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因果效应度量
2025-06-11T03:31:45Z
<p>刘易明：</p>
<hr />
<div>{{#seo:<br />
|keywords=因果效应度量,因果,因果基元,因果涌现<br />
|description=这是一个全面介绍因果效应度量的词条，包括了历史上出现过的各种因果效应度量方法，并使用因果基元（即充分性和必要性）的方式对它们统一比较。<br />
}}<br />
[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元（Causal Primitive）”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量情形有效信息的一种新定义<ref name=zhang_nis/>，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的（但Eff中仍然有状态数的影响，而J则没有）。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以Erik Hoel在他的论文中先给出了因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。Erik Hoel并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
<references/><br />
----<br />
此词条由[[刘易明]]编写，[[张江]]、[[潘林莉]]、[[柯林峰]]和[[王志鹏]]整理和审校。<br />
<br />
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''<br />
<br />
[[Category:因果涌现]]<br />
[[Category:信息论]]<br />
[[Category:因果度量]]</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43493
因果效应度量
2025-04-22T09:40:36Z
<p>刘易明：</p>
<hr />
<div>{{#seo:<br />
|keywords=因果效应度量,因果,因果基元,因果涌现<br />
|description=这是一个全面介绍因果效应度量的词条，包括了历史上出现过的各种因果效应度量方法，并使用因果基元（即充分性和必要性）的方式对它们统一比较。<br />
}}<br />
[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元（Causal Primitive）”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量情形有效信息的一种新定义<ref name=zhang_nis/>，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的（但Eff中仍然有状态数的影响，而J则没有）。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。Erik Hoel并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
<references/><br />
----<br />
此词条由[[刘易明]]编写，[[张江]]、[[潘林莉]]、[[柯林峰]]和[[王志鹏]]整理和审校。<br />
<br />
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''<br />
[[Category:因果涌现]]<br />
[[Category:信息论]]<br />
[[Category:因果度量]]</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43492
因果效应度量
2025-04-22T09:39:36Z
<p>刘易明：</p>
<hr />
<div>{{#seo:<br />
|keywords=因果效应度量,因果,因果基元,因果涌现<br />
|description=这是一个全面介绍因果效应度量的词条，包括了历史上出现过的各种因果效应度量方法，并使用因果基元（即充分性和必要性）的方式对它们统一比较。<br />
}}<br />
[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元（Causal Primitive）”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量情形有效信息的一种新定义<ref name=zhang_nis/>，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的（但Eff中仍然有状态数的影响，而J则没有）。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。Erik Hoel并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
----<br />
此词条由[[刘易明]]编写，[[张江]]、[[潘林莉]]、[[柯林峰]]和[[王志鹏]]整理和审校。<br />
<br />
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''<br />
[[Category:因果涌现]]<br />
[[Category:信息论]]<br />
[[Category:因果度量]]</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43491
因果效应度量
2025-04-22T09:38:37Z
<p>刘易明：</p>
<hr />
<div>{{#seo:<br />
|keywords=因果效应度量,因果,因果基元,因果涌现<br />
|description=这是一个全面介绍因果效应度量的词条，包括了历史上出现过的各种因果效应度量方法，并使用因果基元（即充分性和必要性）的方式对它们统一比较。<br />
}}<br />
[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元（Causal Primitive）”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量情形有效信息的一种新定义<ref name=zhang_nis/>，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的（但Eff中仍然有状态数的影响，而J则没有）。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。Erik Hoel并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
----<br />
此词条由[[刘易明]]编写，[[张江]]、[[潘林莉]]、[[柯林峰]]和[[王志鹏]]整理和审校。<br />
<br />
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''<br />
[[Category:因果涌现]]<br />
[[Category:信息论]]<br />
[[Category:因果度量]]<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43397
因果效应度量
2025-04-18T08:12:04Z
<p>刘易明：/* 总结 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。Erik Hoel并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
----<br />
此词条由[[刘易明]]编写，[[张江]]、[[潘林莉]]、[[柯林峰]]和[[王志鹏]]整理和审校。<br />
<br />
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43396
因果效应度量
2025-04-18T08:07:58Z
<p>刘易明：/* 总结 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。Eric Hoel并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43395
因果效应度量
2025-04-18T08:06:51Z
<p>刘易明：/* 总结 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43394
因果效应度量
2025-04-18T08:06:30Z
<p>刘易明：/* 必要性的形式化 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43393
因果效应度量
2025-04-18T08:06:09Z
<p>刘易明：/* 因果关系的形式化 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，<math>P (e|C\c)</math>指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，产生<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
<br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用公式表示为:<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>\log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>\log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为:<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为:<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为:<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果效应度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%9B%9A%E5%BE%92%E5%9B%B0%E5%A2%83%E5%8D%9A%E5%BC%88&diff=43357
空间囚徒困境博弈
2025-04-16T02:52:27Z
<p>刘易明：/* 设置参数的说明 */</p>
<hr />
<div><htmltag tagname="iframe" src="/applets/pdcelluar-web/pdcelluar.html" style="display: block; margin-bottom: 1em; width: 650px; height: 450px; border: solid 1px #ddd;"></htmltag><br />
== 程序说明 ==<br />
这是一个多个企业参与的竞争环境。每个格子（蓝色的或红色的）都是一个企业，它们在随机的游走着，并会与其它的格子相遇，当与其它的企业相遇的时候，他们就进行囚徒困境博弈，其中蓝色的格子表示采用合作的策略，红色的格子表示采用背叛的策略。根据博弈的规则，每个企业都会有一个盈利数表示收益。所有的企业都想学习它的邻居中盈利最多的企业的策略。你会看到，在这样的环境中，竞争或者合作会自发的演化。<br />
== 操作说明 ==<br />
点击开始按钮，模拟程序开始运行。格子会随机的游走，并不断向他们的环境学习。<br />
<br />
点击“单步运行”表示每次只进行一步，这方便我们的观察。<br />
<br />
选择不同的显示方法可以从不同的角度观察企业的运动，其中策略是观察整个合作与不合作策略的分布，id是跟踪每个企业，移动方向观察每个企业下一步将移动向何方。<br />
<br />
点击“设置”按钮可以更改一些程序的属性。点击“查看”可以观察系统总的时间-状态图，你会看到使用不同策略的企业在时间上的分布。<br />
==设置参数的说明==<br />
世界的尺寸：程序中一共有多少方格，方格数越大运行越慢；<br />
<br />
企业的总比例：企业数占总的方格数的比例；<br />
<br />
合作者的比例：在企业中，初始时刻合作者占的比例；<br />
<br />
邻居类型：在冯纽曼型和摩尔型两种邻居类型中选择一种。<br />
<br />
刷新间隔：每次刷新世界演化几步。比如刷新间隔为2，则每走两步才刷新视图一次。<br />
<br />
博弈规则：确定当合作者与不合作者相遇的时候不合作者能够得到的收益数（>1）。<br />
==规则说明==<br />
'''个体'''：每个企业可以用一个三元组表示(s,m,d)。其中s为企业当前使用的规则，s只能取1（表示合作），2（表示不合作）两种状态。m表示与该企业的所有邻居分别进行囚徒困境博弈以后的总盈利。d表示随机选择的移动方向（在vonNerman类型中有上、下、左、右4个方向，Moore类型有上、下、左、右、左上、左下、右上、右下8个方向）。程序中黑色的区域表示空区域，没有被企业占领。如果某个企业已经占领了一个方格，则其它企业不能介入。<br />
<br />
'''博弈规则'''： 每个企业都跟它的邻居进行囚徒困境博弈，如果两个企业都采取合作的策略，那么它们各得1单位收益，如果一方合作另一方不合作， 那么合作的一方吃亏得益为0，不合作的一方占便宜，得益为p（>1）；双方都不合作那么都不收益。<br />
<br />
'''学习规则'''：每个企业在每次循环中都跟它周围的邻居中这次循环的收益最多的企业学习，把它的策略拷贝过来作为自己的。即如果四个邻居中收益最高的是背叛，那么这个企业下一个循环也选择背叛策略，如果收益最高的是合作，那么下一时刻，该企业也采取合作策略。<br />
<br />
'''移动规则'''：每个企业在每次循环的时候都随机的选择一个方向，如果这个方向指向的方格为空，并且没有其他企业指向这个方格，那么下一时刻它就移动到那个格子中，否则它原地不动。<br />
<br />
'''规则的运行'''：系统采用离散时间运行，每个周期内，所有的企业先按照自己的s取值也就是策略跟每个邻居都进行博弈确定它的收入m；然后每个企业开始在4个邻居中寻找最大的m对应的企业，学习它的策略作为下一周期的策略s'；然后企业根据移动规则向它的临近方格移动。<br />
<br />
==集体涌现行为==<br />
根据多次系统运行规律观察，得到的几条规律如下：<br />
<br />
1、系统最后的演化结果是依赖于初始分布的；<br />
<br />
2、企业的总比例越大，合作者越容易存活，不合作者将趋于灭亡。相反，企业的比例越小，合作者越容易转变成不合作者；<br />
<br />
3、相同的企业往往集中在某几个特定的区域；<br />
<br />
4、系统演化的结果是对博弈规则敏感的，如果m数值设置的越大，则合作者越不容易占上风；<br />
<br />
5、每个企业的邻居数越多，则合作策略越容易占上风；<br />
<br />
6、不同的参数设置会导致不同的结果，一种情况是最后全是竞争的企业，一种情况是全是合作的企业，还有可能合作与竞争长时间共存，并且演化规则特别复杂。<br />
== 对这现实经济环境中的指导意义 ==<br />
1、只有企业和企业之间建立起比较完善的交互体系的时候，合作的可能性才会增强。<br />
<br />
2、同类之间连成一片可以抵御外来者的进攻。<br />
<br />
3、囚徒困境博弈是一种竞争关系的博弈，企业和企业之间本质的关系是竞争的，但是合作却能在一定的条件下自发的演化出来。因此，竞争中的合作是一种多个个体相互学习适应过程中得到的。</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%9B%9A%E5%BE%92%E5%9B%B0%E5%A2%83%E5%8D%9A%E5%BC%88&diff=43356
空间囚徒困境博弈
2025-04-16T02:48:09Z
<p>刘易明：/* 设置参数的说明 */</p>
<hr />
<div><htmltag tagname="iframe" src="/applets/pdcelluar-web/pdcelluar.html" style="display: block; margin-bottom: 1em; width: 650px; height: 450px; border: solid 1px #ddd;"></htmltag><br />
== 程序说明 ==<br />
这是一个多个企业参与的竞争环境。每个格子（蓝色的或红色的）都是一个企业，它们在随机的游走着，并会与其它的格子相遇，当与其它的企业相遇的时候，他们就进行囚徒困境博弈，其中蓝色的格子表示采用合作的策略，红色的格子表示采用背叛的策略。根据博弈的规则，每个企业都会有一个盈利数表示收益。所有的企业都想学习它的邻居中盈利最多的企业的策略。你会看到，在这样的环境中，竞争或者合作会自发的演化。<br />
== 操作说明 ==<br />
点击开始按钮，模拟程序开始运行。格子会随机的游走，并不断向他们的环境学习。<br />
<br />
点击“单步运行”表示每次只进行一步，这方便我们的观察。<br />
<br />
选择不同的显示方法可以从不同的角度观察企业的运动，其中策略是观察整个合作与不合作策略的分布，id是跟踪每个企业，移动方向观察每个企业下一步将移动向何方。<br />
<br />
点击“设置”按钮可以更改一些程序的属性。点击“查看”可以观察系统总的时间-状态图，你会看到使用不同策略的企业在时间上的分布。<br />
==设置参数的说明==<br />
世界的尺寸：程序中一共有多少方格，方格数越大运行越慢；<br />
<br />
企业的总比例：企业数占总的方格数的比例；<br />
<br />
合作者的比例：在企业中，初始时刻合作者占的比例；<br />
<br />
邻居类型：在冯纽曼型和摩尔型两种邻居类型中选择一种。<br />
<br />
刷新间隔：每次刷新世界演化几步。比如刷新间隔为2，则每走两步才刷新视图一次。<br />
<br />
博弈规则：确定当合作者与不合作者相遇的时候不合作者能够得到的收益数（>1）。</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%9B%9A%E5%BE%92%E5%9B%B0%E5%A2%83%E5%8D%9A%E5%BC%88&diff=43355
空间囚徒困境博弈
2025-04-16T02:47:33Z
<p>刘易明：/* 设置参数的说明 */</p>
<hr />
<div><htmltag tagname="iframe" src="/applets/pdcelluar-web/pdcelluar.html" style="display: block; margin-bottom: 1em; width: 650px; height: 450px; border: solid 1px #ddd;"></htmltag><br />
== 程序说明 ==<br />
这是一个多个企业参与的竞争环境。每个格子（蓝色的或红色的）都是一个企业，它们在随机的游走着，并会与其它的格子相遇，当与其它的企业相遇的时候，他们就进行囚徒困境博弈，其中蓝色的格子表示采用合作的策略，红色的格子表示采用背叛的策略。根据博弈的规则，每个企业都会有一个盈利数表示收益。所有的企业都想学习它的邻居中盈利最多的企业的策略。你会看到，在这样的环境中，竞争或者合作会自发的演化。<br />
== 操作说明 ==<br />
点击开始按钮，模拟程序开始运行。格子会随机的游走，并不断向他们的环境学习。<br />
<br />
点击“单步运行”表示每次只进行一步，这方便我们的观察。<br />
<br />
选择不同的显示方法可以从不同的角度观察企业的运动，其中策略是观察整个合作与不合作策略的分布，id是跟踪每个企业，移动方向观察每个企业下一步将移动向何方。<br />
<br />
点击“设置”按钮可以更改一些程序的属性。点击“查看”可以观察系统总的时间-状态图，你会看到使用不同策略的企业在时间上的分布。<br />
==设置参数的说明==<br />
世界的尺寸：程序中一共有多少方格，方格数越大运行越慢；<br />
<br />
企业的总比例：企业数占总的方格数的比例；<br />
<br />
合作者的比例：在企业中，初始时刻合作者占的比例；<br />
<br />
邻居类型：在冯纽曼和两种邻居类型中选择一种。<br />
<br />
刷新间隔：每次刷新世界演化几步。比如刷新间隔为2，则每走两步才刷新视图一次。<br />
<br />
博弈规则：确定当合作者与不合作者相遇的时候不合作者能够得到的收益数（>1）。</div>
刘易明
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空间囚徒困境博弈
2025-04-16T02:44:55Z
<p>刘易明：/* 操作说明 */</p>
<hr />
<div><htmltag tagname="iframe" src="/applets/pdcelluar-web/pdcelluar.html" style="display: block; margin-bottom: 1em; width: 650px; height: 450px; border: solid 1px #ddd;"></htmltag><br />
== 程序说明 ==<br />
这是一个多个企业参与的竞争环境。每个格子（蓝色的或红色的）都是一个企业，它们在随机的游走着，并会与其它的格子相遇，当与其它的企业相遇的时候，他们就进行囚徒困境博弈，其中蓝色的格子表示采用合作的策略，红色的格子表示采用背叛的策略。根据博弈的规则，每个企业都会有一个盈利数表示收益。所有的企业都想学习它的邻居中盈利最多的企业的策略。你会看到，在这样的环境中，竞争或者合作会自发的演化。<br />
== 操作说明 ==<br />
点击开始按钮，模拟程序开始运行。格子会随机的游走，并不断向他们的环境学习。<br />
<br />
点击“单步运行”表示每次只进行一步，这方便我们的观察。<br />
<br />
选择不同的显示方法可以从不同的角度观察企业的运动，其中策略是观察整个合作与不合作策略的分布，id是跟踪每个企业，移动方向观察每个企业下一步将移动向何方。<br />
<br />
点击“设置”按钮可以更改一些程序的属性。点击“查看”可以观察系统总的时间-状态图，你会看到使用不同策略的企业在时间上的分布。<br />
==设置参数的说明==<br />
世界的尺寸：程序中一共有多少方格，方格数越大运行越慢；<br />
<br />
企业的总比例：企业数占总的方格数的比例；<br />
<br />
合作者的比例：在企业中，初始时刻合作者占的比例；<br />
<br />
邻居类型：在两种邻居类型中选择一种，两种类型示意图如下：其中黑色的表示当前的方格，黄色的表示他的邻居。<br />
<br />
刷新间隔：每次刷新世界演化几步。比如刷新间隔为2，则每走两步才刷新视图一次。<br />
<br />
博弈规则：确定当合作者与不合作者相遇的时候不合作者能够得到的收益数（>1）。</div>
刘易明
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因果效应度量
2025-04-13T09:57:12Z
<p>刘易明：/* 历史渊源 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在充分性和必要性这两种名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43334
因果效应度量
2025-04-13T09:55:15Z
<p>刘易明：/* 因果效应度量指标的因果基元表示 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43333
因果效应度量
2025-04-13T09:54:57Z
<p>刘易明：/* 因果效应度量指标的因果基元表示 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
<br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43332
因果效应度量
2025-04-13T09:54:12Z
<p>刘易明：/* 因果基元的形式化 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
==== 充分性的形式化 ====<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
2.充分性的广义形式-确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
==== 必要性的形式化 ====<br />
1.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
2.必要性的广义形式-简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43331
因果效应度量
2025-04-13T09:51:37Z
<p>刘易明：/* 基于概率差异的因果效应度量 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43330
因果效应度量
2025-04-13T09:50:57Z
<p>刘易明：/* 基于结构因果模型的因果效应度量 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
=== 其他基于概率差异的因果效应度量 ===<br />
在Judea Pearl提出基于[[Do演算]]的概率表达前，也有一些其他基于条件概率的因果效应度量，但都没有完全解决混杂变量问题。<br />
==== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ====<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
==== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ====<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
==== Patricia Cheng的因果归因理论 ====<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43329
因果效应度量
2025-04-13T09:43:46Z
<p>刘易明：/* 因果基元的形式化 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元（Causal Primatives）<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
<br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43328
因果效应度量
2025-04-13T09:43:05Z
<p>刘易明：/* 基于维纳思想的因果效应度量 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。这里面的压缩复杂性等价于格兰杰因果中的的预测能力。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43327
因果效应度量
2025-04-13T09:35:26Z
<p>刘易明：/* 历史渊源 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43326
因果效应度量
2025-04-13T09:33:58Z
<p>刘易明：/* 历史渊源 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中<ref name=" Hoel 2022/>总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43325
因果效应度量
2025-04-13T09:32:41Z
<p>刘易明：/* 历史渊源 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2022年Erik hoel发表的一篇论文中总结了各类因果度量方法中存在名为“因果基元”的相同基本属性。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43324
因果效应度量
2025-04-13T09:30:38Z
<p>刘易明：</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示，在相同的条件下，长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2024年[[张江]]团队在最新的讨论[[动力学可逆性]]与[[因果涌现]]的文章中，又指出EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility>{{cite journal|author1=Jiang Zhang|author2=Ruyi Tao|author3=Keng Hou Leong|author4=Mingzhe Yang|author5=Bing Yuan|year=2024|title=Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence|url=https://arxiv.org/abs/2402.15054|journal=arXiv}}</ref>。它的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方的和定义为马尔科夫动力学的可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43323
因果效应度量
2025-04-13T09:28:29Z
<p>刘易明：/* 基于概率差异的因果效应度量 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2024年[[张江]]团队在最新的讨论[[动力学可逆性]]与[[因果涌现]]的文章中，又指出EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility>{{cite journal|author1=Jiang Zhang|author2=Ruyi Tao|author3=Keng Hou Leong|author4=Mingzhe Yang|author5=Bing Yuan|year=2024|title=Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence|url=https://arxiv.org/abs/2402.15054|journal=arXiv}}</ref>。它的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方的和定义为马尔科夫动力学的可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''1.时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''2.概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X, K) - P(Y \mid \neg X, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。<br />
<br />
Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43322
因果效应度量
2025-04-13T09:25:14Z
<p>刘易明：/* 基于动力学可逆性的因果效应度量 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2024年[[张江]]团队在最新的讨论[[动力学可逆性]]与[[因果涌现]]的文章中，又指出EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility>{{cite journal|author1=Jiang Zhang|author2=Ruyi Tao|author3=Keng Hou Leong|author4=Mingzhe Yang|author5=Bing Yuan|year=2024|title=Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence|url=https://arxiv.org/abs/2402.15054|journal=arXiv}}</ref>。它的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方的和定义为马尔科夫动力学的可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(E \mid C, K) - P(E \mid \neg C, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43321
因果效应度量
2025-04-13T09:24:33Z
<p>刘易明：/* 维度平均的EI */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2024年[[张江]]团队在最新的讨论[[动力学可逆性]]与[[因果涌现]]的文章中，又指出EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility>{{cite journal|author1=Jiang Zhang|author2=Ruyi Tao|author3=Keng Hou Leong|author4=Mingzhe Yang|author5=Bing Yuan|year=2024|title=Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence|url=https://arxiv.org/abs/2402.15054|journal=arXiv}}</ref>。它的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方的和定义为马尔科夫动力学的可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(E \mid C, K) - P(E \mid \neg C, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]\mathbf{x}[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 基于动力学可逆性的因果效应度量 ==<br />
===严格动力学可逆===<br />
[[张江]]团队发现EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]（TPM）的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility/>。核心定义如下：<br />
<br />
对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：<br />
# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵； <br />
# <math>P^{-1}</math>也是另一个马尔可夫链<math>\chi^{-1}</math>的有效TPM，<br />
<br />
则<math>\chi</math>和P可以称为'''严格动力学可逆的'''。我们将这一性质称为[[动力学可逆性]]。因此，从某种程度上说，EI衡量的是马尔科夫链的一种[[动力学可逆性]]。<br />
===近似动力学可逆===<br />
[[排列置换矩阵]]是唯一一种能同时满足上面两个条件的矩阵。由于[[排列置换矩阵]]过于特殊，我们需要能够衡量一般的马尔科夫概率转移矩阵与排列置换矩阵的靠近程度，以度量其[[近似动力学可逆性]]。在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们提出了一种用矩阵的类[[Schatten范数]]来度量一个马尔科夫概率转移矩阵的[[近似动力学可逆性]]的方法，定义为：<br />
<br />
<math><br />
\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}=|P|_{\alpha}^{\alpha}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]|P|_{\alpha}[/math]为矩阵P的[[Schatten范数]]，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]为[[近似动力学可逆性]]指标，[math]\sigma_i[/math]为概率转移矩阵P的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列。<br />
===基于动力学可逆性的因果效应指标===<br />
在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们证明了EI与动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：<br />
<br />
<math><br />
EI\sim \log\Gamma_{\alpha}<br />
</math><br />
<br />
所以<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>也可以用于刻画动力学的因果效应强度。关于动力学可逆性的进一步讨论和说明，请参考词条：[[基于可逆性的因果涌现理论]]<br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43320
因果效应度量
2025-04-13T09:23:41Z
<p>刘易明：/* 基于有效信息的因果效应度量 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2024年[[张江]]团队在最新的讨论[[动力学可逆性]]与[[因果涌现]]的文章中，又指出EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility>{{cite journal|author1=Jiang Zhang|author2=Ruyi Tao|author3=Keng Hou Leong|author4=Mingzhe Yang|author5=Bing Yuan|year=2024|title=Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence|url=https://arxiv.org/abs/2402.15054|journal=arXiv}}</ref>。它的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方的和定义为马尔科夫动力学的可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(E \mid C, K) - P(E \mid \neg C, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵[math]f[/math]的行向量都相等的时候，EI=0；当构成[math]f[/math]的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是[math]f[/math]的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和[math]x[/math]定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 基于动力学可逆性的因果效应度量 ==<br />
===严格动力学可逆===<br />
[[张江]]团队发现EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]（TPM）的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility/>。核心定义如下：<br />
<br />
对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：<br />
# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵； <br />
# <math>P^{-1}</math>也是另一个马尔可夫链<math>\chi^{-1}</math>的有效TPM，<br />
<br />
则<math>\chi</math>和P可以称为'''严格动力学可逆的'''。我们将这一性质称为[[动力学可逆性]]。因此，从某种程度上说，EI衡量的是马尔科夫链的一种[[动力学可逆性]]。<br />
===近似动力学可逆===<br />
[[排列置换矩阵]]是唯一一种能同时满足上面两个条件的矩阵。由于[[排列置换矩阵]]过于特殊，我们需要能够衡量一般的马尔科夫概率转移矩阵与排列置换矩阵的靠近程度，以度量其[[近似动力学可逆性]]。在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们提出了一种用矩阵的类[[Schatten范数]]来度量一个马尔科夫概率转移矩阵的[[近似动力学可逆性]]的方法，定义为：<br />
<br />
<math><br />
\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}=|P|_{\alpha}^{\alpha}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]|P|_{\alpha}[/math]为矩阵P的[[Schatten范数]]，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]为[[近似动力学可逆性]]指标，[math]\sigma_i[/math]为概率转移矩阵P的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列。<br />
===基于动力学可逆性的因果效应指标===<br />
在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们证明了EI与动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：<br />
<br />
<math><br />
EI\sim \log\Gamma_{\alpha}<br />
</math><br />
<br />
所以<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>也可以用于刻画动力学的因果效应强度。关于动力学可逆性的进一步讨论和说明，请参考词条：[[基于可逆性的因果涌现理论]]<br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E6%95%88%E5%BA%94%E5%BA%A6%E9%87%8F&diff=43319
因果效应度量
2025-04-13T09:22:24Z
<p>刘易明：/* 基于结构因果模型的因果效应度量 */</p>
<hr />
<div>[[因果效应]]（Causal Effect）是指当一个变量X发生变化时，它会导致另一个变量Y也发生变化。那么，因果效应强度就是量化X的变化对Y有多大的影响。它是一种客观的，建立在数学的基础之上的量化[[因果关系]]强度的指标。<br />
因果关系是指一个事件（原因）与另一个事件（结果）之间存在的导致与被导致的关系，强调的是事件之间的逻辑联系和先后顺序，是一种定性的、结构性的关系描述。比如，“吸烟”与“肺癌”之间存在因果关系，即吸烟是导致肺癌的一个原因。<br />
因果效应则侧重于描述原因对结果产生影响的具体程度或效果，是对因果关系在数量或程度上的量化表达，具有定量的性质。例如，某项统计显示长期吸烟的人群患肺癌的风险比不吸烟的人高80%，这80%就是吸烟对患肺癌这一结果的因果关系程度的一种量化。因果效应能够为因果关系提供更具体、更精确的信息，帮助人们更深入地理解因果关系的本质和特征。通过因果效应的估计，可以明确原因变量对结果变量影响的具体程度和方式，使因果关系从定性的认知上升到定量的分析。<br />
== 历史渊源 ==<br />
John Locke在他1690年发表的著作《人类理解论》中首次正式提出了因和果的概念：把产生观念的事物叫做原因，把所产生的东西叫做结果。在18世纪David Hume进一步发展了这个概念<ref name=":1">David Hume. ''An Enquiry concerning Human Understanding''. 1748.</ref>，提出因果不是事实之间的概念，而是经验之间的习惯性联想。他强调判断因果关系的三条准则：空间邻近性、时间连续性、恒常连结性。<br />
<br />
19世纪末皮尔逊（Karl Pearson）从高尔顿（Francis Galton）那里学会并发展了建立事物之间[[相关性]]的方法<ref name=pearson_1896>{{cite journal |last1=Pearson|first1=Karl|title=Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=187|year=1896|pages=253–318|url=}}</ref>，通过一个特定的数值（[[皮尔逊相关系数]]）来简单直观地告诉人们两个事物（或变量）之间在变化趋势上的关联紧密程度，是朝着相同方向变化还是相反方向变化，以及这种变化的相关程度到底有多大。并认为相关性足以说明事物之间的联系，完全不需要在数学中定义因果关系，因果关系只是相关性一个特例。随着这种观点在学术界的流行，因果以及因果关系的研究被压制了将近半个世纪。<br />
<br />
现代因果关系研究的新曙光出现在20世纪20年代，其代表人物是美国科学家杰西·内曼（Jery Neyman），内曼研究了[[随机对照试验]](RCT)，并且指出从随机对照试验中发现因果关系的可能性和必要性，并提出了“[[潜在结果]]”的思想<ref name=neyman_1923>{{cite journal |last=Neyman |first=Jerzy |title=O wyznaczeniu efektów doświadczeń losowych |language=Polish |trans-title=[On Determining the Effects of Randomized Experiments] |journal=Książnica Atlas |year=1923 |publisher=Książnica Atlas|url=}}</ref>，潜在结果的思想是对于每个人或事物在面对不同情况（比如做与不做某件事、接受不同处理等）时都有相应的可能结果，但通常我们只能看到实际发生情况对应的那个结果，其他没发生情况对应的结果就是潜在的，我们可以通过一些方法来推断这些潜在结果以及不同情况带来的影响差异。由于研究结果是用波兰文发表的，所以当时并未引起关注。内曼关于“[[潜在结果]]”的思想，被唐纳德·鲁宾(DonaldRubin)于1972年再次发现<ref name=rubin_1972>{{cite journal |last=Rubin |first=Donald B. |title=Estimating Causal Effects of Treatments in Experimental and Observational Studies |journal=ETS Research Bulletin Series |volume=1972 |issue=2 |year=1972 |pages=i–31 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.2333-8504.1972.tb00631.x}}</ref>，并且加以丰富和提升，提出了形式化的“[[鲁宾因果模型]]”或称“潜在结果模型”，它是当前因果分析的重要模型之一，在这里鲁宾也首次正式提出和定义了因果效应的概念。<br />
<br />
克莱夫・格兰杰（Clive W.J. Granger）于 1969 年提出了一种用于分析基于时间序列的变量之间因果关系的方法<ref name=granger_1969>{{cite journal |last=Granger |first=C. W. J. |title=Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods |journal=Econometrica |volume=37 |year=1969 |pages=424–438 |url=https://www.jstor.org/stable/1912791}}</ref>，它的定义是在时间序列情形下，对于两个变量X、Y，若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果，即变量X的过去信息有助于解释变量Y的变化，则认为变量X是导致变量Y的格兰杰原因，X和Y的这种关系就被称为[[格兰杰因果]]关系。<br />
<br />
Patrick Suppes在1970年的著作<ref name=suppes_1970>{{cite book |last1=Suppes |first1=Patrick |title=A Probabilistic Theory of Causality |publisher=North-Holland Publishing Company |year=1970 |location=Amsterdam}}</ref>中首次将概率引入因果分析，提出如果变量X是变量Y的原因须满足X先于Y（时序性）和X能提升Y发生的概率这两个条件。Suppes的框架为后续研究奠定了基础，但未严格区分关联与因果。Eells 在1991年的著作<ref name=eells_1991>{{cite book |last1=Eells |first1=Ellery |title=Probabilistic Causality |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |location=Cambridge}}</ref>系统论证了因果关系的概率本质，强调因果解释需结合背景条件。Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997>{{cite journal |last=Cheng |first=Patricia W. |title=From covariation to causation: A causal power theory |journal=Psychological Review |volume=104 |number=2 |year=1997 |pages=367–405 |url=https://doi.org/10.1037/0033-295X.104.2.367}}</ref>在此基础上排除了背景条件的干扰，能够得到X独立于背景因素时对Y的净因果效应，使其更接近真实的因果效应。<br />
<br />
朱迪亚・珀尔（[[Judea Pearl]]）在 1995 年提出的[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM）<ref name=pearl_1995>{{cite journal |last=Pearl |first=Judea |title=Causal Diagrams for Empirical Research |journal=Biometrika |volume=82 |number=4 |year=1995 |pages=702–710 |url=https://doi.org/10.1093/biomet/82.4.702}}</ref>，这是一种以[[有向无环图]]和[[结构方程]]为基础，通过清晰描绘变量间因果结构、进行反事实推理和因果效应估计的因果分析工具，可以用来帮助人们理解和分析变量之间因果关系，广泛应用于多个领域。珀尔在此基础上又提出了[[因果分析框架]]<ref name="pearl_2009">{{cite book |last1=Pearl |first1=Judea |title=Causality: Models, Reasoning, and Inference |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |year=2009 |isbn=978-0521895606 |url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511803161}}</ref>，为因果分析提供了一套系统的、形式化的理论和方法体系，将因果关系划分为关联、[[干预]]、[[反事实]]三个层级，使得因果推理更加精确和实用。朱迪亚・珀尔通过结构因果模型（SCM）和[[Do演算]]将概率方法形式化<ref name=pearl_2009/>，解决了混杂偏倚问题。<br />
<br />
Giulio Tononi 和 Olaf Sporns 在2003年提出[[有效信息|有效信息 (EI)]]的概念<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，这一方法继承了SCM对干预的重视，它通过干预实验来排除其他因素的影响，通过比较干预前后状态之间的[[互信息]]来量化因果效应。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013>{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。传统的EI主要被用于具有离散状态的[[马尔科夫链]]上，到了2022年，[[张江]]与[[刘凯威]]结合[[Erik Hoel]]等人的[[因果几何]]理论探讨了EI在连续状态变量的函数映射上的一般形式<ref name=zhang_nis>{{cite journal|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Kaiwei|last2=Liu|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26|url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:246275672}}</ref><ref name=yang_nis+>{{cite journal|title=Finding emergence in data by maximizing effective information|author1=Mingzhe Yang|author2=Zhipeng Wang|author3=Kaiwei Liu|author4=Yingqi Rong|author5=Bing Yuan|author6=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2308.09952|year=2024}}</ref><ref name=liu_exact>{{cite journal|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Stochastic Iterative Systems|author1=Kaiwei Liu|author2=Bing Yuan|author3=Jiang Zhang|journal=arXiv|page=2405.09207|year=2024}}</ref>。然而，它存在着一个缺陷，由于实数域上变量的均匀分布严格讲是定义在无穷大空间上的，为了避免遭遇无穷大，EI的计算中就会带着一个参数[math]L[/math]，表示均匀分布的区间范围。为了避免这个缺陷，也为了在不同[[粗粒化]]程度上比较EI，作者们便提出了[[维度平均EI]]的概念，维度平均EI也可以看作是一种归一化的EI，即Eff。<br />
<br />
2024年[[张江]]团队在最新的讨论[[动力学可逆性]]与[[因果涌现]]的文章中，又指出EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility>{{cite journal|author1=Jiang Zhang|author2=Ruyi Tao|author3=Keng Hou Leong|author4=Mingzhe Yang|author5=Bing Yuan|year=2024|title=Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence|url=https://arxiv.org/abs/2402.15054|journal=arXiv}}</ref>。它的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方的和定义为马尔科夫动力学的可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。<br />
<br />
== 前提假设 ==<br />
在现代的因果关系研究中<ref name="lilian_causality">{{cite book|title=因果漫步|author1=李廉|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=梁知音|publisher=机械工业出版社|year=2023|month=7}}</ref>，人们都是使用数学语言将因果关系量化为因果效应，这样才能把对因果的研究建立在一个客观和科学的基础之上。数学的推理都是从公理或基本假设出发的，因此因果效应的度量也有着它的前提和基本假设。<br />
=== 变量处于同一个尺度 ===<br />
自然界的现象很多，从量子到宇宙，从微观到宏观，就算同一个现象也可以具有不同量级的尺度视角。一般而言，因果关系是指同尺度下不同现象之间的关系。例如对于疾病的研究我们一般是从分子水平或者病菌水平考察与疾病的关系，尽管从根本上说疾病总是与物质的量子行为有关，但是因果关系不会从这个角度来研究，这种在同尺度下比较的相互关系奠定了因果关系的基石，同样道理，因果效应的度量也是在同尺度下的两个变量之间因果关联强度的度量。<br />
<br />
=== 共因原理 ===<br />
共因原理(common cause principle，CCP):如果两个可观察变量X和Y在统计上是关联的，那么就存在一组变量U(也可能是X或者Y)，它会对这两个变量产生共同的影响。这一条也经常被解释为“每一个关联关系背后都有某种因果关系”，如“冰淇淋销量高-犯罪率高”的例子，在冰淇淋销量高和犯罪率高关联的背后，一定有第三个变量，即气温，使得在表观层面上两个毫无瓜葛的现象产生了强烈的关联，气温就是冰淇淋销量和犯罪率之间的共同原因。共因原理的理论基础是拉普拉斯提出的“[[决定论]]”以及爱因斯坦等提出的“[[隐变量理论]]”，这两个理论认为因果关系是具备确定性的，因必然导致果，其中出现的一些误差或者不确定性是由未知变量(隐变量)造成的。因果效应的度量也遵循共因原理，共因原理也是不同原因和结果变量之间因果效应的大小存在差异的原因之一。<br />
<br />
=== 独立因果机制 ===<br />
独立因果机制(independent causal mechanism，ICM):它是指不同的因果关系之间相互独立的机制。假设我们有变量X导致变量Y，以及变量Z导致变量W，这两种因果关系之间的变量XY和ZW是相互独立的，无论XY的因果关系怎么变化都不会影响ZW之间的因果关系。这意味着因果关系具有稳健性、不变性和可重复性。例如太阳每天都会升起落下，这个因果关系就很稳定，不会因为今天路上车多了，太阳升起落下的规律就变了。因此，ICM允许把样本中的每个个体的因果关系看作独立事件，从而降低了计算因果效应需要的样本数量、模型规模和建模时间。例如在医学中，一项手术对于某个患者的治疗效果不会因为其他患者接受手术的情况而变化，一些细心的读者可能会想到，有些患者在看到别的手术出现不良效果时情绪产生波动、从而影响了自身的手术效果，在这种情况下，所考虑的原因变量要增加一个，即情绪。在新的变量环境下，手术的效果还是独立的(当然与不考虑情绪是有区别的)。不考虑患者的情绪,手术效果完全取决于手术本身。考虑患者的情绪，则手术效果取决于手术和情绪。在这两种情况下，系统都是独立的，不受外部影响的。也就是说，一项治疗措施对一个患者的效果，只和这个患者自身的情况有关，和其他患者以及非患者都没关系。所以，我们在研究时，只需要收集和这个患者有关的数据就可以了。<br />
<br />
== 基于维纳思想的因果效应度量 ==<br />
在现代社会，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用观察性的，基于[[时间序列]]数据的因果效应度量方法<ref name="measuring_causality">{{cite book |title=Measuring Causality: The Science of Cause and Effect |last=Pearl|first=Judea|author-link=Judea Pearl|date=2018|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108420220|doi=10.1017/9781108270218|url=https://www.researchgate.net/publication/349471752}}</ref>。它们都是根据诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提出的思想<ref name="wiener_1949">{{cite book |last1=Wiener |first1=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=The MIT Press |year=1949 |isbn=9780262230025 |note = 提出通过时间序列的过去值预测未来的理论框架，为 Granger 因果关系的发展奠定了基础}}</ref>：“如果一个变量<math>X</math>导致另一个变量<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。该思想是一种从时间序列数据度量因果效应的简单而优雅的方法。<br />
<br />
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
| rowspan="3" |如果包含<math>X</math>的过去值：<br />
|<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的转移熵。<br />
|-<br />
|<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性意义下的因果关系。<br />
|}<br />
<br />
=== 格兰杰因果 ===<br />
[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]（Granger Causality，GC）是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳思想的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系<ref name=wiener_1956>{{cite journal |last1=Wiener|first1=Norbert|title=The theory of prediction|journal=Modern Mathematics for Engineers|volume=1|pages=125-139|year=1956}}</ref>。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
其中<math>t</math>表示任意时间点，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来判断：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
<br />
这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用[[回归分析|自回归]]模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用在基于观察性数据的因果效应度量中。<br />
<br />
即如果[math]F>0[/math]，则存在X到Y的因果关系，否则不存在，且F的大小即因果效应度量。<br />
<br />
=== 转移熵 ===<br />
[[转移熵]]（Transfer Entropy，TE）量化过程<math>X</math>对过程<math>Y</math>的转移概率的影响<ref name=schreiber_2000>{{cite journal |last1=Schreiber|first1=Thomas|title=Measuring information transfer|journal=Physical Review Letters|volume=85|issue=2|pages=461|year=2000|url=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.85.461}}</ref>。它衡量，假设变量<math>Y</math>的当前状态<math>y_{n + 1}</math>与变量<math>X</math>的过去状态<math>x_{n}^{(l)}</math>独立时（即假设其分布为<math>q = p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(y_{n + 1}|y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})</math>）需要付出的信息量的多少。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>Y</math>和<math>X</math>的过去状态的数量，过程<math>Y</math>的任何状态<math>y_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>TE_{X \to Y}=\sum_{y, x}p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})\log\frac{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)})}{p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})}</math>|{{EquationRef|4}}}}<br />
<br />
如果<math>Y</math>和<math>X</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>n, k, l \in \mathbb {N} </math>，<math>p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)}, x_{n}^{(l)}) = p(y_{n + 1}, y_{n}^{(k)})</math>，因此上述状态数量将为零。直观地说，<math>TE_{X \to Y}</math>捕捉了从过程<math>X</math>到过程<math>Y</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{X \to Y} \neq TE_{Y \to X}</math>。<br />
<br />
=== 压缩复杂性因果 ===<br />
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“结果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯中的第一层级的关联因果关系。然而，很多时候，原因和结果可能在测量数据块（Chunks，指时间序列中连续的一段数据）或单个测量值中同时存在。这可能是动力学过程的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动力学的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。例如城市里某条街道的车流量（时间序列 X）和附近停车场的空位数量（时间序列 Y），它们随时间变化的数据就形成了时间序列数据。假如先有车流量增加这个 “原因”（X 中的某些数据变化），之后才会有停车场空位减少这个 “结果”（Y 中的某些数据变化），车流量和停车场空位数量之间有某种统计相关性，而且能很明显地把它们在数据里区分出来，那就说明这些样本具有内在的可分离性。<br />
<br />
还是拿刚才的例子来说，如果我们测量车流量和停车场空位数量的时间间隔不合适，或者这个城市交通状况很复杂，比如刚好在测量的这段时间里，有大型的活动导致很多车辆同时到达和停放，那在同一时间段的测量数据块里，或者甚至在某一个测量时刻的数据中，可能既包含了车流量增加这个 “原因” 的信息，又包含了停车场空位减少这个 “结果” 的信息 ，它们就重叠在一起了。这时候也就没办法确定到底是车流量变化导致了停车场空位变化，还是有其他因素同时影响了两者。在这种情况下，使用像GC和TE这样的度量方法是不合适的。<br />
<br />
[[压缩复杂性因果关系]]（Compression Complexity Causality，CCC）是2019年提出的一种因果关系度量<ref name=kathpalia_2019>{{cite journal |last1=Kathpalia|first1=Aditi|last2=Nagaraj|first2=Nithin|title=Data - based intervention approach for Complexity - Causality measure|journal=PeerJ Computer Science|volume=5|issue=|pages=e196|year=2019|url=https://peerj.com/articles/cs-196.pdf}}</ref>，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。CCC通过假想的“干预”来评估<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响：假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，它会将<math>X</math>的过去信息插入<math>Y</math>的时间序列中，观察<math>Y</math>的动态复杂性如何变化。当无法对变量实施真正的干预时，这种假想的“干预”是对数据能做的最好操作。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。<br />
<br />
在CCC的情况下，时间序列数据块的压缩复杂性是基于压缩难度（Effort to Compress，ETC）来计算的<ref name=nagaraj_2013>{{cite journal |last1=Nagaraj |first1=Nithin |last2=Balasubramanian |first2=Karthi |last3=Dey |first3=Sutirth |title=A new complexity measure for time series analysis and classification |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=222 |issue=3 - 4 |pages=847 - 860 |year=2013 |url=https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2013-01888-9}}</ref>。ETC的计算基于无损压缩算法（如Lempel-Ziv-Welch, LZ77），直观的理解就是越复杂的时间序列（如随机噪声）越难被压缩，所需的计算步骤（或迭代次数）越多；而简单的序列（如周期性信号）更容易压缩，所需难度更小，ETC的值就是压缩过程中所有迭代步骤的操作次数总和。<br />
<br />
为了将CCC从<math>X</math>估计到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其历史信息<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性，CC为条件压缩复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>|{{EquationRef|5}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|6}}}}<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|7}}}}<br />
<br />
其中：<br />
<br />
公式{{EquationNote|5}}是为了计算单独用<math>Y</math>的历史信息<math>Y_{past}</math>预测当前窗口<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量；<br />
<br />
公式{{EquationNote|6}}是为了计算同时用<math>Y</math>和<math>X</math>的历史信息预测<math>\Delta Y</math>时，所需的条件压缩复杂性增量。<br />
<br />
公式{{EquationNote|7}}是为了计算<math>X</math>的历史信息对降低<math>Y</math>当前数据窗口ΔY压缩复杂性的贡献。<br />
<br />
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>|{{EquationRef|8}}}}<br />
<br />
总结一下，动态复杂性指复杂系统在时间演化中表现出的不可预测性和非线性行为，是一种定性描述，压缩复杂性是动态复杂性的一种量化指标，通过条件压缩复杂性的差值计算，条件压缩复杂性通过ETC计算。<br />
<br />
== 基于潜在结果思想的因果效应度量 ==<br />
[[潜在结果]]思想是指给定一个研究对象和一系列可能的干预措施，把研究对象在不同干预措施下的结果定义为不同的“潜在结果”。由于在实际中我们无法同时观察到同一个对象在接受干预和不接受干预时的结果，所以这些潜在结果是理论上可能发生但实际未被观察到的结果，也被称为[[反事实]]结果。这个思想是内曼（Jery Neyman）在1924年的一篇论文<ref name=neyman_1923/>中首次提出的，并讨论了利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法解决不同的潜在结果无法同时观察和比较的问题，为因果效应的研究提供了数学框架。鲁宾在1970年代完善了潜在结果思想，并系统化的提出了[[鲁宾因果模型]]（Rubin Causal Model, RCM），将潜在结果思想泛化到非实验场景，仅通过观察性数据就可以研究各变量间的因果效应。<br />
<br />
==== 个体因果效应 ====<br />
对于每个个体，为简单起见、假设所有的因素都只有两个状态 0 和 1，如用 [math] X [/math] 表示是否服药，[math] X = 0 [/math] 表示不服药，[math] X = 1 [/math] 表示服药，则<br />
[math] Y (1)[/math] 表示个体服药时的结果，[math] Y (1)=1 [/math] 表示个体服药而痊愈。<br />
[math] Y (0)[/math] 表示个体不服药时的结果，[math] Y (0)=1 [/math] 表示个体不服药而痊愈。<br />
实际中只能观察到其中一个结果，另一个为潜在结果。<br />
<br />
个体因果效应（Individual Causal Effect，ICE）定义为上述两种结果之间的差异：<br />
<br />
<math><br />
\text{ICE} = Y(1)-Y(0)<br />
</math><br />
<br />
但由于无法同时观测到两者，ICE通常不可直接计算。所以就需要利用随机对照试验（Randomized Controlled Trial，RCT）和重复抽样推断的统计方法得到平均因果效应。<br />
<br />
==== 平均因果效应 ====<br />
若 [math]\mathbb{E}[Y (0)][/math] 表示不服药的期望痊愈率，[math]\mathbb{E}[Y (1)][/math] 表示服药的期望痊愈率。这时，总体的平均因果效应（Average Causal Effect，ACE）定义为：<br />
<br />
<math><br />
\text{ACE} = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]<br />
</math><br />
<br />
记作 [math]\text {ACE}(X\rightarrow Y)[/math] 。<br />
<br />
==== 可忽略性假设 ====<br />
如果观察性数据中既有病人不服药的情况，也有服药的情况，同时也包括其他一些变量，例如病人的生理指标(血压、肝脏等)和自然属性(性别、年龄等)，这些变量称为[[协变量]]，协变量虽然不会直接决定病人的痊愈，但是会影响病人的痊愈。<br />
<br />
如果存在协变量集合<math>Z=\left\{Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{k}\right\}</math>，使得对于任意的取值<math>z=(z_1,z_2,\cdots,z_k),z_i \in Z_i</math>，不服药的痊愈率<math>P(Y(0)=1|z)</math>和服药的痊愈率<math>P(Y(1)=1|z)</math>都与服药与不服药的人数比例无关，即服药与不服药的痊愈率不依赖人群的服药分布<math>X</math>。用统计的语言说，就是在条件<math>Z</math>下，联合分布<math>\{Y(0), Y(1)\}</math>独立于<math>X</math>的分布，即：<br />
<br />
<math>\{Y(0), Y(1)\}\perp X|Z</math><br />
<br />
<math>\perp </math>表示独立，则该公式称为可忽略性条件。<br />
<br />
再假设服药和不服药的两个组都不为空（即<math>P(X = 1)>0,P(X = 0)>0</math>），该假设称为正性假设，满足正性假设的可忽略性条件称为强可忽略性条件。在强可忽略条件成立的情况下，因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>是可以从观察数据中计算的，假设对于一个具体的患者，已经知道在服药的情况下可以痊愈那么希望知道若他不服药也能够痊愈的概率，即已知<math>Y(1)=1</math>，希望计算<math>P(Y(0)=1)</math>，这就是所谓的反事实推断。由于在现实世界中，对于一个个体，不可能同时观察到状态<math>Y(0)</math>和<math>Y(1)</math>，因此 <math>Y(0)</math>是假设的，这个假设状态所引起的<math>Y</math>的变化称为“潜在结果”，因此该方法有了“潜在结果方法”的名称。<br />
<br />
现在假设有变量集合<math>Z</math>既影响<math>X</math>（服药与否），又影响<math>Y</math>（痊愈与否）。现在固定<math>Z</math>（以<math>Z</math>为条件），就切断了<math>X</math>与<math>Y</math>通过<math>Z</math>的关联，这时<math>P(Y)</math>只与服药与否有关联，而与服药人数比例（即<math>X</math>的分布）无关，在这个情况下，<math>Y</math>对于<math>X</math>的响应称为因果效应。<br />
<br />
潜在结果理论揭示了一个原理，即在一组条件<math>Z</math>下，虽然<math>Y(1)</math>和<math>Y(0)</math>的分布依赖于其他变量的取值（例如身体健康水平、免疫能力、年龄等），但与<math>X</math>的分布无关时，就认为<math>X</math>对于<math>Y</math>有因果效应。也就是说，不管服药人数是100人还是1000人，其服药人群的期望愈率<math>\mathbb{E}[Y(1)]</math>以及不服药人群的期望痊愈率<math>\mathbb{E}[Y(0)]</math>都是不变的，在这种情况下，则断定因果效应成立。如果这个因果效应<math>\mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]</math>在数值上超过设定的阈值<math>p</math>，则可看作两者之间具有因果关系，当前主要对于因果关系的识别或计算都明确地或隐含地采纳了这一准则。这也说明，因果效应是客观的，但是因果关系的判定依赖于主观标准。<br />
<br />
== 基于概率差异的因果效应度量 ==<br />
=== Patrick Suppes的概率提升因果理论 ===<br />
Suppes提出了一种基于概率提升（Probabilistic Raising）的因果理论<ref name=suppes_1970/>，强调原因事件对结果事件的概率影响。核心定义可以描述为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，需满足两个条件：<br />
<br />
'''时序性（Temporal Priority）'''：原因事件<math>X</math>必须发生在结果事件<math>Y</math>之前；<br />
<br />
'''概率提升（Probability Raising）'''：<math>X</math>的存在应提升<math>Y</math>发生的概率，即<math>P(Y \mid X) > P(Y)</math>。<br />
<br />
Suppes 通过概率差异<math>\Delta</math>（Probability Difference）量化因果效应，则：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid X) - P(Y)</math><br />
<br />
若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。这一度量无法直接控制混杂变量（confounders）。<br />
<br />
=== Ellery Eells的持续性概率提升因果理论 ===<br />
Eells在1991年系统性地论证了因果关系的概率本质，提出了基于持续性概率提升（Sustained Probability Raising）的因果理论<ref name=eells_1991/>。核心定义为，若变量<math>X</math>是变量<math>Y</math>的原因，必须在所有可能的背景条件<math>K</math>下，<math>X</math>能持续提升<math>Y</math>的发生概率。并将因果效应定义为：<br />
在控制所有相关背景条件（Background Conditions）<math>K</math>的情况下，<math>X</math>对<math>Y</math>的条件概率差异,公式为:<br />
<br />
<math>\Delta = P(E \mid C, K) - P(E \mid \neg C, K)</math>，其中<math>K</math>是与<math>X</math>和<math>Y</math>有关的背景条件集合。<br />
<br />
同样，若 <math>\Delta > 0</math>，则<math>X</math>对<math>Y</math>有正向因果效应；若<math>\Delta < 0</math>，则为负向效应；若<math>\Delta = 0</math>，则无因果效应。Eells 的因果定义比 Suppes 更严格，要求因果效应在所有相关背景条件下均成立，而非仅整体概率提升。但实际中往往难以穷尽所有可能的<math>K</math>，导致操作困难。<br />
=== Patricia Cheng的因果归因理论 ===<br />
Patricia Cheng的因果归因理论（Causal Attribution Theory）<ref name=Cheng_1997/>与概率提升概念有深刻关联，其理论框架对传统概率提升模型进行了重要扩展和修正，核心思想是：<br />
人类通过观察事件发生的共变概率（<math>P(Y|X)</math>和<math>P(Y|\neg X)</math>）来推断潜在因果关系，但需排除背景条件的干扰。其公式为：<br />
<br />
<math>\text{Causal Power of } X = \frac{P(Y|X) - P(Y|\neg X)}{1 - P(Y|\neg X)}</math><br />
<br />
该公式的本质是计算<math>X</math>独立于背景条件时对<math>Y</math>的净因果效应，即<math>X</math>导致<math>Y</math>的因果力量（Causal Power）。通过公式中的分母项 <math>1 - P(Y|\neg X)</math>，将背景条件的影响从<math>X</math>的因果效应中剥离，得到<math>X</math>的独立因果力量。这类似于统计学中的控制混杂变量，但更侧重认知层面的归因机制。<br />
== 基于结构因果模型的因果效应度量 ==<br />
从20世纪80年代开始，以朱迪亚·珀尔（[[Judea Pearl]]）为代表的一些研究人员提出一种新的因果分析模型<ref name=pearl_1995/>，叫做[[结构因果模型]]（Structural Causal Model，SCM），引入了结构因果方程、因果图、[[Do演算]]（也称为[[干预]]操作）、反事实分析等概念，提出了一种全新的形式化理论，开创了另外一条从观察数据（或者观察数据与实验数据结合）进行因果分析和推断的路线。珀尔本人也证明了该理论和潜在结果理论是等价的<ref name="pearl_2009"/>，进一步肯定了该理论的普适性和可信任性。<br />
=== 平均因果效应 ===<br />
假设<math>X</math>和<math>Y</math>是两个取值0或1的变量，<math>X = 0</math>表示<math>X</math>没有出现，<math>X = 1</math>表示<math>X</math>出现，<math>Y = 0</math>表示<math>Y</math>没有发生，<math>Y = 1</math>表示<math>Y</math>发生，<math>Z</math>是环境变量，定义<math>X</math>对于<math>Y</math>的平均因果效应（ACE）为<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X\rightarrow Y)=\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 1),Z)-\mathbb{E}(Y|\text{do}(X = 0),Z)</math><br />
<br />
其意思是，强制将<math>X</math>设置为1，固定其他变量不动（这就是所谓的“干预”），观察<math>Y</math>变化的期望值，并与其在<math>X</math>强制设置为 0 时的期望值进行比较，其中的差被认为是<math>X</math>对于<math>Y</math>的因果效应。<br />
<br />
为了计算总体的平均因果效应，需对 <math>Z</math> 的所有可能取值进行平均。具体来说，计算每个 <math>Z = z</math>下的条件因果效应 <math>\mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z)</math>，然后按 <math>Z</math> 的分布 <math>P(Z = z)</math>加权求和：<br />
<br />
<math>\text{ACE}(X \rightarrow Y) = \sum_{z} \left[ \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 1), Z = z) - \mathbb{E}(Y \mid \text{do}(X = 0), Z = z) \right] \cdot P(Z = z)</math><br />
<br />
这里的平均操作针对环境变量 <math>Z</math>，旨在消除 <math>Z</math> 对因果效应的混杂影响。通过调整 <math>Z</math>的分布，确保结果反映 <math>X</math> 对 <math>Y</math>的总体平均影响，而非特定环境下的局部效应。 <br />
<br />
为了判定<math>X</math>与<math>Y</math>是否具有因果关系，可以确定一个阈值<math>p\geq0</math>，当<math>|ACE(X\rightarrow Y)|<p</math>时，认为<math>X</math>与<math>Y</math>没有因果关系，否则认为两者之间存在因果关系。<br />
<br />
=== 干预操作 ===<br />
珀尔的关于因果效应的定义既比较符合常识认知，又具有坚实的数学基础，[[Do演算]]是该定义的核心，同时也具有契合常识的含义以及严格的计算程式。<br />
Do演算是一种对于数据的主动干预，在传统的统计学中甚至找不到对它的描述，这是珀尔定义因果效应而创建的一种操作，借助这一概念，可以很好地定义什么是变量之间的因果效应。例如在决策理论中，决策是一种对于现有状态的主动干预，已知当前环境<math>Z</math>，拟采取决策<math>X</math>，预测结果<math>Y</math>。这个情况可表示为<math>P(Y|\text{do}(X),Z)</math>，而不是<math>P(Y|X,Z)</math>。前一个公式表示在决策前的环境<math>Z</math>中，实施决策<math>X</math>之后，预判<math>Y</math>出现的概率。后一个公式则表示在决策<math>X</math>与实施后的环境<math>Z</math>共存的情况下，<math>Y</math>出现的概率。<br />
该理论与随机对照试验有着深刻的联系，它们之间可以互相印证、互相转换，简直可以说是随机对照试验的数字孪生。借助这一理论，就可以通过观察数据来分析和判断因果效应，从而使得原来一些无法进行实验的学科也引入了因果分析，建立了一套严谨和系统的新的研究方法。<br />
=== 反事实分析 ===<br />
[[反事实]]在因果科学中指的是如果在发生<math>X = x</math>，同时又出现了结果<math>Y</math>的情况下，若<math>X = x'</math>，<math>Y</math>仍然发生的可能性有多大，表示为<math>P(Y_{X = x'}|X = x,Z)</math>。反事实讨论的是原因的必要性，反映了人类的反思和回顾，这是人类智能中的核心部分。在反事实分析中，引入了Do演算<math>\text{do}(X = x)</math>，即对于变量<math>X</math>强制设为<math>x</math>，反映了对于现实世界的一种干预。如果在现实世界<math>Z</math>中实施了操作<math>\text{do}(X = x)</math>，则结果是<math>P(Y|\text{do}(X = x),Z)</math>，若改为反事实操作<math>\text{do}(X = x')</math>，即做了<math>X</math>的另一种替换操作，所得到的结果应该是<math>P(Y|\text{do}(X = x'),Z^{*})</math>，其中<math>Z^{*}</math>是所谓的与<math>Z</math>最邻近的假设世界，即在<math>Z^{*}</math>与<math>Z</math>中，所有不受<math>X</math>影响的变量都取相同的值。以前也有过各种关于反事实的定义，但是大多数含义是模糊的或者难以识别的，没有严格区分现实世界与假设世界的异同。例如有些定义将反事实放在另一个更一般的世界中，这可能与反事实概念的初衷相违。有些定义用自然语言描述，无法转化为数学公式，从而难以具体计算。而珀尔的定义则语义明确，在很多情况下，又易于在计算机上进行运算。更重要的，该定义与人们的常识较为吻合，有利于与现有的知识体系相结合。反事实在日常生活和科学论述中是大量出现的。尽管从数学上说，珀尔对于反事实的定义仍然是一种约定，却是目前关于反事实推断的最为清晰、涵盖面最广以及最便于在实际中应用的概念。<br />
=== 结构因果模型与潜在结果理论的等价性 ===<br />
朱迪亚·珀尔（Judea Pearl）在其著作中系统地阐述了结构因果模型（SCM）与潜在结果理论之间的等价性<ref name="pearl_2009"/>。尽管他并未以“严格数学等价”的术语表述两者的关系，但他在书中通过以下方式证明了这两种框架在因果推断中的实质一致性：<br />
<br />
1. 结构方程生成潜在结果： <br />
在SCM中，每个变量的值由结构方程决定，例如 <math>Y = f(X, Z)</math>。 <br />
通过干预（如设定 <math>do(X=x)</math>），可以直接导出潜在结果 <math>Y(x)</math>，即： <br />
<math display="block"><br />
Y(x) = f(x, Z)<br />
</math> <br />
这表明潜在结果是结构方程的实例化。<br />
<br />
2. 反事实与do-算子的对应： <br />
潜在结果框架中的反事实问题（如“若 <math>X</math> 为 <math>x</math>，则 <math>Y</math> 会如何？”）在SCM中通过 <math>do(X=x)</math> 操作实现，两者在逻辑上完全等价。<br />
=== 因果效应的概率表达 ===<br />
Judea Pearl在2000年发表的著作<ref name=pearl_2009/>中通过结构因果模型引入干预操作（[[Do演算]]），将因果效应量化为干预操作下的概率差异，通过干预操作解决了混杂变量问题，使概率提升真正成为可操作的因果标准。公式如下：<br />
<br />
<math>\Delta = P(Y \mid do(X=x), Z) - P(Y \mid do(X=x'), Z)</math><br />
<br />
其中：<br />
<math>do(X=x)</math>表示对变量<math>X</math>进行人为干预，将其固定为某个值<math>x</math>；<br />
<math>Y</math>是结果变量，<math>Z</math>是背景条件（控制变量）；<br />
<math>x</math>和<math>x'</math>代表<math>X</math>的两种不同干预状态（例如服药与不服药）。<br />
<br />
对于潜在结果理论的二元变量（如<math>X=1</math>表示服药，<math>X=0</math>表示不服药），平均因果效应可简化为：<br />
<br />
<math>ACE = P(Y=1 \mid do(X=1)) - P(Y=1 \mid do(X=0))</math><br />
<br />
== 基于有效信息的因果效应度量 ==<br />
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是一种信息论的因果效应度量指标，具体定义为在把因变量X干预为均匀分布的条件下，因变量X与果变量Y的互信息。这个概念最早由Giulio Tononi等人在2003年提出<ref name=tononi_2003>{{cite journal |last1=Tononi|first1=G.|last2=Sporns|first2=O.|title=Measuring information integration|journal=BMC Neuroscience|volume=4 |issue=31 |year=2003|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-4-31}}</ref>，作为[[整合信息论]]中的一个关键指标。当一个系统各个部分之间具有很强的因果关联的时候，可以说这个系统便具备很高的整合程度，而有效信息便是用来度量这种因果关联程度的关键指标。到了2013年，Giulio Tononi的学生Erik Hoel等人将有效信息这个概念进一步提炼出来，用来度量马尔科夫动力学的因果效应强度，并提出了[[因果涌现]]理论<ref name=hoel_2013/>。在这个理论中，Hoel使用了[[Judea Pearl]]的[[do演算]]来改造一般的[[互信息]]指标<ref name="pearl_causality">{{cite book|title=因果论——模型、推理和推断|author1=Judea Pearl|author2=刘礼|author3=杨矫云|author4=廖军|author5=李廉|publisher=机械工业出版社|year=2022|month=4}}</ref>，这使得EI本质上与[[互信息]]不同。[[互信息]]度量的是相关性，而有效信息因为引入了[[do演算]]，从而可以度量因果效应。<br />
===形式定义===<br />
<br />
考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。则[math]X[/math]到[math]Y[/math]的有效信息EI的定义为：<br />
<br />
<math><br />
EI\equiv I(X:Y|do(X\sim U(\mathcal{X})))\equiv I(\tilde{X}:\tilde{Y})<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]do(X\sim U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施干预操作(或称[[do演算]]），使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布[math]U(\mathcal{X})[/math]，也即是[[最大熵分布]]。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，其中，<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{X}=x)=\frac{1}{\#(\mathcal{X})},<br />
</math><br />
<br />
也就是，经过干预后的变量[math]\tilde{X}[/math]与干预前的变量[math]X[/math]之间的最大区别就在于分布不同：[math]\tilde{X}[/math]服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布，而[math]X[/math]则可能是任意的分布。这里[math]\#(\mathcal{X})[/math]代表集合[math]\mathcal{X}[/math]的基数。对于有限元素集合来说，这就是集合中元素的个数。<br />
<br />
按照[[Judea Pearl]]的理论，do算子实际上是切断了所有指向[math]X[/math]变量的因果箭头，同时保持其它因素，特别是从[math]X[/math]到[math]Y[/math]的因果机制保持不变。所谓的[[因果机制]]是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]的情况下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上取任意值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：<br />
<br />
<math><br />
f\equiv Pr(Y=y|X=x)<br />
</math><br />
<br />
在干预中，我们要始终保持这个[[因果机制]][math]f[/math]保持不变。当没有其它变量影响的时候，这就会导致，[math]Y[/math]的概率分布会跟着发生变化，即被间接干预成为：<br />
<br />
<math><br />
Pr(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}Pr(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{x\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.<br />
</math><br />
<br />
其中，[math]\tilde{Y}[/math]则代表：在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，[math]Y[/math]变量被[math]X[/math]的do干预所间接改变了的Y变量，这种变化主要体现在概率分布的变化上。<br />
<br />
因此，所谓一个因果机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是被干预后的因变量[math]\tilde{X}[/math]和果变量[math]\tilde{Y}[/math]之间的[[互信息]]，该指标即可度量X与Y之间的因果效应强度。<br />
<br />
可以证明，EI仅仅是因果机制f的函数，当构成矩阵f的行向量都相等的时候，EI=0；当构成f的行向量都是不同的独热向量（one-hot）的时候，EI能取到最大值[math]\log_2 N[/math]，其中[math]N={\#(\mathcal{X})}[/math]，也就是f的行数。<br />
<br />
===有效性===<br />
根据Erik Hoel等人在文章<ref name=hoel_2013 />中的描述，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，所以，Hoel定义了一个不受尺度效应影响的因果效应度量，即有效性（Effectiveness）。该变量定义为用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量。那么归一化后的EI便等于：<br />
<br />
<math><br />
Eff=\frac{EI}{\log N}<br />
</math><br />
<br />
这个归一化指标也称为'''有效性'''（effectiveness，Eff）。<br />
===维度平均的EI===<br />
张江团队发明了另一种对连续变量的有效信息进行归一化方式<ref name=zhang_nis/>，即用状态空间维数来归一化EI，从而解决连续状态变量上的EI比较问题，这一指标被称为'''维度平均的有效信息'''（Dimension Averaged Effective Information，简称dEI）。其描述为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}\equiv\frac{EI}{n}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]n[/math]为状态空间的维度。可以证明，在离散的状态空间中，'''维度平均的EI'''和'''有效性'''指标（Eff）实际上是等价的。<br />
<br />
对于n维迭代动力系统来说，首先，[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]表示同一维度的变量，我们假设[math]\mathbf{y}[/math]和[math]\mathbf{x}[/math]的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和x定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。维度平均EI的计算公式为：<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}<br />
</math><br />
<br />
== 基于动力学可逆性的因果效应度量 ==<br />
===严格动力学可逆===<br />
[[张江]]团队发现EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]（TPM）的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility/>。核心定义如下：<br />
<br />
对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：<br />
# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵； <br />
# <math>P^{-1}</math>也是另一个马尔可夫链<math>\chi^{-1}</math>的有效TPM，<br />
<br />
则<math>\chi</math>和P可以称为'''严格动力学可逆的'''。我们将这一性质称为[[动力学可逆性]]。因此，从某种程度上说，EI衡量的是马尔科夫链的一种[[动力学可逆性]]。<br />
===近似动力学可逆===<br />
[[排列置换矩阵]]是唯一一种能同时满足上面两个条件的矩阵。由于[[排列置换矩阵]]过于特殊，我们需要能够衡量一般的马尔科夫概率转移矩阵与排列置换矩阵的靠近程度，以度量其[[近似动力学可逆性]]。在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们提出了一种用矩阵的类[[Schatten范数]]来度量一个马尔科夫概率转移矩阵的[[近似动力学可逆性]]的方法，定义为：<br />
<br />
<math><br />
\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}=|P|_{\alpha}^{\alpha}<br />
</math><br />
<br />
这里，[math]|P|_{\alpha}[/math]为矩阵P的[[Schatten范数]]，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]为[[近似动力学可逆性]]指标，[math]\sigma_i[/math]为概率转移矩阵P的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列。<br />
===基于动力学可逆性的因果效应指标===<br />
在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们证明了EI与动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：<br />
<br />
<math><br />
EI\sim \log\Gamma_{\alpha}<br />
</math><br />
<br />
所以<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>也可以用于刻画动力学的因果效应强度。关于动力学可逆性的进一步讨论和说明，请参考词条：[[基于可逆性的因果涌现理论]]<br />
<br />
== 因果效应度量中的因果基元 ==<br />
===因果关系的形式化===<br />
为了归纳各个因果度量方法之间的相似性，需要用一套统一的形式化方法描述它们，所以我们需要先给出因果关系的形式化方法<ref name=" Hoel 2022">{{cite journal |last=Comolatti |first=Renzo |last2=Hoel |first2=Erik |title=Causal emergence is widespread across measures of causation |journal=arXiv preprint |year=2022 |eprint=2202.01854 |url=https://arxiv.org/abs/2202.01854}}</ref>：在一个给定的空间<math>Ω</math>，即所有可能发生的情况的集合，在这个空间中，事件的单个原因记作<math>c</math>，单个结果记作<math>e</math>，，一组原因记作<math>C</math> ，一组结果记作<math>E</math>，其中假定<math>c</math>在<math>e</math>之前，并满足<math>c∈Ω 、 e∈Ω 、C ⊆ Ω 、 E ⊆ Ω</math> 。为了衡量因果关系，把没有发生<math>c</math>的情况下获得<math>e</math>的概率写成<math>P (e|C\c)</math>，其中<math>P</math>代表概率，<math>C\c</math>代表<math>c</math>的补集，指的是在<math>C</math>中的任何原因都可能产生<math>e</math>的情况下，除了<math>c</math>之外，<math>e</math>的概率，用公式表示为<br />
<br />
<math>P(e\mid C)=\sum_{c\in C}P(c)P(e\mid c)</math><br />
===因果基元的形式化===<br />
当我们讨论因果关系时，不应该简单地认为它只是一个简单的原因导致结果的关系。实际上，这种关系可以从两个不同的角度来看：一个是充分性，另一个是必要性。充分性是指一个原因是否总是能导致一个特定的结果，而必要性是指为了得到这个结果，是否需要这个特定的原因。我们可以把这两个概念看作是理解因果关系的基本元素，称为因果基元<ref name=" Hoel 2022"/>。在更广泛的意义上，充分性和必要性分别反映了因果关系之间的确定性和简并性。<br />
<br />
1.充分性：这里指的是原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的充分程度。如果每当原因<math>c</math>发生时，结果<math>e</math>总是随之发生，那么我们可以说<math>c</math>是产生<math>e</math>的充分条件。换句话说，<math>c</math>的存在足以确保<math>e</math>的发生。充分性用表示公式为<br />
<br />
<math>suff (e, c) = P (e | c)<br />
</math><br />
<br />
2.必要性：这里指指原因<math>c</math>对产生结果<math>e</math>的必要性程度。如果只有通过<math>c</math>才能产生<math>e</math>，那么<math>c</math>是产生<math>e</math>的必要条件。这意味着没有<math>c</math>，<math>e</math>就不会发生。必要性用表示公式为<br />
<br />
<math>nec(e, c) = 1 – P (e | C\c)<br />
<br />
</math><br />
<br />
3.确定性：如果原因只有一个结果，即<math>P=1</math>，则该熵项为零；如果原因具有完全随机的结果，则熵最大，即<math>log_2n</math>，其中<math>n</math>为所有可能结果的数量，用<math>H (e | c) </math>表示原因导致结果的概率分布的熵，用公式表示为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid c)=\sum_{e\in E}P(e\mid c)\log_2\frac{1}{P(e\mid c)}\end{aligned} </math><br />
<br />
因此，我们将原因<math>c</math>的确定性定义为<math>log_2n - H (e | c) </math>。我们将它做归一化处理，可以创建一个确定性系数<math>det </math>，对于给定的原因，该系数的范围与充分性一样，在 0（完全随机）和 1（完全确定性）之间，公式为<br />
<br />
<math>det(c)=1-\frac{H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果转换的确定性系数<br />
<br />
<math>det(e,c)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|c)}}{\log_2n} </math><br />
<br />
以及系统级确定性系数<br />
<br />
<math>det=\sum\limits_{c\in C}P(c) det(c)=\sum\limits_{e\in E, c\in C}P(e,c) det(e,c)=1-\frac{\sum\limits_{c\in C}P(c) H(e\mid c)}{\log_2n} </math><br />
<br />
4.简并性：简并性是必要性的一种推广，如果所有可能的结果都有相同的概率，即没有任何一个结果比其他结果更有可能，那么简并性为零。如果某些特定的结果由更多的原因引起，那么这些特定的结果就更有可能发生，从而导致简并性增加。简并性的量化可以用一组原因<math>C</math>导致<math>e</math>发生的条件概率的熵来衡量，公式为<br />
<br />
<math>\begin{aligned}H(e\mid C)=\sum_{e\in E}P(e\mid C)\log_2\frac{1}{P(e\mid C)}\end{aligned}</math><br />
<br />
通过这个公式，我们可以定义一个单个因果效应的简并性系数<br />
<br />
<math>deg(e)=1-\frac{\log_2\frac{1}{P(e|C)}}{\log_2n}</math><br />
<br />
以及系统级简并性系数<br />
<br />
<math>deg=\sum_{e\in E}P(e\mid c) deg(e)=1-\frac{H(e\mid C)}{\log_{2}n}</math><br />
=== 因果效应度量指标的因果基元表示 ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+<br />
因果效应度量指标的因果元语表现形式<br />
!因果效应指标<br />
!概率定义<br />
!因果基元定义<br />
!参考文献和备注<br />
|-<br />
|Suppes度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C)<br />
</math><br />
|<math><br />
suff + nec' - 1<br />
</math><br />
|<ref name=suppes_1970/><br />
|-<br />
|Eells度量<br />
|<math><br />
P(e|c) - P(e|C\backslash c)<br />
</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|<ref name=eells_1991/><br />
|-<br />
|Cheng度量<br />
|<math>suff(e,c)-nec^{\dagger}(e)</math><br />
|<math>\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name=Cheng_1997/><br />
|-<br />
|Judea Pearl度量<br />
|<math>\mathrm{PNS}（充要概率）=P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
<math>\mathrm{PN}（必要概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{P(e\mid c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}（充分概率）=\frac{P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)}{1-P(e\mid C\backslash c)}</math><br />
|<math>\mathrm{PNS}=suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
<math>\mathrm{PN}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{suff(e,c)}</math><br />
<math>\mathrm{PS}=\frac{suff(e,c)+nec(e,c)-1}{nec(e,c)}</math><br />
|<ref name="pearl_causality" /><ref name="pearl_2009"/><br />
|-<br />
|潜在结果度量<br />
|<math>P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)</math><br />
|<math>suff(e,c)+nec(e,c)-1</math><br />
|根据本词条6.4结构因果模型与潜在结果理论的等价性可得<br />
|-<br />
|有效信息EI<br />
|<math>EI=\sum_{e\in E,c\in C}P(e,c)ei(c,e)</math><br />
|<math>\log_{2}n[det-deg]</math><br />
|<ref name="hoel_2013" /><br />
|}<br />
<br />
===总结===<br />
上表中的每一种因果度量方法，两个基元（充分性和必要性）或它们的广义形式（确定性和简并性性）都被明确地置于某种关系中，通常是差异、比率或权衡的关系。我们并不是第一个指出因果关系有两个维度的人，例如，Judea Pearl 就说过： “显然，必须在因果解释的必要成分和充分成分之间取得某种平衡"<ref name="pearl_2009"/>。J. L. Mackie虽然没有提出因果关系强度的定量衡量标准，但他在提出原因应满足的 INUS 条件（Insufficient but Necessary part of an Unnecessary but Sufficient condition，简称INUS）时，考虑到了必要性和充分性两个方面，Mackie认为，一个真正的因果关系应该包含两个层面：首先，它必须是某个条件的一部分，这个条件本身足以导致结果发生，但这个条件不是唯一的，也就是说，还有其他可能的条件也可以导致同样的结果；其次，这个条件中的特定部分（即INUS条件）对于整个条件来说是必要的，但单独来看并不足以引起结果<ref>J. L. Mackie. Causes and Conditions. ''American Philosophical Quarterly'', 2(4):245–264, 1965. Publisher:University of Illinois Press.</ref>。这些因果度量方法的相似性和一致性说明因果关系本身并不是一个原始概念，而是可以从充分性和必要性这两个维度进行分解，它们的广义形式分别是确定性和简并性。研究者们不再需要找到一个必须达成普遍共识的唯一因果关系衡量标准，而是可以通过关注这些相同的基本属性继续理解其他因果现象。<br />
<br />
== 参考文献 ==</div>
刘易明
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2025-04-08T09:23:25Z
<p>刘易明：/* 操作说明 */</p>
<hr />
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== 程序说明 ==<br />
这是一个多个企业参与的竞争环境。每个格子（蓝色的或红色的）都是一个企业，它们在随机的游走着，并会与其它的格子相遇，当与其它的企业相遇的时候，他们就进行囚徒困境博弈，其中蓝色的格子表示采用合作的策略，红色的格子表示采用背叛的策略。根据博弈的规则，每个企业都会有一个盈利数表示收益。所有的企业都想学习它的邻居中盈利最多的企业的策略。你会看到，在这样的环境中，竞争或者合作会自发的演化。<br />
== 操作说明 ==<br />
点击开始按钮，模拟程序开始运行。格子会随机的游走，并不断向他们的环境学习。<br />
<br />
点击“单步运行”表示每次只进行一步，这方便我们的观察。<br />
<br />
选择不同的显示方法可以从不同的角度观察企业的运动，其中策略是观察整个合作与不合作策略的分布，id是跟踪每个企业，移动方向观察每个企业下一步将移动向何方。<br />
<br />
点击“设置”按钮可以更改一些程序的属性。点击“查看”可以观察系统总的时间-状态图，你会看到使用不同策略的企业在时间上的分布。</div>
刘易明
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2025-04-08T09:22:55Z
<p>刘易明：/* 操作说明 */</p>
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== 程序说明 ==<br />
这是一个多个企业参与的竞争环境。每个格子（蓝色的或红色的）都是一个企业，它们在随机的游走着，并会与其它的格子相遇，当与其它的企业相遇的时候，他们就进行囚徒困境博弈，其中蓝色的格子表示采用合作的策略，红色的格子表示采用背叛的策略。根据博弈的规则，每个企业都会有一个盈利数表示收益。所有的企业都想学习它的邻居中盈利最多的企业的策略。你会看到，在这样的环境中，竞争或者合作会自发的演化。<br />
== 操作说明 ==<br />
点击开始按钮，模拟程序开始运行。格子会随机的游走，并不断向他们的环境学习。<br />
点击“单步运行”表示每次只进行一步，这方便我们的观察。<br />
选择不同的显示方法可以从不同的角度观察企业的运动，其中策略是观察整个合作与不合作策略的分布，id是跟踪每个企业，移动方向观察每个企业下一步将移动向何方。<br />
点击“设置”按钮可以更改一些程序的属性。点击“查看”可以观察系统总的时间-状态图，你会看到使用不同策略的企业在时间上的分布。</div>
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== 程序说明 ==<br />
这是一个多个企业参与的竞争环境。每个格子（蓝色的或红色的）都是一个企业，它们在随机的游走着，并会与其它的格子相遇，当与其它的企业相遇的时候，他们就进行囚徒困境博弈，其中蓝色的格子表示采用合作的策略，红色的格子表示采用背叛的策略。根据博弈的规则，每个企业都会有一个盈利数表示收益。所有的企业都想学习它的邻居中盈利最多的企业的策略。你会看到，在这样的环境中，竞争或者合作会自发的演化。<br />
== 操作说明 ==<br />
点击开始按钮，模拟程序开始运行。格子会随机的游走，并不断向他们的环境学习。<br />
<br />
点击“单步运行”表示每次只进行一步，这方便我们的观察。<br />
<br />
选择不同的显示方法可以从不同的角度观察企业的运动，其中策略是观察整个合作与不合作策略的分布，id是跟踪每个企业，移动方向观察每个企业下一步将移动向何方。<br />
<br />
点击“设置”按钮可以更改一些程序的属性。点击“查看”可以观察系统总的时间-状态图，你会看到使用不同策略的企业在时间上的分布。</div>
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2025-04-08T09:19:33Z
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2025-04-08T09:18:07Z
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2025-04-08T09:17:27Z
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2025-04-08T09:17:12Z
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2025-04-08T09:16:47Z
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2025-04-08T09:16:33Z
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刘易明