径上的节点可能对渗流更为重要。PC 的定义也可以扩展到包括目标节点的权值。当采用Brandes的快速算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; Percolation centrality渗滤中心性&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(NM) &amp;lt;/math &amp;gt;，如果计算需要考虑目标节点的权值，最高的计算时间复杂度为 &amp;lt; math &amp;gt; O(N^3) &amp;lt;/math &amp;gt; 。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 算法==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
计算一个图中所有顶点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''涉及到计算图中所有节点对之间的最短路径，使用 Floyd-Warshall 算法时，这需要[[big theta|&amp;lt;math&amp;gt;\Theta(|V|^3)&amp;lt;/math&amp;gt;]]的时间复杂度，改进后的算法不仅可以找到一条路径，还可以计算两个节点之间的所有最短路径。在稀疏图上，Johnson算法或Brandes算法可能更有效率，两者的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V|^2 \log |V| + |V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。在未加权图上，使用 Brandes 算法计算'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''需要的时间复杂度为[[Big O notation|&amp;lt;math&amp;gt;O(|V| |E|)&amp;lt;/math&amp;gt;]]。{{Sfnp|Brandes|2001|p=1}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在计算一个图的所有节点的介数和'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 紧密中心性Closeness centralities&amp;lt;/font&amp;gt;'''时，假定图是无向的，并且图在允许自环和多边时是连通的。当专门处理网络图时，图通常没有自环或多边来维持简单的关系（其中的边表示两个人或节点之间的联系）。在这种情况下，使用 Brandes 算法将最终的中心性除以2，因为每条最短路径被计算两次。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
另一个算法通过引入一个超参数来控制勘探和开发之间的平衡，将计算测地线的弗里曼（Freeman）介数和所有路径上计算纽曼（Newman）介数的结果进行了推广。时间复杂度是图中的边数乘以节点数。{{Sfnp|Mantrach|2010}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
中心性的概念也扩展到了群体层次。&amp;lt;ref name=group&amp;gt;Puzis, R., Yagil, D., Elovici, Y., Braha, D. (2009)[http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf Collaborative attack on Internet users’ anonymity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131207133417/http://necsi.edu/affiliates/braha/Internet_Research_Anonimity.pdf |date=2013-12-07 }}, ''Internet Research'' '''19'''(1)&amp;lt;/ref&amp;gt;群体介数中心性反映了通过一组节点连接非组成员节点对的测地线所占的比例。修改了计算所有节点之间的介数中心性的Brandes算法，以计算具有相同渐近运行时间的一组节点之间的群体介数中心性。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 相关概念 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;font color=&amp;quot;#ff8000&amp;quot;&amp;gt; 介数中心性Betweenness centrality&amp;lt;/font&amp;gt;'''与网络的连通性有关，如果高介数顶点被移除，就有可能断开图的连接（参见割集）。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 另请参阅==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* [[Centrality]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[[中心性]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Notes 备注==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refbegin|40em}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal | last1=Brandes | first1=Ulrik | year=2001 | journal=Journal of Mathematical Sociology | volume=25 | issue=2 | pages=163&amp;amp;ndash;177 | title=A faster algorithm for betweenness centrality | url=https://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | ref=harv | doi=10.1080/0022250x.2001.9990249 | citeseerx=10.1.1.11.2024 | access-date=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171013152036/http://algo.uni-konstanz.de/publications/b-fabc-01.pdf | archive-date=2017-10-13 | url-status=dead }}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1 = Linton&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|authorlink = Linton Freeman&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| year=1977&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| title = A set of measures of centrality based on betweenness&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| journal = Sociometry&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| volume=40&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue = 1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
| pages=35–41&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.2307/3033543|ref=harv|jstor = 3033543&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Universal Behavior of Load Distribution in Scale-Free Networks&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Goh&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1=K. I.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last2=Kahng&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first2=B.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last3=Kim &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first3=D.|journal=Physical Review Letters&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|volume=87&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|issue=27&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|pages=278701&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|date=2001&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|doi=10.1103/physrevlett.87.278701|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|bibcode=2001PhRvL..87A8701G&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|arxiv=cond-mat/0106565&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal |last1=Mantrach |first1=Amin | title = The sum-over-paths covariance kernel: A novel covariance measure between nodes of a directed graph|journal= IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=32|issue=6|pages=1112–1126|year=2010 |display-authors=etal|ref=harv |doi=10.1109/tpami.2009.78}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Moxley|first1=Robert L.|last2=Moxley|first2=Nancy F.|title=Determining Point-Centrality in Uncontrived Social Networks|journal=Sociometry|date=1974|volume=37|issue=1|pages=122&amp;amp;ndash;130|doi=10.2307/2786472|ref=harv|jstor=2786472}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite book&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|last1=Newman &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|first1= M. E. J.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|year=2010&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|title=Networks: An Introduction&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|place=Oxford, UK&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|publisher=Oxford University Press&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|isbn=978-0199206650&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
|ref=harv&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*{{cite journal|last1=Dolev|first1=Shlomi|last2=Elovici|first2=Yuval|last3=Puzis|first3=Rami|title=Routing betweenness centrality|journal=J. ACM|date=2010|volume=57|issue=4|pages=25:1&amp;amp;ndash;25:27|doi=10.1145/1734213.1734219}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{Refend}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Network theory]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:Graph invariants]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;small&amp;gt;This page was moved from [[wikipedia:en:Betweenness centrality]]. Its edit history can be viewed at [[介数中心性/edithistory]]&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Category:待整理页面]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26039</id>
		<title>汤超</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26039"/>
		<updated>2021-08-21T02:26:44Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{#seo:&lt;br /&gt;
|keywords=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
|description=汤姓|Chao,南昌人,弋阳人,中国科学技术大学校友,芝加哥大学校友,加州大学旧金山分校教授,北京大學教授,长江学者讲座教授,中国物理学家,中国科学院数学物理学部院士&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
{{Infobox scientist&lt;br /&gt;
| name = 汤超&lt;br /&gt;
| image =&lt;br /&gt;
| caption =&lt;br /&gt;
| birth_date = &lt;br /&gt;
| birth_place = [[南昌]]&lt;br /&gt;
| residence = &lt;br /&gt;
| nationality = &lt;br /&gt;
| death_date =&lt;br /&gt;
| death_place =&lt;br /&gt;
| field = [[物理学]], [[生物学]]&lt;br /&gt;
| erdos_number =&lt;br /&gt;
| work_institution = [[北京大学]]&lt;br /&gt;
| alma_mater = [[中国科技大学]] &amp;lt;br /&amp;gt; [[芝加哥大学]]&lt;br /&gt;
| doctoral_advisor = [[利奥·卡达诺夫]]&lt;br /&gt;
| known_for = [[自组织临界性]]&amp;lt;br /&amp;gt;'''Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile'''&lt;br /&gt;
| prizes = &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]，中国物理学家。[[北京大学]]讲席教授、[[北京大学前沿交叉学科研究院]]执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]。1977年考入[[中国科学技术大学]]，此前在[[南昌洪都中学]]就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过[[中美联合培养物理类研究生计划]]赴美国[[芝加哥大学]]留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在[[布鲁克黑文国家实验室]]和[[凱維里理論物理研究所]]从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选[[美国物理学会]]会士（Fellow）。2005年加盟[[加州大学旧金山分校]]，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国[[国家自然科学基金委员会]]“国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为[[长江学者讲座教授]]。2011年入选[[海外高层次人才引进计划]]（千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出[[自组织临界性]]的概念及理论，在非平衡统计物理与[[复杂系统]]方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review Letters]]&lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review A]]&lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal = [[Science]]&lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal = [[美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences]]&lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''', [[Luhua Lai|Lai, L.]], [[Qi Ouyang|Ouyang, Q.]] and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal = [[Molecular Systems Biology]]&lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = [[Wenzhe Ma|Ma, W.]], [[Ala Trusina|Trusina, A.]], [[Hana El-Samad|El-Samad, H.]] '''Lim, W ''' and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]]&lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1016/j.cell.2009.06.013&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[邓宏魁]]合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]] &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[张奇伟]]创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]]&lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]]&lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]]&lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]]&lt;br /&gt;
[[Category:北京大學教授]]&lt;br /&gt;
[[Category:长江学者讲座教授]]&lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]]&lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26038</id>
		<title>汤超</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26038"/>
		<updated>2021-08-21T02:25:15Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Infobox scientist&lt;br /&gt;
| name = 汤超&lt;br /&gt;
| image =&lt;br /&gt;
| caption =&lt;br /&gt;
| birth_date = &lt;br /&gt;
| birth_place = [[南昌]]&lt;br /&gt;
| residence = &lt;br /&gt;
| nationality = &lt;br /&gt;
| death_date =&lt;br /&gt;
| death_place =&lt;br /&gt;
| field = [[物理学]], [[生物学]]&lt;br /&gt;
| erdos_number =&lt;br /&gt;
| work_institution = [[北京大学]]&lt;br /&gt;
| alma_mater = [[中国科技大学]] &amp;lt;br /&amp;gt; [[芝加哥大学]]&lt;br /&gt;
| doctoral_advisor = [[利奥·卡达诺夫]]&lt;br /&gt;
| known_for = [[自组织临界性]]&amp;lt;br /&amp;gt;'''Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile'''&lt;br /&gt;
| prizes = &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]，中国物理学家。[[北京大学]]讲席教授、[[北京大学前沿交叉学科研究院]]执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]。1977年考入[[中国科学技术大学]]，此前在[[南昌洪都中学]]就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过[[中美联合培养物理类研究生计划]]赴美国[[芝加哥大学]]留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在[[布鲁克黑文国家实验室]]和[[凱維里理論物理研究所]]从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选[[美国物理学会]]会士（Fellow）。2005年加盟[[加州大学旧金山分校]]，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国[[国家自然科学基金委员会]]“国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为[[长江学者讲座教授]]。2011年入选[[海外高层次人才引进计划]]（千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出[[自组织临界性]]的概念及理论，在非平衡统计物理与[[复杂系统]]方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review Letters]]&lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review A]]&lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal = [[Science]]&lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal = [[美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences]]&lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''', [[Luhua Lai|Lai, L.]], [[Qi Ouyang|Ouyang, Q.]] and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal = [[Molecular Systems Biology]]&lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = [[Wenzhe Ma|Ma, W.]], [[Ala Trusina|Trusina, A.]], [[Hana El-Samad|El-Samad, H.]] '''Lim, W ''' and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]]&lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1016/j.cell.2009.06.013&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[邓宏魁]]合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]] &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[张奇伟]]创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]]&lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]]&lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]]&lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]]&lt;br /&gt;
[[Category:北京大學教授]]&lt;br /&gt;
[[Category:长江学者讲座教授]]&lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]]&lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
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	<entry>
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		<title>汤超</title>
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		<updated>2021-08-21T02:24:27Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 外部链接 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Infobox scientist&lt;br /&gt;
| name = 汤超&lt;br /&gt;
| image =&lt;br /&gt;
| caption =&lt;br /&gt;
| birth_date = &lt;br /&gt;
| birth_place = [[南昌]]&lt;br /&gt;
| residence = &lt;br /&gt;
| nationality = &lt;br /&gt;
| death_date =&lt;br /&gt;
| death_place =&lt;br /&gt;
| field = [[物理学]], [[生物学]]&lt;br /&gt;
| erdos_number =&lt;br /&gt;
| work_institution = [[北京大学]]&lt;br /&gt;
| alma_mater = [[中国科技大学]] &amp;lt;br /&amp;gt; [[芝加哥大学]]&lt;br /&gt;
| doctoral_advisor = [[利奥·卡达诺夫]]&lt;br /&gt;
| known_for = [[自组织临界性]]&amp;lt;br /&amp;gt;{{tsl|en|Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile|}}&lt;br /&gt;
| prizes = &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]，中国物理学家。[[北京大学]]讲席教授、[[北京大学前沿交叉学科研究院]]执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]。1977年考入[[中国科学技术大学]]，此前在[[南昌洪都中学]]就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过[[中美联合培养物理类研究生计划]]赴美国[[芝加哥大学]]留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在[[布鲁克黑文国家实验室]]和[[凱維里理論物理研究所]]从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选[[美国物理学会]]会士（Fellow）。2005年加盟[[加州大学旧金山分校]]，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国[[国家自然科学基金委员会]]“国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为[[长江学者讲座教授]]。2011年入选[[海外高层次人才引进计划]]（千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出[[自组织临界性]]的概念及理论，在非平衡统计物理与[[复杂系统]]方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review Letters]]&lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review A]]&lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal = [[Science]]&lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal = [[美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences]]&lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''', [[Luhua Lai|Lai, L.]], [[Qi Ouyang|Ouyang, Q.]] and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal = [[Molecular Systems Biology]]&lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
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 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = [[Wenzhe Ma|Ma, W.]], [[Ala Trusina|Trusina, A.]], [[Hana El-Samad|El-Samad, H.]] '''Lim, W ''' and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]]&lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1016/j.cell.2009.06.013&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[邓宏魁]]合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]] &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[张奇伟]]创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]]&lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]]&lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]]&lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]]&lt;br /&gt;
[[Category:北京大學教授]]&lt;br /&gt;
[[Category:长江学者讲座教授]]&lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]]&lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
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		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26036</id>
		<title>汤超</title>
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		<updated>2021-08-21T02:24:11Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 知乎文章 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Infobox scientist&lt;br /&gt;
| name = 汤超&lt;br /&gt;
| image =&lt;br /&gt;
| caption =&lt;br /&gt;
| birth_date = &lt;br /&gt;
| birth_place = [[南昌]]&lt;br /&gt;
| residence = &lt;br /&gt;
| nationality = &lt;br /&gt;
| death_date =&lt;br /&gt;
| death_place =&lt;br /&gt;
| field = [[物理学]], [[生物学]]&lt;br /&gt;
| erdos_number =&lt;br /&gt;
| work_institution = [[北京大学]]&lt;br /&gt;
| alma_mater = [[中国科技大学]] &amp;lt;br /&amp;gt; [[芝加哥大学]]&lt;br /&gt;
| doctoral_advisor = [[利奥·卡达诺夫]]&lt;br /&gt;
| known_for = [[自组织临界性]]&amp;lt;br /&amp;gt;{{tsl|en|Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile|}}&lt;br /&gt;
| prizes = &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]，中国物理学家。[[北京大学]]讲席教授、[[北京大学前沿交叉学科研究院]]执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]。1977年考入[[中国科学技术大学]]，此前在[[南昌洪都中学]]就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过[[中美联合培养物理类研究生计划]]赴美国[[芝加哥大学]]留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在[[布鲁克黑文国家实验室]]和[[凱維里理論物理研究所]]从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选[[美国物理学会]]会士（Fellow）。2005年加盟[[加州大学旧金山分校]]，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国[[国家自然科学基金委员会]]“国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为[[长江学者讲座教授]]。2011年入选[[海外高层次人才引进计划]]（千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出[[自组织临界性]]的概念及理论，在非平衡统计物理与[[复杂系统]]方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review Letters]]&lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review A]]&lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal = [[Science]]&lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal = [[美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences]]&lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''', [[Luhua Lai|Lai, L.]], [[Qi Ouyang|Ouyang, Q.]] and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal = [[Molecular Systems Biology]]&lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = [[Wenzhe Ma|Ma, W.]], [[Ala Trusina|Trusina, A.]], [[Hana El-Samad|El-Samad, H.]] '''Lim, W ''' and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]]&lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
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}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[邓宏魁]]合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]] &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[张奇伟]]创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{中国科学院数学物理学部院士}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===论文一览===&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
本条目由[[用户:不是海绵宝宝|不是海绵宝宝]]编辑，如有问题，欢迎在讨论页面进行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
[[Category:汤姓|Chao]]&lt;br /&gt;
[[Category:南昌人]]&lt;br /&gt;
[[Category:弋阳人]]&lt;br /&gt;
[[Category:中国科学技术大学校友]]&lt;br /&gt;
[[Category:芝加哥大学校友]]&lt;br /&gt;
[[Category:加州大学旧金山分校教授]]&lt;br /&gt;
[[Category:北京大學教授]]&lt;br /&gt;
[[Category:长江学者讲座教授]]&lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]]&lt;br /&gt;
[[Category:中国科学院数学物理学部院士]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26035</id>
		<title>汤超</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%B1%A4%E8%B6%85&amp;diff=26035"/>
		<updated>2021-08-21T02:23:45Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;不是海绵宝宝：/* 编者推荐 */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;{{Infobox scientist&lt;br /&gt;
| name = 汤超&lt;br /&gt;
| image =&lt;br /&gt;
| caption =&lt;br /&gt;
| birth_date = &lt;br /&gt;
| birth_place = [[南昌]]&lt;br /&gt;
| residence = &lt;br /&gt;
| nationality = &lt;br /&gt;
| death_date =&lt;br /&gt;
| death_place =&lt;br /&gt;
| field = [[物理学]], [[生物学]]&lt;br /&gt;
| erdos_number =&lt;br /&gt;
| work_institution = [[北京大学]]&lt;br /&gt;
| alma_mater = [[中国科技大学]] &amp;lt;br /&amp;gt; [[芝加哥大学]]&lt;br /&gt;
| doctoral_advisor = [[利奥·卡达诺夫]]&lt;br /&gt;
| known_for = [[自组织临界性]]&amp;lt;br /&amp;gt;{{tsl|en|Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile|}}&lt;br /&gt;
| prizes = &lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''汤超'''，祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]，中国物理学家。[[北京大学]]讲席教授、[[北京大学前沿交叉学科研究院]]执行院长。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 生平 ==&lt;br /&gt;
汤超祖籍[[江西]][[弋阳]]，出生于[[南昌]]。1977年考入[[中国科学技术大学]]，此前在[[南昌洪都中学]]就读&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite news|title=我系77级校友汤超的创新性&amp;quot;跷跷板模型&amp;quot;荣登《Cell》封面文章|url=http://mech.ustc.edu.cn/tzxw/xwdt/201305/t20130529_152063.html|accessdate=2016-10-13|agency=中国科大手机报}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。1981年通过[[中美联合培养物理类研究生计划]]赴美国[[芝加哥大学]]留学，1986年获物理学博士学位。毕业后在[[布鲁克黑文国家实验室]]和[[凱維里理論物理研究所]]从事博士后研究。1991年前往NEC普林斯顿研究所工作。1997年入选[[美国物理学会]]会士（Fellow）。2005年加盟[[加州大学旧金山分校]]，任终身正教授。上世纪90年代末开始与北京大学合作，2001年帮助创立北京大学理论生物学中心（现为定量生物学中心）并任主任，2002年获中国[[国家自然科学基金委员会]]“国家杰出青年基金”（B类）。2003年被聘为[[长江学者讲座教授]]。2011年入选[[海外高层次人才引进计划]]（千人计划），全职到北京大学工作。&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－科学&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/pdf/汤超.pdf|title=汤超:定量生物学路上的自由探索者|publisher=科学中国人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=&amp;quot;汤超－神州&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://www.chisa.edu.cn/szxrzz/qikan/2012no12/201212/t20121211_442659.html|title=用物理来发现新的世界|publisher=神州学人}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 学术工作 ==&lt;br /&gt;
汤超在统计物理、凝聚态物理、非线性科学、系统生物学等领域开展了许多开创性工作。近年来着力用物理学思想及方法研究生物问题，探索生命系统中的定量规律和设计原理。发表文章百余篇，被引用二万多次&amp;lt;ref name=&amp;quot;Citation&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://scholar.google.com.cn/citations?user=OnoMAckAAAAJ&amp;amp;hl=en&amp;amp;oi=ao|title=汤超－谷歌学者引用|publisher=谷歌学者}}&amp;lt;/ref&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1987年提出[[自组织临界性]]的概念及理论，在非平衡统计物理与[[复杂系统]]方面开创了一个新领域；&amp;lt;ref name=BTW1987&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and {{|科特·維森菲爾德|Wiesenfeld, K.}}&lt;br /&gt;
 | year = 1987&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''f'' noise&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review Letters]]&lt;br /&gt;
 | volume = 59&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 381–384&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevLett.59.381&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=BTW1988&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Bak, P.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wiesenfeld, K.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1988&lt;br /&gt;
 | title = Self-organized criticality&lt;br /&gt;
 | journal = [[Physical Review A]]&lt;br /&gt;
 | volume = 38&lt;br /&gt;
 | issue = 1&lt;br /&gt;
 | pages = 364–374&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1103/PhysRevA.38.364&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt; &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 1996年将统计物理思想引入蛋白质折叠理论，提出可设计性原理；&amp;lt;ref name=Tang1996&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', '''Robert Helling|Helling, R.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1996&lt;br /&gt;
 | title = Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding&lt;br /&gt;
 | journal = [[Science]]&lt;br /&gt;
 | volume = 273&lt;br /&gt;
 | issue = 5275&lt;br /&gt;
 | pages = 666–669&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1126/science.273.5275.666&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref name=Tang1998&amp;gt;&lt;br /&gt;
{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Li, H.''', [[汤超|Tang, C.]] and '''Wingreen, N.'''&lt;br /&gt;
 | year = 1998&lt;br /&gt;
 | title = Are protein folds atypical?&lt;br /&gt;
 | journal = [[美国国家科学院院刊|Proceedings of National Academy of Sciences]]&lt;br /&gt;
 | volume = 95&lt;br /&gt;
 | issue = 9&lt;br /&gt;
 | pages = 4987–4990&lt;br /&gt;
 | doi = &lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2004年将非线性科学的理论应用到生物调控网络的研究，提出了生物系统稳定性的理论解释。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2006年利用系统生物学的方法研究生物网络功能模块，发现生物功能对网络拓扑结构存在强限制；&amp;lt;ref name=Tang2006&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = '''Wenzhe Ma|Ma, W.''', [[Luhua Lai|Lai, L.]], [[Qi Ouyang|Ouyang, Q.]] and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2006&lt;br /&gt;
 | title = Robustness and modular design of the Drosophila segment polarity network&lt;br /&gt;
 | journal = [[Molecular Systems Biology]]&lt;br /&gt;
 | volume = 2&lt;br /&gt;
 | issue = &lt;br /&gt;
 | pages = 70&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1038/msb4100111&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2009年用理论与计算的方法研究生化适应性网络，找出了其中具有普适性的设计原理；&amp;lt;ref name=Tang2009&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | author = [[Wenzhe Ma|Ma, W.]], [[Ala Trusina|Trusina, A.]], [[Hana El-Samad|El-Samad, H.]] '''Lim, W ''' and [[汤超|Tang, C.]]&lt;br /&gt;
 | year = 2009&lt;br /&gt;
 | title = Defining Network Topologies that Can Achieve Biochemical Adaptation&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]]&lt;br /&gt;
 | volume = 138&lt;br /&gt;
 | issue = 4&lt;br /&gt;
 | pages = 760–773&lt;br /&gt;
 | doi = 10.1016/j.cell.2009.06.013&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2009-08/26/content_155389.htm|title=北大汤超教授课题组对生物适应性规律的研究发表在《Cell》杂志上}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[邓宏魁]]合作提出干细胞重编程的“跷跷板模型”；&amp;lt;ref name=Tang2013&amp;gt;{{cite journal&lt;br /&gt;
 | year = 2013&lt;br /&gt;
 | title = Induction of Pluripotency in Mouse Somatic Cells with Lineage Specifiers&lt;br /&gt;
 | journal = [[Cell]] &lt;br /&gt;
 | volume = 153&lt;br /&gt;
 | issue = 5&lt;br /&gt;
 | pages = 963–975&lt;br /&gt;
}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&amp;lt;ref&amp;gt;{{cite web|url=http://pkunews.pku.edu.cn/xwzh/2013-05/27/content_273588.htm|title=邓宏魁与汤超研究组在《细胞》（Cell）发表封面论文报道细胞重编程过程中的创新方法和理论}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 2013年与[[张奇伟]]创刊《定量生物学》，任共同主编。&amp;lt;ref name=&amp;quot;定量生物学杂志&amp;quot;&amp;gt;{{cite web|url=http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml|title=《定量生物学》杂志|publisher=高等教育出版社}}&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 参考文献 ==&lt;br /&gt;
{{reflist}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 外部链接 ==&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/tanglab/ 汤超教授实验室]&lt;br /&gt;
* [http://cqb.pku.edu.cn/ 北京大学定量生物学中心]&lt;br /&gt;
* [http://journal.hep.com.cn/qb/EN/2095-4689/home.shtml 《定量生物学》杂志]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{中国科学院数学物理学部院士}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==编者推荐==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
===知乎文章===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
*[https://www.zhihu.com/question/59280144/answer/174138401 你所在的领域里，有哪些堪称开山之作的论文]&lt;br /&gt;
*[https://web.stanford.edu/~hazelm/publications/1991%20Markus%20Kitayama%20Culture%20and%20the%20self.pdf  Culture and the Self.&amp;quot; Implications for Cognition, Emotion, and Motivation]&lt;br /&gt;
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'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''&lt;br /&gt;
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[[Category:长江学者讲座教授]]&lt;br /&gt;
[[category:中国物理学家]]&lt;br /&gt;
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		<author><name>不是海绵宝宝</name></author>
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