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帕累托最优

2020-12-13T07:37:44Z

打豆豆：/* References 参考文献 */

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'''帕累托效率 Pareto efficiency '''或'''帕累托最优 Pareto optimality'''是一种不能再改进的状态，它使得任何个体或偏好准则变得更好而不使任意一个个体或一项偏好准则变得更差。这个概念是以意大利工程师、经济学家维尔弗雷多·帕累托 Vilfredo Pareto（1848-1923）的名字命名的。他在研究'''经济效率 economic efficiency'''和'''收入分配 income distribution'''时使用了这个概念。以下三个概念密切相关：

* 在一个给定的初始条件下，'''帕累托改进 Pareto improvement '''指的是一种大多数主体的弱偏好选择，被至少一个主体严格优选的状态。在某种意义上，它是一种一致同意的改进：如果我们处于这种新的情况下，一些主体会获利，且没有主体会蒙受损失。
*一种状态如果存在帕累托改进，那么它被称作'''受帕累托支配 Pareto dominated '''的。
*一种状态如果是不受帕累托支配的，那么它被称作'''帕累托最优'''的或'''帕累托有效'''的。

'''帕累托边界 Pareto frontier '''是所有帕累托有效分配的集合，按惯例以图表形式表示它。它也被称为'''帕累托前沿 Pareto front '''或'''帕累托集 Pareto set '''。<ref>{{Cite web|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|title=Pareto Front|last=proximedia|website=www.cenaero.be|access-date=2018-10-08}}</ref>

“帕累托最优”被认为是一种狭义的效率，它不一定会产生社会所期望的资源分配: 它没有为平等或一个社会的总体福祉发声。<ref>{{cite journal |authorlink=Amartya Sen |first=A. |last=Sen |title=Markets and freedom: Achievements and limitations of the market mechanism in promoting individual freedoms |journal=Oxford Economic Papers |volume=45 |issue=4 |pages=519–541 |date=October 1993 |url=http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr06/cos444/papers/sen.pdf |doi=10.1093/oxfordjournals.oep.a042106 }}</ref><ref>{{cite book |first=N. |last=Barr |author-link=Nicholas Barr|chapter=3.2.2 The relevance of efficiency to different theories of society |title=Economics of the Welfare State |year=2012 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-929781-8 |pages=[https://books.google.com/books?id=DOg0BM1XiqQC&pg=PA46 46–49] |edition=5th}}</ref>它是效率的必要不充分条件。

除了分配效率的背景之外，帕累托最优的概念也出现在'''生产效率 efficiency in production'''对比于'''x-低效率 x-inefficiency'''的背景之下，即如果生产投入没有可行的再分配，使得一种产品的产出增加，而所有其他产品的产出增加或保持不变，那么这一组产品的产出就是帕累托最优的。<ref>[[John D. Black|Black, J. D.]], Hashimzade, N., & [[Gareth Myles|Myles, G.]], eds., ''A Dictionary of Economics'', 5th ed. (Oxford: Oxford University Press, 2017), [https://books.google.com/books?id=WyvYDQAAQBAJ&pg=PT459 p. 459].</ref>

除了经济学，帕累托最优的概念已经应用到工程和生物学中的替代品的选择。首先根据多项标准对每个选项进行评估，然后确定选项子集，没有其他选项的属性可以绝对胜过选定的选项。在'''多目标优化 multi-objective optimization'''(又称'''帕累托优化''')中，这是不可能在不损害其他变量的情况下改进一个变量的陈述。

==综述 ==

“帕累托最优”是一个正式定义的概念，用来描述一个分配何时是最优的。如果有一种替代性的分配方式可以在不降低任何其他参与者福祉的情况下改善至少一个参与者的福祉，那么这种分配就不是帕累托最优的。如果有一个转移满足这个条件，这个再分配就被称为“帕累托改进”。当无法进一步实现帕累托改进时，这个分配就是“帕累托最优”。

这个概念在经济体系中的正式表述如下: 考虑一个经济体系有''<math> n</math>''个主体和''<math> k</math>''个商品，如果没有其他可行的分配<math> \{x_1, ..., x_n\} </math>使得效用函数<math> u_i </math>对任意主体<math> i </math>满足<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>，对某些主体<math> i </math>满足<math> u_i(x_i') > u_i(x_i) </math>，那么这个分配<math> \{x_1', ..., x_n'\} </math>是帕累托最优的，其中对任意<math> i </math>，<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>此处需插入公式'''。<ref name="AndreuMas95">{{citation|author-link=Andreu Mas-Colell|last1=Mas-Colell|first1=A.|first2=Michael D.|last2=Whinston|first3=Jerry R.|last3=Green|year=1995|title=Microeconomic Theory|chapter=Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-510268-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780198089537}}</ref>在这个简单的经济体系中，“可行性”是指一种分配，其中每种商品的分配总额不超过该经济体系中所有商品的总额。在一个生产能力更为复杂的经济体中，一种分配将包括消费载体和生产载体，且可行性要求每种消费品的总量不大于初始禀赋加上生产总量。

原则上，从一个普遍低效率的经济分配到一个高效率的经济分配的转变不一定被认为是帕累托改进。即使经济总体是获益的，如果一个主体在再分配中处于不利地位，这个分配也不是帕累托最优的。例如，如果经济政策的某个改变消除了垄断，市场随后变得具有竞争力，那么其他主体的收益可能很大。然而，由于垄断者处于不利地位，这不是帕累托改进。理论上，如果经济体系的收益大于垄断者的损失，考虑到帕累托改进，垄断者可以在为经济体系中的其他主体留下净收益的情况下得到补偿。因此，在实践中，为了确保没有人会因为旨在实现帕累托最优的改变而处于不利地位，可能需要对一个或多个当事方进行补偿。在现实世界中，人们公认，这种补偿可能会造成意外的后果，随着时间的推移动机扭曲，因为代理人可能预期这种补偿并相应地改变他们的行为。<ref>See [[Ricardian equivalence]]</ref>

在'''福利经济学第一定理 the first welfare theorem'''的理想条件下，一个'''自由市场 free market'''系统，也称为“'''竞争均衡 competitive equilibrium'''” ，对应一个帕累托有效的结果。经济学家肯尼斯·阿罗 Kenneth Arrow和杰拉德·迪布鲁 Gérard Debreu首先用数学方法证明了这一点。

然而，这个结果只有在证明所需的限制性假设下才成立，即所有可能的商品都存在市场，因此不存在外部效应; 所有市场都处于完全均衡状态; 市场是完全竞争的; 交易成本是可忽略的; 市场参与者拥有'''完全信息 perfect information'''。

根据'''格林沃德-斯蒂格利茨定理 the Greenwald-Stiglitz theorem'''，在缺乏完全信息或完全市场的情况下，这个结果通常是帕累托低效的。<ref>{{Cite journal |doi=10.2307/1891114 |last1=Greenwald |first1=B. |last2=Stiglitz |first2=J. E. |author1-link=Bruce Greenwald |author2-link=Joseph E. Stiglitz |journal=Quarterly Journal of Economics |volume=101 |issue=2 |pages=229–64 |year=1986 |title=Externalities in economies with imperfect information and incomplete markets }}</ref>

'''福利经济学第二定理 The second welfare theorem'''实质上是福利经济学第一定理的逆定理。它指出，在类似的理想假设下，任何帕累托最优都可以通过某种[[竞争均衡]]或[[自由市场制度]]获得，尽管它可能也需要一次性转移财富。<ref name="AndreuMas95"/>

==弱帕累托效率==

'''弱帕累托最优 Weak Pareto optimality '''是一种不能严格地改善每个个体的状态。<ref>{{Cite book | doi=10.1007/978-1-4020-9160-5_341|chapter = Pareto Optimality|title = Encyclopedia of Global Justice| pages=808–809|year = 2011|last1 = Mock|first1 = William B T.| isbn=978-1-4020-9159-9}}</ref>

在形式上，我们将'''强帕累托改进 strong pareto improvement '''定义为所有主体严格处于较好状态的情况(与之相对的是“帕累托改进” ，它要求一个主体严格处于较好状态，而其他主体至少同样良好)。没有强帕累托改进的状态是'''弱帕累托最优'''的。

任何强帕累托改进也是弱帕累托改进。反之则不然; 例如，考虑一个包含两种资源的资源分配问题，Alice资源为10,0，George资源为5,5。考虑将所有资源分配给 Alice，它的'分配方案为(10,0)。

* 它是一个弱帕累托最优，因为没有其他任何分配对上述两个主体是更优的（没有强帕累托改进）。
* 但它不是一个强帕累托最优，因为George得到的第二种的资源的分配对George是严格更优的且对Alice是弱更优的（它是一个弱帕累托改进），它的分配方案为(10,5)

市场不需要局部不饱和 local nonsatiation 就能达到弱帕累托最优。<ref>Markey‐Towler, Brendan and John Foster. "[http://www.uq.edu.au/economics/abstract/476.pdf Why economic theory has little to say about the causes and effects of inequality]", School of Economics, [[University of Queensland]], Australia, 21 February 2013, RePEc:qld:uq2004:476</ref>

==受约束的帕累托效率 ==

'''受约束的帕累托最优 Constrained Pareto optimality '''是帕累托最优的弱化，因为一个潜在的规划者(比如政府)可能无法改进分散市场的结果，即使这个结果是低效的。如果它受到与独立主体相同的信息或机构约束的限制，就会发生这种情况。<ref>Magill, M., & [[Martine Quinzii|Quinzii, M.]], ''Theory of Incomplete Markets'', MIT Press, 2002, [https://books.google.com/books?id=d66GXq2F2M0C&pg=PA104#v=onepage&q&f=false p. 104].</ref>

例如，个人拥有私人信息的情况(例如，劳动力市场中工人自己的生产率为工人所知，而潜在雇主却不知道，或者二手车市场中汽车的质量为卖方所知，而非买方所知)导致道德风险或不利选择和次优结果。在这种情况下，希望改善局面的规划者不太可能获得市场参与者没有的信息。因此，计划者不能执行基于个人特质的分配规则; 例如，”如果一个人属于 a 型，他们支付 p1的价格，但如果属于 b 型，他们支付 p2的价格”(见林达尔价格 Lindahl prices )。基本上，只有隐性规则(类似于“每个人都支付价格 p”)或基于可观察行为的规则被允许; “如果任何人以价格 px 选择 x，那么他们将得到10美元的补贴，除此之外什么也得不到”。如果不存在能够成功改进市场结果的允许规则，那么该结果被称为是“受约束的帕累托最优的”。

受约束的帕累托最优的概念假定了规划者是仁慈的，因此不同于政府失灵 government failure 的概念。政府失灵在制定政策的政客未能取得最佳结果时会出现，仅仅因为他们的行为不一定符合公众的最大利益。

==部分帕累托效率 ==

'''部分帕累托最优 Fractional Pareto optimality '''是在物品公平分配的背景下对帕累托最优的一个加强。如果一个不可分割的物品的分配不是受帕累托支配的，即使在分配过程中，一些物品在主体之间被分配，那么它是'''部分帕累托最优 fractionally Pareto-optimal(fPO) '''。这与标准的帕累托最优相反，因为它只考虑可行(离散)分配的控制。<ref>Barman, S., Krishnamurthy, S. K., & Vaish, R., [https://arxiv.org/pdf/1707.04731.pdf "Finding Fair and Efficient Allocations"], ''EC '18: Proceedings of the 2018 ACM Conference on Economics and Computation'', June 2018.</ref>

作为一个示例，考虑一个有两种物品的分配问题，Alice 值为3,2，George 值为4,1。考虑将第一种物品分配给 Alice，第二种物品分配给 George，其中分配方案为(3,1)。

* 它是一个帕累托最优，因为其他任何离散分配（在不分离物品的情况下）都会使得某个主体变差。
* 但是，它不是部分帕累托最优的，因为它是受帕累托支配的。它分配给了Alice第一种物品的一半和第二种物品的全部，分配给了George第一种物品的一半。它的分配方案是(3.5,2)。

==帕累托效率和福利最大化==

假设每个主体 ''i'' 被赋予一个正权重。对于每个分配 ''x'' ，将 ''x'' 的福利定义为 ''x'' 中所有主体的配置的加权和，即:<math>W_a(x) := \sum_{i=1}^n a_i u_i(x)</math>.

假设<math>xa</math>此处需插入公式'''是一个在所有分配中使福利最大化的分配，即:<math>x_a \in \arg \max_{x} W_a(x)</math>.

很容易证明分配<math>xa</math>是帕累托有效的: 因为所有<math>xa</math>的权重都是正的，任何帕累托改进都会增加加权和，这与<math>xa</math>'的定义相矛盾。

日本新瓦尔拉斯经济学家根岸隆史 Takashi Negishi证明，<ref>{{cite journal |last=Negishi |first=Takashi |date=1960 |title=Welfare Economics and Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy |journal=Metroeconomica |volume=12 |issue=2–3 |pages=92–97 |doi=10.1111/j.1467-999X.1960.tb00275.x }}</ref>在某些假设下,该命题的逆命题也成立，即对于每一个帕累托有效的配置''x''，都存在一个正向量''a''，使最大化。哈尔·瓦里安提供了一个较短的证明。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0047-2727(76)90018-9 |title=Two problems in the theory of fairness |journal=Journal of Public Economics |volume=5 |issue=3–4 |pages=249–260 |year=1976 |last1=Varian |first1=Hal R. |hdl=1721.1/64180 |hdl-access=free }}</ref>

==工程学上的应用==

帕累托最优的概念已经在工程中得到了应用。<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>给定一组选择和一种评估它们的方法，'''帕累托边界'''、'''帕累托解集'''或'''帕累托前沿'''就是帕累托有效的选择集。通过将注意力限制在帕累托有效的选择集上，设计者可以在这个集合中进行权衡，而不是考虑每个参数的全部范围。<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>

[[File:帕累托最优边界.png|thumb|帕累托边界的一个例子。集合中的点表示可行的选择，较小的值比较大的值更好。点''C''不在帕累托边界上，因为它同时被点 ''A'' 和点 ''B'' 支配。点''A''和点''B''不受任何其他点严格控制，因此位于边界上。|256px]]

[[File:生产可能边界.png|256px|thumb|一个'''生产可能性边界 production-possibility frontier'''。红线是帕累托有效边界的一个例子，边界和左下方的区域是一个连续的选择集。边界上的红点是生产的帕累托最优选择的例子。边界外的点，如 ''N'' 和''K''，不是帕累托有效，因为在边界上存在着受帕累托支配的点。]]

===帕累托边界 ===

对于一个给定的系统，帕累托边界the Pareto frontier或帕累托集是所有帕累托有效的参数化(分配)的集合。找到帕累托前沿在工程学中特别有用。通过产生所有潜在的最优解决方案，设计师可以在这个受限的参数集中进行集中的[[权衡]]，而不需要考虑所有的参数。<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>

帕累托边界, ''P''(''Y'') ，可以更正式地描述如下。考虑一个包含函数 <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>的系统，其中''X''是'''度量空间 metric space''' <math>\mathbb{R}^n</math>中可行决策的'''紧集 compact set'''，''Y''是'''<math>\mathbb{R}^m</math>中标准向量的可行集，使得<math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>。

我们假设标准值的最优方向是已知的。<math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math>中的一个点优于中的另一个点<math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>，写作<math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>。因此，帕累托边界可以被描述为:

: <math>P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. </math>

===边际替代率 ===

经济学中，帕累托边界的一个重要方面是在帕累托有效分配中，所有消费者的'''边际替代率 the marginal rate of substitution'''是相同的。一个正式的陈述可以通过考虑一个有''m''个消费者和''n''个商品的系统，以及每个消费者的效用函数<math>z_i=f^i(x^i)</math>来推导出。在这个效用方程中，对所有的''i''，<math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math>是商品的矢量。可行性约束为<math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math>。为了找到帕累托最优分配，我们最大化'''拉格朗日函数 Lagrangian''':

: <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>

其中<math>(\lambda_k)_k</math>和<math>(\mu_j)_j</math>是乘子的向量。取关于商品的拉格朗日函数的偏导数<math>x_j^k</math>（<math>j=1,\ldots,n</math> ，<math>k=1,\ldots, m</math>）并给出以下一阶条件系统:

对于<math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\</math>

对于<math>k= 2,\ldots,m</math> ， <math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0</math>

其中<math>f_{x^i_j}</math>表示<math>f</math>对于<math>x_j^i</math>的偏导数。现给定<math>k\neq i</math>且<math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>。上述一阶条件意味着

: <math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>

因此，在帕累托最优分配中，所有消费者的边际替代率必须相同。<ref>Wilkerson, T., ''Advanced Economic Theory'' ([[Waltham Abbey]]: Edtech Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=UtW_DwAAQBAJ&pg=PA114 p. 114].</ref>

===计算===

计算机科学和动力工程给出了计算有限个方案集的帕累托边界的算法。<ref>{{cite journal |doi=10.3390/en6031439 |last1=Tomoiagă |first1=Bogdan |last2=Chindriş |first2=Mircea |last3=Sumper |first3=Andreas |last4=Sudria-Andreu |first4=Antoni |last5=Villafafila-Robles |first5=Roberto |title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II |journal=Energies |year=2013 |volume=6 |issue=3 |pages=1439–55 |doi-access=free }}</ref>它们包括:

* “最大向量问题”，或称[[轮廓查询]]。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0 |last1=Nielsen |first1=Frank |title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers |journal=Information Processing Letters |volume=59 |pages=255–9 |year=1996 |issue=5 |citeseerx=10.1.1.259.1042 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1145/321906.321910 |last1=Kung |first1=H. T. |last2=Luccio |first2=F. |last3=Preparata |first3=F.P. |title=On finding the maxima of a set of vectors |journal=Journal of the ACM |volume=22 |pages=469–76 |year=1975 |issue=4 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1007/s00778-006-0029-7 |last1=Godfrey |first1=P. |last2=Shipley |first2=R. |last3=Gryz |first3=J. |journal=VLDB Journal |volume=16 |pages=5–28 |year=2006 |title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation |citeseerx=10.1.1.73.6344 }}</ref>

* “标量化算法”，或称加权求和法。<ref name="Kimde Weck2005">{{cite journal|last1=Kim|first1=I. Y.|last2=de Weck|first2=O. L.|title=Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=31|issue=2|year=2005|pages=105–116|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-005-0557-6}}</ref><ref name="MarlerArora2009">{{cite journal|last1=Marler|first1=R. Timothy|last2=Arora|first2=Jasbir S.|title=The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=41|issue=6|year=2009|pages=853–862|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-009-0460-7}}</ref>

* “ϵ-约束法”。 <ref>{{cite journal|title=On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization|journal=IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics|volume=SMC-1|issue=3|year=1971|pages=296–297|issn=0018-9472|doi=10.1109/TSMC.1971.4308298}}</ref><ref name="Mavrotas2009">{{cite journal|last1=Mavrotas|first1=George|title=Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=213|issue=2|year=2009|pages=455–465|issn=00963003|doi=10.1016/j.amc.2009.03.037}}</ref>

==在生物学中的应用==

帕累托最优化在生物过程中也有研究。<ref>Moore, J. H., Hill, D. P., Sulovari, A., & Kidd, L. C., "Genetic Analysis of Prostate Cancer Using Computational Evolution, Pareto-Optimization and Post-processing", in R. Riolo, E. Vladislavleva, M. D. Ritchie, & J. H. Moore, eds., ''Genetic Programming Theory and Practice X'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2013), [https://books.google.co.il/books?id=YZZAAAAAQBAJ&pg=PA86 pp. 87–102].</ref>在细菌中，基因要么生成成本低廉(资源节约型) ，要么更容易被读取(翻译效率型)。自然选择将高表达的基因推向资源利用和翻译效率的帕累托边界。帕累托边界附近基因的进化速度也较慢(这表明它们提供了一种选择优势)。<ref>{{Cite journal|doi=10.1186/s13059-018-1480-7|pmid=30064467|last1=Seward|first1=Emily A. |last2=Kelly|first2=Steven|title=Selection-driven cost-efficiency optimization of transcripts modulates gene evolutionary rate in bacteria.|journal=Genome Biology|volume=19|issue=1|pages=102|year=2018|pmc=6066932}}</ref>

==批判 ==

把帕累托最优等同于社会优化是不正确的，<ref>[[Jacques Drèze|Drèze, J.]], ''Essays on Economic Decisions Under Uncertainty'' ([[Cambridge]]: [[Cambridge University Press]], 1987), [https://books.google.com/books?id=LWE4AAAAIAAJ&pg=PA358 pp. 358–364]</ref>因为后者是一个规范性概念，是一个典型的解释性问题，可以解释分配不平等程度的后果。<ref>Backhaus, J. G., ''The Elgar Companion to Law and Economics'' ([[Cheltenham|Cheltenham, UK]] / [[Northampton, MA]]: [[Edward Elgar Publishing|Edward Elgar]], 2005), [https://books.google.com/books?id=EtguKoWHUHYC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA10 pp. 10–15].</ref>一个例子就是对一个财产税收入较低的学区和另一个财政收入高很多的学区的解释，这表明在政府再分配的帮助下实现了更加平等的分配。<ref>Paulsen, M. B., "The Economics of the Public Sector: The Nature and Role of Public Policy in the Finance of Higher Education", in M. B. Paulsen, J. C. Smart, eds. ''The Finance of Higher Education: Theory, Research, Policy, and Practice'' (New York: Agathon Press, 2001), [https://books.google.com/books?id=BlkPAy-gb8sC&pg=PA95 pp. 95–132].</ref>

帕累托效率并不需要完全公平的财富分配。<ref>Bhushi, K., ed., ''Farm to Fingers: The Culture and Politics of Food in Contemporary India'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=NYJIDwAAQBAJ&pg=PA222 p. 222].</ref>一个少数富人拥有绝大多数资源的经济体系可以是帕累托有效的。这种可能性是帕累托效率的固有定义; 通常情况下，无论财富的公平分配程度如何，现状都是帕累托有效的。一个简单的例子是在三个人之间分配馅饼。最公平的分配将分配给每个人三分之一。

另一种分配是两个人各占半部分，第三个人不占分毫。然而，尽管这种分配并不公平，它也是帕累托最优的，因为没有一个接受者能够在不减少其他人的份额的情况下得到更优的收益; 还有其他许多这样的分配例子。帕累托无效率的馅饼分配的一个例子是三者中的每一个分得馅饼的四分之一，剩下的部分丢弃。<ref>Wittman, D., ''Economic Foundations of Law and Organization'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2006), [https://books.google.com/books?id=fOolQOtKM7QC&pg=PA18 p. 18].</ref>在这些示例中，馅饼的缘由(和实用价值)被认为是无关紧要的。在这种情况下，由于潜在的分配者都没有实际生产，却获得了“意外之财”(例如，土地、继承的财产、广播频谱的一部分或其他资源) ，帕累托最优的标准并不能决定唯一的最优分配。由于市场准入门槛等原因，财产整合可能会将他者排除在财产积累之外。

阿马蒂亚·森 Amartya Sen阐述的'''自由主义悖论 The liberal paradox'''表明，当人们对他人的行为有偏好时，帕累托有效的目标可能与个人自由的目标发生冲突。<ref>Sen, A., ''Rationality and Freedom'' ([[Cambridge, Massachusetts|Cambridge, MA]] / London: [[Harvard University Press|Belknep Press]], 2004), [https://books.google.cz/books?id=DaOY4DQ-MKAC&pg=PA92 pp. 92–94].</ref>

==请参阅 ==

* [[可容许决策规则]],[[决策理论]]中的类比

* [[阿罗不可能定理 Arrow's impossibility theorem]]

* [[贝叶斯效率]][[Bayesian efficiency]]

* [[福利经济学基本定理]][[Fundamental theorems of welfare economics]]

* [[无谓损失]][[Deadweight loss]]

* [[经济效益]][[Economic efficiency]]

* [[最佳使用]][[Highest and best use]]

* [[卡尔多-希克斯效率]][[Kaldor–Hicks efficiency]]

* [[市场失灵]][[Market failure]]，即市场结果非帕累托最优的时刻

* [[极大元]][[Maximal element]]，[[阶理论]]中的概念

* [[点集极大值]][[Maxima of a point set]]

* [[多目标优化]][[Multi-objective optimization]]

* [[帕累托有效的无嫉妒分割]][[Pareto-efficient envy-free division]]

* [[福利经济]][[Welfare economics]]

==参考资料==

{{reflist|30em}}

== 延伸阅读 ==

* {{Cite journal |last1=Bendor | first1=Jonathan |last2= Mookherjee | first2=Dilip | title = Communitarian versus Universalistic norms | journal = [[Quarterly Journal of Political Science]] | volume = 3 | issue = 1 | pages = 33–61 | doi = 10.1561/100.00007028 | date = April 2008 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last = Kanbur | first = Ravi| author-link = Ravi Kanbur | title = Pareto's revenge | journal = Journal of Social and Economic Development | volume = 7 | issue = 1 | pages = 1–11 | date = January–June 2005 | url = http://www.arts.cornell.edu/poverty/kanbur/ParRev.pdf | ref = harv }}

* {{cite book | last = Ng | first = Yew-Kwang | author-link = Yew-Kwang Ng | title = Welfare economics towards a more complete analysis | url=https://books.google.com/books?id=o-2GDAAAQBAJ&printsec=frontcover| publisher = Palgrave Macmillan | location = Basingstoke, Hampshire New York | year = 2004 | isbn = 9780333971215 }}

* {{Citation | author-first1=Ariel | author-last1=Rubinstein | author-first2=Martin J. | author-last2=Osborne | author-link1 = Ariel Rubinstein | contribution = Introduction | editor-first1=Ariel | editor-last1=Rubinstein | editor-first2=Martin J. | editor-last2=Osborne | editor-link1 = Ariel Rubinstein | title = A course in game theory | pages = 6–7 | publisher = MIT Press | location = Cambridge, Massachusetts | year = 1994 | isbn = 9780262650403 }} [https://books.google.com/books?id=5ntdaYX4LPkC&pg=PA6 Book preview.]

* {{Cite journal | last = Mathur | first = Vijay K. | title = How well do we know Pareto optimality? | journal = The Journal of Economic Education | volume = 22 | issue = 2 | pages = 172–178 | doi = 10.2307/1182422 | date = Spring 1991 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last1 = Newbery | first1 = David M.G. | last2 = Stiglitz | first2 = Joseph E. | author-link1 = David Newbery | author-link2 = Joseph Stiglitz | title = Pareto inferior trade | journal = Review of Economic Studies | volume = 51 | issue = 1 | pages = 1–12 | doi = 10.2307/2297701 | date = January 1984 | ref = harv }}

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帕累托最优

2020-12-13T07:36:55Z

打豆豆：/* 延伸阅读 */

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|keywords=帕累托最优,帕累托最优, Pareto efficienc
|description=帕累托最优,帕累托最优, Pareto efficienc
}}
'''帕累托效率 Pareto efficiency '''或'''帕累托最优 Pareto optimality'''是一种不能再改进的状态，它使得任何个体或偏好准则变得更好而不使任意一个个体或一项偏好准则变得更差。这个概念是以意大利工程师、经济学家维尔弗雷多·帕累托 Vilfredo Pareto（1848-1923）的名字命名的。他在研究'''经济效率 economic efficiency'''和'''收入分配 income distribution'''时使用了这个概念。以下三个概念密切相关：

* 在一个给定的初始条件下，'''帕累托改进 Pareto improvement '''指的是一种大多数主体的弱偏好选择，被至少一个主体严格优选的状态。在某种意义上，它是一种一致同意的改进：如果我们处于这种新的情况下，一些主体会获利，且没有主体会蒙受损失。
*一种状态如果存在帕累托改进，那么它被称作'''受帕累托支配 Pareto dominated '''的。
*一种状态如果是不受帕累托支配的，那么它被称作'''帕累托最优'''的或'''帕累托有效'''的。

'''帕累托边界 Pareto frontier '''是所有帕累托有效分配的集合，按惯例以图表形式表示它。它也被称为'''帕累托前沿 Pareto front '''或'''帕累托集 Pareto set '''。<ref>{{Cite web|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|title=Pareto Front|last=proximedia|website=www.cenaero.be|access-date=2018-10-08}}</ref>

“帕累托最优”被认为是一种狭义的效率，它不一定会产生社会所期望的资源分配: 它没有为平等或一个社会的总体福祉发声。<ref>{{cite journal |authorlink=Amartya Sen |first=A. |last=Sen |title=Markets and freedom: Achievements and limitations of the market mechanism in promoting individual freedoms |journal=Oxford Economic Papers |volume=45 |issue=4 |pages=519–541 |date=October 1993 |url=http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr06/cos444/papers/sen.pdf |doi=10.1093/oxfordjournals.oep.a042106 }}</ref><ref>{{cite book |first=N. |last=Barr |author-link=Nicholas Barr|chapter=3.2.2 The relevance of efficiency to different theories of society |title=Economics of the Welfare State |year=2012 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-929781-8 |pages=[https://books.google.com/books?id=DOg0BM1XiqQC&pg=PA46 46–49] |edition=5th}}</ref>它是效率的必要不充分条件。

除了分配效率的背景之外，帕累托最优的概念也出现在'''生产效率 efficiency in production'''对比于'''x-低效率 x-inefficiency'''的背景之下，即如果生产投入没有可行的再分配，使得一种产品的产出增加，而所有其他产品的产出增加或保持不变，那么这一组产品的产出就是帕累托最优的。<ref>[[John D. Black|Black, J. D.]], Hashimzade, N., & [[Gareth Myles|Myles, G.]], eds., ''A Dictionary of Economics'', 5th ed. (Oxford: Oxford University Press, 2017), [https://books.google.com/books?id=WyvYDQAAQBAJ&pg=PT459 p. 459].</ref>

除了经济学，帕累托最优的概念已经应用到工程和生物学中的替代品的选择。首先根据多项标准对每个选项进行评估，然后确定选项子集，没有其他选项的属性可以绝对胜过选定的选项。在'''多目标优化 multi-objective optimization'''(又称'''帕累托优化''')中，这是不可能在不损害其他变量的情况下改进一个变量的陈述。

==综述 ==

“帕累托最优”是一个正式定义的概念，用来描述一个分配何时是最优的。如果有一种替代性的分配方式可以在不降低任何其他参与者福祉的情况下改善至少一个参与者的福祉，那么这种分配就不是帕累托最优的。如果有一个转移满足这个条件，这个再分配就被称为“帕累托改进”。当无法进一步实现帕累托改进时，这个分配就是“帕累托最优”。

这个概念在经济体系中的正式表述如下: 考虑一个经济体系有''<math> n</math>''个主体和''<math> k</math>''个商品，如果没有其他可行的分配<math> \{x_1, ..., x_n\} </math>使得效用函数<math> u_i </math>对任意主体<math> i </math>满足<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>，对某些主体<math> i </math>满足<math> u_i(x_i') > u_i(x_i) </math>，那么这个分配<math> \{x_1', ..., x_n'\} </math>是帕累托最优的，其中对任意<math> i </math>，<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>此处需插入公式'''。<ref name="AndreuMas95">{{citation|author-link=Andreu Mas-Colell|last1=Mas-Colell|first1=A.|first2=Michael D.|last2=Whinston|first3=Jerry R.|last3=Green|year=1995|title=Microeconomic Theory|chapter=Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-510268-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780198089537}}</ref>在这个简单的经济体系中，“可行性”是指一种分配，其中每种商品的分配总额不超过该经济体系中所有商品的总额。在一个生产能力更为复杂的经济体中，一种分配将包括消费载体和生产载体，且可行性要求每种消费品的总量不大于初始禀赋加上生产总量。

原则上，从一个普遍低效率的经济分配到一个高效率的经济分配的转变不一定被认为是帕累托改进。即使经济总体是获益的，如果一个主体在再分配中处于不利地位，这个分配也不是帕累托最优的。例如，如果经济政策的某个改变消除了垄断，市场随后变得具有竞争力，那么其他主体的收益可能很大。然而，由于垄断者处于不利地位，这不是帕累托改进。理论上，如果经济体系的收益大于垄断者的损失，考虑到帕累托改进，垄断者可以在为经济体系中的其他主体留下净收益的情况下得到补偿。因此，在实践中，为了确保没有人会因为旨在实现帕累托最优的改变而处于不利地位，可能需要对一个或多个当事方进行补偿。在现实世界中，人们公认，这种补偿可能会造成意外的后果，随着时间的推移动机扭曲，因为代理人可能预期这种补偿并相应地改变他们的行为。<ref>See [[Ricardian equivalence]]</ref>

在'''福利经济学第一定理 the first welfare theorem'''的理想条件下，一个'''自由市场 free market'''系统，也称为“'''竞争均衡 competitive equilibrium'''” ，对应一个帕累托有效的结果。经济学家肯尼斯·阿罗 Kenneth Arrow和杰拉德·迪布鲁 Gérard Debreu首先用数学方法证明了这一点。

然而，这个结果只有在证明所需的限制性假设下才成立，即所有可能的商品都存在市场，因此不存在外部效应; 所有市场都处于完全均衡状态; 市场是完全竞争的; 交易成本是可忽略的; 市场参与者拥有'''完全信息 perfect information'''。

根据'''格林沃德-斯蒂格利茨定理 the Greenwald-Stiglitz theorem'''，在缺乏完全信息或完全市场的情况下，这个结果通常是帕累托低效的。<ref>{{Cite journal |doi=10.2307/1891114 |last1=Greenwald |first1=B. |last2=Stiglitz |first2=J. E. |author1-link=Bruce Greenwald |author2-link=Joseph E. Stiglitz |journal=Quarterly Journal of Economics |volume=101 |issue=2 |pages=229–64 |year=1986 |title=Externalities in economies with imperfect information and incomplete markets }}</ref>

'''福利经济学第二定理 The second welfare theorem'''实质上是福利经济学第一定理的逆定理。它指出，在类似的理想假设下，任何帕累托最优都可以通过某种[[竞争均衡]]或[[自由市场制度]]获得，尽管它可能也需要一次性转移财富。<ref name="AndreuMas95"/>

==弱帕累托效率==

'''弱帕累托最优 Weak Pareto optimality '''是一种不能严格地改善每个个体的状态。<ref>{{Cite book | doi=10.1007/978-1-4020-9160-5_341|chapter = Pareto Optimality|title = Encyclopedia of Global Justice| pages=808–809|year = 2011|last1 = Mock|first1 = William B T.| isbn=978-1-4020-9159-9}}</ref>

在形式上，我们将'''强帕累托改进 strong pareto improvement '''定义为所有主体严格处于较好状态的情况(与之相对的是“帕累托改进” ，它要求一个主体严格处于较好状态，而其他主体至少同样良好)。没有强帕累托改进的状态是'''弱帕累托最优'''的。

任何强帕累托改进也是弱帕累托改进。反之则不然; 例如，考虑一个包含两种资源的资源分配问题，Alice资源为10,0，George资源为5,5。考虑将所有资源分配给 Alice，它的'分配方案为(10,0)。

* 它是一个弱帕累托最优，因为没有其他任何分配对上述两个主体是更优的（没有强帕累托改进）。
* 但它不是一个强帕累托最优，因为George得到的第二种的资源的分配对George是严格更优的且对Alice是弱更优的（它是一个弱帕累托改进），它的分配方案为(10,5)

市场不需要局部不饱和 local nonsatiation 就能达到弱帕累托最优。<ref>Markey‐Towler, Brendan and John Foster. "[http://www.uq.edu.au/economics/abstract/476.pdf Why economic theory has little to say about the causes and effects of inequality]", School of Economics, [[University of Queensland]], Australia, 21 February 2013, RePEc:qld:uq2004:476</ref>

==受约束的帕累托效率 ==

'''受约束的帕累托最优 Constrained Pareto optimality '''是帕累托最优的弱化，因为一个潜在的规划者(比如政府)可能无法改进分散市场的结果，即使这个结果是低效的。如果它受到与独立主体相同的信息或机构约束的限制，就会发生这种情况。<ref>Magill, M., & [[Martine Quinzii|Quinzii, M.]], ''Theory of Incomplete Markets'', MIT Press, 2002, [https://books.google.com/books?id=d66GXq2F2M0C&pg=PA104#v=onepage&q&f=false p. 104].</ref>

例如，个人拥有私人信息的情况(例如，劳动力市场中工人自己的生产率为工人所知，而潜在雇主却不知道，或者二手车市场中汽车的质量为卖方所知，而非买方所知)导致道德风险或不利选择和次优结果。在这种情况下，希望改善局面的规划者不太可能获得市场参与者没有的信息。因此，计划者不能执行基于个人特质的分配规则; 例如，”如果一个人属于 a 型，他们支付 p1的价格，但如果属于 b 型，他们支付 p2的价格”(见林达尔价格 Lindahl prices )。基本上，只有隐性规则(类似于“每个人都支付价格 p”)或基于可观察行为的规则被允许; “如果任何人以价格 px 选择 x，那么他们将得到10美元的补贴，除此之外什么也得不到”。如果不存在能够成功改进市场结果的允许规则，那么该结果被称为是“受约束的帕累托最优的”。

受约束的帕累托最优的概念假定了规划者是仁慈的，因此不同于政府失灵 government failure 的概念。政府失灵在制定政策的政客未能取得最佳结果时会出现，仅仅因为他们的行为不一定符合公众的最大利益。

==部分帕累托效率 ==

'''部分帕累托最优 Fractional Pareto optimality '''是在物品公平分配的背景下对帕累托最优的一个加强。如果一个不可分割的物品的分配不是受帕累托支配的，即使在分配过程中，一些物品在主体之间被分配，那么它是'''部分帕累托最优 fractionally Pareto-optimal(fPO) '''。这与标准的帕累托最优相反，因为它只考虑可行(离散)分配的控制。<ref>Barman, S., Krishnamurthy, S. K., & Vaish, R., [https://arxiv.org/pdf/1707.04731.pdf "Finding Fair and Efficient Allocations"], ''EC '18: Proceedings of the 2018 ACM Conference on Economics and Computation'', June 2018.</ref>

作为一个示例，考虑一个有两种物品的分配问题，Alice 值为3,2，George 值为4,1。考虑将第一种物品分配给 Alice，第二种物品分配给 George，其中分配方案为(3,1)。

* 它是一个帕累托最优，因为其他任何离散分配（在不分离物品的情况下）都会使得某个主体变差。
* 但是，它不是部分帕累托最优的，因为它是受帕累托支配的。它分配给了Alice第一种物品的一半和第二种物品的全部，分配给了George第一种物品的一半。它的分配方案是(3.5,2)。

==帕累托效率和福利最大化==

假设每个主体 ''i'' 被赋予一个正权重。对于每个分配 ''x'' ，将 ''x'' 的福利定义为 ''x'' 中所有主体的配置的加权和，即:<math>W_a(x) := \sum_{i=1}^n a_i u_i(x)</math>.

假设<math>xa</math>此处需插入公式'''是一个在所有分配中使福利最大化的分配，即:<math>x_a \in \arg \max_{x} W_a(x)</math>.

很容易证明分配<math>xa</math>是帕累托有效的: 因为所有<math>xa</math>的权重都是正的，任何帕累托改进都会增加加权和，这与<math>xa</math>'的定义相矛盾。

日本新瓦尔拉斯经济学家根岸隆史 Takashi Negishi证明，<ref>{{cite journal |last=Negishi |first=Takashi |date=1960 |title=Welfare Economics and Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy |journal=Metroeconomica |volume=12 |issue=2–3 |pages=92–97 |doi=10.1111/j.1467-999X.1960.tb00275.x }}</ref>在某些假设下,该命题的逆命题也成立，即对于每一个帕累托有效的配置''x''，都存在一个正向量''a''，使最大化。哈尔·瓦里安提供了一个较短的证明。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0047-2727(76)90018-9 |title=Two problems in the theory of fairness |journal=Journal of Public Economics |volume=5 |issue=3–4 |pages=249–260 |year=1976 |last1=Varian |first1=Hal R. |hdl=1721.1/64180 |hdl-access=free }}</ref>

==工程学上的应用==

帕累托最优的概念已经在工程中得到了应用。<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>给定一组选择和一种评估它们的方法，'''帕累托边界'''、'''帕累托解集'''或'''帕累托前沿'''就是帕累托有效的选择集。通过将注意力限制在帕累托有效的选择集上，设计者可以在这个集合中进行权衡，而不是考虑每个参数的全部范围。<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>

[[File:帕累托最优边界.png|thumb|帕累托边界的一个例子。集合中的点表示可行的选择，较小的值比较大的值更好。点''C''不在帕累托边界上，因为它同时被点 ''A'' 和点 ''B'' 支配。点''A''和点''B''不受任何其他点严格控制，因此位于边界上。|256px]]

[[File:生产可能边界.png|256px|thumb|一个'''生产可能性边界 production-possibility frontier'''。红线是帕累托有效边界的一个例子，边界和左下方的区域是一个连续的选择集。边界上的红点是生产的帕累托最优选择的例子。边界外的点，如 ''N'' 和''K''，不是帕累托有效，因为在边界上存在着受帕累托支配的点。]]

===帕累托边界 ===

对于一个给定的系统，帕累托边界the Pareto frontier或帕累托集是所有帕累托有效的参数化(分配)的集合。找到帕累托前沿在工程学中特别有用。通过产生所有潜在的最优解决方案，设计师可以在这个受限的参数集中进行集中的[[权衡]]，而不需要考虑所有的参数。<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>

帕累托边界, ''P''(''Y'') ，可以更正式地描述如下。考虑一个包含函数 <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>的系统，其中''X''是'''度量空间 metric space''' <math>\mathbb{R}^n</math>中可行决策的'''紧集 compact set'''，''Y''是'''<math>\mathbb{R}^m</math>中标准向量的可行集，使得<math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>。

我们假设标准值的最优方向是已知的。<math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math>中的一个点优于中的另一个点<math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>，写作<math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>。因此，帕累托边界可以被描述为:

: <math>P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. </math>

===边际替代率 ===

经济学中，帕累托边界的一个重要方面是在帕累托有效分配中，所有消费者的'''边际替代率 the marginal rate of substitution'''是相同的。一个正式的陈述可以通过考虑一个有''m''个消费者和''n''个商品的系统，以及每个消费者的效用函数<math>z_i=f^i(x^i)</math>来推导出。在这个效用方程中，对所有的''i''，<math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math>是商品的矢量。可行性约束为<math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math>。为了找到帕累托最优分配，我们最大化'''拉格朗日函数 Lagrangian''':

: <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>

其中<math>(\lambda_k)_k</math>和<math>(\mu_j)_j</math>是乘子的向量。取关于商品的拉格朗日函数的偏导数<math>x_j^k</math>（<math>j=1,\ldots,n</math> ，<math>k=1,\ldots, m</math>）并给出以下一阶条件系统:

对于<math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\</math>

对于<math>k= 2,\ldots,m</math> ， <math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0</math>

其中<math>f_{x^i_j}</math>表示<math>f</math>对于<math>x_j^i</math>的偏导数。现给定<math>k\neq i</math>且<math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>。上述一阶条件意味着

: <math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>

因此，在帕累托最优分配中，所有消费者的边际替代率必须相同。<ref>Wilkerson, T., ''Advanced Economic Theory'' ([[Waltham Abbey]]: Edtech Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=UtW_DwAAQBAJ&pg=PA114 p. 114].</ref>

===计算===

计算机科学和动力工程给出了计算有限个方案集的帕累托边界的算法。<ref>{{cite journal |doi=10.3390/en6031439 |last1=Tomoiagă |first1=Bogdan |last2=Chindriş |first2=Mircea |last3=Sumper |first3=Andreas |last4=Sudria-Andreu |first4=Antoni |last5=Villafafila-Robles |first5=Roberto |title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II |journal=Energies |year=2013 |volume=6 |issue=3 |pages=1439–55 |doi-access=free }}</ref>它们包括:

* “最大向量问题”，或称[[轮廓查询]]。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0 |last1=Nielsen |first1=Frank |title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers |journal=Information Processing Letters |volume=59 |pages=255–9 |year=1996 |issue=5 |citeseerx=10.1.1.259.1042 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1145/321906.321910 |last1=Kung |first1=H. T. |last2=Luccio |first2=F. |last3=Preparata |first3=F.P. |title=On finding the maxima of a set of vectors |journal=Journal of the ACM |volume=22 |pages=469–76 |year=1975 |issue=4 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1007/s00778-006-0029-7 |last1=Godfrey |first1=P. |last2=Shipley |first2=R. |last3=Gryz |first3=J. |journal=VLDB Journal |volume=16 |pages=5–28 |year=2006 |title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation |citeseerx=10.1.1.73.6344 }}</ref>

* “标量化算法”，或称加权求和法。<ref name="Kimde Weck2005">{{cite journal|last1=Kim|first1=I. Y.|last2=de Weck|first2=O. L.|title=Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=31|issue=2|year=2005|pages=105–116|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-005-0557-6}}</ref><ref name="MarlerArora2009">{{cite journal|last1=Marler|first1=R. Timothy|last2=Arora|first2=Jasbir S.|title=The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=41|issue=6|year=2009|pages=853–862|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-009-0460-7}}</ref>

* “ϵ-约束法”。 <ref>{{cite journal|title=On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization|journal=IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics|volume=SMC-1|issue=3|year=1971|pages=296–297|issn=0018-9472|doi=10.1109/TSMC.1971.4308298}}</ref><ref name="Mavrotas2009">{{cite journal|last1=Mavrotas|first1=George|title=Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=213|issue=2|year=2009|pages=455–465|issn=00963003|doi=10.1016/j.amc.2009.03.037}}</ref>

==在生物学中的应用==

帕累托最优化在生物过程中也有研究。<ref>Moore, J. H., Hill, D. P., Sulovari, A., & Kidd, L. C., "Genetic Analysis of Prostate Cancer Using Computational Evolution, Pareto-Optimization and Post-processing", in R. Riolo, E. Vladislavleva, M. D. Ritchie, & J. H. Moore, eds., ''Genetic Programming Theory and Practice X'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2013), [https://books.google.co.il/books?id=YZZAAAAAQBAJ&pg=PA86 pp. 87–102].</ref>在细菌中，基因要么生成成本低廉(资源节约型) ，要么更容易被读取(翻译效率型)。自然选择将高表达的基因推向资源利用和翻译效率的帕累托边界。帕累托边界附近基因的进化速度也较慢(这表明它们提供了一种选择优势)。<ref>{{Cite journal|doi=10.1186/s13059-018-1480-7|pmid=30064467|last1=Seward|first1=Emily A. |last2=Kelly|first2=Steven|title=Selection-driven cost-efficiency optimization of transcripts modulates gene evolutionary rate in bacteria.|journal=Genome Biology|volume=19|issue=1|pages=102|year=2018|pmc=6066932}}</ref>

==批判 ==

把帕累托最优等同于社会优化是不正确的，<ref>[[Jacques Drèze|Drèze, J.]], ''Essays on Economic Decisions Under Uncertainty'' ([[Cambridge]]: [[Cambridge University Press]], 1987), [https://books.google.com/books?id=LWE4AAAAIAAJ&pg=PA358 pp. 358–364]</ref>因为后者是一个规范性概念，是一个典型的解释性问题，可以解释分配不平等程度的后果。<ref>Backhaus, J. G., ''The Elgar Companion to Law and Economics'' ([[Cheltenham|Cheltenham, UK]] / [[Northampton, MA]]: [[Edward Elgar Publishing|Edward Elgar]], 2005), [https://books.google.com/books?id=EtguKoWHUHYC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA10 pp. 10–15].</ref>一个例子就是对一个财产税收入较低的学区和另一个财政收入高很多的学区的解释，这表明在政府再分配的帮助下实现了更加平等的分配。<ref>Paulsen, M. B., "The Economics of the Public Sector: The Nature and Role of Public Policy in the Finance of Higher Education", in M. B. Paulsen, J. C. Smart, eds. ''The Finance of Higher Education: Theory, Research, Policy, and Practice'' (New York: Agathon Press, 2001), [https://books.google.com/books?id=BlkPAy-gb8sC&pg=PA95 pp. 95–132].</ref>

帕累托效率并不需要完全公平的财富分配。<ref>Bhushi, K., ed., ''Farm to Fingers: The Culture and Politics of Food in Contemporary India'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=NYJIDwAAQBAJ&pg=PA222 p. 222].</ref>一个少数富人拥有绝大多数资源的经济体系可以是帕累托有效的。这种可能性是帕累托效率的固有定义; 通常情况下，无论财富的公平分配程度如何，现状都是帕累托有效的。一个简单的例子是在三个人之间分配馅饼。最公平的分配将分配给每个人三分之一。

另一种分配是两个人各占半部分，第三个人不占分毫。然而，尽管这种分配并不公平，它也是帕累托最优的，因为没有一个接受者能够在不减少其他人的份额的情况下得到更优的收益; 还有其他许多这样的分配例子。帕累托无效率的馅饼分配的一个例子是三者中的每一个分得馅饼的四分之一，剩下的部分丢弃。<ref>Wittman, D., ''Economic Foundations of Law and Organization'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2006), [https://books.google.com/books?id=fOolQOtKM7QC&pg=PA18 p. 18].</ref>在这些示例中，馅饼的缘由(和实用价值)被认为是无关紧要的。在这种情况下，由于潜在的分配者都没有实际生产，却获得了“意外之财”(例如，土地、继承的财产、广播频谱的一部分或其他资源) ，帕累托最优的标准并不能决定唯一的最优分配。由于市场准入门槛等原因，财产整合可能会将他者排除在财产积累之外。

阿马蒂亚·森 Amartya Sen阐述的'''自由主义悖论 The liberal paradox'''表明，当人们对他人的行为有偏好时，帕累托有效的目标可能与个人自由的目标发生冲突。<ref>Sen, A., ''Rationality and Freedom'' ([[Cambridge, Massachusetts|Cambridge, MA]] / London: [[Harvard University Press|Belknep Press]], 2004), [https://books.google.cz/books?id=DaOY4DQ-MKAC&pg=PA92 pp. 92–94].</ref>

==请参阅 ==

* [[可容许决策规则]],[[决策理论]]中的类比

* [[阿罗不可能定理 Arrow's impossibility theorem]]

* [[贝叶斯效率]][[Bayesian efficiency]]

* [[福利经济学基本定理]][[Fundamental theorems of welfare economics]]

* [[无谓损失]][[Deadweight loss]]

* [[经济效益]][[Economic efficiency]]

* [[最佳使用]][[Highest and best use]]

* [[卡尔多-希克斯效率]][[Kaldor–Hicks efficiency]]

* [[市场失灵]][[Market failure]]，即市场结果非帕累托最优的时刻

* [[极大元]][[Maximal element]]，[[阶理论]]中的概念

* [[点集极大值]][[Maxima of a point set]]

* [[多目标优化]][[Multi-objective optimization]]

* [[帕累托有效的无嫉妒分割]][[Pareto-efficient envy-free division]]

* [[福利经济]][[Welfare economics]]

==References 参考文献==

{{reflist|30em}}

== 延伸阅读 ==

* {{Cite journal |last1=Bendor | first1=Jonathan |last2= Mookherjee | first2=Dilip | title = Communitarian versus Universalistic norms | journal = [[Quarterly Journal of Political Science]] | volume = 3 | issue = 1 | pages = 33–61 | doi = 10.1561/100.00007028 | date = April 2008 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last = Kanbur | first = Ravi| author-link = Ravi Kanbur | title = Pareto's revenge | journal = Journal of Social and Economic Development | volume = 7 | issue = 1 | pages = 1–11 | date = January–June 2005 | url = http://www.arts.cornell.edu/poverty/kanbur/ParRev.pdf | ref = harv }}

* {{cite book | last = Ng | first = Yew-Kwang | author-link = Yew-Kwang Ng | title = Welfare economics towards a more complete analysis | url=https://books.google.com/books?id=o-2GDAAAQBAJ&printsec=frontcover| publisher = Palgrave Macmillan | location = Basingstoke, Hampshire New York | year = 2004 | isbn = 9780333971215 }}

* {{Citation | author-first1=Ariel | author-last1=Rubinstein | author-first2=Martin J. | author-last2=Osborne | author-link1 = Ariel Rubinstein | contribution = Introduction | editor-first1=Ariel | editor-last1=Rubinstein | editor-first2=Martin J. | editor-last2=Osborne | editor-link1 = Ariel Rubinstein | title = A course in game theory | pages = 6–7 | publisher = MIT Press | location = Cambridge, Massachusetts | year = 1994 | isbn = 9780262650403 }} [https://books.google.com/books?id=5ntdaYX4LPkC&pg=PA6 Book preview.]

* {{Cite journal | last = Mathur | first = Vijay K. | title = How well do we know Pareto optimality? | journal = The Journal of Economic Education | volume = 22 | issue = 2 | pages = 172–178 | doi = 10.2307/1182422 | date = Spring 1991 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last1 = Newbery | first1 = David M.G. | last2 = Stiglitz | first2 = Joseph E. | author-link1 = David Newbery | author-link2 = Joseph Stiglitz | title = Pareto inferior trade | journal = Review of Economic Studies | volume = 51 | issue = 1 | pages = 1–12 | doi = 10.2307/2297701 | date = January 1984 | ref = harv }}

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帕累托最优

2020-12-13T07:36:23Z

打豆豆：

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'''帕累托效率 Pareto efficiency '''或'''帕累托最优 Pareto optimality'''是一种不能再改进的状态，它使得任何个体或偏好准则变得更好而不使任意一个个体或一项偏好准则变得更差。这个概念是以意大利工程师、经济学家维尔弗雷多·帕累托 Vilfredo Pareto（1848-1923）的名字命名的。他在研究'''经济效率 economic efficiency'''和'''收入分配 income distribution'''时使用了这个概念。以下三个概念密切相关：

* 在一个给定的初始条件下，'''帕累托改进 Pareto improvement '''指的是一种大多数主体的弱偏好选择，被至少一个主体严格优选的状态。在某种意义上，它是一种一致同意的改进：如果我们处于这种新的情况下，一些主体会获利，且没有主体会蒙受损失。
*一种状态如果存在帕累托改进，那么它被称作'''受帕累托支配 Pareto dominated '''的。
*一种状态如果是不受帕累托支配的，那么它被称作'''帕累托最优'''的或'''帕累托有效'''的。

'''帕累托边界 Pareto frontier '''是所有帕累托有效分配的集合，按惯例以图表形式表示它。它也被称为'''帕累托前沿 Pareto front '''或'''帕累托集 Pareto set '''。<ref>{{Cite web|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|title=Pareto Front|last=proximedia|website=www.cenaero.be|access-date=2018-10-08}}</ref>

“帕累托最优”被认为是一种狭义的效率，它不一定会产生社会所期望的资源分配: 它没有为平等或一个社会的总体福祉发声。<ref>{{cite journal |authorlink=Amartya Sen |first=A. |last=Sen |title=Markets and freedom: Achievements and limitations of the market mechanism in promoting individual freedoms |journal=Oxford Economic Papers |volume=45 |issue=4 |pages=519–541 |date=October 1993 |url=http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr06/cos444/papers/sen.pdf |doi=10.1093/oxfordjournals.oep.a042106 }}</ref><ref>{{cite book |first=N. |last=Barr |author-link=Nicholas Barr|chapter=3.2.2 The relevance of efficiency to different theories of society |title=Economics of the Welfare State |year=2012 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-929781-8 |pages=[https://books.google.com/books?id=DOg0BM1XiqQC&pg=PA46 46–49] |edition=5th}}</ref>它是效率的必要不充分条件。

除了分配效率的背景之外，帕累托最优的概念也出现在'''生产效率 efficiency in production'''对比于'''x-低效率 x-inefficiency'''的背景之下，即如果生产投入没有可行的再分配，使得一种产品的产出增加，而所有其他产品的产出增加或保持不变，那么这一组产品的产出就是帕累托最优的。<ref>[[John D. Black|Black, J. D.]], Hashimzade, N., & [[Gareth Myles|Myles, G.]], eds., ''A Dictionary of Economics'', 5th ed. (Oxford: Oxford University Press, 2017), [https://books.google.com/books?id=WyvYDQAAQBAJ&pg=PT459 p. 459].</ref>

除了经济学，帕累托最优的概念已经应用到工程和生物学中的替代品的选择。首先根据多项标准对每个选项进行评估，然后确定选项子集，没有其他选项的属性可以绝对胜过选定的选项。在'''多目标优化 multi-objective optimization'''(又称'''帕累托优化''')中，这是不可能在不损害其他变量的情况下改进一个变量的陈述。

==综述 ==

“帕累托最优”是一个正式定义的概念，用来描述一个分配何时是最优的。如果有一种替代性的分配方式可以在不降低任何其他参与者福祉的情况下改善至少一个参与者的福祉，那么这种分配就不是帕累托最优的。如果有一个转移满足这个条件，这个再分配就被称为“帕累托改进”。当无法进一步实现帕累托改进时，这个分配就是“帕累托最优”。

这个概念在经济体系中的正式表述如下: 考虑一个经济体系有''<math> n</math>''个主体和''<math> k</math>''个商品，如果没有其他可行的分配<math> \{x_1, ..., x_n\} </math>使得效用函数<math> u_i </math>对任意主体<math> i </math>满足<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>，对某些主体<math> i </math>满足<math> u_i(x_i') > u_i(x_i) </math>，那么这个分配<math> \{x_1', ..., x_n'\} </math>是帕累托最优的，其中对任意<math> i </math>，<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>此处需插入公式'''。<ref name="AndreuMas95">{{citation|author-link=Andreu Mas-Colell|last1=Mas-Colell|first1=A.|first2=Michael D.|last2=Whinston|first3=Jerry R.|last3=Green|year=1995|title=Microeconomic Theory|chapter=Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-510268-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780198089537}}</ref>在这个简单的经济体系中，“可行性”是指一种分配，其中每种商品的分配总额不超过该经济体系中所有商品的总额。在一个生产能力更为复杂的经济体中，一种分配将包括消费载体和生产载体，且可行性要求每种消费品的总量不大于初始禀赋加上生产总量。

原则上，从一个普遍低效率的经济分配到一个高效率的经济分配的转变不一定被认为是帕累托改进。即使经济总体是获益的，如果一个主体在再分配中处于不利地位，这个分配也不是帕累托最优的。例如，如果经济政策的某个改变消除了垄断，市场随后变得具有竞争力，那么其他主体的收益可能很大。然而，由于垄断者处于不利地位，这不是帕累托改进。理论上，如果经济体系的收益大于垄断者的损失，考虑到帕累托改进，垄断者可以在为经济体系中的其他主体留下净收益的情况下得到补偿。因此，在实践中，为了确保没有人会因为旨在实现帕累托最优的改变而处于不利地位，可能需要对一个或多个当事方进行补偿。在现实世界中，人们公认，这种补偿可能会造成意外的后果，随着时间的推移动机扭曲，因为代理人可能预期这种补偿并相应地改变他们的行为。<ref>See [[Ricardian equivalence]]</ref>

在'''福利经济学第一定理 the first welfare theorem'''的理想条件下，一个'''自由市场 free market'''系统，也称为“'''竞争均衡 competitive equilibrium'''” ，对应一个帕累托有效的结果。经济学家肯尼斯·阿罗 Kenneth Arrow和杰拉德·迪布鲁 Gérard Debreu首先用数学方法证明了这一点。

然而，这个结果只有在证明所需的限制性假设下才成立，即所有可能的商品都存在市场，因此不存在外部效应; 所有市场都处于完全均衡状态; 市场是完全竞争的; 交易成本是可忽略的; 市场参与者拥有'''完全信息 perfect information'''。

根据'''格林沃德-斯蒂格利茨定理 the Greenwald-Stiglitz theorem'''，在缺乏完全信息或完全市场的情况下，这个结果通常是帕累托低效的。<ref>{{Cite journal |doi=10.2307/1891114 |last1=Greenwald |first1=B. |last2=Stiglitz |first2=J. E. |author1-link=Bruce Greenwald |author2-link=Joseph E. Stiglitz |journal=Quarterly Journal of Economics |volume=101 |issue=2 |pages=229–64 |year=1986 |title=Externalities in economies with imperfect information and incomplete markets }}</ref>

'''福利经济学第二定理 The second welfare theorem'''实质上是福利经济学第一定理的逆定理。它指出，在类似的理想假设下，任何帕累托最优都可以通过某种[[竞争均衡]]或[[自由市场制度]]获得，尽管它可能也需要一次性转移财富。<ref name="AndreuMas95"/>

==弱帕累托效率==

'''弱帕累托最优 Weak Pareto optimality '''是一种不能严格地改善每个个体的状态。<ref>{{Cite book | doi=10.1007/978-1-4020-9160-5_341|chapter = Pareto Optimality|title = Encyclopedia of Global Justice| pages=808–809|year = 2011|last1 = Mock|first1 = William B T.| isbn=978-1-4020-9159-9}}</ref>

在形式上，我们将'''强帕累托改进 strong pareto improvement '''定义为所有主体严格处于较好状态的情况(与之相对的是“帕累托改进” ，它要求一个主体严格处于较好状态，而其他主体至少同样良好)。没有强帕累托改进的状态是'''弱帕累托最优'''的。

任何强帕累托改进也是弱帕累托改进。反之则不然; 例如，考虑一个包含两种资源的资源分配问题，Alice资源为10,0，George资源为5,5。考虑将所有资源分配给 Alice，它的'分配方案为(10,0)。

* 它是一个弱帕累托最优，因为没有其他任何分配对上述两个主体是更优的（没有强帕累托改进）。
* 但它不是一个强帕累托最优，因为George得到的第二种的资源的分配对George是严格更优的且对Alice是弱更优的（它是一个弱帕累托改进），它的分配方案为(10,5)

市场不需要局部不饱和 local nonsatiation 就能达到弱帕累托最优。<ref>Markey‐Towler, Brendan and John Foster. "[http://www.uq.edu.au/economics/abstract/476.pdf Why economic theory has little to say about the causes and effects of inequality]", School of Economics, [[University of Queensland]], Australia, 21 February 2013, RePEc:qld:uq2004:476</ref>

==受约束的帕累托效率 ==

'''受约束的帕累托最优 Constrained Pareto optimality '''是帕累托最优的弱化，因为一个潜在的规划者(比如政府)可能无法改进分散市场的结果，即使这个结果是低效的。如果它受到与独立主体相同的信息或机构约束的限制，就会发生这种情况。<ref>Magill, M., & [[Martine Quinzii|Quinzii, M.]], ''Theory of Incomplete Markets'', MIT Press, 2002, [https://books.google.com/books?id=d66GXq2F2M0C&pg=PA104#v=onepage&q&f=false p. 104].</ref>

例如，个人拥有私人信息的情况(例如，劳动力市场中工人自己的生产率为工人所知，而潜在雇主却不知道，或者二手车市场中汽车的质量为卖方所知，而非买方所知)导致道德风险或不利选择和次优结果。在这种情况下，希望改善局面的规划者不太可能获得市场参与者没有的信息。因此，计划者不能执行基于个人特质的分配规则; 例如，”如果一个人属于 a 型，他们支付 p1的价格，但如果属于 b 型，他们支付 p2的价格”(见林达尔价格 Lindahl prices )。基本上，只有隐性规则(类似于“每个人都支付价格 p”)或基于可观察行为的规则被允许; “如果任何人以价格 px 选择 x，那么他们将得到10美元的补贴，除此之外什么也得不到”。如果不存在能够成功改进市场结果的允许规则，那么该结果被称为是“受约束的帕累托最优的”。

受约束的帕累托最优的概念假定了规划者是仁慈的，因此不同于政府失灵 government failure 的概念。政府失灵在制定政策的政客未能取得最佳结果时会出现，仅仅因为他们的行为不一定符合公众的最大利益。

==部分帕累托效率 ==

'''部分帕累托最优 Fractional Pareto optimality '''是在物品公平分配的背景下对帕累托最优的一个加强。如果一个不可分割的物品的分配不是受帕累托支配的，即使在分配过程中，一些物品在主体之间被分配，那么它是'''部分帕累托最优 fractionally Pareto-optimal(fPO) '''。这与标准的帕累托最优相反，因为它只考虑可行(离散)分配的控制。<ref>Barman, S., Krishnamurthy, S. K., & Vaish, R., [https://arxiv.org/pdf/1707.04731.pdf "Finding Fair and Efficient Allocations"], ''EC '18: Proceedings of the 2018 ACM Conference on Economics and Computation'', June 2018.</ref>

作为一个示例，考虑一个有两种物品的分配问题，Alice 值为3,2，George 值为4,1。考虑将第一种物品分配给 Alice，第二种物品分配给 George，其中分配方案为(3,1)。

* 它是一个帕累托最优，因为其他任何离散分配（在不分离物品的情况下）都会使得某个主体变差。
* 但是，它不是部分帕累托最优的，因为它是受帕累托支配的。它分配给了Alice第一种物品的一半和第二种物品的全部，分配给了George第一种物品的一半。它的分配方案是(3.5,2)。

==帕累托效率和福利最大化==

假设每个主体 ''i'' 被赋予一个正权重。对于每个分配 ''x'' ，将 ''x'' 的福利定义为 ''x'' 中所有主体的配置的加权和，即:<math>W_a(x) := \sum_{i=1}^n a_i u_i(x)</math>.

假设<math>xa</math>此处需插入公式'''是一个在所有分配中使福利最大化的分配，即:<math>x_a \in \arg \max_{x} W_a(x)</math>.

很容易证明分配<math>xa</math>是帕累托有效的: 因为所有<math>xa</math>的权重都是正的，任何帕累托改进都会增加加权和，这与<math>xa</math>'的定义相矛盾。

日本新瓦尔拉斯经济学家根岸隆史 Takashi Negishi证明，<ref>{{cite journal |last=Negishi |first=Takashi |date=1960 |title=Welfare Economics and Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy |journal=Metroeconomica |volume=12 |issue=2–3 |pages=92–97 |doi=10.1111/j.1467-999X.1960.tb00275.x }}</ref>在某些假设下,该命题的逆命题也成立，即对于每一个帕累托有效的配置''x''，都存在一个正向量''a''，使最大化。哈尔·瓦里安提供了一个较短的证明。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0047-2727(76)90018-9 |title=Two problems in the theory of fairness |journal=Journal of Public Economics |volume=5 |issue=3–4 |pages=249–260 |year=1976 |last1=Varian |first1=Hal R. |hdl=1721.1/64180 |hdl-access=free }}</ref>

==工程学上的应用==

帕累托最优的概念已经在工程中得到了应用。<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>给定一组选择和一种评估它们的方法，'''帕累托边界'''、'''帕累托解集'''或'''帕累托前沿'''就是帕累托有效的选择集。通过将注意力限制在帕累托有效的选择集上，设计者可以在这个集合中进行权衡，而不是考虑每个参数的全部范围。<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>

[[File:帕累托最优边界.png|thumb|帕累托边界的一个例子。集合中的点表示可行的选择，较小的值比较大的值更好。点''C''不在帕累托边界上，因为它同时被点 ''A'' 和点 ''B'' 支配。点''A''和点''B''不受任何其他点严格控制，因此位于边界上。|256px]]

[[File:生产可能边界.png|256px|thumb|一个'''生产可能性边界 production-possibility frontier'''。红线是帕累托有效边界的一个例子，边界和左下方的区域是一个连续的选择集。边界上的红点是生产的帕累托最优选择的例子。边界外的点，如 ''N'' 和''K''，不是帕累托有效，因为在边界上存在着受帕累托支配的点。]]

===帕累托边界 ===

对于一个给定的系统，帕累托边界the Pareto frontier或帕累托集是所有帕累托有效的参数化(分配)的集合。找到帕累托前沿在工程学中特别有用。通过产生所有潜在的最优解决方案，设计师可以在这个受限的参数集中进行集中的[[权衡]]，而不需要考虑所有的参数。<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>

帕累托边界, ''P''(''Y'') ，可以更正式地描述如下。考虑一个包含函数 <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>的系统，其中''X''是'''度量空间 metric space''' <math>\mathbb{R}^n</math>中可行决策的'''紧集 compact set'''，''Y''是'''<math>\mathbb{R}^m</math>中标准向量的可行集，使得<math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>。

我们假设标准值的最优方向是已知的。<math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math>中的一个点优于中的另一个点<math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>，写作<math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>。因此，帕累托边界可以被描述为:

: <math>P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. </math>

===边际替代率 ===

经济学中，帕累托边界的一个重要方面是在帕累托有效分配中，所有消费者的'''边际替代率 the marginal rate of substitution'''是相同的。一个正式的陈述可以通过考虑一个有''m''个消费者和''n''个商品的系统，以及每个消费者的效用函数<math>z_i=f^i(x^i)</math>来推导出。在这个效用方程中，对所有的''i''，<math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math>是商品的矢量。可行性约束为<math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math>。为了找到帕累托最优分配，我们最大化'''拉格朗日函数 Lagrangian''':

: <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>

其中<math>(\lambda_k)_k</math>和<math>(\mu_j)_j</math>是乘子的向量。取关于商品的拉格朗日函数的偏导数<math>x_j^k</math>（<math>j=1,\ldots,n</math> ，<math>k=1,\ldots, m</math>）并给出以下一阶条件系统:

对于<math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\</math>

对于<math>k= 2,\ldots,m</math> ， <math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0</math>

其中<math>f_{x^i_j}</math>表示<math>f</math>对于<math>x_j^i</math>的偏导数。现给定<math>k\neq i</math>且<math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>。上述一阶条件意味着

: <math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>

因此，在帕累托最优分配中，所有消费者的边际替代率必须相同。<ref>Wilkerson, T., ''Advanced Economic Theory'' ([[Waltham Abbey]]: Edtech Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=UtW_DwAAQBAJ&pg=PA114 p. 114].</ref>

===计算===

计算机科学和动力工程给出了计算有限个方案集的帕累托边界的算法。<ref>{{cite journal |doi=10.3390/en6031439 |last1=Tomoiagă |first1=Bogdan |last2=Chindriş |first2=Mircea |last3=Sumper |first3=Andreas |last4=Sudria-Andreu |first4=Antoni |last5=Villafafila-Robles |first5=Roberto |title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II |journal=Energies |year=2013 |volume=6 |issue=3 |pages=1439–55 |doi-access=free }}</ref>它们包括:

* “最大向量问题”，或称[[轮廓查询]]。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0 |last1=Nielsen |first1=Frank |title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers |journal=Information Processing Letters |volume=59 |pages=255–9 |year=1996 |issue=5 |citeseerx=10.1.1.259.1042 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1145/321906.321910 |last1=Kung |first1=H. T. |last2=Luccio |first2=F. |last3=Preparata |first3=F.P. |title=On finding the maxima of a set of vectors |journal=Journal of the ACM |volume=22 |pages=469–76 |year=1975 |issue=4 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1007/s00778-006-0029-7 |last1=Godfrey |first1=P. |last2=Shipley |first2=R. |last3=Gryz |first3=J. |journal=VLDB Journal |volume=16 |pages=5–28 |year=2006 |title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation |citeseerx=10.1.1.73.6344 }}</ref>

* “标量化算法”，或称加权求和法。<ref name="Kimde Weck2005">{{cite journal|last1=Kim|first1=I. Y.|last2=de Weck|first2=O. L.|title=Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=31|issue=2|year=2005|pages=105–116|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-005-0557-6}}</ref><ref name="MarlerArora2009">{{cite journal|last1=Marler|first1=R. Timothy|last2=Arora|first2=Jasbir S.|title=The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=41|issue=6|year=2009|pages=853–862|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-009-0460-7}}</ref>

* “ϵ-约束法”。 <ref>{{cite journal|title=On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization|journal=IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics|volume=SMC-1|issue=3|year=1971|pages=296–297|issn=0018-9472|doi=10.1109/TSMC.1971.4308298}}</ref><ref name="Mavrotas2009">{{cite journal|last1=Mavrotas|first1=George|title=Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=213|issue=2|year=2009|pages=455–465|issn=00963003|doi=10.1016/j.amc.2009.03.037}}</ref>

==在生物学中的应用==

帕累托最优化在生物过程中也有研究。<ref>Moore, J. H., Hill, D. P., Sulovari, A., & Kidd, L. C., "Genetic Analysis of Prostate Cancer Using Computational Evolution, Pareto-Optimization and Post-processing", in R. Riolo, E. Vladislavleva, M. D. Ritchie, & J. H. Moore, eds., ''Genetic Programming Theory and Practice X'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2013), [https://books.google.co.il/books?id=YZZAAAAAQBAJ&pg=PA86 pp. 87–102].</ref>在细菌中，基因要么生成成本低廉(资源节约型) ，要么更容易被读取(翻译效率型)。自然选择将高表达的基因推向资源利用和翻译效率的帕累托边界。帕累托边界附近基因的进化速度也较慢(这表明它们提供了一种选择优势)。<ref>{{Cite journal|doi=10.1186/s13059-018-1480-7|pmid=30064467|last1=Seward|first1=Emily A. |last2=Kelly|first2=Steven|title=Selection-driven cost-efficiency optimization of transcripts modulates gene evolutionary rate in bacteria.|journal=Genome Biology|volume=19|issue=1|pages=102|year=2018|pmc=6066932}}</ref>

==批判 ==

把帕累托最优等同于社会优化是不正确的，<ref>[[Jacques Drèze|Drèze, J.]], ''Essays on Economic Decisions Under Uncertainty'' ([[Cambridge]]: [[Cambridge University Press]], 1987), [https://books.google.com/books?id=LWE4AAAAIAAJ&pg=PA358 pp. 358–364]</ref>因为后者是一个规范性概念，是一个典型的解释性问题，可以解释分配不平等程度的后果。<ref>Backhaus, J. G., ''The Elgar Companion to Law and Economics'' ([[Cheltenham|Cheltenham, UK]] / [[Northampton, MA]]: [[Edward Elgar Publishing|Edward Elgar]], 2005), [https://books.google.com/books?id=EtguKoWHUHYC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA10 pp. 10–15].</ref>一个例子就是对一个财产税收入较低的学区和另一个财政收入高很多的学区的解释，这表明在政府再分配的帮助下实现了更加平等的分配。<ref>Paulsen, M. B., "The Economics of the Public Sector: The Nature and Role of Public Policy in the Finance of Higher Education", in M. B. Paulsen, J. C. Smart, eds. ''The Finance of Higher Education: Theory, Research, Policy, and Practice'' (New York: Agathon Press, 2001), [https://books.google.com/books?id=BlkPAy-gb8sC&pg=PA95 pp. 95–132].</ref>

帕累托效率并不需要完全公平的财富分配。<ref>Bhushi, K., ed., ''Farm to Fingers: The Culture and Politics of Food in Contemporary India'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=NYJIDwAAQBAJ&pg=PA222 p. 222].</ref>一个少数富人拥有绝大多数资源的经济体系可以是帕累托有效的。这种可能性是帕累托效率的固有定义; 通常情况下，无论财富的公平分配程度如何，现状都是帕累托有效的。一个简单的例子是在三个人之间分配馅饼。最公平的分配将分配给每个人三分之一。

另一种分配是两个人各占半部分，第三个人不占分毫。然而，尽管这种分配并不公平，它也是帕累托最优的，因为没有一个接受者能够在不减少其他人的份额的情况下得到更优的收益; 还有其他许多这样的分配例子。帕累托无效率的馅饼分配的一个例子是三者中的每一个分得馅饼的四分之一，剩下的部分丢弃。<ref>Wittman, D., ''Economic Foundations of Law and Organization'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2006), [https://books.google.com/books?id=fOolQOtKM7QC&pg=PA18 p. 18].</ref>在这些示例中，馅饼的缘由(和实用价值)被认为是无关紧要的。在这种情况下，由于潜在的分配者都没有实际生产，却获得了“意外之财”(例如，土地、继承的财产、广播频谱的一部分或其他资源) ，帕累托最优的标准并不能决定唯一的最优分配。由于市场准入门槛等原因，财产整合可能会将他者排除在财产积累之外。

阿马蒂亚·森 Amartya Sen阐述的'''自由主义悖论 The liberal paradox'''表明，当人们对他人的行为有偏好时，帕累托有效的目标可能与个人自由的目标发生冲突。<ref>Sen, A., ''Rationality and Freedom'' ([[Cambridge, Massachusetts|Cambridge, MA]] / London: [[Harvard University Press|Belknep Press]], 2004), [https://books.google.cz/books?id=DaOY4DQ-MKAC&pg=PA92 pp. 92–94].</ref>

==请参阅 ==

* [[可容许决策规则]],[[决策理论]]中的类比

* [[阿罗不可能定理 Arrow's impossibility theorem]]

* [[贝叶斯效率]][[Bayesian efficiency]]

* [[福利经济学基本定理]][[Fundamental theorems of welfare economics]]

* [[无谓损失]][[Deadweight loss]]

* [[经济效益]][[Economic efficiency]]

* [[最佳使用]][[Highest and best use]]

* [[卡尔多-希克斯效率]][[Kaldor–Hicks efficiency]]

* [[市场失灵]][[Market failure]]，即市场结果非帕累托最优的时刻

* [[极大元]][[Maximal element]]，[[阶理论]]中的概念

* [[点集极大值]][[Maxima of a point set]]

* [[多目标优化]][[Multi-objective optimization]]

* [[帕累托有效的无嫉妒分割]][[Pareto-efficient envy-free division]]

* [[福利经济]][[Welfare economics]]

==References 参考文献==

{{reflist|30em}}

== 延伸阅读 ==

* {{Cite Fudenberg Tirole 1991|pages=[https://books.google.com/books?id=pFPHKwXro3QC&pg=PA18 18–23]}}

* {{Cite journal |last1=Bendor | first1=Jonathan |last2= Mookherjee | first2=Dilip | title = Communitarian versus Universalistic norms | journal = [[Quarterly Journal of Political Science]] | volume = 3 | issue = 1 | pages = 33–61 | doi = 10.1561/100.00007028 | date = April 2008 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last = Kanbur | first = Ravi| author-link = Ravi Kanbur | title = Pareto's revenge | journal = Journal of Social and Economic Development | volume = 7 | issue = 1 | pages = 1–11 | date = January–June 2005 | url = http://www.arts.cornell.edu/poverty/kanbur/ParRev.pdf | ref = harv }}

* {{cite book | last = Ng | first = Yew-Kwang | author-link = Yew-Kwang Ng | title = Welfare economics towards a more complete analysis | url=https://books.google.com/books?id=o-2GDAAAQBAJ&printsec=frontcover| publisher = Palgrave Macmillan | location = Basingstoke, Hampshire New York | year = 2004 | isbn = 9780333971215 }}

* {{Citation | author-first1=Ariel | author-last1=Rubinstein | author-first2=Martin J. | author-last2=Osborne | author-link1 = Ariel Rubinstein | contribution = Introduction | editor-first1=Ariel | editor-last1=Rubinstein | editor-first2=Martin J. | editor-last2=Osborne | editor-link1 = Ariel Rubinstein | title = A course in game theory | pages = 6–7 | publisher = MIT Press | location = Cambridge, Massachusetts | year = 1994 | isbn = 9780262650403 }} [https://books.google.com/books?id=5ntdaYX4LPkC&pg=PA6 Book preview.]

* {{Cite journal | last = Mathur | first = Vijay K. | title = How well do we know Pareto optimality? | journal = The Journal of Economic Education | volume = 22 | issue = 2 | pages = 172–178 | doi = 10.2307/1182422 | date = Spring 1991 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last1 = Newbery | first1 = David M.G. | last2 = Stiglitz | first2 = Joseph E. | author-link1 = David Newbery | author-link2 = Joseph Stiglitz | title = Pareto inferior trade | journal = Review of Economic Studies | volume = 51 | issue = 1 | pages = 1–12 | doi = 10.2307/2297701 | date = January 1984 | ref = harv | jstor = 2297701 }}

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帕累托最优

2020-12-13T07:35:33Z

打豆豆：

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'''帕累托效率 Pareto efficiency '''或'''帕累托最优 Pareto optimality'''是一种不能再改进的状态，它使得任何个体或偏好准则变得更好而不使任意一个个体或一项偏好准则变得更差。这个概念是以意大利工程师、经济学家维尔弗雷多·帕累托 Vilfredo Pareto（1848-1923）的名字命名的。他在研究'''经济效率 economic efficiency'''和'''收入分配 income distribution'''时使用了这个概念。以下三个概念密切相关：

* 在一个给定的初始条件下，'''帕累托改进 Pareto improvement '''指的是一种大多数主体的弱偏好选择，被至少一个主体严格优选的状态。在某种意义上，它是一种一致同意的改进：如果我们处于这种新的情况下，一些主体会获利，且没有主体会蒙受损失。
*一种状态如果存在帕累托改进，那么它被称作'''受帕累托支配 Pareto dominated '''的。
*一种状态如果是不受帕累托支配的，那么它被称作'''帕累托最优'''的或'''帕累托有效'''的。

'''帕累托边界 Pareto frontier '''是所有帕累托有效分配的集合，按惯例以图表形式表示它。它也被称为'''帕累托前沿 Pareto front '''或'''帕累托集 Pareto set '''。<ref>{{Cite web|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|title=Pareto Front|last=proximedia|website=www.cenaero.be|access-date=2018-10-08}}</ref>

“帕累托最优”被认为是一种狭义的效率，它不一定会产生社会所期望的资源分配: 它没有为平等或一个社会的总体福祉发声。<ref>{{cite journal |authorlink=Amartya Sen |first=A. |last=Sen |title=Markets and freedom: Achievements and limitations of the market mechanism in promoting individual freedoms |journal=Oxford Economic Papers |volume=45 |issue=4 |pages=519–541 |date=October 1993 |url=http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr06/cos444/papers/sen.pdf |doi=10.1093/oxfordjournals.oep.a042106 }}</ref><ref>{{cite book |first=N. |last=Barr |author-link=Nicholas Barr|chapter=3.2.2 The relevance of efficiency to different theories of society |title=Economics of the Welfare State |year=2012 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-929781-8 |pages=[https://books.google.com/books?id=DOg0BM1XiqQC&pg=PA46 46–49] |edition=5th}}</ref>它是效率的必要不充分条件。

除了分配效率的背景之外，帕累托最优的概念也出现在'''生产效率 efficiency in production'''对比于'''x-低效率 x-inefficiency'''的背景之下，即如果生产投入没有可行的再分配，使得一种产品的产出增加，而所有其他产品的产出增加或保持不变，那么这一组产品的产出就是帕累托最优的。<ref>[[John D. Black|Black, J. D.]], Hashimzade, N., & [[Gareth Myles|Myles, G.]], eds., ''A Dictionary of Economics'', 5th ed. (Oxford: Oxford University Press, 2017), [https://books.google.com/books?id=WyvYDQAAQBAJ&pg=PT459 p. 459].</ref>

除了经济学，帕累托最优的概念已经应用到工程和生物学中的替代品的选择。首先根据多项标准对每个选项进行评估，然后确定选项子集，没有其他选项的属性可以绝对胜过选定的选项。在'''多目标优化 multi-objective optimization'''(又称'''帕累托优化''')中，这是不可能在不损害其他变量的情况下改进一个变量的陈述。

==综述 ==

“帕累托最优”是一个正式定义的概念，用来描述一个分配何时是最优的。如果有一种替代性的分配方式可以在不降低任何其他参与者福祉的情况下改善至少一个参与者的福祉，那么这种分配就不是帕累托最优的。如果有一个转移满足这个条件，这个再分配就被称为“帕累托改进”。当无法进一步实现帕累托改进时，这个分配就是“帕累托最优”。

这个概念在经济体系中的正式表述如下: 考虑一个经济体系有''<math> n</math>''个主体和''<math> k</math>''个商品，如果没有其他可行的分配<math> \{x_1, ..., x_n\} </math>使得效用函数<math> u_i </math>对任意主体<math> i </math>满足<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>，对某些主体<math> i </math>满足<math> u_i(x_i') > u_i(x_i) </math>，那么这个分配<math> \{x_1', ..., x_n'\} </math>是帕累托最优的，其中对任意<math> i </math>，<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>此处需插入公式'''。<ref name="AndreuMas95">{{citation|author-link=Andreu Mas-Colell|last1=Mas-Colell|first1=A.|first2=Michael D.|last2=Whinston|first3=Jerry R.|last3=Green|year=1995|title=Microeconomic Theory|chapter=Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-510268-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780198089537}}</ref>在这个简单的经济体系中，“可行性”是指一种分配，其中每种商品的分配总额不超过该经济体系中所有商品的总额。在一个生产能力更为复杂的经济体中，一种分配将包括消费载体和生产载体，且可行性要求每种消费品的总量不大于初始禀赋加上生产总量。

原则上，从一个普遍低效率的经济分配到一个高效率的经济分配的转变不一定被认为是帕累托改进。即使经济总体是获益的，如果一个主体在再分配中处于不利地位，这个分配也不是帕累托最优的。例如，如果经济政策的某个改变消除了垄断，市场随后变得具有竞争力，那么其他主体的收益可能很大。然而，由于垄断者处于不利地位，这不是帕累托改进。理论上，如果经济体系的收益大于垄断者的损失，考虑到帕累托改进，垄断者可以在为经济体系中的其他主体留下净收益的情况下得到补偿。因此，在实践中，为了确保没有人会因为旨在实现帕累托最优的改变而处于不利地位，可能需要对一个或多个当事方进行补偿。在现实世界中，人们公认，这种补偿可能会造成意外的后果，随着时间的推移动机扭曲，因为代理人可能预期这种补偿并相应地改变他们的行为。<ref>See [[Ricardian equivalence]]</ref>

在'''福利经济学第一定理 the first welfare theorem'''的理想条件下，一个'''自由市场 free market'''系统，也称为“'''竞争均衡 competitive equilibrium'''” ，对应一个帕累托有效的结果。经济学家肯尼斯·阿罗 Kenneth Arrow和杰拉德·迪布鲁 Gérard Debreu首先用数学方法证明了这一点。

然而，这个结果只有在证明所需的限制性假设下才成立，即所有可能的商品都存在市场，因此不存在外部效应; 所有市场都处于完全均衡状态; 市场是完全竞争的; 交易成本是可忽略的; 市场参与者拥有'''完全信息 perfect information'''。

根据'''格林沃德-斯蒂格利茨定理 the Greenwald-Stiglitz theorem'''，在缺乏完全信息或完全市场的情况下，这个结果通常是帕累托低效的。<ref>{{Cite journal |doi=10.2307/1891114 |last1=Greenwald |first1=B. |last2=Stiglitz |first2=J. E. |author1-link=Bruce Greenwald |author2-link=Joseph E. Stiglitz |journal=Quarterly Journal of Economics |volume=101 |issue=2 |pages=229–64 |year=1986 |title=Externalities in economies with imperfect information and incomplete markets }}</ref>

'''福利经济学第二定理 The second welfare theorem'''实质上是福利经济学第一定理的逆定理。它指出，在类似的理想假设下，任何帕累托最优都可以通过某种[[竞争均衡]]或[[自由市场制度]]获得，尽管它可能也需要一次性转移财富。<ref name="AndreuMas95"/>

==弱帕累托效率==

'''弱帕累托最优 Weak Pareto optimality '''是一种不能严格地改善每个个体的状态。<ref>{{Cite book | doi=10.1007/978-1-4020-9160-5_341|chapter = Pareto Optimality|title = Encyclopedia of Global Justice| pages=808–809|year = 2011|last1 = Mock|first1 = William B T.| isbn=978-1-4020-9159-9}}</ref>

在形式上，我们将'''强帕累托改进 strong pareto improvement '''定义为所有主体严格处于较好状态的情况(与之相对的是“帕累托改进” ，它要求一个主体严格处于较好状态，而其他主体至少同样良好)。没有强帕累托改进的状态是'''弱帕累托最优'''的。

任何强帕累托改进也是弱帕累托改进。反之则不然; 例如，考虑一个包含两种资源的资源分配问题，Alice资源为10,0，George资源为5,5。考虑将所有资源分配给 Alice，它的'分配方案为(10,0)。

* 它是一个弱帕累托最优，因为没有其他任何分配对上述两个主体是更优的（没有强帕累托改进）。
* 但它不是一个强帕累托最优，因为George得到的第二种的资源的分配对George是严格更优的且对Alice是弱更优的（它是一个弱帕累托改进），它的分配方案为(10,5)

市场不需要局部不饱和 local nonsatiation 就能达到弱帕累托最优。<ref>Markey‐Towler, Brendan and John Foster. "[http://www.uq.edu.au/economics/abstract/476.pdf Why economic theory has little to say about the causes and effects of inequality]", School of Economics, [[University of Queensland]], Australia, 21 February 2013, RePEc:qld:uq2004:476</ref>

==受约束的帕累托效率 ==

'''受约束的帕累托最优 Constrained Pareto optimality '''是帕累托最优的弱化，因为一个潜在的规划者(比如政府)可能无法改进分散市场的结果，即使这个结果是低效的。如果它受到与独立主体相同的信息或机构约束的限制，就会发生这种情况。<ref>Magill, M., & [[Martine Quinzii|Quinzii, M.]], ''Theory of Incomplete Markets'', MIT Press, 2002, [https://books.google.com/books?id=d66GXq2F2M0C&pg=PA104#v=onepage&q&f=false p. 104].</ref>

例如，个人拥有私人信息的情况(例如，劳动力市场中工人自己的生产率为工人所知，而潜在雇主却不知道，或者二手车市场中汽车的质量为卖方所知，而非买方所知)导致道德风险或不利选择和次优结果。在这种情况下，希望改善局面的规划者不太可能获得市场参与者没有的信息。因此，计划者不能执行基于个人特质的分配规则; 例如，”如果一个人属于 a 型，他们支付 p1的价格，但如果属于 b 型，他们支付 p2的价格”(见林达尔价格 Lindahl prices )。基本上，只有隐性规则(类似于“每个人都支付价格 p”)或基于可观察行为的规则被允许; “如果任何人以价格 px 选择 x，那么他们将得到10美元的补贴，除此之外什么也得不到”。如果不存在能够成功改进市场结果的允许规则，那么该结果被称为是“受约束的帕累托最优的”。

受约束的帕累托最优的概念假定了规划者是仁慈的，因此不同于政府失灵 government failure 的概念。政府失灵在制定政策的政客未能取得最佳结果时会出现，仅仅因为他们的行为不一定符合公众的最大利益。

==部分帕累托效率 ==

'''部分帕累托最优 Fractional Pareto optimality '''是在物品公平分配的背景下对帕累托最优的一个加强。如果一个不可分割的物品的分配不是受帕累托支配的，即使在分配过程中，一些物品在主体之间被分配，那么它是'''部分帕累托最优 fractionally Pareto-optimal(fPO) '''。这与标准的帕累托最优相反，因为它只考虑可行(离散)分配的控制。<ref>Barman, S., Krishnamurthy, S. K., & Vaish, R., [https://arxiv.org/pdf/1707.04731.pdf "Finding Fair and Efficient Allocations"], ''EC '18: Proceedings of the 2018 ACM Conference on Economics and Computation'', June 2018.</ref>

作为一个示例，考虑一个有两种物品的分配问题，Alice 值为3,2，George 值为4,1。考虑将第一种物品分配给 Alice，第二种物品分配给 George，其中分配方案为(3,1)。

* 它是一个帕累托最优，因为其他任何离散分配（在不分离物品的情况下）都会使得某个主体变差。
* 但是，它不是部分帕累托最优的，因为它是受帕累托支配的。它分配给了Alice第一种物品的一半和第二种物品的全部，分配给了George第一种物品的一半。它的分配方案是(3.5,2)。

==帕累托效率和福利最大化==

假设每个主体 ''i'' 被赋予一个正权重。对于每个分配 ''x'' ，将 ''x'' 的福利定义为 ''x'' 中所有主体的配置的加权和，即:<math>W_a(x) := \sum_{i=1}^n a_i u_i(x)</math>.

假设<math>xa</math>此处需插入公式'''是一个在所有分配中使福利最大化的分配，即:<math>x_a \in \arg \max_{x} W_a(x)</math>.

很容易证明分配<math>xa</math>是帕累托有效的: 因为所有<math>xa</math>的权重都是正的，任何帕累托改进都会增加加权和，这与<math>xa</math>'的定义相矛盾。

日本新瓦尔拉斯经济学家根岸隆史 Takashi Negishi证明，<ref>{{cite journal |last=Negishi |first=Takashi |date=1960 |title=Welfare Economics and Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy |journal=Metroeconomica |volume=12 |issue=2–3 |pages=92–97 |doi=10.1111/j.1467-999X.1960.tb00275.x }}</ref>在某些假设下,该命题的逆命题也成立，即对于每一个帕累托有效的配置''x''，都存在一个正向量''a''，使最大化。哈尔·瓦里安提供了一个较短的证明。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0047-2727(76)90018-9 |title=Two problems in the theory of fairness |journal=Journal of Public Economics |volume=5 |issue=3–4 |pages=249–260 |year=1976 |last1=Varian |first1=Hal R. |hdl=1721.1/64180 |hdl-access=free }}</ref>

==工程学上的应用==

帕累托最优的概念已经在工程中得到了应用。<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>给定一组选择和一种评估它们的方法，'''帕累托边界'''、'''帕累托解集'''或'''帕累托前沿'''就是帕累托有效的选择集。通过将注意力限制在帕累托有效的选择集上，设计者可以在这个集合中进行权衡，而不是考虑每个参数的全部范围。<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>

[[File:帕累托最优边界.png|thumb|帕累托边界的一个例子。集合中的点表示可行的选择，较小的值比较大的值更好。点''C''不在帕累托边界上，因为它同时被点 ''A'' 和点 ''B'' 支配。点''A''和点''B''不受任何其他点严格控制，因此位于边界上。|256px]]

[[File:生产可能边界.png|256px|thumb|一个'''生产可能性边界 production-possibility frontier'''。红线是帕累托有效边界的一个例子，边界和左下方的区域是一个连续的选择集。边界上的红点是生产的帕累托最优选择的例子。边界外的点，如 ''N'' 和''K''，不是帕累托有效，因为在边界上存在着受帕累托支配的点。]]

===帕累托边界 ===

对于一个给定的系统，帕累托边界the Pareto frontier或帕累托集是所有帕累托有效的参数化(分配)的集合。找到帕累托前沿在工程学中特别有用。通过产生所有潜在的最优解决方案，设计师可以在这个受限的参数集中进行集中的[[权衡]]，而不需要考虑所有的参数。<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>

帕累托边界, ''P''(''Y'') ，可以更正式地描述如下。考虑一个包含函数 <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>的系统，其中''X''是'''度量空间 metric space''' <math>\mathbb{R}^n</math>中可行决策的'''紧集 compact set'''，''Y''是'''<math>\mathbb{R}^m</math>中标准向量的可行集，使得<math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>。

我们假设标准值的最优方向是已知的。<math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math>中的一个点优于中的另一个点<math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>，写作<math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>。因此，帕累托边界可以被描述为:

: <math>P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. </math>

===边际替代率 ===

经济学中，帕累托边界的一个重要方面是在帕累托有效分配中，所有消费者的'''边际替代率 the marginal rate of substitution'''是相同的。一个正式的陈述可以通过考虑一个有''m''个消费者和''n''个商品的系统，以及每个消费者的效用函数<math>z_i=f^i(x^i)</math>来推导出。在这个效用方程中，对所有的''i''，<math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math>是商品的矢量。可行性约束为<math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math>。为了找到帕累托最优分配，我们最大化'''拉格朗日函数 Lagrangian''':

: <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>

其中<math>(\lambda_k)_k</math>和<math>(\mu_j)_j</math>是乘子的向量。取关于商品的拉格朗日函数的偏导数<math>x_j^k</math>（<math>j=1,\ldots,n</math> ，<math>k=1,\ldots, m</math>）并给出以下一阶条件系统:

对于<math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\</math>

对于<math>k= 2,\ldots,m</math> ， <math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0</math>

其中<math>f_{x^i_j}</math>表示<math>f</math>对于<math>x_j^i</math>的偏导数。现给定<math>k\neq i</math>且<math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>。上述一阶条件意味着

: <math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>

因此，在帕累托最优分配中，所有消费者的边际替代率必须相同。<ref>Wilkerson, T., ''Advanced Economic Theory'' ([[Waltham Abbey]]: Edtech Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=UtW_DwAAQBAJ&pg=PA114 p. 114].</ref>

===计算===

计算机科学和动力工程给出了计算有限个方案集的帕累托边界的算法。<ref>{{cite journal |doi=10.3390/en6031439 |last1=Tomoiagă |first1=Bogdan |last2=Chindriş |first2=Mircea |last3=Sumper |first3=Andreas |last4=Sudria-Andreu |first4=Antoni |last5=Villafafila-Robles |first5=Roberto |title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II |journal=Energies |year=2013 |volume=6 |issue=3 |pages=1439–55 |doi-access=free }}</ref>它们包括:

* “最大向量问题”，或称[[轮廓查询]]。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0 |last1=Nielsen |first1=Frank |title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers |journal=Information Processing Letters |volume=59 |pages=255–9 |year=1996 |issue=5 |citeseerx=10.1.1.259.1042 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1145/321906.321910 |last1=Kung |first1=H. T. |last2=Luccio |first2=F. |last3=Preparata |first3=F.P. |title=On finding the maxima of a set of vectors |journal=Journal of the ACM |volume=22 |pages=469–76 |year=1975 |issue=4 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1007/s00778-006-0029-7 |last1=Godfrey |first1=P. |last2=Shipley |first2=R. |last3=Gryz |first3=J. |journal=VLDB Journal |volume=16 |pages=5–28 |year=2006 |title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation |citeseerx=10.1.1.73.6344 }}</ref>

* “标量化算法”，或称加权求和法。<ref name="Kimde Weck2005">{{cite journal|last1=Kim|first1=I. Y.|last2=de Weck|first2=O. L.|title=Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=31|issue=2|year=2005|pages=105–116|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-005-0557-6}}</ref><ref name="MarlerArora2009">{{cite journal|last1=Marler|first1=R. Timothy|last2=Arora|first2=Jasbir S.|title=The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=41|issue=6|year=2009|pages=853–862|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-009-0460-7}}</ref>

* “ϵ-约束法”。 <ref>{{cite journal|title=On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization|journal=IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics|volume=SMC-1|issue=3|year=1971|pages=296–297|issn=0018-9472|doi=10.1109/TSMC.1971.4308298}}</ref><ref name="Mavrotas2009">{{cite journal|last1=Mavrotas|first1=George|title=Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=213|issue=2|year=2009|pages=455–465|issn=00963003|doi=10.1016/j.amc.2009.03.037}}</ref>

==在生物学中的应用==

帕累托最优化在生物过程中也有研究。<ref>Moore, J. H., Hill, D. P., Sulovari, A., & Kidd, L. C., "Genetic Analysis of Prostate Cancer Using Computational Evolution, Pareto-Optimization and Post-processing", in R. Riolo, E. Vladislavleva, M. D. Ritchie, & J. H. Moore, eds., ''Genetic Programming Theory and Practice X'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2013), [https://books.google.co.il/books?id=YZZAAAAAQBAJ&pg=PA86 pp. 87–102].</ref>在细菌中，基因要么生成成本低廉(资源节约型) ，要么更容易被读取(翻译效率型)。自然选择将高表达的基因推向资源利用和翻译效率的帕累托边界。帕累托边界附近基因的进化速度也较慢(这表明它们提供了一种选择优势)。<ref>{{Cite journal|doi=10.1186/s13059-018-1480-7|pmid=30064467|last1=Seward|first1=Emily A. |last2=Kelly|first2=Steven|title=Selection-driven cost-efficiency optimization of transcripts modulates gene evolutionary rate in bacteria.|journal=Genome Biology|volume=19|issue=1|pages=102|year=2018|pmc=6066932}}</ref>

==批判 ==

把帕累托最优等同于社会优化是不正确的，<ref>[[Jacques Drèze|Drèze, J.]], ''Essays on Economic Decisions Under Uncertainty'' ([[Cambridge]]: [[Cambridge University Press]], 1987), [https://books.google.com/books?id=LWE4AAAAIAAJ&pg=PA358 pp. 358–364]</ref>因为后者是一个规范性概念，是一个典型的解释性问题，可以解释分配不平等程度的后果。<ref>Backhaus, J. G., ''The Elgar Companion to Law and Economics'' ([[Cheltenham|Cheltenham, UK]] / [[Northampton, MA]]: [[Edward Elgar Publishing|Edward Elgar]], 2005), [https://books.google.com/books?id=EtguKoWHUHYC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA10 pp. 10–15].</ref>一个例子就是对一个财产税收入较低的学区和另一个财政收入高很多的学区的解释，这表明在政府再分配的帮助下实现了更加平等的分配。<ref>Paulsen, M. B., "The Economics of the Public Sector: The Nature and Role of Public Policy in the Finance of Higher Education", in M. B. Paulsen, J. C. Smart, eds. ''The Finance of Higher Education: Theory, Research, Policy, and Practice'' (New York: Agathon Press, 2001), [https://books.google.com/books?id=BlkPAy-gb8sC&pg=PA95 pp. 95–132].</ref>

帕累托效率并不需要完全公平的财富分配。<ref>Bhushi, K., ed., ''Farm to Fingers: The Culture and Politics of Food in Contemporary India'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=NYJIDwAAQBAJ&pg=PA222 p. 222].</ref>一个少数富人拥有绝大多数资源的经济体系可以是帕累托有效的。这种可能性是帕累托效率的固有定义; 通常情况下，无论财富的公平分配程度如何，现状都是帕累托有效的。一个简单的例子是在三个人之间分配馅饼。最公平的分配将分配给每个人三分之一。

另一种分配是两个人各占半部分，第三个人不占分毫。然而，尽管这种分配并不公平，它也是帕累托最优的，因为没有一个接受者能够在不减少其他人的份额的情况下得到更优的收益; 还有其他许多这样的分配例子。帕累托无效率的馅饼分配的一个例子是三者中的每一个分得馅饼的四分之一，剩下的部分丢弃。<ref>Wittman, D., ''Economic Foundations of Law and Organization'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2006), [https://books.google.com/books?id=fOolQOtKM7QC&pg=PA18 p. 18].</ref>在这些示例中，馅饼的缘由(和实用价值)被认为是无关紧要的。在这种情况下，由于潜在的分配者都没有实际生产，却获得了“意外之财”(例如，土地、继承的财产、广播频谱的一部分或其他资源) ，帕累托最优的标准并不能决定唯一的最优分配。由于市场准入门槛等原因，财产整合可能会将他者排除在财产积累之外。

阿马蒂亚·森 Amartya Sen阐述的'''自由主义悖论 The liberal paradox'''表明，当人们对他人的行为有偏好时，帕累托有效的目标可能与个人自由的目标发生冲突。<ref>Sen, A., ''Rationality and Freedom'' ([[Cambridge, Massachusetts|Cambridge, MA]] / London: [[Harvard University Press|Belknep Press]], 2004), [https://books.google.cz/books?id=DaOY4DQ-MKAC&pg=PA92 pp. 92–94].</ref>

==请参阅 ==

* [[可容许决策规则]],[[决策理论]]中的类比

* [[阿罗不可能定理 Arrow's impossibility theorem]]

* [[贝叶斯效率]][[Bayesian efficiency]]

* [[福利经济学基本定理]][[Fundamental theorems of welfare economics]]

* [[无谓损失]][[Deadweight loss]]

* [[经济效益]][[Economic efficiency]]

* [[最佳使用]][[Highest and best use]]

* [[卡尔多-希克斯效率]][[Kaldor–Hicks efficiency]]

* [[市场失灵]][[Market failure]]，即市场结果非帕累托最优的时刻

* [[极大元]][[Maximal element]]，[[阶理论]]中的概念

* [[点集极大值]][[Maxima of a point set]]

* [[多目标优化]][[Multi-objective optimization]]

* [[帕累托有效的无嫉妒分割]][[Pareto-efficient envy-free division]]

* [[福利经济]][[Welfare economics]]

==References 参考文献==

{{reflist|30em}}

== 延伸阅读 ==

* {{Cite Fudenberg Tirole 1991|pages=[https://books.google.com/books?id=pFPHKwXro3QC&pg=PA18 18–23]}}

* {{Cite journal |last1=Bendor | first1=Jonathan |last2= Mookherjee | first2=Dilip | title = Communitarian versus Universalistic norms | journal = [[Quarterly Journal of Political Science]] | volume = 3 | issue = 1 | pages = 33–61 | doi = 10.1561/100.00007028 | date = April 2008 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last = Kanbur | first = Ravi| author-link = Ravi Kanbur | title = Pareto's revenge | journal = Journal of Social and Economic Development | volume = 7 | issue = 1 | pages = 1–11 | date = January–June 2005 | url = http://www.arts.cornell.edu/poverty/kanbur/ParRev.pdf | ref = harv }}

* {{cite book | last = Ng | first = Yew-Kwang | author-link = Yew-Kwang Ng | title = Welfare economics towards a more complete analysis | url=https://books.google.com/books?id=o-2GDAAAQBAJ&printsec=frontcover| publisher = Palgrave Macmillan | location = Basingstoke, Hampshire New York | year = 2004 | isbn = 9780333971215 }}

* {{Citation | author-first1=Ariel | author-last1=Rubinstein | author-first2=Martin J. | author-last2=Osborne | author-link1 = Ariel Rubinstein | contribution = Introduction | editor-first1=Ariel | editor-last1=Rubinstein | editor-first2=Martin J. | editor-last2=Osborne | editor-link1 = Ariel Rubinstein | title = A course in game theory | pages = 6–7 | publisher = MIT Press | location = Cambridge, Massachusetts | year = 1994 | isbn = 9780262650403 }} [https://books.google.com/books?id=5ntdaYX4LPkC&pg=PA6 Book preview.]

* {{Cite journal | last = Mathur | first = Vijay K. | title = How well do we know Pareto optimality? | journal = The Journal of Economic Education | volume = 22 | issue = 2 | pages = 172–178 | doi = 10.2307/1182422 | date = Spring 1991 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last1 = Newbery | first1 = David M.G. | last2 = Stiglitz | first2 = Joseph E. | author-link1 = David Newbery | author-link2 = Joseph Stiglitz | title = Pareto inferior trade | journal = Review of Economic Studies | volume = 51 | issue = 1 | pages = 1–12 | doi = 10.2307/2297701 | date = January 1984 | ref = harv | jstor = 2297701 }}

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帕累托最优

2020-12-13T07:32:53Z

打豆豆：

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|keywords=帕累托最优,帕累托最优, Pareto efficienc
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{{short description|State in which no reallocation of resources can make everyone at least as well off}}

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'''帕累托效率 Pareto efficiency '''或'''帕累托最优 Pareto optimality'''是一种不能再改进的状态，它使得任何个体或偏好准则变得更好而不使任意一个个体或一项偏好准则变得更差。这个概念是以意大利工程师、经济学家维尔弗雷多·帕累托 Vilfredo Pareto（1848-1923）的名字命名的。他在研究'''经济效率 economic efficiency'''和'''收入分配 income distribution'''时使用了这个概念。以下三个概念密切相关：

* 在一个给定的初始条件下，'''帕累托改进 Pareto improvement '''指的是一种大多数主体的弱偏好选择，被至少一个主体严格优选的状态。在某种意义上，它是一种一致同意的改进：如果我们处于这种新的情况下，一些主体会获利，且没有主体会蒙受损失。
*一种状态如果存在帕累托改进，那么它被称作'''受帕累托支配 Pareto dominated '''的。
*一种状态如果是不受帕累托支配的，那么它被称作'''帕累托最优'''的或'''帕累托有效'''的。

'''帕累托边界 Pareto frontier '''是所有帕累托有效分配的集合，按惯例以图表形式表示它。它也被称为'''帕累托前沿 Pareto front '''或'''帕累托集 Pareto set '''。<ref>{{Cite web|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|title=Pareto Front|last=proximedia|website=www.cenaero.be|access-date=2018-10-08}}</ref>

“帕累托最优”被认为是一种狭义的效率，它不一定会产生社会所期望的资源分配: 它没有为平等或一个社会的总体福祉发声。<ref>{{cite journal |authorlink=Amartya Sen |first=A. |last=Sen |title=Markets and freedom: Achievements and limitations of the market mechanism in promoting individual freedoms |journal=Oxford Economic Papers |volume=45 |issue=4 |pages=519–541 |date=October 1993 |jstor=2663703 |url=http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr06/cos444/papers/sen.pdf |doi=10.1093/oxfordjournals.oep.a042106 }}</ref><ref>{{cite book |first=N. |last=Barr |author-link=Nicholas Barr|chapter=3.2.2 The relevance of efficiency to different theories of society |title=Economics of the Welfare State |year=2012 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-929781-8 |pages=[https://books.google.com/books?id=DOg0BM1XiqQC&pg=PA46 46–49] |edition=5th}}</ref>它是效率的必要不充分条件。

除了分配效率的背景之外，帕累托最优的概念也出现在'''生产效率 efficiency in production'''对比于'''x-低效率 x-inefficiency'''的背景之下，即如果生产投入没有可行的再分配，使得一种产品的产出增加，而所有其他产品的产出增加或保持不变，那么这一组产品的产出就是帕累托最优的。<ref>[[John D. Black|Black, J. D.]], Hashimzade, N., & [[Gareth Myles|Myles, G.]], eds., ''A Dictionary of Economics'', 5th ed. (Oxford: Oxford University Press, 2017), [https://books.google.com/books?id=WyvYDQAAQBAJ&pg=PT459 p. 459].</ref>

除了经济学，帕累托最优的概念已经应用到工程和生物学中的替代品的选择。首先根据多项标准对每个选项进行评估，然后确定选项子集，没有其他选项的属性可以绝对胜过选定的选项。在'''多目标优化 multi-objective optimization'''(又称'''帕累托优化''')中，这是不可能在不损害其他变量的情况下改进一个变量的陈述。

==综述 ==

“帕累托最优”是一个正式定义的概念，用来描述一个分配何时是最优的。如果有一种替代性的分配方式可以在不降低任何其他参与者福祉的情况下改善至少一个参与者的福祉，那么这种分配就不是帕累托最优的。如果有一个转移满足这个条件，这个再分配就被称为“帕累托改进”。当无法进一步实现帕累托改进时，这个分配就是“帕累托最优”。

The formal presentation of the concept in an economy is as follows: Consider an economy with <math> n</math> agents and <math> k </math> goods. Then an allocation <math> \{x_1, ..., x_n\} </math>, where <math> x_i \in \mathbb{R}^k </math> for all ''i'', is ''Pareto optimal'' if there is no other feasible allocation <math> \{x_1', ..., x_n'\} </math> such that, for utility function <math> u_i </math> for each agent <math> i </math>, <math> u_i(x_i') \geq u_i(x_i) </math> for all <math> i \in \{1, ..., n\} </math> with <math> u_i(x_i') > u_i(x_i) </math> for some <math> i</math>.

<ref name="AndreuMas95">{{citation|author-link=Andreu Mas-Colell|last1=Mas-Colell|first1=A.|first2=Michael D.|last2=Whinston|first3=Jerry R.|last3=Green|year=1995|title=Microeconomic Theory|chapter=Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-510268-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780198089537}}</ref> Here, in this simple economy, "feasibility" refers to an allocation where the total amount of each good that is allocated sums to no more than the total amount of the good in the economy. In a more complex economy with production, an allocation would consist both of consumption [[Vector space|vector]]s and production vectors, and feasibility would require that the total amount of each consumed good is no greater than the initial endowment plus the amount produced.

这个概念在经济体系中的正式表述如下: 考虑一个经济体系有''<math> n</math>''个主体和''<math> k</math>''个商品，如果没有其他可行的分配<math> \{x_1, ..., x_n\} </math>使得效用函数<math> u_i </math>对任意主体<math> i </math>满足<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>，对某些主体<math> i </math>满足<math> u_i(x_i') > u_i(x_i) </math>，那么这个分配<math> \{x_1', ..., x_n'\} </math>是帕累托最优的，其中对任意<math> i </math>，<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>此处需插入公式'''。<ref name="AndreuMas95">{{citation|author-link=Andreu Mas-Colell|last1=Mas-Colell|first1=A.|first2=Michael D.|last2=Whinston|first3=Jerry R.|last3=Green|year=1995|title=Microeconomic Theory|chapter=Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-510268-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780198089537}}</ref>在这个简单的经济体系中，“可行性”是指一种分配，其中每种商品的分配总额不超过该经济体系中所有商品的总额。在一个生产能力更为复杂的经济体中，一种分配将包括消费载体和生产载体，且可行性要求每种消费品的总量不大于初始禀赋加上生产总量。

原则上，从一个普遍低效率的经济分配到一个高效率的经济分配的转变不一定被认为是帕累托改进。即使经济总体是获益的，如果一个主体在再分配中处于不利地位，这个分配也不是帕累托最优的。例如，如果经济政策的某个改变消除了垄断，市场随后变得具有竞争力，那么其他主体的收益可能很大。然而，由于垄断者处于不利地位，这不是帕累托改进。理论上，如果经济体系的收益大于垄断者的损失，考虑到帕累托改进，垄断者可以在为经济体系中的其他主体留下净收益的情况下得到补偿。因此，在实践中，为了确保没有人会因为旨在实现帕累托最优的改变而处于不利地位，可能需要对一个或多个当事方进行补偿。在现实世界中，人们公认，这种补偿可能会造成意外的后果，随着时间的推移动机扭曲，因为代理人可能预期这种补偿并相应地改变他们的行为。<ref>See [[Ricardian equivalence]]</ref>

在'''福利经济学第一定理 the first welfare theorem'''的理想条件下，一个'''自由市场 free market'''系统，也称为“'''竞争均衡 competitive equilibrium'''” ，对应一个帕累托有效的结果。经济学家肯尼斯·阿罗 Kenneth Arrow和杰拉德·迪布鲁 Gérard Debreu首先用数学方法证明了这一点。

然而，这个结果只有在证明所需的限制性假设下才成立，即所有可能的商品都存在市场，因此不存在外部效应; 所有市场都处于完全均衡状态; 市场是完全竞争的; 交易成本是可忽略的; 市场参与者拥有'''完全信息 perfect information'''。

根据'''格林沃德-斯蒂格利茨定理 the Greenwald-Stiglitz theorem'''，在缺乏完全信息或完全市场的情况下，这个结果通常是帕累托低效的。<ref>{{Cite journal |doi=10.2307/1891114 |last1=Greenwald |first1=B. |last2=Stiglitz |first2=J. E. |author1-link=Bruce Greenwald |author2-link=Joseph E. Stiglitz |journal=Quarterly Journal of Economics |volume=101 |issue=2 |pages=229–64 |year=1986 |title=Externalities in economies with imperfect information and incomplete markets |jstor=1891114}}</ref>

'''福利经济学第二定理 The second welfare theorem'''实质上是福利经济学第一定理的逆定理。它指出，在类似的理想假设下，任何帕累托最优都可以通过某种[[竞争均衡]]或[[自由市场制度]]获得，尽管它可能也需要一次性转移财富。<ref name="AndreuMas95"/>

==弱帕累托效率==

'''弱帕累托最优 Weak Pareto optimality '''是一种不能严格地改善每个个体的状态。<ref>{{Cite book | doi=10.1007/978-1-4020-9160-5_341|chapter = Pareto Optimality|title = Encyclopedia of Global Justice| pages=808–809|year = 2011|last1 = Mock|first1 = William B T.| isbn=978-1-4020-9159-9}}</ref>

在形式上，我们将'''强帕累托改进 strong pareto improvement '''定义为所有主体严格处于较好状态的情况(与之相对的是“帕累托改进” ，它要求一个主体严格处于较好状态，而其他主体至少同样良好)。没有强帕累托改进的状态是'''弱帕累托最优'''的。

任何强帕累托改进也是弱帕累托改进。反之则不然; 例如，考虑一个包含两种资源的资源分配问题，Alice资源为10,0，George资源为5,5。考虑将所有资源分配给 Alice，它的'分配方案为(10,0)。

* 它是一个弱帕累托最优，因为没有其他任何分配对上述两个主体是更优的（没有强帕累托改进）。
* 但它不是一个强帕累托最优，因为George得到的第二种的资源的分配对George是严格更优的且对Alice是弱更优的（它是一个弱帕累托改进），它的分配方案为(10,5)

市场不需要局部不饱和 local nonsatiation 就能达到弱帕累托最优。<ref>Markey‐Towler, Brendan and John Foster. "[http://www.uq.edu.au/economics/abstract/476.pdf Why economic theory has little to say about the causes and effects of inequality]", School of Economics, [[University of Queensland]], Australia, 21 February 2013, RePEc:qld:uq2004:476</ref>

==受约束的帕累托效率 ==

'''受约束的帕累托最优 Constrained Pareto optimality '''是帕累托最优的弱化，因为一个潜在的规划者(比如政府)可能无法改进分散市场的结果，即使这个结果是低效的。如果它受到与独立主体相同的信息或机构约束的限制，就会发生这种情况。<ref>Magill, M., & [[Martine Quinzii|Quinzii, M.]], ''Theory of Incomplete Markets'', MIT Press, 2002, [https://books.google.com/books?id=d66GXq2F2M0C&pg=PA104#v=onepage&q&f=false p. 104].</ref>

例如，个人拥有私人信息的情况(例如，劳动力市场中工人自己的生产率为工人所知，而潜在雇主却不知道，或者二手车市场中汽车的质量为卖方所知，而非买方所知)导致道德风险或不利选择和次优结果。在这种情况下，希望改善局面的规划者不太可能获得市场参与者没有的信息。因此，计划者不能执行基于个人特质的分配规则; 例如，”如果一个人属于 a 型，他们支付 p1的价格，但如果属于 b 型，他们支付 p2的价格”(见林达尔价格 Lindahl prices )。基本上，只有隐性规则(类似于“每个人都支付价格 p”)或基于可观察行为的规则被允许; “如果任何人以价格 px 选择 x，那么他们将得到10美元的补贴，除此之外什么也得不到”。如果不存在能够成功改进市场结果的允许规则，那么该结果被称为是“受约束的帕累托最优的”。

受约束的帕累托最优的概念假定了规划者是仁慈的，因此不同于政府失灵 government failure 的概念。政府失灵在制定政策的政客未能取得最佳结果时会出现，仅仅因为他们的行为不一定符合公众的最大利益。

==部分帕累托效率 ==

'''部分帕累托最优 Fractional Pareto optimality '''是在物品公平分配的背景下对帕累托最优的一个加强。如果一个不可分割的物品的分配不是受帕累托支配的，即使在分配过程中，一些物品在主体之间被分配，那么它是'''部分帕累托最优 fractionally Pareto-optimal(fPO) '''。这与标准的帕累托最优相反，因为它只考虑可行(离散)分配的控制。<ref>Barman, S., Krishnamurthy, S. K., & Vaish, R., [https://arxiv.org/pdf/1707.04731.pdf "Finding Fair and Efficient Allocations"], ''EC '18: Proceedings of the 2018 ACM Conference on Economics and Computation'', June 2018.</ref>

作为一个示例，考虑一个有两种物品的分配问题，Alice 值为3,2，George 值为4,1。考虑将第一种物品分配给 Alice，第二种物品分配给 George，其中分配方案为(3,1)。

* 它是一个帕累托最优，因为其他任何离散分配（在不分离物品的情况下）都会使得某个主体变差。
* 但是，它不是部分帕累托最优的，因为它是受帕累托支配的。它分配给了Alice第一种物品的一半和第二种物品的全部，分配给了George第一种物品的一半。它的分配方案是(3.5,2)。

==帕累托效率和福利最大化==

假设每个主体 ''i'' 被赋予一个正权重。对于每个分配 ''x'' ，将 ''x'' 的福利定义为 ''x'' 中所有主体的配置的加权和，即:<math>W_a(x) := \sum_{i=1}^n a_i u_i(x)</math>.

假设<math>xa</math>此处需插入公式'''是一个在所有分配中使福利最大化的分配，即:<math>x_a \in \arg \max_{x} W_a(x)</math>.

很容易证明分配<math>xa</math>是帕累托有效的: 因为所有<math>xa</math>的权重都是正的，任何帕累托改进都会增加加权和，这与<math>xa</math>'的定义相矛盾。

日本新瓦尔拉斯经济学家根岸隆史 Takashi Negishi证明，<ref>{{cite journal |last=Negishi |first=Takashi |date=1960 |title=Welfare Economics and Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy |journal=Metroeconomica |volume=12 |issue=2–3 |pages=92–97 |doi=10.1111/j.1467-999X.1960.tb00275.x }}</ref>在某些假设下,该命题的逆命题也成立，即对于每一个帕累托有效的配置''x''，都存在一个正向量''a''，使最大化。哈尔·瓦里安提供了一个较短的证明。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0047-2727(76)90018-9 |title=Two problems in the theory of fairness |journal=Journal of Public Economics |volume=5 |issue=3–4 |pages=249–260 |year=1976 |last1=Varian |first1=Hal R. |hdl=1721.1/64180 |hdl-access=free }}</ref>

==工程学上的应用==

帕累托最优的概念已经在工程中得到了应用。<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>给定一组选择和一种评估它们的方法，'''帕累托边界'''、'''帕累托解集'''或'''帕累托前沿'''就是帕累托有效的选择集。通过将注意力限制在帕累托有效的选择集上，设计者可以在这个集合中进行权衡，而不是考虑每个参数的全部范围。<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>

[[File:帕累托最优边界.png|帕累托边界的一个例子。集合中的点表示可行的选择，较小的值比较大的值更好。点''C''不在帕累托边界上，因为它同时被点 ''A'' 和点 ''B'' 支配。点''A''和点''B''不受任何其他点严格控制，因此位于边界上。|256px]]

[[File:生产可能边界.png|256px|一个'''生产可能性边界 production-possibility frontier'''。红线是帕累托有效边界的一个例子，边界和左下方的区域是一个连续的选择集。边界上的红点是生产的帕累托最优选择的例子。边界外的点，如 ''N'' 和''K''，不是帕累托有效，因为在边界上存在着受帕累托支配的点。]]

===帕累托边界 ===

对于一个给定的系统，帕累托边界the Pareto frontier或帕累托集是所有帕累托有效的参数化(分配)的集合。找到帕累托前沿在工程学中特别有用。通过产生所有潜在的最优解决方案，设计师可以在这个受限的参数集中进行集中的[[权衡]]，而不需要考虑所有的参数。<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>

帕累托边界, ''P''(''Y'') ，可以更正式地描述如下。考虑一个包含函数 <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>的系统，其中''X''是'''度量空间 metric space''' <math>\mathbb{R}^n</math>中可行决策的'''紧集 compact set'''，''Y''是'''<math>\mathbb{R}^m</math>中标准向量的可行集，使得<math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>。

我们假设标准值的最优方向是已知的。<math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math>中的一个点优于中的另一个点<math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>，写作<math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>。因此，帕累托边界可以被描述为:

: <math>P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. </math>

===边际替代率 ===

经济学中，帕累托边界的一个重要方面是在帕累托有效分配中，所有消费者的'''边际替代率 the marginal rate of substitution'''是相同的。一个正式的陈述可以通过考虑一个有''m''个消费者和''n''个商品的系统，以及每个消费者的效用函数<math>z_i=f^i(x^i)</math>来推导出。在这个效用方程中，对所有的''i''，<math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math>是商品的矢量。可行性约束为<math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math>。为了找到帕累托最优分配，我们最大化'''拉格朗日函数 Lagrangian''':

: <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>

其中<math>(\lambda_k)_k</math>和<math>(\mu_j)_j</math>是乘子的向量。取关于商品的拉格朗日函数的偏导数<math>x_j^k</math>（<math>j=1,\ldots,n</math> ，<math>k=1,\ldots, m</math>）并给出以下一阶条件系统:

对于<math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\</math>

对于<math>k= 2,\ldots,m</math> ， <math>j=1,\ldots,n</math>：
:<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0</math>

其中<math>f_{x^i_j}</math>表示<math>f</math>对于<math>x_j^i</math>的偏导数。现给定<math>k\neq i</math>且<math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>。上述一阶条件意味着

: <math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>

因此，在帕累托最优分配中，所有消费者的边际替代率必须相同。<ref>Wilkerson, T., ''Advanced Economic Theory'' ([[Waltham Abbey]]: Edtech Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=UtW_DwAAQBAJ&pg=PA114 p. 114].</ref>

===计算===

计算机科学和动力工程给出了计算有限个方案集的帕累托边界的算法。<ref>{{cite journal |doi=10.3390/en6031439 |last1=Tomoiagă |first1=Bogdan |last2=Chindriş |first2=Mircea |last3=Sumper |first3=Andreas |last4=Sudria-Andreu |first4=Antoni |last5=Villafafila-Robles |first5=Roberto |title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II |journal=Energies |year=2013 |volume=6 |issue=3 |pages=1439–55 |doi-access=free }}</ref>它们包括:

* “最大向量问题”，或称[[轮廓查询]]。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0 |last1=Nielsen |first1=Frank |title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers |journal=Information Processing Letters |volume=59 |pages=255–9 |year=1996 |issue=5 |citeseerx=10.1.1.259.1042 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1145/321906.321910 |last1=Kung |first1=H. T. |last2=Luccio |first2=F. |last3=Preparata |first3=F.P. |title=On finding the maxima of a set of vectors |journal=Journal of the ACM |volume=22 |pages=469–76 |year=1975 |issue=4 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1007/s00778-006-0029-7 |last1=Godfrey |first1=P. |last2=Shipley |first2=R. |last3=Gryz |first3=J. |journal=VLDB Journal |volume=16 |pages=5–28 |year=2006 |title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation |citeseerx=10.1.1.73.6344 }}</ref>

* “标量化算法”，或称加权求和法。<ref name="Kimde Weck2005">{{cite journal|last1=Kim|first1=I. Y.|last2=de Weck|first2=O. L.|title=Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=31|issue=2|year=2005|pages=105–116|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-005-0557-6}}</ref><ref name="MarlerArora2009">{{cite journal|last1=Marler|first1=R. Timothy|last2=Arora|first2=Jasbir S.|title=The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=41|issue=6|year=2009|pages=853–862|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-009-0460-7}}</ref>

* “ϵ-约束法”。 <ref>{{cite journal|title=On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization|journal=IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics|volume=SMC-1|issue=3|year=1971|pages=296–297|issn=0018-9472|doi=10.1109/TSMC.1971.4308298}}</ref><ref name="Mavrotas2009">{{cite journal|last1=Mavrotas|first1=George|title=Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=213|issue=2|year=2009|pages=455–465|issn=00963003|doi=10.1016/j.amc.2009.03.037}}</ref>

==在生物学中的应用==

帕累托最优化在生物过程中也有研究。<ref>Moore, J. H., Hill, D. P., Sulovari, A., & Kidd, L. C., "Genetic Analysis of Prostate Cancer Using Computational Evolution, Pareto-Optimization and Post-processing", in R. Riolo, E. Vladislavleva, M. D. Ritchie, & J. H. Moore, eds., ''Genetic Programming Theory and Practice X'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2013), [https://books.google.co.il/books?id=YZZAAAAAQBAJ&pg=PA86 pp. 87–102].</ref>在细菌中，基因要么生成成本低廉(资源节约型) ，要么更容易被读取(翻译效率型)。自然选择将高表达的基因推向资源利用和翻译效率的帕累托边界。帕累托边界附近基因的进化速度也较慢(这表明它们提供了一种选择优势)。<ref>{{Cite journal|doi=10.1186/s13059-018-1480-7|pmid=30064467|last1=Seward|first1=Emily A. |last2=Kelly|first2=Steven|title=Selection-driven cost-efficiency optimization of transcripts modulates gene evolutionary rate in bacteria.|journal=Genome Biology|volume=19|issue=1|pages=102|year=2018|pmc=6066932}}</ref>

==批判 ==

把帕累托最优等同于社会优化是不正确的，<ref>[[Jacques Drèze|Drèze, J.]], ''Essays on Economic Decisions Under Uncertainty'' ([[Cambridge]]: [[Cambridge University Press]], 1987), [https://books.google.com/books?id=LWE4AAAAIAAJ&pg=PA358 pp. 358–364]</ref>因为后者是一个规范性概念，是一个典型的解释性问题，可以解释分配不平等程度的后果。<ref>Backhaus, J. G., ''The Elgar Companion to Law and Economics'' ([[Cheltenham|Cheltenham, UK]] / [[Northampton, MA]]: [[Edward Elgar Publishing|Edward Elgar]], 2005), [https://books.google.com/books?id=EtguKoWHUHYC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA10 pp. 10–15].</ref>一个例子就是对一个财产税收入较低的学区和另一个财政收入高很多的学区的解释，这表明在政府再分配的帮助下实现了更加平等的分配。<ref>Paulsen, M. B., "The Economics of the Public Sector: The Nature and Role of Public Policy in the Finance of Higher Education", in M. B. Paulsen, J. C. Smart, eds. ''The Finance of Higher Education: Theory, Research, Policy, and Practice'' (New York: Agathon Press, 2001), [https://books.google.com/books?id=BlkPAy-gb8sC&pg=PA95 pp. 95–132].</ref>

帕累托效率并不需要完全公平的财富分配。<ref>Bhushi, K., ed., ''Farm to Fingers: The Culture and Politics of Food in Contemporary India'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=NYJIDwAAQBAJ&pg=PA222 p. 222].</ref>一个少数富人拥有绝大多数资源的经济体系可以是帕累托有效的。这种可能性是帕累托效率的固有定义; 通常情况下，无论财富的公平分配程度如何，现状都是帕累托有效的。一个简单的例子是在三个人之间分配馅饼。最公平的分配将分配给每个人三分之一。

另一种分配是两个人各占半部分，第三个人不占分毫。然而，尽管这种分配并不公平，它也是帕累托最优的，因为没有一个接受者能够在不减少其他人的份额的情况下得到更优的收益; 还有其他许多这样的分配例子。帕累托无效率的馅饼分配的一个例子是三者中的每一个分得馅饼的四分之一，剩下的部分丢弃。<ref>Wittman, D., ''Economic Foundations of Law and Organization'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2006), [https://books.google.com/books?id=fOolQOtKM7QC&pg=PA18 p. 18].</ref>在这些示例中，馅饼的缘由(和实用价值)被认为是无关紧要的。在这种情况下，由于潜在的分配者都没有实际生产，却获得了“意外之财”(例如，土地、继承的财产、广播频谱的一部分或其他资源) ，帕累托最优的标准并不能决定唯一的最优分配。由于市场准入门槛等原因，财产整合可能会将他者排除在财产积累之外。

阿马蒂亚·森 Amartya Sen阐述的'''自由主义悖论 The liberal paradox'''表明，当人们对他人的行为有偏好时，帕累托有效的目标可能与个人自由的目标发生冲突。<ref>Sen, A., ''Rationality and Freedom'' ([[Cambridge, Massachusetts|Cambridge, MA]] / London: [[Harvard University Press|Belknep Press]], 2004), [https://books.google.cz/books?id=DaOY4DQ-MKAC&pg=PA92 pp. 92–94].</ref>

==请参阅 ==

* [[可容许决策规则]],[[决策理论]]中的类比

* [[阿罗不可能定理 Arrow's impossibility theorem]]

* [[贝叶斯效率]][[Bayesian efficiency]]

* [[福利经济学基本定理]][[Fundamental theorems of welfare economics]]

* [[无谓损失]][[Deadweight loss]]

* [[经济效益]][[Economic efficiency]]

* [[最佳使用]][[Highest and best use]]

* [[卡尔多-希克斯效率]][[Kaldor–Hicks efficiency]]

* [[市场失灵]][[Market failure]]，即市场结果非帕累托最优的时刻

* [[极大元]][[Maximal element]]，[[阶理论]]中的概念

* [[点集极大值]][[Maxima of a point set]]

* [[多目标优化]][[Multi-objective optimization]]

* [[帕累托有效的无嫉妒分割]][[Pareto-efficient envy-free division]]

* [[福利经济]][[Welfare economics]]

==References 参考文献==

{{reflist|30em}}

== 延伸阅读 ==

* {{Cite Fudenberg Tirole 1991|pages=[https://books.google.com/books?id=pFPHKwXro3QC&pg=PA18 18–23]}}

* {{Cite journal |last1=Bendor | first1=Jonathan |last2= Mookherjee | first2=Dilip | title = Communitarian versus Universalistic norms | journal = [[Quarterly Journal of Political Science]] | volume = 3 | issue = 1 | pages = 33–61 | doi = 10.1561/100.00007028 | date = April 2008 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last = Kanbur | first = Ravi| author-link = Ravi Kanbur | title = Pareto's revenge | journal = Journal of Social and Economic Development | volume = 7 | issue = 1 | pages = 1–11 | date = January–June 2005 | url = http://www.arts.cornell.edu/poverty/kanbur/ParRev.pdf | ref = harv }}

* {{cite book | last = Ng | first = Yew-Kwang | author-link = Yew-Kwang Ng | title = Welfare economics towards a more complete analysis | url=https://books.google.com/books?id=o-2GDAAAQBAJ&printsec=frontcover| publisher = Palgrave Macmillan | location = Basingstoke, Hampshire New York | year = 2004 | isbn = 9780333971215 }}

* {{Citation | author-first1=Ariel | author-last1=Rubinstein | author-first2=Martin J. | author-last2=Osborne | author-link1 = Ariel Rubinstein | contribution = Introduction | editor-first1=Ariel | editor-last1=Rubinstein | editor-first2=Martin J. | editor-last2=Osborne | editor-link1 = Ariel Rubinstein | title = A course in game theory | pages = 6–7 | publisher = MIT Press | location = Cambridge, Massachusetts | year = 1994 | isbn = 9780262650403 }} [https://books.google.com/books?id=5ntdaYX4LPkC&pg=PA6 Book preview.]

* {{Cite journal | last = Mathur | first = Vijay K. | title = How well do we know Pareto optimality? | journal = The Journal of Economic Education | volume = 22 | issue = 2 | pages = 172–178 | doi = 10.2307/1182422 | date = Spring 1991 | ref = harv | jstor = 1182422 }}

* {{Cite journal | last1 = Newbery | first1 = David M.G. | last2 = Stiglitz | first2 = Joseph E. | author-link1 = David Newbery | author-link2 = Joseph Stiglitz | title = Pareto inferior trade | journal = Review of Economic Studies | volume = 51 | issue = 1 | pages = 1–12 | doi = 10.2307/2297701 | date = January 1984 | ref = harv | jstor = 2297701 }}

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{{DEFAULTSORT:博弈论}}
[[Category:博弈论| ]]
[[Category:法律和经济学]]
[[Category:福利经济学]]
[[Category:帕累托最优]]
[[Category:最优化]]
[[Category:选举制度标准]]

演化网络

2020-12-13T07:21:23Z

打豆豆：

{{#seo:
|keywords=演化网络, Evolving network
|description=演化网络, Evolving network
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[[File:256px-Barabasi_Albert_model.gif|thumb|256px|基于初始巴拉巴西-阿尔伯特 Barabasi-Albert 模型的演化网络的动画]]
演化网络 Evolving networks是作为时间的函数而变化的网络。它们是网络科学 network science的自然延伸，因为几乎所有现实世界的网络都是随时间演化的，通过随着时间的推移增加或删除节点或连边实现。通常所有这些过程都是同时发生的，比如在社交网络 social networks中，随着时间的推移人们结交和失去朋友，从而创造和破坏连边，一些人成为新的社交网络的一部分，或者离开他们的网络，从而改变网络中的节点。演化网络的概念建立在既定的网络理论之上，现在正被引入到许多不同领域的网络研究中。

==网络理论背景==

网络研究源于图论 graph theory的发展，莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler于1736年首先分析了图论，当时他撰写了著名的柯尼斯堡七桥问题 Seven Bridges of Königsberg论文。随后在八篇由保罗·埃尔德什 Paul Erdős和阿尔弗雷德·雷尼 Alfréd Rényi撰写的研究随机图 random graphs的著名论文的帮助下，概率网络理论得以发展。埃尔德什-雷尼模型 Erdős–Rényi model(ER模型)假定一个图由n个有标记的节点组成，其中每一对节点通过一个预设的概率p连接。

[[File:220px-Watts_strogatz.svg.png|220px|thumb|Watts–Strogatz graph 瓦茨-斯托加茨图]]

尽管ER模型的简单性帮助它找到了许多应用之处，但它并不能准确地描述许多真实世界的网络。ER模型无法像在现实世界网络中那样频繁地生成局部聚类和三元闭包。为此，提出了瓦茨-斯托加茨模型 Watts-Strogatz model，将网络构造成规则的环网格，然后根据一定的概率β重新连接节点。<ref name=WS>{{cite journal | author1 = Watts, D.J. | author2 = Strogatz, S.H. | year = 1998 | title = Collective dynamics of 'small-world' networks | journal = Nature | volume = 393 | issue = 6684 | pages = 409–10 | doi = 10.1038/30918 | pmid = 9623998 | bibcode=1998Natur.393..440W}}</ref>

这会产生一个局部聚集的网络，并显著减少平均路径长度 average path length。这样创建的网络可以代表在许多现实世界网络中观察到的小世界现象 small world phenomenon。<ref name=milg>{{cite journal |author1=Travers Jeffrey |author2=Milgram Stanley | year = 1969 | title = An Experimental Study of the Small World Problem | url = | journal = Sociometry | volume = 32 | issue = 4| pages = 425–443 | doi=10.2307/2786545|jstor=2786545 }}</ref>

尽管取得了这样的成就，ER模型和Watts-Storgatz模型都未能解释在许多现实世界网络中观察到的中心节点的形成。ER模型中的度分布遵循泊松分布，而Watts-Strogatz模型生成的图在度上是同质的。但是，许多网络是无标度的，这意味着它们的度分布遵循以下形式的幂律分布:

: <math>P(k)\sim k^{-\gamma}</math>

对于许多现实世界的网络来说，这个指数大约是3。然而，它不是一个通用常数，并且持续地依赖于网络的参数。<ref name=Barabasi2000>{{Cite journal| url = http://nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/Universality_Physical%20Rev%20Ltrs%2085,%205234%20(2000).pdf | author1 = R. Albert | author2 = A.-L. Barabási | title = Topology of Evolving Networks: Local Events and Universality | journal = [[Physical Review Letters]] | volume = 85 | issue = 24 | pages = 5234–5237 | year = 2000 | doi = 10.1103/PhysRevLett.85.5234 | pmid = 11102229|arxiv = cond-mat/0005085 |bibcode = 2000PhRvL..85.5234A | hdl = 2047/d20000695 }}</ref>

==第一个演化网络模型——无标度网络==

巴拉巴西-阿尔伯特模型 Barabási–Albert model(BA模型)是第一个被广泛接受的产生无标度网络 scale-free network的模型。这是通过偏好依附 preferential attachment和增长来实现的，随着时间的推移，节点被添加到网络中，并且更有可能链接到其他度较大的节点。BA模型首先应用于互联网的度分布，这两种影响都可以清楚地看到。随着时间的推移，新的网页会不断增加，并且每个新的网页都更有可能链接到像谷歌这样具有很高的度分布的高度可见的中心节点，而不是只有少量链接的节点。从形式上来说，这种偏好依附是:

: <math>p_i = \frac{k_i}{\displaystyle\sum_j k_j},</math>

==BA模型以外==

BA模型是第一个从随着时间的推移而添加节点和连边的网络构造方式中推导出网络拓扑的模型。然而，该模型只做了产生无标度网络所必需的最简单的假设，即存在线性增长和线性偏好依附。这个最小模型没有刻画度分布形状的变化，度指数的变化，或不依赖大小的集聚系数 clustering coefficient。

因此，通过引入一些新的性质，对原有的模型进行了修改，以更充分地刻画演化网络的性质。

===适应度===

与BA模型有关的一个问题是，每个节点的度分布经历很强的正反馈 positive feedback，即最早的具有高度分布的节点继续无限期地主宰网络。但是，可以通过为每个节点引入一个适应度来缓解这个问题，该适应度可以修改用该节点创建新链接的概率，甚至可以修改该节点的链接被删除的概率。<ref>Albert R. and Barabási A.-L., "Statistical mechanics of complex networks", ''Reviews of Modern Physics'' 74, 47 (2002)</ref>

为了保持BA模型中的偏好依附，该适应度乘以基于度分布的偏好依附，得到连接到节点i的真实概率。

: <math>\Pi(k_i) = \frac{\eta_i k_i}{\displaystyle\sum_j \eta_j k_j},</math>

其中<math>\eta</math>是适应度，这也可能依赖于时间。适应度可能随时间衰减，可以表示为

: <math> \Pi(k_i) \propto k_i(t-t_i)^{-\nu},</math>

其中<math>\gamma</math>随<math>\nu.</math>的增长而增长。

===删除节点和重连接边===

由于节点可能会以一定的概率从网络中移除，因此会出现更多的复杂情况。此外，节点之间现有的链接可能会被删除并且创建新的链接。这些行为发生的概率可能依赖于时间，也可能与节点的适应度有关。通过研究有关网络的特性，可以为这些事件赋予概率，从而生成具有相同特性的模型网络。这种增长将在每个时间步骤中发生下列行为之一:

概率 p：增加一个内部链接。

概率 q: 删除一个链接。

概率 r：删除一个节点。

概率 1-p-q-r: 添加一个节点。

==描述演化网络的其他方法==

除了上面描述的不断生长的网络模型之外，可能有时候其他方法对于描述演化网络的某些性质更有用或更方便。

===趋向均衡===

在竞争性决策发生的网络系统中，博弈论经常被用来建模系统动力学，趋向均衡可以被认为是拓扑进化的驱动力。例如Kasthurirathna和Piraveenan<ref>{{cite journal |last1=Kasthurirathna|first1=Dharshana |last2=Piraveenan |first2=Mahendra. |title=Emergence of scale-free characteristics in socioecological systems with bounded rationality |journal=[[Scientific Reports (journal)|Scientific Reports]] |volume=In Press |date=2015}}</ref>表明，当一个系统中的个体表现出不同程度的理性时，提高整个系统的理性可能是无标度网络出现的进化原因。他们通过对一个最初的随机网络施加进化压力来模拟一系列经典博弈，当允许重新连接时，网络收敛到纳什均衡，从而证明了这一点。在这个过程中，网络变得越来越无标度。

===视演化网络为连续的静态网络快照===

观察不断演化的网络最常用的方法是把它们看作连续的静态网络。这可以概念化为组成电影的一个个静态图像。有许多简单的参数可以描述一个静态网络（节点数、边、路径长度、连通子图），或者描述图中的特定节点，比如链接数或集聚系数。然后可以使用信号处理概念将这些属性单独作为时间序列进行研究。<ref name=EvolvingNetworksPDF>{{Cite journal| url = http://liris.cnrs.fr/Documents/Liris-3669.pdf | author1 = Pierre Borgnat | author2 = Eric Fleury | title = Evolving Networks|display-authors=etal}}</ref> 例如，我们可以通过查看网络的连续快照并计算每个快照中的链接数量，来跟踪每分钟建立到服务器的链接数量。

不幸的是，快照与电影的类比也揭示了这种方法的主要困难: 使用的时间步骤很少由网络给出，而是任意的。在每个快照之间使用极小的时间步骤可以保持分辨率，但实际上可能掩盖了只有在较长时间尺度下才能看到的更广泛的趋势。相反，使用较大的时间尺度会失去每个快照中事件的时间顺序。因此，可能很难找到合适的时间尺度来将网络的演化划分为静态快照。

===定义动力学性质===

那些不能直接从将演化网络视为一系列快照中观察到的特性可能很重要，例如节点之间的接触时间。<ref name="Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms">{{Cite journal| url = http://www.cl.cam.ac.uk/~ph315/publications/PID158626.pdf | author1 = A. Chaintreau | author2 = P. Hui | author3 = J. Crowcroft | author4 = C. Diot | author5 = R. Gass | author6 = J. Scott | journal = Infocom | year = 2006 | title = Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms}}</ref>可以定义其他类似的属性，然后可以通过网络的演化来跟踪这些属性，并直接可视化它们。

使用连续快照的另一个问题是，在网络拓扑中微小的变化可以对用于寻找网络社团的算法的结果产生巨大的影响。因此，有必要使用一个非经典的社团定义，它允许通过一系列的规则，如出生、死亡、合并、分裂、生长和收缩，来跟随社团的演化。<ref name="Quantifying social group evolution">{{Cite journal| author1 = G. Palla | author2 = A. Barabasi | author3 = T. Vicsek | title = Quantifying social group evolution | journal = Nature | volume = 446 | pages = 664–667 | year = 2007 | author4 = Y. Chi, S. Zhu, X. Song, J. Tatemura, and B.L. Tseng | issue=7136 | doi=10.1038/nature05670|pmid = 17410175|arxiv = 0704.0744 |bibcode = 2007Natur.446..664P }}</ref><ref name="Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization">{{Cite book| url = http://portal.acm.org/ft_gateway.cfm? | author1 = Y. Chi, S. Zhuid=1281213&type=pdf | author2 = X. Song | author3 = J. Tatemura | author4 = B.L. Tseng | title = Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization | journal = KDD '07: Proceedings of the 13th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining | pages = 163–172 | year = 2007| doi = 10.1145/1281192.1281213 | citeseerx = 10.1.1.69.6959 | isbn = 9781595936097 }}</ref>

==应用==
[[File:256px-World-airline-routemap-2009.png|256px|thumb|2009年世界预定商业航空交通路线图。这个网络随着新路线的计划或取消而不断演变]]

几乎所有真实世界的网络都是不断演化的网络，因为它们是随着时间的推移而构建的。通过改变上述各自的概率，可以使用扩展的BA模型来构造一个具有与许多观测网络几乎相同属性的网络。<ref name="Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra">{{Cite journal |url = http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |author1 = I. Farkas |author2 = I. Derenyi |author3 = H. Heong |title = Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra |journal = [[Physica A|Physica]] |volume = 314 |issue = 1–4 |pages = 25–34 |year = 2002 |arxiv = cond-mat/0303106 |bibcode = 2002PhyA..314...25F |doi = 10.1016/S0378-4371(02)01181-0 |display-authors = etal |access-date = 2011-04-21 |archive-url = https://web.archive.org/web/20111004050804/http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |archive-date = 2011-10-04 |url-status = dead}}</ref>

此外，无标度网络的概念告诉我们，时间演化是理解网络属性的必要组成部分，而且很难将现有网络模型化为瞬间创建的。目前正在研究的演化网络包括社交网络、通信网络、互联网、电影演员网络、万维网和交通网络。

==扩展阅读==

* "Understanding Network Science," https://web.archive.org/web/20110718151116/http://www.zangani.com/blog/2007-1030-networkingscience

* "Linked: The New Science of Networks", A.-L. Barabási Perseus Publishing, Cambridge.

==参考资料==

<references />

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本中文词条由[[用户:Steve Luo|Steve Luo]]审校，[[用户:打豆豆|打豆豆]]，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

{{DEFAULTSORT:网络}}
[[Category:网络]]
[[Category:网络理论]]

演化网络

2020-12-13T07:20:26Z

打豆豆：/* References */

{{#seo:
|keywords=演化网络, Evolving network
|description=演化网络, Evolving network
}}

[[File:256px-Barabasi_Albert_model.gif|thumb|256px|基于初始巴拉巴西-阿尔伯特 Barabasi-Albert 模型的演化网络的动画]]

演化网络 Evolving networks是作为时间的函数而变化的网络。它们是网络科学 network science的自然延伸，因为几乎所有现实世界的网络都是随时间演化的，通过随着时间的推移增加或删除节点或连边实现。通常所有这些过程都是同时发生的，比如在社交网络 social networks中，随着时间的推移人们结交和失去朋友，从而创造和破坏连边，一些人成为新的社交网络的一部分，或者离开他们的网络，从而改变网络中的节点。演化网络的概念建立在既定的网络理论之上，现在正被引入到许多不同领域的网络研究中。

==网络理论背景==

网络研究源于图论 graph theory的发展，莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler于1736年首先分析了图论，当时他撰写了著名的柯尼斯堡七桥问题 Seven Bridges of Königsberg论文。随后在八篇由保罗·埃尔德什 Paul Erdős和阿尔弗雷德·雷尼 Alfréd Rényi撰写的研究随机图 random graphs的著名论文的帮助下，概率网络理论得以发展。埃尔德什-雷尼模型 Erdős–Rényi model(ER模型)假定一个图由n个有标记的节点组成，其中每一对节点通过一个预设的概率p连接。

[[File:220px-Watts_strogatz.svg.png|220px|thumb|Watts–Strogatz graph 瓦茨-斯托加茨图]]

尽管ER模型的简单性帮助它找到了许多应用之处，但它并不能准确地描述许多真实世界的网络。ER模型无法像在现实世界网络中那样频繁地生成局部聚类和三元闭包。为此，提出了瓦茨-斯托加茨模型 Watts-Strogatz model，将网络构造成规则的环网格，然后根据一定的概率β重新连接节点。<ref name=WS>{{cite journal | author1 = Watts, D.J. | author2 = Strogatz, S.H. | year = 1998 | title = Collective dynamics of 'small-world' networks | journal = Nature | volume = 393 | issue = 6684 | pages = 409–10 | doi = 10.1038/30918 | pmid = 9623998 | bibcode=1998Natur.393..440W}}</ref>

这会产生一个局部聚集的网络，并显著减少平均路径长度 average path length。这样创建的网络可以代表在许多现实世界网络中观察到的小世界现象 small world phenomenon。<ref name=milg>{{cite journal |author1=Travers Jeffrey |author2=Milgram Stanley | year = 1969 | title = An Experimental Study of the Small World Problem | url = | journal = Sociometry | volume = 32 | issue = 4| pages = 425–443 | doi=10.2307/2786545|jstor=2786545 }}</ref>

尽管取得了这样的成就，ER模型和Watts-Storgatz模型都未能解释在许多现实世界网络中观察到的中心节点的形成。ER模型中的度分布遵循泊松分布，而Watts-Strogatz模型生成的图在度上是同质的。但是，许多网络是无标度的，这意味着它们的度分布遵循以下形式的幂律分布:

: <math>P(k)\sim k^{-\gamma}</math>

对于许多现实世界的网络来说，这个指数大约是3。然而，它不是一个通用常数，并且持续地依赖于网络的参数。<ref name=Barabasi2000>{{Cite journal| url = http://nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/Universality_Physical%20Rev%20Ltrs%2085,%205234%20(2000).pdf | author1 = R. Albert | author2 = A.-L. Barabási | title = Topology of Evolving Networks: Local Events and Universality | journal = [[Physical Review Letters]] | volume = 85 | issue = 24 | pages = 5234–5237 | year = 2000 | doi = 10.1103/PhysRevLett.85.5234 | pmid = 11102229|arxiv = cond-mat/0005085 |bibcode = 2000PhRvL..85.5234A | hdl = 2047/d20000695 }}</ref>

==第一个演化网络模型——无标度网络==

巴拉巴西-阿尔伯特模型 Barabási–Albert model(BA模型)是第一个被广泛接受的产生无标度网络 scale-free network的模型。这是通过偏好依附 preferential attachment和增长来实现的，随着时间的推移，节点被添加到网络中，并且更有可能链接到其他度较大的节点。BA模型首先应用于互联网的度分布，这两种影响都可以清楚地看到。随着时间的推移，新的网页会不断增加，并且每个新的网页都更有可能链接到像谷歌这样具有很高的度分布的高度可见的中心节点，而不是只有少量链接的节点。从形式上来说，这种偏好依附是:

: <math>p_i = \frac{k_i}{\displaystyle\sum_j k_j},</math>

==BA模型以外==

BA模型是第一个从随着时间的推移而添加节点和连边的网络构造方式中推导出网络拓扑的模型。然而，该模型只做了产生无标度网络所必需的最简单的假设，即存在线性增长和线性偏好依附。这个最小模型没有刻画度分布形状的变化，度指数的变化，或不依赖大小的集聚系数 clustering coefficient。

因此，通过引入一些新的性质，对原有的模型进行了修改，以更充分地刻画演化网络的性质。

===适应度===

与BA模型有关的一个问题是，每个节点的度分布经历很强的正反馈 positive feedback，即最早的具有高度分布的节点继续无限期地主宰网络。但是，可以通过为每个节点引入一个适应度来缓解这个问题，该适应度可以修改用该节点创建新链接的概率，甚至可以修改该节点的链接被删除的概率。<ref>Albert R. and Barabási A.-L., "Statistical mechanics of complex networks", ''Reviews of Modern Physics'' 74, 47 (2002)</ref>

为了保持BA模型中的偏好依附，该适应度乘以基于度分布的偏好依附，得到连接到节点i的真实概率。

: <math>\Pi(k_i) = \frac{\eta_i k_i}{\displaystyle\sum_j \eta_j k_j},</math>

其中<math>\eta</math>是适应度，这也可能依赖于时间。适应度可能随时间衰减，可以表示为

: <math> \Pi(k_i) \propto k_i(t-t_i)^{-\nu},</math>

其中<math>\gamma</math>随<math>\nu.</math>的增长而增长。

===删除节点和重连接边===

由于节点可能会以一定的概率从网络中移除，因此会出现更多的复杂情况。此外，节点之间现有的链接可能会被删除并且创建新的链接。这些行为发生的概率可能依赖于时间，也可能与节点的适应度有关。通过研究有关网络的特性，可以为这些事件赋予概率，从而生成具有相同特性的模型网络。这种增长将在每个时间步骤中发生下列行为之一:

概率 p：增加一个内部链接。

概率 q: 删除一个链接。

概率 r：删除一个节点。

概率 1-p-q-r: 添加一个节点。

==描述演化网络的其他方法==

除了上面描述的不断生长的网络模型之外，可能有时候其他方法对于描述演化网络的某些性质更有用或更方便。

===趋向均衡===

在竞争性决策发生的网络系统中，博弈论经常被用来建模系统动力学，趋向均衡可以被认为是拓扑进化的驱动力。例如Kasthurirathna和Piraveenan<ref>{{cite journal |last1=Kasthurirathna|first1=Dharshana |last2=Piraveenan |first2=Mahendra. |title=Emergence of scale-free characteristics in socioecological systems with bounded rationality |journal=[[Scientific Reports (journal)|Scientific Reports]] |volume=In Press |date=2015}}</ref>表明，当一个系统中的个体表现出不同程度的理性时，提高整个系统的理性可能是无标度网络出现的进化原因。他们通过对一个最初的随机网络施加进化压力来模拟一系列经典博弈，当允许重新连接时，网络收敛到纳什均衡，从而证明了这一点。在这个过程中，网络变得越来越无标度。

===视演化网络为连续的静态网络快照===

观察不断演化的网络最常用的方法是把它们看作连续的静态网络。这可以概念化为组成电影的一个个静态图像。有许多简单的参数可以描述一个静态网络（节点数、边、路径长度、连通子图），或者描述图中的特定节点，比如链接数或集聚系数。然后可以使用信号处理概念将这些属性单独作为时间序列进行研究。<ref name=EvolvingNetworksPDF>{{Cite journal| url = http://liris.cnrs.fr/Documents/Liris-3669.pdf | author1 = Pierre Borgnat | author2 = Eric Fleury | title = Evolving Networks|display-authors=etal}}</ref> 例如，我们可以通过查看网络的连续快照并计算每个快照中的链接数量，来跟踪每分钟建立到服务器的链接数量。

不幸的是，快照与电影的类比也揭示了这种方法的主要困难: 使用的时间步骤很少由网络给出，而是任意的。在每个快照之间使用极小的时间步骤可以保持分辨率，但实际上可能掩盖了只有在较长时间尺度下才能看到的更广泛的趋势。相反，使用较大的时间尺度会失去每个快照中事件的时间顺序。因此，可能很难找到合适的时间尺度来将网络的演化划分为静态快照。

===定义动力学性质===

那些不能直接从将演化网络视为一系列快照中观察到的特性可能很重要，例如节点之间的接触时间。<ref name="Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms">{{Cite journal| url = http://www.cl.cam.ac.uk/~ph315/publications/PID158626.pdf | author1 = A. Chaintreau | author2 = P. Hui | author3 = J. Crowcroft | author4 = C. Diot | author5 = R. Gass | author6 = J. Scott | journal = Infocom | year = 2006 | title = Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms}}</ref>可以定义其他类似的属性，然后可以通过网络的演化来跟踪这些属性，并直接可视化它们。

使用连续快照的另一个问题是，在网络拓扑中微小的变化可以对用于寻找网络社团的算法的结果产生巨大的影响。因此，有必要使用一个非经典的社团定义，它允许通过一系列的规则，如出生、死亡、合并、分裂、生长和收缩，来跟随社团的演化。<ref name="Quantifying social group evolution">{{Cite journal| author1 = G. Palla | author2 = A. Barabasi | author3 = T. Vicsek | title = Quantifying social group evolution | journal = Nature | volume = 446 | pages = 664–667 | year = 2007 | author4 = Y. Chi, S. Zhu, X. Song, J. Tatemura, and B.L. Tseng | issue=7136 | doi=10.1038/nature05670|pmid = 17410175|arxiv = 0704.0744 |bibcode = 2007Natur.446..664P }}</ref><ref name="Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization">{{Cite book| url = http://portal.acm.org/ft_gateway.cfm? | author1 = Y. Chi, S. Zhuid=1281213&type=pdf | author2 = X. Song | author3 = J. Tatemura | author4 = B.L. Tseng | title = Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization | journal = KDD '07: Proceedings of the 13th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining | pages = 163–172 | year = 2007| doi = 10.1145/1281192.1281213 | citeseerx = 10.1.1.69.6959 | isbn = 9781595936097 }}</ref>

==应用==
[[File:256px-World-airline-routemap-2009.png|256px|thumb|2009年世界预定商业航空交通路线图。这个网络随着新路线的计划或取消而不断演变]]

几乎所有真实世界的网络都是不断演化的网络，因为它们是随着时间的推移而构建的。通过改变上述各自的概率，可以使用扩展的BA模型来构造一个具有与许多观测网络几乎相同属性的网络。<ref name="Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra">{{Cite journal |url = http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |author1 = I. Farkas |author2 = I. Derenyi |author3 = H. Heong |title = Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra |journal = [[Physica A|Physica]] |volume = 314 |issue = 1–4 |pages = 25–34 |year = 2002 |arxiv = cond-mat/0303106 |bibcode = 2002PhyA..314...25F |doi = 10.1016/S0378-4371(02)01181-0 |display-authors = etal |access-date = 2011-04-21 |archive-url = https://web.archive.org/web/20111004050804/http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |archive-date = 2011-10-04 |url-status = dead}}</ref>

此外，无标度网络的概念告诉我们，时间演化是理解网络属性的必要组成部分，而且很难将现有网络模型化为瞬间创建的。目前正在研究的演化网络包括社交网络、通信网络、互联网、电影演员网络、万维网和交通网络。

==扩展阅读==

* "Understanding Network Science," https://web.archive.org/web/20110718151116/http://www.zangani.com/blog/2007-1030-networkingscience

* "Linked: The New Science of Networks", A.-L. Barabási Perseus Publishing, Cambridge.

==参考资料==

<references />

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本中文词条由[[用户:Steve Luo|Steve Luo]]审校，[[用户:打豆豆|打豆豆]]，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

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[[Category:网络]]
[[Category:网络理论]]

演化网络

2020-12-13T07:19:47Z

打豆豆：

{{#seo:
|keywords=演化网络, Evolving network
|description=演化网络, Evolving network
}}

[[File:256px-Barabasi_Albert_model.gif|thumb|256px|基于初始巴拉巴西-阿尔伯特 Barabasi-Albert 模型的演化网络的动画]]

演化网络 Evolving networks是作为时间的函数而变化的网络。它们是网络科学 network science的自然延伸，因为几乎所有现实世界的网络都是随时间演化的，通过随着时间的推移增加或删除节点或连边实现。通常所有这些过程都是同时发生的，比如在社交网络 social networks中，随着时间的推移人们结交和失去朋友，从而创造和破坏连边，一些人成为新的社交网络的一部分，或者离开他们的网络，从而改变网络中的节点。演化网络的概念建立在既定的网络理论之上，现在正被引入到许多不同领域的网络研究中。

==网络理论背景==

网络研究源于图论 graph theory的发展，莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler于1736年首先分析了图论，当时他撰写了著名的柯尼斯堡七桥问题 Seven Bridges of Königsberg论文。随后在八篇由保罗·埃尔德什 Paul Erdős和阿尔弗雷德·雷尼 Alfréd Rényi撰写的研究随机图 random graphs的著名论文的帮助下，概率网络理论得以发展。埃尔德什-雷尼模型 Erdős–Rényi model(ER模型)假定一个图由n个有标记的节点组成，其中每一对节点通过一个预设的概率p连接。

[[File:220px-Watts_strogatz.svg.png|220px|thumb|Watts–Strogatz graph 瓦茨-斯托加茨图]]

尽管ER模型的简单性帮助它找到了许多应用之处，但它并不能准确地描述许多真实世界的网络。ER模型无法像在现实世界网络中那样频繁地生成局部聚类和三元闭包。为此，提出了瓦茨-斯托加茨模型 Watts-Strogatz model，将网络构造成规则的环网格，然后根据一定的概率β重新连接节点。<ref name=WS>{{cite journal | author1 = Watts, D.J. | author2 = Strogatz, S.H. | year = 1998 | title = Collective dynamics of 'small-world' networks | journal = Nature | volume = 393 | issue = 6684 | pages = 409–10 | doi = 10.1038/30918 | pmid = 9623998 | bibcode=1998Natur.393..440W}}</ref>

这会产生一个局部聚集的网络，并显著减少平均路径长度 average path length。这样创建的网络可以代表在许多现实世界网络中观察到的小世界现象 small world phenomenon。<ref name=milg>{{cite journal |author1=Travers Jeffrey |author2=Milgram Stanley | year = 1969 | title = An Experimental Study of the Small World Problem | url = | journal = Sociometry | volume = 32 | issue = 4| pages = 425–443 | doi=10.2307/2786545|jstor=2786545 }}</ref>

尽管取得了这样的成就，ER模型和Watts-Storgatz模型都未能解释在许多现实世界网络中观察到的中心节点的形成。ER模型中的度分布遵循泊松分布，而Watts-Strogatz模型生成的图在度上是同质的。但是，许多网络是无标度的，这意味着它们的度分布遵循以下形式的幂律分布:

: <math>P(k)\sim k^{-\gamma}</math>

对于许多现实世界的网络来说，这个指数大约是3。然而，它不是一个通用常数，并且持续地依赖于网络的参数。<ref name=Barabasi2000>{{Cite journal| url = http://nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/Universality_Physical%20Rev%20Ltrs%2085,%205234%20(2000).pdf | author1 = R. Albert | author2 = A.-L. Barabási | title = Topology of Evolving Networks: Local Events and Universality | journal = [[Physical Review Letters]] | volume = 85 | issue = 24 | pages = 5234–5237 | year = 2000 | doi = 10.1103/PhysRevLett.85.5234 | pmid = 11102229|arxiv = cond-mat/0005085 |bibcode = 2000PhRvL..85.5234A | hdl = 2047/d20000695 }}</ref>

==第一个演化网络模型——无标度网络==

巴拉巴西-阿尔伯特模型 Barabási–Albert model(BA模型)是第一个被广泛接受的产生无标度网络 scale-free network的模型。这是通过偏好依附 preferential attachment和增长来实现的，随着时间的推移，节点被添加到网络中，并且更有可能链接到其他度较大的节点。BA模型首先应用于互联网的度分布，这两种影响都可以清楚地看到。随着时间的推移，新的网页会不断增加，并且每个新的网页都更有可能链接到像谷歌这样具有很高的度分布的高度可见的中心节点，而不是只有少量链接的节点。从形式上来说，这种偏好依附是:

: <math>p_i = \frac{k_i}{\displaystyle\sum_j k_j},</math>

==BA模型以外==

BA模型是第一个从随着时间的推移而添加节点和连边的网络构造方式中推导出网络拓扑的模型。然而，该模型只做了产生无标度网络所必需的最简单的假设，即存在线性增长和线性偏好依附。这个最小模型没有刻画度分布形状的变化，度指数的变化，或不依赖大小的集聚系数 clustering coefficient。

因此，通过引入一些新的性质，对原有的模型进行了修改，以更充分地刻画演化网络的性质。

===适应度===

与BA模型有关的一个问题是，每个节点的度分布经历很强的正反馈 positive feedback，即最早的具有高度分布的节点继续无限期地主宰网络。但是，可以通过为每个节点引入一个适应度来缓解这个问题，该适应度可以修改用该节点创建新链接的概率，甚至可以修改该节点的链接被删除的概率。<ref>Albert R. and Barabási A.-L., "Statistical mechanics of complex networks", ''Reviews of Modern Physics'' 74, 47 (2002)</ref>

为了保持BA模型中的偏好依附，该适应度乘以基于度分布的偏好依附，得到连接到节点i的真实概率。

: <math>\Pi(k_i) = \frac{\eta_i k_i}{\displaystyle\sum_j \eta_j k_j},</math>

其中<math>\eta</math>是适应度，这也可能依赖于时间。适应度可能随时间衰减，可以表示为

: <math> \Pi(k_i) \propto k_i(t-t_i)^{-\nu},</math>

其中<math>\gamma</math>随<math>\nu.</math>的增长而增长。

===删除节点和重连接边===

由于节点可能会以一定的概率从网络中移除，因此会出现更多的复杂情况。此外，节点之间现有的链接可能会被删除并且创建新的链接。这些行为发生的概率可能依赖于时间，也可能与节点的适应度有关。通过研究有关网络的特性，可以为这些事件赋予概率，从而生成具有相同特性的模型网络。这种增长将在每个时间步骤中发生下列行为之一:

概率 p：增加一个内部链接。

概率 q: 删除一个链接。

概率 r：删除一个节点。

概率 1-p-q-r: 添加一个节点。

==描述演化网络的其他方法==

除了上面描述的不断生长的网络模型之外，可能有时候其他方法对于描述演化网络的某些性质更有用或更方便。

===趋向均衡===

在竞争性决策发生的网络系统中，博弈论经常被用来建模系统动力学，趋向均衡可以被认为是拓扑进化的驱动力。例如Kasthurirathna和Piraveenan<ref>{{cite journal |last1=Kasthurirathna|first1=Dharshana |last2=Piraveenan |first2=Mahendra. |title=Emergence of scale-free characteristics in socioecological systems with bounded rationality |journal=[[Scientific Reports (journal)|Scientific Reports]] |volume=In Press |date=2015}}</ref>表明，当一个系统中的个体表现出不同程度的理性时，提高整个系统的理性可能是无标度网络出现的进化原因。他们通过对一个最初的随机网络施加进化压力来模拟一系列经典博弈，当允许重新连接时，网络收敛到纳什均衡，从而证明了这一点。在这个过程中，网络变得越来越无标度。

===视演化网络为连续的静态网络快照===

观察不断演化的网络最常用的方法是把它们看作连续的静态网络。这可以概念化为组成电影的一个个静态图像。有许多简单的参数可以描述一个静态网络（节点数、边、路径长度、连通子图），或者描述图中的特定节点，比如链接数或集聚系数。然后可以使用信号处理概念将这些属性单独作为时间序列进行研究。<ref name=EvolvingNetworksPDF>{{Cite journal| url = http://liris.cnrs.fr/Documents/Liris-3669.pdf | author1 = Pierre Borgnat | author2 = Eric Fleury | title = Evolving Networks|display-authors=etal}}</ref> 例如，我们可以通过查看网络的连续快照并计算每个快照中的链接数量，来跟踪每分钟建立到服务器的链接数量。

不幸的是，快照与电影的类比也揭示了这种方法的主要困难: 使用的时间步骤很少由网络给出，而是任意的。在每个快照之间使用极小的时间步骤可以保持分辨率，但实际上可能掩盖了只有在较长时间尺度下才能看到的更广泛的趋势。相反，使用较大的时间尺度会失去每个快照中事件的时间顺序。因此，可能很难找到合适的时间尺度来将网络的演化划分为静态快照。

===定义动力学性质===

那些不能直接从将演化网络视为一系列快照中观察到的特性可能很重要，例如节点之间的接触时间。<ref name="Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms">{{Cite journal| url = http://www.cl.cam.ac.uk/~ph315/publications/PID158626.pdf | author1 = A. Chaintreau | author2 = P. Hui | author3 = J. Crowcroft | author4 = C. Diot | author5 = R. Gass | author6 = J. Scott | journal = Infocom | year = 2006 | title = Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms}}</ref>可以定义其他类似的属性，然后可以通过网络的演化来跟踪这些属性，并直接可视化它们。

使用连续快照的另一个问题是，在网络拓扑中微小的变化可以对用于寻找网络社团的算法的结果产生巨大的影响。因此，有必要使用一个非经典的社团定义，它允许通过一系列的规则，如出生、死亡、合并、分裂、生长和收缩，来跟随社团的演化。<ref name="Quantifying social group evolution">{{Cite journal| author1 = G. Palla | author2 = A. Barabasi | author3 = T. Vicsek | title = Quantifying social group evolution | journal = Nature | volume = 446 | pages = 664–667 | year = 2007 | author4 = Y. Chi, S. Zhu, X. Song, J. Tatemura, and B.L. Tseng | issue=7136 | doi=10.1038/nature05670|pmid = 17410175|arxiv = 0704.0744 |bibcode = 2007Natur.446..664P }}</ref><ref name="Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization">{{Cite book| url = http://portal.acm.org/ft_gateway.cfm? | author1 = Y. Chi, S. Zhuid=1281213&type=pdf | author2 = X. Song | author3 = J. Tatemura | author4 = B.L. Tseng | title = Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization | journal = KDD '07: Proceedings of the 13th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining | pages = 163–172 | year = 2007| doi = 10.1145/1281192.1281213 | citeseerx = 10.1.1.69.6959 | isbn = 9781595936097 }}</ref>

==应用==
[[File:256px-World-airline-routemap-2009.png|256px|thumb|2009年世界预定商业航空交通路线图。这个网络随着新路线的计划或取消而不断演变]]

几乎所有真实世界的网络都是不断演化的网络，因为它们是随着时间的推移而构建的。通过改变上述各自的概率，可以使用扩展的BA模型来构造一个具有与许多观测网络几乎相同属性的网络。<ref name="Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra">{{Cite journal |url = http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |author1 = I. Farkas |author2 = I. Derenyi |author3 = H. Heong |title = Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra |journal = [[Physica A|Physica]] |volume = 314 |issue = 1–4 |pages = 25–34 |year = 2002 |arxiv = cond-mat/0303106 |bibcode = 2002PhyA..314...25F |doi = 10.1016/S0378-4371(02)01181-0 |display-authors = etal |access-date = 2011-04-21 |archive-url = https://web.archive.org/web/20111004050804/http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |archive-date = 2011-10-04 |url-status = dead}}</ref>

此外，无标度网络的概念告诉我们，时间演化是理解网络属性的必要组成部分，而且很难将现有网络模型化为瞬间创建的。目前正在研究的演化网络包括社交网络、通信网络、互联网、电影演员网络、万维网和交通网络。

==扩展阅读==

* "Understanding Network Science," https://web.archive.org/web/20110718151116/http://www.zangani.com/blog/2007-1030-networkingscience

* "Linked: The New Science of Networks", A.-L. Barabási Perseus Publishing, Cambridge.

==References==

<references />

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'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

{{DEFAULTSORT:网络}}
[[Category:网络]]
[[Category:网络理论]]

演化网络

2020-12-13T07:18:00Z

打豆豆：

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[[File:256px-Barabasi_Albert_model.gif|thumb|256px|基于初始巴拉巴西-阿尔伯特 Barabasi-Albert 模型的演化网络的动画]]

演化网络 Evolving networks是作为时间的函数而变化的网络。它们是网络科学 network science的自然延伸，因为几乎所有现实世界的网络都是随时间演化的，通过随着时间的推移增加或删除节点或连边实现。通常所有这些过程都是同时发生的，比如在社交网络 social networks中，随着时间的推移人们结交和失去朋友，从而创造和破坏连边，一些人成为新的社交网络的一部分，或者离开他们的网络，从而改变网络中的节点。演化网络的概念建立在既定的网络理论之上，现在正被引入到许多不同领域的网络研究中。

==网络理论背景==

网络研究源于图论 graph theory的发展，莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler于1736年首先分析了图论，当时他撰写了著名的柯尼斯堡七桥问题 Seven Bridges of Königsberg论文。随后在八篇由保罗·埃尔德什 Paul Erdős和阿尔弗雷德·雷尼 Alfréd Rényi撰写的研究随机图 random graphs的著名论文的帮助下，概率网络理论得以发展。埃尔德什-雷尼模型 Erdős–Rényi model(ER模型)假定一个图由n个有标记的节点组成，其中每一对节点通过一个预设的概率p连接。

[[File:220px-Watts_strogatz.svg.png|220px|thumb|Watts–Strogatz graph 瓦茨-斯托加茨图]]

尽管ER模型的简单性帮助它找到了许多应用之处，但它并不能准确地描述许多真实世界的网络。ER模型无法像在现实世界网络中那样频繁地生成局部聚类和三元闭包。为此，提出了瓦茨-斯托加茨模型 Watts-Strogatz model，将网络构造成规则的环网格，然后根据一定的概率β重新连接节点。<ref name=WS>{{cite journal | author1 = Watts, D.J. | author2 = Strogatz, S.H. | year = 1998 | title = Collective dynamics of 'small-world' networks | journal = Nature | volume = 393 | issue = 6684 | pages = 409–10 | doi = 10.1038/30918 | pmid = 9623998 | bibcode=1998Natur.393..440W}}</ref>

这会产生一个局部聚集的网络，并显著减少平均路径长度 average path length。这样创建的网络可以代表在许多现实世界网络中观察到的小世界现象 small world phenomenon。<ref name=milg>{{cite journal |author1=Travers Jeffrey |author2=Milgram Stanley | year = 1969 | title = An Experimental Study of the Small World Problem | url = | journal = Sociometry | volume = 32 | issue = 4| pages = 425–443 | doi=10.2307/2786545|jstor=2786545 }}</ref>

尽管取得了这样的成就，ER模型和Watts-Storgatz模型都未能解释在许多现实世界网络中观察到的中心节点的形成。ER模型中的度分布遵循泊松分布，而Watts-Strogatz模型生成的图在度上是同质的。但是，许多网络是无标度的，这意味着它们的度分布遵循以下形式的幂律分布:

: <math>P(k)\sim k^{-\gamma}</math>

对于许多现实世界的网络来说，这个指数大约是3。然而，它不是一个通用常数，并且持续地依赖于网络的参数。<ref name=Barabasi2000>{{Cite journal| url = http://nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/Universality_Physical%20Rev%20Ltrs%2085,%205234%20(2000).pdf | author1 = R. Albert | author2 = A.-L. Barabási | title = Topology of Evolving Networks: Local Events and Universality | journal = [[Physical Review Letters]] | volume = 85 | issue = 24 | pages = 5234–5237 | year = 2000 | doi = 10.1103/PhysRevLett.85.5234 | pmid = 11102229|arxiv = cond-mat/0005085 |bibcode = 2000PhRvL..85.5234A | hdl = 2047/d20000695 }}</ref>

==第一个演化网络模型——无标度网络==

巴拉巴西-阿尔伯特模型 Barabási–Albert model(BA模型)是第一个被广泛接受的产生无标度网络 scale-free network的模型。这是通过偏好依附 preferential attachment和增长来实现的，随着时间的推移，节点被添加到网络中，并且更有可能链接到其他度较大的节点。BA模型首先应用于互联网的度分布，这两种影响都可以清楚地看到。随着时间的推移，新的网页会不断增加，并且每个新的网页都更有可能链接到像谷歌这样具有很高的度分布的高度可见的中心节点，而不是只有少量链接的节点。从形式上来说，这种偏好依附是:

: <math>p_i = \frac{k_i}{\displaystyle\sum_j k_j},</math>

==BA模型以外==

BA模型是第一个从随着时间的推移而添加节点和连边的网络构造方式中推导出网络拓扑的模型。然而，该模型只做了产生无标度网络所必需的最简单的假设，即存在线性增长和线性偏好依附。这个最小模型没有刻画度分布形状的变化，度指数的变化，或不依赖大小的集聚系数 clustering coefficient。

因此，通过引入一些新的性质，对原有的模型进行了修改，以更充分地刻画演化网络的性质。

===适应度===

与BA模型有关的一个问题是，每个节点的度分布经历很强的正反馈 positive feedback，即最早的具有高度分布的节点继续无限期地主宰网络。但是，可以通过为每个节点引入一个适应度来缓解这个问题，该适应度可以修改用该节点创建新链接的概率，甚至可以修改该节点的链接被删除的概率。<ref>Albert R. and Barabási A.-L., "Statistical mechanics of complex networks", ''Reviews of Modern Physics'' 74, 47 (2002)</ref>

为了保持BA模型中的偏好依附，该适应度乘以基于度分布的偏好依附，得到连接到节点i的真实概率。

: <math>\Pi(k_i) = \frac{\eta_i k_i}{\displaystyle\sum_j \eta_j k_j},</math>

其中<math>\eta</math>是适应度，这也可能依赖于时间。适应度可能随时间衰减，可以表示为

: <math> \Pi(k_i) \propto k_i(t-t_i)^{-\nu},</math>

其中<math>\gamma</math>随<math>\nu.</math>的增长而增长。

===删除节点和重连接边===

由于节点可能会以一定的概率从网络中移除，因此会出现更多的复杂情况。此外，节点之间现有的链接可能会被删除并且创建新的链接。这些行为发生的概率可能依赖于时间，也可能与节点的适应度有关。通过研究有关网络的特性，可以为这些事件赋予概率，从而生成具有相同特性的模型网络。这种增长将在每个时间步骤中发生下列行为之一:

概率 p：增加一个内部链接。

概率 q: 删除一个链接。

概率 r：删除一个节点。

概率 1-p-q-r: 添加一个节点。

==描述演化网络的其他方法==

除了上面描述的不断生长的网络模型之外，可能有时候其他方法对于描述演化网络的某些性质更有用或更方便。

===趋向均衡===

在竞争性决策发生的网络系统中，博弈论经常被用来建模系统动力学，趋向均衡可以被认为是拓扑进化的驱动力。例如Kasthurirathna和Piraveenan<ref>{{cite journal |last1=Kasthurirathna|first1=Dharshana |last2=Piraveenan |first2=Mahendra. |title=Emergence of scale-free characteristics in socioecological systems with bounded rationality |journal=[[Scientific Reports (journal)|Scientific Reports]] |volume=In Press |date=2015}}</ref>表明，当一个系统中的个体表现出不同程度的理性时，提高整个系统的理性可能是无标度网络出现的进化原因。他们通过对一个最初的随机网络施加进化压力来模拟一系列经典博弈，当允许重新连接时，网络收敛到纳什均衡，从而证明了这一点。在这个过程中，网络变得越来越无标度。

===视演化网络为连续的静态网络快照===

观察不断演化的网络最常用的方法是把它们看作连续的静态网络。这可以概念化为组成电影的一个个静态图像。有许多简单的参数可以描述一个静态网络（节点数、边、路径长度、连通子图），或者描述图中的特定节点，比如链接数或集聚系数。然后可以使用信号处理概念将这些属性单独作为时间序列进行研究。<ref name=EvolvingNetworksPDF>{{Cite journal| url = http://liris.cnrs.fr/Documents/Liris-3669.pdf | author1 = Pierre Borgnat | author2 = Eric Fleury | title = Evolving Networks|display-authors=etal}}</ref> 例如，我们可以通过查看网络的连续快照并计算每个快照中的链接数量，来跟踪每分钟建立到服务器的链接数量。

不幸的是，快照与电影的类比也揭示了这种方法的主要困难: 使用的时间步骤很少由网络给出，而是任意的。在每个快照之间使用极小的时间步骤可以保持分辨率，但实际上可能掩盖了只有在较长时间尺度下才能看到的更广泛的趋势。相反，使用较大的时间尺度会失去每个快照中事件的时间顺序。因此，可能很难找到合适的时间尺度来将网络的演化划分为静态快照。

===定义动力学性质===

那些不能直接从将演化网络视为一系列快照中观察到的特性可能很重要，例如节点之间的接触时间。<ref name="Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms">{{Cite journal| url = http://www.cl.cam.ac.uk/~ph315/publications/PID158626.pdf | author1 = A. Chaintreau | author2 = P. Hui | author3 = J. Crowcroft | author4 = C. Diot | author5 = R. Gass | author6 = J. Scott | journal = Infocom | year = 2006 | title = Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms}}</ref>可以定义其他类似的属性，然后可以通过网络的演化来跟踪这些属性，并直接可视化它们。

使用连续快照的另一个问题是，在网络拓扑中微小的变化可以对用于寻找网络社团的算法的结果产生巨大的影响。因此，有必要使用一个非经典的社团定义，它允许通过一系列的规则，如出生、死亡、合并、分裂、生长和收缩，来跟随社团的演化。<ref name="Quantifying social group evolution">{{Cite journal| author1 = G. Palla | author2 = A. Barabasi | author3 = T. Vicsek | title = Quantifying social group evolution | journal = Nature | volume = 446 | pages = 664–667 | year = 2007 | author4 = Y. Chi, S. Zhu, X. Song, J. Tatemura, and B.L. Tseng | issue=7136 | doi=10.1038/nature05670|pmid = 17410175|arxiv = 0704.0744 |bibcode = 2007Natur.446..664P }}</ref><ref name="Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization">{{Cite book| url = http://portal.acm.org/ft_gateway.cfm? | author1 = Y. Chi, S. Zhuid=1281213&type=pdf | author2 = X. Song | author3 = J. Tatemura | author4 = B.L. Tseng | title = Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization | journal = KDD '07: Proceedings of the 13th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining | pages = 163–172 | year = 2007| doi = 10.1145/1281192.1281213 | citeseerx = 10.1.1.69.6959 | isbn = 9781595936097 }}</ref>

==应用==
[[File:256px-World-airline-routemap-2009.png|256px|thumb|2009年世界预定商业航空交通路线图。这个网络随着新路线的计划或取消而不断演变]]

几乎所有真实世界的网络都是不断演化的网络，因为它们是随着时间的推移而构建的。通过改变上述各自的概率，可以使用扩展的BA模型来构造一个具有与许多观测网络几乎相同属性的网络。<ref name="Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra">{{Cite journal |url = http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |author1 = I. Farkas |author2 = I. Derenyi |author3 = H. Heong |title = Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra |journal = [[Physica A|Physica]] |volume = 314 |issue = 1–4 |pages = 25–34 |year = 2002 |arxiv = cond-mat/0303106 |bibcode = 2002PhyA..314...25F |doi = 10.1016/S0378-4371(02)01181-0 |display-authors = etal |access-date = 2011-04-21 |archive-url = https://web.archive.org/web/20111004050804/http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |archive-date = 2011-10-04 |url-status = dead}}</ref>

此外，无标度网络的概念告诉我们，时间演化是理解网络属性的必要组成部分，而且很难将现有网络模型化为瞬间创建的。目前正在研究的演化网络包括社交网络、通信网络、互联网、电影演员网络、万维网和交通网络。

==扩展阅读==

* "Understanding Network Science," https://web.archive.org/web/20110718151116/http://www.zangani.com/blog/2007-1030-networkingscience

* "Linked: The New Science of Networks", A.-L. Barabási Perseus Publishing, Cambridge.

==References==

<references />

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'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

[[Category:网络]]
[[Category:网络理论]]

演化网络

2020-12-13T07:17:12Z

打豆豆：

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[[File:256px-Barabasi_Albert_model.gif|thumb|256px|基于初始巴拉巴西-阿尔伯特 Barabasi-Albert 模型的演化网络的动画]]

演化网络 Evolving networks是作为时间的函数而变化的网络。它们是网络科学 network science的自然延伸，因为几乎所有现实世界的网络都是随时间演化的，通过随着时间的推移增加或删除节点或连边实现。通常所有这些过程都是同时发生的，比如在社交网络 social networks中，随着时间的推移人们结交和失去朋友，从而创造和破坏连边，一些人成为新的社交网络的一部分，或者离开他们的网络，从而改变网络中的节点。演化网络的概念建立在既定的网络理论之上，现在正被引入到许多不同领域的网络研究中。

==网络理论背景==

网络研究源于图论 graph theory的发展，莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler于1736年首先分析了图论，当时他撰写了著名的柯尼斯堡七桥问题 Seven Bridges of Königsberg论文。随后在八篇由保罗·埃尔德什 Paul Erdős和阿尔弗雷德·雷尼 Alfréd Rényi撰写的研究随机图 random graphs的著名论文的帮助下，概率网络理论得以发展。埃尔德什-雷尼模型 Erdős–Rényi model(ER模型)假定一个图由n个有标记的节点组成，其中每一对节点通过一个预设的概率p连接。

[[File:220px-Watts_strogatz.svg.png|220px|thumb|Watts–Strogatz graph 瓦茨-斯托加茨图]]

尽管ER模型的简单性帮助它找到了许多应用之处，但它并不能准确地描述许多真实世界的网络。ER模型无法像在现实世界网络中那样频繁地生成局部聚类和三元闭包。为此，提出了瓦茨-斯托加茨模型 Watts-Strogatz model，将网络构造成规则的环网格，然后根据一定的概率β重新连接节点。<ref name=WS>{{cite journal | author1 = Watts, D.J. | author2 = Strogatz, S.H. | year = 1998 | title = Collective dynamics of 'small-world' networks | journal = Nature | volume = 393 | issue = 6684 | pages = 409–10 | doi = 10.1038/30918 | pmid = 9623998 | bibcode=1998Natur.393..440W}}</ref>

这会产生一个局部聚集的网络，并显著减少平均路径长度 average path length。这样创建的网络可以代表在许多现实世界网络中观察到的小世界现象 small world phenomenon。<ref name=milg>{{cite journal |author1=Travers Jeffrey |author2=Milgram Stanley | year = 1969 | title = An Experimental Study of the Small World Problem | url = | journal = Sociometry | volume = 32 | issue = 4| pages = 425–443 | doi=10.2307/2786545|jstor=2786545 }}</ref>

尽管取得了这样的成就，ER模型和Watts-Storgatz模型都未能解释在许多现实世界网络中观察到的中心节点的形成。ER模型中的度分布遵循泊松分布，而Watts-Strogatz模型生成的图在度上是同质的。但是，许多网络是无标度的，这意味着它们的度分布遵循以下形式的幂律分布:

: <math>P(k)\sim k^{-\gamma}</math>

对于许多现实世界的网络来说，这个指数大约是3。然而，它不是一个通用常数，并且持续地依赖于网络的参数。<ref name=Barabasi2000>{{Cite journal| url = http://nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/Universality_Physical%20Rev%20Ltrs%2085,%205234%20(2000).pdf | author1 = R. Albert | author2 = A.-L. Barabási | title = Topology of Evolving Networks: Local Events and Universality | journal = [[Physical Review Letters]] | volume = 85 | issue = 24 | pages = 5234–5237 | year = 2000 | doi = 10.1103/PhysRevLett.85.5234 | pmid = 11102229|arxiv = cond-mat/0005085 |bibcode = 2000PhRvL..85.5234A | hdl = 2047/d20000695 }}</ref>

==第一个演化网络模型——无标度网络==

巴拉巴西-阿尔伯特模型 Barabási–Albert model(BA模型)是第一个被广泛接受的产生无标度网络 scale-free network的模型。这是通过偏好依附 preferential attachment和增长来实现的，随着时间的推移，节点被添加到网络中，并且更有可能链接到其他度较大的节点。BA模型首先应用于互联网的度分布，这两种影响都可以清楚地看到。随着时间的推移，新的网页会不断增加，并且每个新的网页都更有可能链接到像谷歌这样具有很高的度分布的高度可见的中心节点，而不是只有少量链接的节点。从形式上来说，这种偏好依附是:

: <math>p_i = \frac{k_i}{\displaystyle\sum_j k_j},</math>

==BA模型以外=

BA模型是第一个从随着时间的推移而添加节点和连边的网络构造方式中推导出网络拓扑的模型。然而，该模型只做了产生无标度网络所必需的最简单的假设，即存在线性增长和线性偏好依附。这个最小模型没有刻画度分布形状的变化，度指数的变化，或不依赖大小的集聚系数 clustering coefficient。

因此，通过引入一些新的性质，对原有的模型进行了修改，以更充分地刻画演化网络的性质。

===适应度 Fitness===

与BA模型有关的一个问题是，每个节点的度分布经历很强的正反馈 positive feedback，即最早的具有高度分布的节点继续无限期地主宰网络。但是，可以通过为每个节点引入一个适应度来缓解这个问题，该适应度可以修改用该节点创建新链接的概率，甚至可以修改该节点的链接被删除的概率。<ref>Albert R. and Barabási A.-L., "Statistical mechanics of complex networks", ''Reviews of Modern Physics'' 74, 47 (2002)</ref>

为了保持BA模型中的偏好依附，该适应度乘以基于度分布的偏好依附，得到连接到节点i的真实概率。

: <math>\Pi(k_i) = \frac{\eta_i k_i}{\displaystyle\sum_j \eta_j k_j},</math>

其中<math>\eta</math>是适应度，这也可能依赖于时间。适应度可能随时间衰减，可以表示为

: <math> \Pi(k_i) \propto k_i(t-t_i)^{-\nu},</math>

其中<math>\gamma</math>随<math>\nu.</math>的增长而增长。

===删除节点和重连接边===

由于节点可能会以一定的概率从网络中移除，因此会出现更多的复杂情况。此外，节点之间现有的链接可能会被删除并且创建新的链接。这些行为发生的概率可能依赖于时间，也可能与节点的适应度有关。通过研究有关网络的特性，可以为这些事件赋予概率，从而生成具有相同特性的模型网络。这种增长将在每个时间步骤中发生下列行为之一:

概率 p：增加一个内部链接。

概率 q: 删除一个链接。

概率 r：删除一个节点。

概率 1-p-q-r: 添加一个节点。

==描述演化网络的其他方法==

除了上面描述的不断生长的网络模型之外，可能有时候其他方法对于描述演化网络的某些性质更有用或更方便。

===趋向均衡===

在竞争性决策发生的网络系统中，博弈论经常被用来建模系统动力学，趋向均衡可以被认为是拓扑进化的驱动力。例如Kasthurirathna和Piraveenan<ref>{{cite journal |last1=Kasthurirathna|first1=Dharshana |last2=Piraveenan |first2=Mahendra. |title=Emergence of scale-free characteristics in socioecological systems with bounded rationality |journal=[[Scientific Reports (journal)|Scientific Reports]] |volume=In Press |date=2015}}</ref>表明，当一个系统中的个体表现出不同程度的理性时，提高整个系统的理性可能是无标度网络出现的进化原因。他们通过对一个最初的随机网络施加进化压力来模拟一系列经典博弈，当允许重新连接时，网络收敛到纳什均衡，从而证明了这一点。在这个过程中，网络变得越来越无标度。

===视演化网络为连续的静态网络快照===

观察不断演化的网络最常用的方法是把它们看作连续的静态网络。这可以概念化为组成电影的一个个静态图像。有许多简单的参数可以描述一个静态网络（节点数、边、路径长度、连通子图），或者描述图中的特定节点，比如链接数或集聚系数。然后可以使用信号处理概念将这些属性单独作为时间序列进行研究。<ref name=EvolvingNetworksPDF>{{Cite journal| url = http://liris.cnrs.fr/Documents/Liris-3669.pdf | author1 = Pierre Borgnat | author2 = Eric Fleury | title = Evolving Networks|display-authors=etal}}</ref> 例如，我们可以通过查看网络的连续快照并计算每个快照中的链接数量，来跟踪每分钟建立到服务器的链接数量。

不幸的是，快照与电影的类比也揭示了这种方法的主要困难: 使用的时间步骤很少由网络给出，而是任意的。在每个快照之间使用极小的时间步骤可以保持分辨率，但实际上可能掩盖了只有在较长时间尺度下才能看到的更广泛的趋势。相反，使用较大的时间尺度会失去每个快照中事件的时间顺序。因此，可能很难找到合适的时间尺度来将网络的演化划分为静态快照。

===定义动力学性质===

那些不能直接从将演化网络视为一系列快照中观察到的特性可能很重要，例如节点之间的接触时间。<ref name="Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms">{{Cite journal| url = http://www.cl.cam.ac.uk/~ph315/publications/PID158626.pdf | author1 = A. Chaintreau | author2 = P. Hui | author3 = J. Crowcroft | author4 = C. Diot | author5 = R. Gass | author6 = J. Scott | journal = Infocom | year = 2006 | title = Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms}}</ref>可以定义其他类似的属性，然后可以通过网络的演化来跟踪这些属性，并直接可视化它们。

使用连续快照的另一个问题是，在网络拓扑中微小的变化可以对用于寻找网络社团的算法的结果产生巨大的影响。因此，有必要使用一个非经典的社团定义，它允许通过一系列的规则，如出生、死亡、合并、分裂、生长和收缩，来跟随社团的演化。<ref name="Quantifying social group evolution">{{Cite journal| author1 = G. Palla | author2 = A. Barabasi | author3 = T. Vicsek | title = Quantifying social group evolution | journal = Nature | volume = 446 | pages = 664–667 | year = 2007 | author4 = Y. Chi, S. Zhu, X. Song, J. Tatemura, and B.L. Tseng | issue=7136 | doi=10.1038/nature05670|pmid = 17410175|arxiv = 0704.0744 |bibcode = 2007Natur.446..664P }}</ref><ref name="Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization">{{Cite book| url = http://portal.acm.org/ft_gateway.cfm? | author1 = Y. Chi, S. Zhuid=1281213&type=pdf | author2 = X. Song | author3 = J. Tatemura | author4 = B.L. Tseng | title = Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization | journal = KDD '07: Proceedings of the 13th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining | pages = 163–172 | year = 2007| doi = 10.1145/1281192.1281213 | citeseerx = 10.1.1.69.6959 | isbn = 9781595936097 }}</ref>

==应用==
[[File:256px-World-airline-routemap-2009.png|256px|thumb|2009年世界预定商业航空交通路线图。这个网络随着新路线的计划或取消而不断演变]]

几乎所有真实世界的网络都是不断演化的网络，因为它们是随着时间的推移而构建的。通过改变上述各自的概率，可以使用扩展的BA模型来构造一个具有与许多观测网络几乎相同属性的网络。<ref name="Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra">{{Cite journal |url = http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |author1 = I. Farkas |author2 = I. Derenyi |author3 = H. Heong |title = Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra |journal = [[Physica A|Physica]] |volume = 314 |issue = 1–4 |pages = 25–34 |year = 2002 |arxiv = cond-mat/0303106 |bibcode = 2002PhyA..314...25F |doi = 10.1016/S0378-4371(02)01181-0 |display-authors = etal |access-date = 2011-04-21 |archive-url = https://web.archive.org/web/20111004050804/http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |archive-date = 2011-10-04 |url-status = dead}}</ref>

此外，无标度网络的概念告诉我们，时间演化是理解网络属性的必要组成部分，而且很难将现有网络模型化为瞬间创建的。目前正在研究的演化网络包括社交网络、通信网络、互联网、电影演员网络、万维网和交通网络。

==扩展阅读==

* "Understanding Network Science," https://web.archive.org/web/20110718151116/http://www.zangani.com/blog/2007-1030-networkingscience

* "Linked: The New Science of Networks", A.-L. Barabási Perseus Publishing, Cambridge.

==References==

<references />

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[[Category:网络]]
[[Category:网络理论]]

演化网络

2020-12-13T07:15:58Z

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[[File:256px-Barabasi_Albert_model.gif|256px|基于初始巴拉巴西-阿尔伯特 Barabasi-Albert 模型的演化网络的动画]]

演化网络 Evolving networks是作为时间的函数而变化的网络。它们是网络科学 network science的自然延伸，因为几乎所有现实世界的网络都是随时间演化的，通过随着时间的推移增加或删除节点或连边实现。通常所有这些过程都是同时发生的，比如在社交网络 social networks中，随着时间的推移人们结交和失去朋友，从而创造和破坏连边，一些人成为新的社交网络的一部分，或者离开他们的网络，从而改变网络中的节点。演化网络的概念建立在既定的网络理论之上，现在正被引入到许多不同领域的网络研究中。

==网络理论背景==

网络研究源于图论 graph theory的发展，莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler于1736年首先分析了图论，当时他撰写了著名的柯尼斯堡七桥问题 Seven Bridges of Königsberg论文。随后在八篇由保罗·埃尔德什 Paul Erdős和阿尔弗雷德·雷尼 Alfréd Rényi撰写的研究随机图 random graphs的著名论文的帮助下，概率网络理论得以发展。埃尔德什-雷尼模型 Erdős–Rényi model(ER模型)假定一个图由n个有标记的节点组成，其中每一对节点通过一个预设的概率p连接。

[[File:220px-Watts_strogatz.svg.png|220px|Watts–Strogatz graph 瓦茨-斯托加茨图]]

尽管ER模型的简单性帮助它找到了许多应用之处，但它并不能准确地描述许多真实世界的网络。ER模型无法像在现实世界网络中那样频繁地生成局部聚类和三元闭包。为此，提出了瓦茨-斯托加茨模型 Watts-Strogatz model，将网络构造成规则的环网格，然后根据一定的概率β重新连接节点。<ref name=WS>{{cite journal | author1 = Watts, D.J. | author2 = Strogatz, S.H. | year = 1998 | title = Collective dynamics of 'small-world' networks | journal = Nature | volume = 393 | issue = 6684 | pages = 409–10 | doi = 10.1038/30918 | pmid = 9623998 | bibcode=1998Natur.393..440W}}</ref>

这会产生一个局部聚集的网络，并显著减少平均路径长度 average path length。这样创建的网络可以代表在许多现实世界网络中观察到的小世界现象 small world phenomenon。<ref name=milg>{{cite journal |author1=Travers Jeffrey |author2=Milgram Stanley | year = 1969 | title = An Experimental Study of the Small World Problem | url = | journal = Sociometry | volume = 32 | issue = 4| pages = 425–443 | doi=10.2307/2786545|jstor=2786545 }}</ref>

尽管取得了这样的成就，ER模型和Watts-Storgatz模型都未能解释在许多现实世界网络中观察到的中心节点的形成。ER模型中的度分布遵循泊松分布，而Watts-Strogatz模型生成的图在度上是同质的。但是，许多网络是无标度的，这意味着它们的度分布遵循以下形式的幂律分布:

: <math>P(k)\sim k^{-\gamma}</math>

对于许多现实世界的网络来说，这个指数大约是3。然而，它不是一个通用常数，并且持续地依赖于网络的参数。<ref name=Barabasi2000>{{Cite journal| url = http://nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/Universality_Physical%20Rev%20Ltrs%2085,%205234%20(2000).pdf | author1 = R. Albert | author2 = A.-L. Barabási | title = Topology of Evolving Networks: Local Events and Universality | journal = [[Physical Review Letters]] | volume = 85 | issue = 24 | pages = 5234–5237 | year = 2000 | doi = 10.1103/PhysRevLett.85.5234 | pmid = 11102229|arxiv = cond-mat/0005085 |bibcode = 2000PhRvL..85.5234A | hdl = 2047/d20000695 }}</ref>

==第一个演化网络模型——无标度网络==

巴拉巴西-阿尔伯特模型 Barabási–Albert model(BA模型)是第一个被广泛接受的产生无标度网络 scale-free network的模型。这是通过偏好依附 preferential attachment和增长来实现的，随着时间的推移，节点被添加到网络中，并且更有可能链接到其他度较大的节点。BA模型首先应用于互联网的度分布，这两种影响都可以清楚地看到。随着时间的推移，新的网页会不断增加，并且每个新的网页都更有可能链接到像谷歌这样具有很高的度分布的高度可见的中心节点，而不是只有少量链接的节点。从形式上来说，这种偏好依附是:

: <math>p_i = \frac{k_i}{\displaystyle\sum_j k_j},</math>

==BA模型以外=

BA模型是第一个从随着时间的推移而添加节点和连边的网络构造方式中推导出网络拓扑的模型。然而，该模型只做了产生无标度网络所必需的最简单的假设，即存在线性增长和线性偏好依附。这个最小模型没有刻画度分布形状的变化，度指数的变化，或不依赖大小的集聚系数 clustering coefficient。

因此，通过引入一些新的性质，对原有的模型进行了修改，以更充分地刻画演化网络的性质。

===适应度 Fitness===

与BA模型有关的一个问题是，每个节点的度分布经历很强的正反馈 positive feedback，即最早的具有高度分布的节点继续无限期地主宰网络。但是，可以通过为每个节点引入一个适应度来缓解这个问题，该适应度可以修改用该节点创建新链接的概率，甚至可以修改该节点的链接被删除的概率。<ref>Albert R. and Barabási A.-L., "Statistical mechanics of complex networks", ''Reviews of Modern Physics'' 74, 47 (2002)</ref>

为了保持BA模型中的偏好依附，该适应度乘以基于度分布的偏好依附，得到连接到节点i的真实概率。

: <math>\Pi(k_i) = \frac{\eta_i k_i}{\displaystyle\sum_j \eta_j k_j},</math>

其中<math>\eta</math>是适应度，这也可能依赖于时间。适应度可能随时间衰减，可以表示为

: <math> \Pi(k_i) \propto k_i(t-t_i)^{-\nu},</math>

其中<math>\gamma</math>随<math>\nu.</math>的增长而增长。

===删除节点和重连接边===

由于节点可能会以一定的概率从网络中移除，因此会出现更多的复杂情况。此外，节点之间现有的链接可能会被删除并且创建新的链接。这些行为发生的概率可能依赖于时间，也可能与节点的适应度有关。通过研究有关网络的特性，可以为这些事件赋予概率，从而生成具有相同特性的模型网络。这种增长将在每个时间步骤中发生下列行为之一:

概率 p：增加一个内部链接。

概率 q: 删除一个链接。

概率 r：删除一个节点。

概率 1-p-q-r: 添加一个节点。

==描述演化网络的其他方法==

除了上面描述的不断生长的网络模型之外，可能有时候其他方法对于描述演化网络的某些性质更有用或更方便。

===趋向均衡===

在竞争性决策发生的网络系统中，博弈论经常被用来建模系统动力学，趋向均衡可以被认为是拓扑进化的驱动力。例如Kasthurirathna和Piraveenan<ref>{{cite journal |last1=Kasthurirathna|first1=Dharshana |last2=Piraveenan |first2=Mahendra. |title=Emergence of scale-free characteristics in socioecological systems with bounded rationality |journal=[[Scientific Reports (journal)|Scientific Reports]] |volume=In Press |date=2015}}</ref>表明，当一个系统中的个体表现出不同程度的理性时，提高整个系统的理性可能是无标度网络出现的进化原因。他们通过对一个最初的随机网络施加进化压力来模拟一系列经典博弈，当允许重新连接时，网络收敛到纳什均衡，从而证明了这一点。在这个过程中，网络变得越来越无标度。

===视演化网络为连续的静态网络快照===

观察不断演化的网络最常用的方法是把它们看作连续的静态网络。这可以概念化为组成电影的一个个静态图像。有许多简单的参数可以描述一个静态网络（节点数、边、路径长度、连通子图），或者描述图中的特定节点，比如链接数或集聚系数。然后可以使用信号处理概念将这些属性单独作为时间序列进行研究。<ref name=EvolvingNetworksPDF>{{Cite journal| url = http://liris.cnrs.fr/Documents/Liris-3669.pdf | author1 = Pierre Borgnat | author2 = Eric Fleury | title = Evolving Networks|display-authors=etal}}</ref> 例如，我们可以通过查看网络的连续快照并计算每个快照中的链接数量，来跟踪每分钟建立到服务器的链接数量。

不幸的是，快照与电影的类比也揭示了这种方法的主要困难: 使用的时间步骤很少由网络给出，而是任意的。在每个快照之间使用极小的时间步骤可以保持分辨率，但实际上可能掩盖了只有在较长时间尺度下才能看到的更广泛的趋势。相反，使用较大的时间尺度会失去每个快照中事件的时间顺序。因此，可能很难找到合适的时间尺度来将网络的演化划分为静态快照。

===定义动力学性质===

那些不能直接从将演化网络视为一系列快照中观察到的特性可能很重要，例如节点之间的接触时间。<ref name="Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms">{{Cite journal| url = http://www.cl.cam.ac.uk/~ph315/publications/PID158626.pdf | author1 = A. Chaintreau | author2 = P. Hui | author3 = J. Crowcroft | author4 = C. Diot | author5 = R. Gass | author6 = J. Scott | journal = Infocom | year = 2006 | title = Impact of human mobility on the design of opportunistic forwarding algorithms}}</ref>可以定义其他类似的属性，然后可以通过网络的演化来跟踪这些属性，并直接可视化它们。

使用连续快照的另一个问题是，在网络拓扑中微小的变化可以对用于寻找网络社团的算法的结果产生巨大的影响。因此，有必要使用一个非经典的社团定义，它允许通过一系列的规则，如出生、死亡、合并、分裂、生长和收缩，来跟随社团的演化。<ref name="Quantifying social group evolution">{{Cite journal| author1 = G. Palla | author2 = A. Barabasi | author3 = T. Vicsek | title = Quantifying social group evolution | journal = Nature | volume = 446 | pages = 664–667 | year = 2007 | author4 = Y. Chi, S. Zhu, X. Song, J. Tatemura, and B.L. Tseng | issue=7136 | doi=10.1038/nature05670|pmid = 17410175|arxiv = 0704.0744 |bibcode = 2007Natur.446..664P }}</ref><ref name="Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization">{{Cite book| url = http://portal.acm.org/ft_gateway.cfm? | author1 = Y. Chi, S. Zhuid=1281213&type=pdf | author2 = X. Song | author3 = J. Tatemura | author4 = B.L. Tseng | title = Structural and temporal analysis of the blogosphere through community factorization | journal = KDD '07: Proceedings of the 13th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining | pages = 163–172 | year = 2007| doi = 10.1145/1281192.1281213 | citeseerx = 10.1.1.69.6959 | isbn = 9781595936097 }}</ref>

==应用==
[[File:256px-World-airline-routemap-2009.png|256px|2009年世界预定商业航空交通路线图。这个网络随着新路线的计划或取消而不断演变]]

几乎所有真实世界的网络都是不断演化的网络，因为它们是随着时间的推移而构建的。通过改变上述各自的概率，可以使用扩展的BA模型来构造一个具有与许多观测网络几乎相同属性的网络。<ref name="Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra">{{Cite journal |url = http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |author1 = I. Farkas |author2 = I. Derenyi |author3 = H. Heong |title = Networks in life: scaling properties and eigenvalue spectra |journal = [[Physica A|Physica]] |volume = 314 |issue = 1–4 |pages = 25–34 |year = 2002 |arxiv = cond-mat/0303106 |bibcode = 2002PhyA..314...25F |doi = 10.1016/S0378-4371(02)01181-0 |display-authors = etal |access-date = 2011-04-21 |archive-url = https://web.archive.org/web/20111004050804/http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200211-01_PhysA-NetworksInLife/200211-01_PhysA-NetworksInLife.pdf |archive-date = 2011-10-04 |url-status = dead}}</ref>

此外，无标度网络的概念告诉我们，时间演化是理解网络属性的必要组成部分，而且很难将现有网络模型化为瞬间创建的。目前正在研究的演化网络包括社交网络、通信网络、互联网、电影演员网络、万维网和交通网络。

==扩展阅读==

* "Understanding Network Science," https://web.archive.org/web/20110718151116/http://www.zangani.com/blog/2007-1030-networkingscience

* "Linked: The New Science of Networks", A.-L. Barabási Perseus Publishing, Cambridge.

==References==

<references />

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自组织临界控制

2020-12-12T14:03:12Z

打豆豆：/* 参见 */

在应用物理学中，自组织临界控制Controlling self-organized criticality的概念是指对自组织系统能量耗散过程的控制。这种控制的目的是减少自组织系统发生能量耗散爆发(通常称为雪崩)的概率和规模。一个自组织临界系统中转变到较低的能量状态时的能量耗散对社会来说可能是代价高昂的，因为它取决于各种规模的雪崩，这些雪崩的规模通常遵循幂律分布Power law distribution，而大规模雪崩具有伤害性和破坏性。
<ref name=cajand10a>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Controlling self-organized criticality in sandpile models
| journal = Physical Review E
| volume = 81
| pages = 015102#R
| doi=10.1103/physreve.81.015102
|arxiv = 1305.6648 |bibcode = 2010PhRvE..81a5102C }}</ref><ref name=cajand10b>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Controlling self-organized criticality in complex networks
| journal = European Physical Journal B
| volume = 77
| pages = 291–296
| doi=10.1140/epjb/e2010-00229-8
|arxiv = 1305.6656 |bibcode = 2010EPJB...77..291C }}</ref><ref name=cajand10c>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Dynamical programming approach for controlling the directed Abelian Dhar-Ramaswamy model
| journal = Physical Review E
| volume = 82
| pages = 031108
| doi=10.1103/physreve.82.031108
|arxiv = 1305.6668 |bibcode = 2010PhRvE..82c1108C }}</ref>

==计划==

已经有一些策略被提出用于处理自组织临界状态的控制问题:

可控雪崩的设计。Daniel O.Cajueiro和Roberto F.S.Andrade表明，如果系统中成熟的中小规模雪崩是靠外部触发的，那么系统的能量会以不同于大规模雪崩的方式释放出来。 <ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" />

* 雪崩蔓延地区网络相互依赖程度的修正：Charles D. Brummitt，Raissa M. D'Souza和 E. A. Leicht 证明了复杂网络上自组织临界系统的动力学依赖于复杂网络的连通性。他们发现，虽然有些连通性是有益的(因为它压制了系统中最大的级联) ，但过多的连通性为大型级联的发展提供了空间，并增加了系统的容量。<ref name=cajand10a>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Controlling self-organized criticality in sandpile models
| journal = Physical Review E
| volume = 81
| pages = 015102#R
| doi=10.1103/physreve.81.015102
|arxiv = 1305.6648 |bibcode = 2010PhRvE..81a5102C }}</ref><ref name=cajand10b>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Controlling self-organized criticality in complex networks
| journal = European Physical Journal B
| volume = 77
| pages = 291–296
| doi=10.1140/epjb/e2010-00229-8
|arxiv = 1305.6656 |bibcode = 2010EPJB...77..291C }}</ref><ref name=cajand10c>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Dynamical programming approach for controlling the directed Abelian Dhar-Ramaswamy model
| journal = Physical Review E
| volume = 82
| pages = 031108
| doi=10.1103/physreve.82.031108
|arxiv = 1305.6668 |bibcode = 2010PhRvE..82c1108C }}</ref>

*自组织系统沉积工艺的改进。 Pierre-Andre Noel、Charles D. Brummitt和Raissa M. D'Souza 指出，通过改变自组织系统的自然沉积过程来调整雪崩开始的位置，有可能实现对自组织系统的控制。<ref name=noel13>{{cite journal
| author = P. A. Noel, C. D. Brummitt and R. M. D'Souza
| year = 2013
| title = Controlling self-organized criticality on networks using models that self-organize
| journal = Physical Review Letters
| volume = 111
| pages = 078701
| doi=10.1103/physrevlett.111.078701
|arxiv = 1305.1877 |bibcode = 2013PhRvL.111g8701N
| pmid=23992086}}</ref>

* 动态修改级联故障的局部阈值；在一个电力传输网络模型中， H .霍夫曼和 D. W. 佩顿证明，要么随机升级线路(类似于预防性维护) ，要么将破损线路更新到到随机破损阈值，都可以抑制自组织临界性。<ref name=hh2014>{{cite journal
| author = H. Hoffmann and D. W. Payton
| year = 2014
| title = Suppressing cascades in a self-organized-critical model with non-contiguous spread of failures
| journal = Chaos, Solitons and Fractals
| volume = 67
| pages = 87–93
| doi=10.1016/j.chaos.2014.06.011
| bibcode = 2014CSF....67...87H
}}</ref>
显然，这些策略破坏了大型临界集群的自我组织。在这里，一个临界集群是一组即将发生故障的传输线，一旦触发条件，这些传输线就会完全崩溃。

==应用==

在自然界或社会中发生的一些事件中，这些控制观念可能有助于避免它们:<ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" /><ref name="noel13" />

* 由水坝、水库或相互连接的山谷系统造成的洪水。

* 在雪山上发生的雪崩。

* 易受闪电或火柴照明影响的地区发生的森林火灾。

* 电网中发生的减载级联(断电的一种形式)。OPA模型可以用来研究不同的临界控制技术。

* 互联网交换结构中的级联故障。

* 缺血级联反应，在血液供应不足的时刻释放毒素的一系列生化反应。

* 金融系统的系统性风险。

* 核能系统中的游离。

发生电力传输和金融部门的故障级联是因为经济力量使这些系统在临界点附近运行，在那里可能发生规模不确定的雪崩。

==参见==

*[[阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model]]

*[[复杂网络 Complex networks]]

*[[自组织临界 Self-organized criticality]]

==参考资料==

{{reflist}}

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[[Category:控制理论]]
[[Category:混沌理论]]
[[Category:自我组织]]
[[Category:关键现象]]

自组织临界控制

2020-12-12T14:02:53Z

打豆豆：/* 应用 */

在应用物理学中，自组织临界控制Controlling self-organized criticality的概念是指对自组织系统能量耗散过程的控制。这种控制的目的是减少自组织系统发生能量耗散爆发(通常称为雪崩)的概率和规模。一个自组织临界系统中转变到较低的能量状态时的能量耗散对社会来说可能是代价高昂的，因为它取决于各种规模的雪崩，这些雪崩的规模通常遵循幂律分布Power law distribution，而大规模雪崩具有伤害性和破坏性。
<ref name=cajand10a>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Controlling self-organized criticality in sandpile models
| journal = Physical Review E
| volume = 81
| pages = 015102#R
| doi=10.1103/physreve.81.015102
|arxiv = 1305.6648 |bibcode = 2010PhRvE..81a5102C }}</ref><ref name=cajand10b>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Controlling self-organized criticality in complex networks
| journal = European Physical Journal B
| volume = 77
| pages = 291–296
| doi=10.1140/epjb/e2010-00229-8
|arxiv = 1305.6656 |bibcode = 2010EPJB...77..291C }}</ref><ref name=cajand10c>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Dynamical programming approach for controlling the directed Abelian Dhar-Ramaswamy model
| journal = Physical Review E
| volume = 82
| pages = 031108
| doi=10.1103/physreve.82.031108
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==计划==

已经有一些策略被提出用于处理自组织临界状态的控制问题:

可控雪崩的设计。Daniel O.Cajueiro和Roberto F.S.Andrade表明，如果系统中成熟的中小规模雪崩是靠外部触发的，那么系统的能量会以不同于大规模雪崩的方式释放出来。 <ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" />

* 雪崩蔓延地区网络相互依赖程度的修正：Charles D. Brummitt，Raissa M. D'Souza和 E. A. Leicht 证明了复杂网络上自组织临界系统的动力学依赖于复杂网络的连通性。他们发现，虽然有些连通性是有益的(因为它压制了系统中最大的级联) ，但过多的连通性为大型级联的发展提供了空间，并增加了系统的容量。<ref name=cajand10a>{{cite journal
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*自组织系统沉积工艺的改进。 Pierre-Andre Noel、Charles D. Brummitt和Raissa M. D'Souza 指出，通过改变自组织系统的自然沉积过程来调整雪崩开始的位置，有可能实现对自组织系统的控制。<ref name=noel13>{{cite journal
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* 动态修改级联故障的局部阈值；在一个电力传输网络模型中， H .霍夫曼和 D. W. 佩顿证明，要么随机升级线路(类似于预防性维护) ，要么将破损线路更新到到随机破损阈值，都可以抑制自组织临界性。<ref name=hh2014>{{cite journal
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显然，这些策略破坏了大型临界集群的自我组织。在这里，一个临界集群是一组即将发生故障的传输线，一旦触发条件，这些传输线就会完全崩溃。

==应用==

在自然界或社会中发生的一些事件中，这些控制观念可能有助于避免它们:<ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" /><ref name="noel13" />

* 由水坝、水库或相互连接的山谷系统造成的洪水。

* 在雪山上发生的雪崩。

* 易受闪电或火柴照明影响的地区发生的森林火灾。

* 电网中发生的减载级联(断电的一种形式)。OPA模型可以用来研究不同的临界控制技术。

* 互联网交换结构中的级联故障。

* 缺血级联反应，在血液供应不足的时刻释放毒素的一系列生化反应。

* 金融系统的系统性风险。

* 核能系统中的游离。

发生电力传输和金融部门的故障级联是因为经济力量使这些系统在临界点附近运行，在那里可能发生规模不确定的雪崩。

==参见==

*[[阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model]]

*[[复杂网络 Complex network]]s

*[[自组织临界 Self-organized criticality]]

==参考资料==

{{reflist}}

----
本中文词条由[[用户:Henry|Henry豆]]翻译，[[用户:打豆豆|打豆豆]]编辑，[[用户:Fernando|Fernando]审校，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

[[Category:应用和跨学科物理学]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:混沌理论]]
[[Category:自我组织]]
[[Category:关键现象]]

自组织临界控制

2020-12-12T14:01:57Z

打豆豆：/* 应用 */

在应用物理学中，自组织临界控制Controlling self-organized criticality的概念是指对自组织系统能量耗散过程的控制。这种控制的目的是减少自组织系统发生能量耗散爆发(通常称为雪崩)的概率和规模。一个自组织临界系统中转变到较低的能量状态时的能量耗散对社会来说可能是代价高昂的，因为它取决于各种规模的雪崩，这些雪崩的规模通常遵循幂律分布Power law distribution，而大规模雪崩具有伤害性和破坏性。
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==计划==

已经有一些策略被提出用于处理自组织临界状态的控制问题:

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* 雪崩蔓延地区网络相互依赖程度的修正：Charles D. Brummitt，Raissa M. D'Souza和 E. A. Leicht 证明了复杂网络上自组织临界系统的动力学依赖于复杂网络的连通性。他们发现，虽然有些连通性是有益的(因为它压制了系统中最大的级联) ，但过多的连通性为大型级联的发展提供了空间，并增加了系统的容量。<ref name=cajand10a>{{cite journal
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*自组织系统沉积工艺的改进。 Pierre-Andre Noel、Charles D. Brummitt和Raissa M. D'Souza 指出，通过改变自组织系统的自然沉积过程来调整雪崩开始的位置，有可能实现对自组织系统的控制。<ref name=noel13>{{cite journal
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* 动态修改级联故障的局部阈值；在一个电力传输网络模型中， H .霍夫曼和 D. W. 佩顿证明，要么随机升级线路(类似于预防性维护) ，要么将破损线路更新到到随机破损阈值，都可以抑制自组织临界性。<ref name=hh2014>{{cite journal
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显然，这些策略破坏了大型临界集群的自我组织。在这里，一个临界集群是一组即将发生故障的传输线，一旦触发条件，这些传输线就会完全崩溃。

==应用==

在自然界或社会中发生的一些事件中，这些控制观念可能有助于避免它们:<ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" /><ref name="brum12" /><ref name="noel13" />

* 由水坝、水库或相互连接的山谷系统造成的洪水。

* 在雪山上发生的雪崩。

* 易受闪电或火柴照明影响的地区发生的森林火灾。

* 电网中发生的减载级联(断电的一种形式)。OPA模型可以用来研究不同的临界控制技术。

* 互联网交换结构中的级联故障。

* 缺血级联反应，在血液供应不足的时刻释放毒素的一系列生化反应。

* 金融系统的系统性风险。

* 核能系统中的游离。

发生电力传输和金融部门的故障级联是因为经济力量使这些系统在临界点附近运行，在那里可能发生规模不确定的雪崩。

==参见==

*[[阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model]]

*[[复杂网络 Complex network]]s

*[[自组织临界 Self-organized criticality]]

==参考资料==

{{reflist}}

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本中文词条由[[用户:Henry|Henry豆]]翻译，[[用户:打豆豆|打豆豆]]编辑，[[用户:Fernando|Fernando]审校，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

[[Category:应用和跨学科物理学]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:混沌理论]]
[[Category:自我组织]]
[[Category:关键现象]]

自组织临界控制

2020-12-12T14:01:14Z

打豆豆：/* 计划 */

在应用物理学中，自组织临界控制Controlling self-organized criticality的概念是指对自组织系统能量耗散过程的控制。这种控制的目的是减少自组织系统发生能量耗散爆发(通常称为雪崩)的概率和规模。一个自组织临界系统中转变到较低的能量状态时的能量耗散对社会来说可能是代价高昂的，因为它取决于各种规模的雪崩，这些雪崩的规模通常遵循幂律分布Power law distribution，而大规模雪崩具有伤害性和破坏性。
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已经有一些策略被提出用于处理自组织临界状态的控制问题:

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* 雪崩蔓延地区网络相互依赖程度的修正：Charles D. Brummitt，Raissa M. D'Souza和 E. A. Leicht 证明了复杂网络上自组织临界系统的动力学依赖于复杂网络的连通性。他们发现，虽然有些连通性是有益的(因为它压制了系统中最大的级联) ，但过多的连通性为大型级联的发展提供了空间，并增加了系统的容量。<ref name=cajand10a>{{cite journal
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*自组织系统沉积工艺的改进。 Pierre-Andre Noel、Charles D. Brummitt和Raissa M. D'Souza 指出，通过改变自组织系统的自然沉积过程来调整雪崩开始的位置，有可能实现对自组织系统的控制。<ref name=noel13>{{cite journal
| author = P. A. Noel, C. D. Brummitt and R. M. D'Souza
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* 动态修改级联故障的局部阈值；在一个电力传输网络模型中， H .霍夫曼和 D. W. 佩顿证明，要么随机升级线路(类似于预防性维护) ，要么将破损线路更新到到随机破损阈值，都可以抑制自组织临界性。<ref name=hh2014>{{cite journal
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显然，这些策略破坏了大型临界集群的自我组织。在这里，一个临界集群是一组即将发生故障的传输线，一旦触发条件，这些传输线就会完全崩溃。

==应用==

在自然界或社会中发生的一些事件中，这些控制观念可能有助于避免它们:<ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" /><ref name="brum12" /><ref name="noel13" /><ref name="hh2014" />

#由水坝、水库或相互连接的山谷系统造成的洪水。

#在雪山上发生的雪崩。

#易受闪电或火柴照明影响的地区发生的森林火灾。

#电网中发生的减载级联(断电的一种形式)。OPA模型可以用来研究不同的临界控制技术。

#互联网交换结构中的级联故障。

#缺血级联反应，在血液供应不足的时刻释放毒素的一系列生化反应。

#金融系统的系统性风险。

#核能系统中的游离。

发生电力传输和金融部门的故障级联是因为经济力量使这些系统在临界点附近运行，在那里可能发生规模不确定的雪崩。

==参见==

*[[阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model]]

*[[复杂网络 Complex network]]s

*[[自组织临界 Self-organized criticality]]

==参考资料==

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[[Category:控制理论]]
[[Category:混沌理论]]
[[Category:自我组织]]
[[Category:关键现象]]

自组织临界控制

2020-12-12T14:00:43Z

打豆豆：/* 计划 */

在应用物理学中，自组织临界控制Controlling self-organized criticality的概念是指对自组织系统能量耗散过程的控制。这种控制的目的是减少自组织系统发生能量耗散爆发(通常称为雪崩)的概率和规模。一个自组织临界系统中转变到较低的能量状态时的能量耗散对社会来说可能是代价高昂的，因为它取决于各种规模的雪崩，这些雪崩的规模通常遵循幂律分布Power law distribution，而大规模雪崩具有伤害性和破坏性。
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==计划==

已经有一些策略被提出用于处理自组织临界状态的控制问题:

可控雪崩的设计。Daniel O.Cajueiro和Roberto F.S.Andrade表明，如果系统中成熟的中小规模雪崩是靠外部触发的，那么系统的能量会以不同于大规模雪崩的方式释放出来。 <ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" />

* 雪崩蔓延地区网络相互依赖程度的修正：Charles D. Brummitt，Raissa M. D'Souza和 E. A. Leicht 证明了复杂网络上自组织临界系统的动力学依赖于复杂网络的连通性。他们发现，虽然有些连通性是有益的(因为它压制了系统中最大的级联) ，但过多的连通性为大型级联的发展提供了空间，并增加了系统的容量。<ref name=cajand10a>{{cite journal
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*自组织系统沉积工艺的改进。 Pierre-Andre Noel、Charles D. Brummitt和Raissa M. D'Souza 指出，通过改变自组织系统的自然沉积过程来调整雪崩开始的位置，有可能实现对自组织系统的控制。
<ref name=noel13>{{cite journal
| author = P. A. Noel, C. D. Brummitt and R. M. D'Souza
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* 动态修改级联故障的局部阈值；在一个电力传输网络模型中， H .霍夫曼和 D. W. 佩顿证明，要么随机升级线路(类似于预防性维护) ，要么将破损线路更新到到随机破损阈值，都可以抑制自组织临界性。
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显然，这些策略破坏了大型临界集群的自我组织。在这里，一个临界集群是一组即将发生故障的传输线，一旦触发条件，这些传输线就会完全崩溃。

==应用==

在自然界或社会中发生的一些事件中，这些控制观念可能有助于避免它们:<ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" /><ref name="brum12" /><ref name="noel13" /><ref name="hh2014" />

#由水坝、水库或相互连接的山谷系统造成的洪水。

#在雪山上发生的雪崩。

#易受闪电或火柴照明影响的地区发生的森林火灾。

#电网中发生的减载级联(断电的一种形式)。OPA模型可以用来研究不同的临界控制技术。

#互联网交换结构中的级联故障。

#缺血级联反应，在血液供应不足的时刻释放毒素的一系列生化反应。

#金融系统的系统性风险。

#核能系统中的游离。

发生电力传输和金融部门的故障级联是因为经济力量使这些系统在临界点附近运行，在那里可能发生规模不确定的雪崩。

==参见==

*[[阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model]]

*[[复杂网络 Complex network]]s

*[[自组织临界 Self-organized criticality]]

==参考资料==

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[[Category:应用和跨学科物理学]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:混沌理论]]
[[Category:自我组织]]
[[Category:关键现象]]

自组织临界控制

2020-12-12T14:00:07Z

打豆豆：/* 计划 */

在应用物理学中，自组织临界控制Controlling self-organized criticality的概念是指对自组织系统能量耗散过程的控制。这种控制的目的是减少自组织系统发生能量耗散爆发(通常称为雪崩)的概率和规模。一个自组织临界系统中转变到较低的能量状态时的能量耗散对社会来说可能是代价高昂的，因为它取决于各种规模的雪崩，这些雪崩的规模通常遵循幂律分布Power law distribution，而大规模雪崩具有伤害性和破坏性。
<ref name=cajand10a>{{cite journal
| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Controlling self-organized criticality in sandpile models
| journal = Physical Review E
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| pages = 015102#R
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| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
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| pages = 291–296
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| author = D. O. Cajueiro and R. F. S. Andrade
| year = 2010
| title = Dynamical programming approach for controlling the directed Abelian Dhar-Ramaswamy model
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==计划==

已经有一些策略被提出用于处理自组织临界状态的控制问题:

可控雪崩的设计。Daniel O.Cajueiro和Roberto F.S.Andrade表明，如果系统中成熟的中小规模雪崩是靠外部触发的，那么系统的能量会以不同于大规模雪崩的方式释放出来。 <ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" />

# 雪崩蔓延地区网络相互依赖程度的修正：Charles D. Brummitt，Raissa M. D'Souza和 E. A. Leicht 证明了复杂网络上自组织临界系统的动力学依赖于复杂网络的连通性。他们发现，虽然有些连通性是有益的(因为它压制了系统中最大的级联) ，但过多的连通性为大型级联的发展提供了空间，并增加了系统的容量。<ref name=cajand10a>{{cite journal
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#自组织系统沉积工艺的改进。 Pierre-Andre Noel、Charles D. Brummitt和Raissa M. D'Souza 指出，通过改变自组织系统的自然沉积过程来调整雪崩开始的位置，有可能实现对自组织系统的控制。
<ref name=noel13>{{cite journal
| author = P. A. Noel, C. D. Brummitt and R. M. D'Souza
| year = 2013
| title = Controlling self-organized criticality on networks using models that self-organize
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| volume = 111
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#动态修改级联故障的局部阈值；在一个电力传输网络模型中， H .霍夫曼和 D. W. 佩顿证明，要么随机升级线路(类似于预防性维护) ，要么将破损线路更新到到随机破损阈值，都可以抑制自组织临界性。
<ref name=hh2014>{{cite journal
| author = H. Hoffmann and D. W. Payton
| year = 2014
| title = Suppressing cascades in a self-organized-critical model with non-contiguous spread of failures
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}}</ref>
显然，这些策略破坏了大型临界集群的自我组织。在这里，一个临界集群是一组即将发生故障的传输线，一旦触发条件，这些传输线就会完全崩溃。

==应用==

在自然界或社会中发生的一些事件中，这些控制观念可能有助于避免它们:<ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" /><ref name="brum12" /><ref name="noel13" /><ref name="hh2014" />

#由水坝、水库或相互连接的山谷系统造成的洪水。

#在雪山上发生的雪崩。

#易受闪电或火柴照明影响的地区发生的森林火灾。

#电网中发生的减载级联(断电的一种形式)。OPA模型可以用来研究不同的临界控制技术。

#互联网交换结构中的级联故障。

#缺血级联反应，在血液供应不足的时刻释放毒素的一系列生化反应。

#金融系统的系统性风险。

#核能系统中的游离。

发生电力传输和金融部门的故障级联是因为经济力量使这些系统在临界点附近运行，在那里可能发生规模不确定的雪崩。

==参见==

*[[阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model]]

*[[复杂网络 Complex network]]s

*[[自组织临界 Self-organized criticality]]

==参考资料==

{{reflist}}

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本中文词条由[[用户:Henry|Henry豆]]翻译，[[用户:打豆豆|打豆豆]]编辑，[[用户:Fernando|Fernando]审校，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

[[Category:应用和跨学科物理学]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:混沌理论]]
[[Category:自我组织]]
[[Category:关键现象]]

自组织临界控制

2020-12-12T13:59:22Z

打豆豆：

在应用物理学中，自组织临界控制Controlling self-organized criticality的概念是指对自组织系统能量耗散过程的控制。这种控制的目的是减少自组织系统发生能量耗散爆发(通常称为雪崩)的概率和规模。一个自组织临界系统中转变到较低的能量状态时的能量耗散对社会来说可能是代价高昂的，因为它取决于各种规模的雪崩，这些雪崩的规模通常遵循幂律分布Power law distribution，而大规模雪崩具有伤害性和破坏性。
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==计划==

已经有一些策略被提出用于处理自组织临界状态的控制问题:

可控雪崩的设计。Daniel O.Cajueiro和Roberto F.S.Andrade表明，如果系统中成熟的中小规模雪崩是靠外部触发的，那么系统的能量会以不同于大规模雪崩的方式释放出来。 <ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" />

#''雪崩蔓延地区网络相互依赖程度的修正：Charles D. Brummitt，Raissa M. D'Souza和 E. A. Leicht 证明了复杂网络上自组织临界系统的动力学依赖于复杂网络的连通性。他们发现，虽然有些连通性是有益的(因为它压制了系统中最大的级联) ，但过多的连通性为大型级联的发展提供了空间，并增加了系统的容量。<ref name=cajand10a>{{cite journal
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#''自组织系统沉积工艺的改进。 Pierre-Andre Noel、Charles D. Brummitt和Raissa M. D'Souza 指出，通过改变自组织系统的自然沉积过程来调整雪崩开始的位置，有可能实现对自组织系统的控制。
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#''动态修改级联故障的局部阈值；在一个电力传输网络模型中， H .霍夫曼和 D. W. 佩顿证明，要么随机升级线路(类似于预防性维护) ，要么将破损线路更新到到随机破损阈值，都可以抑制自组织临界性。
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显然，这些策略破坏了大型临界集群的自我组织。在这里，一个临界集群是一组即将发生故障的传输线，一旦触发条件，这些传输线就会完全崩溃。

==应用==

在自然界或社会中发生的一些事件中，这些控制观念可能有助于避免它们:<ref name="cajand10a" /><ref name="cajand10b" /><ref name="cajand10c" /><ref name="brum12" /><ref name="noel13" /><ref name="hh2014" />

#由水坝、水库或相互连接的山谷系统造成的洪水。

#在雪山上发生的雪崩。

#易受闪电或火柴照明影响的地区发生的森林火灾。

#电网中发生的减载级联(断电的一种形式)。OPA模型可以用来研究不同的临界控制技术。

#互联网交换结构中的级联故障。

#缺血级联反应，在血液供应不足的时刻释放毒素的一系列生化反应。

#金融系统的系统性风险。

#核能系统中的游离。

发生电力传输和金融部门的故障级联是因为经济力量使这些系统在临界点附近运行，在那里可能发生规模不确定的雪崩。

==参见==

*[[阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model]]

*[[复杂网络 Complex network]]s

*[[自组织临界 Self-organized criticality]]

==参考资料==

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帕累托最优

2020-12-12T13:48:03Z

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{{short description|State in which no reallocation of resources can make everyone at least as well off}}

{{Use mdy dates|date=January 2016}}

'''帕累托效率 Pareto efficiency '''或'''帕累托最优 Pareto optimality'''是一种不能再改进的状态，它使得任何个体或偏好准则变得更好而不使任意一个个体或一项偏好准则变得更差。这个概念是以意大利工程师、经济学家维尔弗雷多·帕累托 Vilfredo Pareto（1848-1923）的名字命名的。他在研究'''经济效率 economic efficiency'''和'''收入分配 income distribution'''时使用了这个概念。以下三个概念密切相关：

* 在一个给定的初始条件下，'''帕累托改进 Pareto improvement '''指的是一种大多数主体的弱偏好选择，被至少一个主体严格优选的状态。在某种意义上，它是一种一致同意的改进：如果我们处于这种新的情况下，一些主体会获利，且没有主体会蒙受损失。
*一种状态如果存在帕累托改进，那么它被称作'''受帕累托支配 Pareto dominated '''的。
*一种状态如果是不受帕累托支配的，那么它被称作'''帕累托最优'''的或'''帕累托有效'''的。

'''帕累托边界 Pareto frontier '''是所有帕累托有效分配的集合，按惯例以图表形式表示它。它也被称为'''帕累托前沿 Pareto front '''或'''帕累托集 Pareto set '''。<ref>{{Cite web|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|title=Pareto Front|last=proximedia|website=www.cenaero.be|access-date=2018-10-08}}</ref>

“帕累托最优”被认为是一种狭义的效率，它不一定会产生社会所期望的资源分配: 它没有为平等或一个社会的总体福祉发声。<ref>{{cite journal |authorlink=Amartya Sen |first=A. |last=Sen |title=Markets and freedom: Achievements and limitations of the market mechanism in promoting individual freedoms |journal=Oxford Economic Papers |volume=45 |issue=4 |pages=519–541 |date=October 1993 |jstor=2663703 |url=http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr06/cos444/papers/sen.pdf |doi=10.1093/oxfordjournals.oep.a042106 }}</ref><ref>{{cite book |first=N. |last=Barr |author-link=Nicholas Barr|chapter=3.2.2 The relevance of efficiency to different theories of society |title=Economics of the Welfare State |year=2012 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-929781-8 |pages=[https://books.google.com/books?id=DOg0BM1XiqQC&pg=PA46 46–49] |edition=5th}}</ref>它是效率的必要不充分条件。

除了分配效率的背景之外，帕累托最优的概念也出现在'''生产效率 efficiency in production'''对比于'''x-低效率 x-inefficiency'''的背景之下，即如果生产投入没有可行的再分配，使得一种产品的产出增加，而所有其他产品的产出增加或保持不变，那么这一组产品的产出就是帕累托最优的。<ref>[[John D. Black|Black, J. D.]], Hashimzade, N., & [[Gareth Myles|Myles, G.]], eds., ''A Dictionary of Economics'', 5th ed. (Oxford: Oxford University Press, 2017), [https://books.google.com/books?id=WyvYDQAAQBAJ&pg=PT459 p. 459].</ref>

除了经济学，帕累托最优的概念已经应用到工程和生物学中的替代品的选择。首先根据多项标准对每个选项进行评估，然后确定选项子集，没有其他选项的属性可以绝对胜过选定的选项。在'''多目标优化 multi-objective optimization'''(又称'''帕累托优化''')中，这是不可能在不损害其他变量的情况下改进一个变量的陈述。

==综述 ==

“帕累托最优”是一个正式定义的概念，用来描述一个分配何时是最优的。如果有一种替代性的分配方式可以在不降低任何其他参与者福祉的情况下改善至少一个参与者的福祉，那么这种分配就不是帕累托最优的。如果有一个转移满足这个条件，这个再分配就被称为“帕累托改进”。当无法进一步实现帕累托改进时，这个分配就是“帕累托最优”。

The formal presentation of the concept in an economy is as follows: Consider an economy with <math> n</math> agents and <math> k </math> goods. Then an allocation <math> \{x_1, ..., x_n\} </math>, where <math> x_i \in \mathbb{R}^k </math> for all ''i'', is ''Pareto optimal'' if there is no other feasible allocation <math> \{x_1', ..., x_n'\} </math> such that, for utility function <math> u_i </math> for each agent <math> i </math>, <math> u_i(x_i') \geq u_i(x_i) </math> for all <math> i \in \{1, ..., n\} </math> with <math> u_i(x_i') > u_i(x_i) </math> for some <math> i</math>.

<ref name="AndreuMas95">{{citation|author-link=Andreu Mas-Colell|last1=Mas-Colell|first1=A.|first2=Michael D.|last2=Whinston|first3=Jerry R.|last3=Green|year=1995|title=Microeconomic Theory|chapter=Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-510268-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780198089537}}</ref> Here, in this simple economy, "feasibility" refers to an allocation where the total amount of each good that is allocated sums to no more than the total amount of the good in the economy. In a more complex economy with production, an allocation would consist both of consumption [[Vector space|vector]]s and production vectors, and feasibility would require that the total amount of each consumed good is no greater than the initial endowment plus the amount produced.

这个概念在经济体系中的正式表述如下: 考虑一个经济体系有''<math> n</math>''个主体和''<math> k</math>''个商品，如果没有其他可行的分配<math> \{x_1, ..., x_n\} </math>使得效用函数<math> u_i </math>对任意主体<math> i </math>满足<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>，对某些主体<math> i </math>满足<math> u_i(x_i') > u_i(x_i) </math>，那么这个分配<math> \{x_1', ..., x_n'\} </math>是帕累托最优的，其中对任意<math> i </math>，<math> x_i \in \mathbb{R}^k </math>此处需插入公式'''。<ref name="AndreuMas95">{{citation|author-link=Andreu Mas-Colell|last1=Mas-Colell|first1=A.|first2=Michael D.|last2=Whinston|first3=Jerry R.|last3=Green|year=1995|title=Microeconomic Theory|chapter=Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-510268-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780198089537}}</ref>在这个简单的经济体系中，“可行性”是指一种分配，其中每种商品的分配总额不超过该经济体系中所有商品的总额。在一个生产能力更为复杂的经济体中，一种分配将包括消费载体和生产载体，且可行性要求每种消费品的总量不大于初始禀赋加上生产总量。

原则上，从一个普遍低效率的经济分配到一个高效率的经济分配的转变不一定被认为是帕累托改进。即使经济总体是获益的，如果一个主体在再分配中处于不利地位，这个分配也不是帕累托最优的。例如，如果经济政策的某个改变消除了垄断，市场随后变得具有竞争力，那么其他主体的收益可能很大。然而，由于垄断者处于不利地位，这不是帕累托改进。理论上，如果经济体系的收益大于垄断者的损失，考虑到帕累托改进，垄断者可以在为经济体系中的其他主体留下净收益的情况下得到补偿。因此，在实践中，为了确保没有人会因为旨在实现帕累托最优的改变而处于不利地位，可能需要对一个或多个当事方进行补偿。在现实世界中，人们公认，这种补偿可能会造成意外的后果，随着时间的推移动机扭曲，因为代理人可能预期这种补偿并相应地改变他们的行为。<ref>See [[Ricardian equivalence]]</ref>

在'''福利经济学第一定理 the first welfare theorem'''的理想条件下，一个'''自由市场 free market'''系统，也称为“'''竞争均衡 competitive equilibrium'''” ，对应一个帕累托有效的结果。经济学家肯尼斯·阿罗 Kenneth Arrow和杰拉德·迪布鲁 Gérard Debreu首先用数学方法证明了这一点。

然而，这个结果只有在证明所需的限制性假设下才成立，即所有可能的商品都存在市场，因此不存在外部效应; 所有市场都处于完全均衡状态; 市场是完全竞争的; 交易成本是可忽略的; 市场参与者拥有'''完全信息 perfect information'''。

根据'''格林沃德-斯蒂格利茨定理 the Greenwald-Stiglitz theorem'''，在缺乏完全信息或完全市场的情况下，这个结果通常是帕累托低效的。<ref>{{Cite journal |doi=10.2307/1891114 |last1=Greenwald |first1=B. |last2=Stiglitz |first2=J. E. |author1-link=Bruce Greenwald |author2-link=Joseph E. Stiglitz |journal=Quarterly Journal of Economics |volume=101 |issue=2 |pages=229–64 |year=1986 |title=Externalities in economies with imperfect information and incomplete markets |jstor=1891114}}</ref>

'''福利经济学第二定理 The second welfare theorem'''实质上是福利经济学第一定理的逆定理。它指出，在类似的理想假设下，任何帕累托最优都可以通过某种[[竞争均衡]]或[[自由市场制度]]获得，尽管它可能也需要一次性转移财富。<ref name="AndreuMas95"/>

==弱帕累托效率==

'''弱帕累托最优 Weak Pareto optimality '''是一种不能严格地改善每个个体的状态。<ref>{{Cite book | doi=10.1007/978-1-4020-9160-5_341|chapter = Pareto Optimality|title = Encyclopedia of Global Justice| pages=808–809|year = 2011|last1 = Mock|first1 = William B T.| isbn=978-1-4020-9159-9}}</ref>

在形式上，我们将'''强帕累托改进 strong pareto improvement '''定义为所有主体严格处于较好状态的情况(与之相对的是“帕累托改进” ，它要求一个主体严格处于较好状态，而其他主体至少同样良好)。没有强帕累托改进的状态是'''弱帕累托最优'''的。

任何强帕累托改进也是弱帕累托改进。反之则不然; 例如，考虑一个包含两种资源的资源分配问题，Alice资源为10,0，George资源为5,5。考虑将所有资源分配给 Alice，它的'分配方案为(10,0)。

* 它是一个弱帕累托最优，因为没有其他任何分配对上述两个主体是更优的（没有强帕累托改进）。
* 但它不是一个强帕累托最优，因为George得到的第二种的资源的分配对George是严格更优的且对Alice是弱更优的（它是一个弱帕累托改进），它的分配方案为(10,5)

市场不需要局部不饱和 local nonsatiation 就能达到弱帕累托最优。<ref>Markey‐Towler, Brendan and John Foster. "[http://www.uq.edu.au/economics/abstract/476.pdf Why economic theory has little to say about the causes and effects of inequality]", School of Economics, [[University of Queensland]], Australia, 21 February 2013, RePEc:qld:uq2004:476</ref>

==受约束的帕累托效率 ==

'''受约束的帕累托最优 Constrained Pareto optimality '''是帕累托最优的弱化，因为一个潜在的规划者(比如政府)可能无法改进分散市场的结果，即使这个结果是低效的。如果它受到与独立主体相同的信息或机构约束的限制，就会发生这种情况。<ref>Magill, M., & [[Martine Quinzii|Quinzii, M.]], ''Theory of Incomplete Markets'', MIT Press, 2002, [https://books.google.com/books?id=d66GXq2F2M0C&pg=PA104#v=onepage&q&f=false p. 104].</ref>

例如，个人拥有私人信息的情况(例如，劳动力市场中工人自己的生产率为工人所知，而潜在雇主却不知道，或者二手车市场中汽车的质量为卖方所知，而非买方所知)导致道德风险或不利选择和次优结果。在这种情况下，希望改善局面的规划者不太可能获得市场参与者没有的信息。因此，计划者不能执行基于个人特质的分配规则; 例如，”如果一个人属于 a 型，他们支付 p1的价格，但如果属于 b 型，他们支付 p2的价格”(见林达尔价格 Lindahl prices )。基本上，只有隐性规则(类似于“每个人都支付价格 p”)或基于可观察行为的规则被允许; “如果任何人以价格 px 选择 x，那么他们将得到10美元的补贴，除此之外什么也得不到”。如果不存在能够成功改进市场结果的允许规则，那么该结果被称为是“受约束的帕累托最优的”。

受约束的帕累托最优的概念假定了规划者是仁慈的，因此不同于政府失灵 government failure 的概念。政府失灵在制定政策的政客未能取得最佳结果时会出现，仅仅因为他们的行为不一定符合公众的最大利益。

==部分帕累托效率 ==

'''部分帕累托最优 Fractional Pareto optimality '''是在物品公平分配的背景下对帕累托最优的一个加强。如果一个不可分割的物品的分配不是受帕累托支配的，即使在分配过程中，一些物品在主体之间被分配，那么它是'''部分帕累托最优 fractionally Pareto-optimal(fPO) '''。这与标准的帕累托最优相反，因为它只考虑可行(离散)分配的控制。<ref>Barman, S., Krishnamurthy, S. K., & Vaish, R., [https://arxiv.org/pdf/1707.04731.pdf "Finding Fair and Efficient Allocations"], ''EC '18: Proceedings of the 2018 ACM Conference on Economics and Computation'', June 2018.</ref>

作为一个示例，考虑一个有两种物品的分配问题，Alice 值为3,2，George 值为4,1。考虑将第一种物品分配给 Alice，第二种物品分配给 George，其中分配方案为(3,1)。

* 它是一个帕累托最优，因为其他任何离散分配（在不分离物品的情况下）都会使得某个主体变差。
* 但是，它不是部分帕累托最优的，因为它是受帕累托支配的。它分配给了Alice第一种物品的一半和第二种物品的全部，分配给了George第一种物品的一半。它的分配方案是(3.5,2)。

==帕累托效率和福利最大化==

{{See also|Pareto-efficient envy-free division 同见帕累托有效与无嫉妒分割}}

假设每个主体 ''i'' 被赋予一个正权重。对于每个分配 ''x'' ，将 ''x'' 的福利定义为 ''x'' 中所有主体的配置的加权和，即:<math>W_a(x) := \sum_{i=1}^n a_i u_i(x)</math>.

假设<math>xa</math>此处需插入公式'''是一个在所有分配中使福利最大化的分配，即:<math>x_a \in \arg \max_{x} W_a(x)</math>.

It is easy to show that the allocation ''xa'' is Pareto-efficient: since all weights are positive, any Pareto-improvement would increase the sum, contradicting the definition of ''xa''.

很容易证明分配<math>xa</math>是帕累托有效的: 因为所有<math>xa</math>的权重都是正的，任何帕累托改进都会增加加权和，这与<math>xa</math>'的定义相矛盾。

日本新瓦尔拉斯经济学家根岸隆史 Takashi Negishi证明，<ref>{{cite journal |last=Negishi |first=Takashi |date=1960 |title=Welfare Economics and Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy |journal=Metroeconomica |volume=12 |issue=2–3 |pages=92–97 |doi=10.1111/j.1467-999X.1960.tb00275.x }}</ref>在某些假设下,该命题的逆命题也成立，即对于每一个帕累托有效的配置''x''，都存在一个正向量''a''，使最大化。哈尔·瓦里安提供了一个较短的证明。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0047-2727(76)90018-9 |title=Two problems in the theory of fairness |journal=Journal of Public Economics |volume=5 |issue=3–4 |pages=249–260 |year=1976 |last1=Varian |first1=Hal R. |hdl=1721.1/64180 |hdl-access=free }}</ref>

==工程学上的应用==

帕累托最优的概念已经在工程中得到了应用。<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>给定一组选择和一种评估它们的方法，'''帕累托边界'''、'''帕累托解集'''或'''帕累托前沿'''就是帕累托有效的选择集。通过将注意力限制在帕累托有效的选择集上，设计者可以在这个集合中进行权衡，而不是考虑每个参数的全部范围。<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>

[[File:帕累托最优边界.png|帕累托边界的一个例子。集合中的点表示可行的选择，较小的值比较大的值更好。点''C''不在帕累托边界上，因为它同时被点 ''A'' 和点 ''B'' 支配。点''A''和点''B''不受任何其他点严格控制，因此位于边界上。|256px]]

[[File:生产可能边界.png|256px|一个'''生产可能性边界 production-possibility frontier'''。红线是帕累托有效边界的一个例子，边界和左下方的区域是一个连续的选择集。边界上的红点是生产的帕累托最优选择的例子。边界外的点，如 ''N'' 和''K''，不是帕累托有效，因为在边界上存在着受帕累托支配的点。]]

===帕累托边界 ===

对于一个给定的系统，帕累托边界the Pareto frontier或帕累托集是所有帕累托有效的参数化(分配)的集合。找到帕累托前沿在工程学中特别有用。通过产生所有潜在的最优解决方案，设计师可以在这个受限的参数集中进行集中的[[权衡]]，而不需要考虑所有的参数。<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>

帕累托边界, ''P''(''Y'') ，可以更正式地描述如下。考虑一个包含函数 <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>的系统，其中''X''是'''度量空间 metric space''' <math>\mathbb{R}^n</math>中可行决策的'''紧集 compact set'''，''Y''是'''<math>\mathbb{R}^m</math>中标准向量的可行集，使得<math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>。

我们假设标准值的最优方向是已知的。<math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math>中的一个点优于中的另一个点<math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>，写作<math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>。因此，帕累托边界可以被描述为:

: <math>P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. </math>

===边际替代率 ===

A significant aspect of the Pareto frontier in economics is that, at a Pareto-efficient allocation, the [[marginal rate of substitution]] is the same for all consumers. A formal statement can be derived by considering a system with ''m'' consumers and ''n'' goods, and a utility function of each consumer as <math>z_i=f^i(x^i)</math> where <math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math> is the vector of goods, both for all ''i''. The feasibility constraint is <math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math> for <math>j=1,\ldots,n</math>. To find the Pareto optimal allocation, we maximize the [[Lagrangian mechanics|Lagrangian]]:

A significant aspect of the Pareto frontier in economics is that, at a Pareto-efficient allocation, the marginal rate of substitution is the same for all consumers. A formal statement can be derived by considering a system with m consumers and n goods, and a utility function of each consumer as <math>z_i=f^i(x^i)</math> where <math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math> is the vector of goods, both for all i. The feasibility constraint is <math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math> for <math>j=1,\ldots,n</math>. To find the Pareto optimal allocation, we maximize the Lagrangian:

经济学中，帕累托边界的一个重要方面是在帕累托有效分配中，所有消费者的'''边际替代率 the marginal rate of substitution'''是相同的。一个正式的陈述可以通过考虑一个有''m''个消费者和''n''个商品的系统，以及每个消费者的效用函数'''此处需插入公式'''来推导出。在这个效用方程中，对所有的''i''，'''此处需插入公式'''是商品的矢量。可行性约束为'''此处需插入公式'''。为了找到帕累托最优分配，我们最大化'''拉格朗日函数 Lagrangian''':

: <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>

<math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>

where <math>(\lambda_k)_k</math> and <math>(\mu_j)_j</math> are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good <math>x_j^k</math> for <math>j=1,\ldots,n</math> and <math>k=1,\ldots, m</math> and gives the following system of first-order conditions:

where <math>(\lambda_k)_k</math> and <math>(\mu_j)_j</math> are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good <math>x_j^k</math> for <math>j=1,\ldots,n</math> and <math>k=1,\ldots, m</math> and gives the following system of first-order conditions:

其中'''此处需插入公式'''和'''此处需插入公式'''是乘子的向量。取关于商品的拉格朗日函数的偏导数，，并给出以下一阶条件系统:

: <math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\text{ for }j=1,\ldots,n,</math>

<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\text{ for }j=1,\ldots,n,</math>

1，ldots，n，math

: <math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0 \text{ for }k= 2,\ldots,m \text{ and }j=1,\ldots,n,</math>

<math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0 \text{ for }k= 2,\ldots,m \text{ and }j=1,\ldots,n,</math>

2，ldots，m text { and }1，ldots，n，/ math

where <math>f_{x^i_j}</math> denotes the partial derivative of <math>f</math> with respect to <math>x_j^i</math>. Now, fix any <math>k\neq i</math> and <math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>. The above first-order condition imply that

where <math>f_{x^i_j}</math> denotes the partial derivative of <math>f</math> with respect to <math>x_j^i</math>. Now, fix any <math>k\neq i</math> and <math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>. The above first-order condition imply that

其中'''此处需插入公式'''表示'''此处需插入公式'''的偏导数。现给定'''此处需插入公式'''。上述一阶条件意味着

: <math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>

<math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>

Math frac { x ^ i } i }{ x s ^ i }} frac { mu s } f { x ^ k } ^ k } . / math

Thus, in a Pareto-optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.

Thus, in a Pareto-optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.

因此，在帕累托最优分配中，所有消费者的边际替代率必须相同。<ref>Wilkerson, T., ''Advanced Economic Theory'' ([[Waltham Abbey]]: Edtech Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=UtW_DwAAQBAJ&pg=PA114 p. 114].</ref>

=== Computation 计算===

[[Algorithm]]s for computing the Pareto frontier of a finite set of alternatives have been studied in [[computer science]] and power engineering. They include:

Algorithms for computing the Pareto frontier of a finite set of alternatives have been studied in computer science and power engineering. They include:

计算机科学和动力工程给出了计算有限个方案集的帕累托边界的算法。<ref>{{cite journal |doi=10.3390/en6031439 |last1=Tomoiagă |first1=Bogdan |last2=Chindriş |first2=Mircea |last3=Sumper |first3=Andreas |last4=Sudria-Andreu |first4=Antoni |last5=Villafafila-Robles |first5=Roberto |title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II |journal=Energies |year=2013 |volume=6 |issue=3 |pages=1439–55 |doi-access=free }}</ref>它们包括:

* "The maximum vector problem" or the [[Skyline operator|skyline query]].
* “最大向量问题”，或称[[轮廓查询]]。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0 |last1=Nielsen |first1=Frank |title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers |journal=Information Processing Letters |volume=59 |pages=255–9 |year=1996 |issue=5 |citeseerx=10.1.1.259.1042 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1145/321906.321910 |last1=Kung |first1=H. T. |last2=Luccio |first2=F. |last3=Preparata |first3=F.P. |title=On finding the maxima of a set of vectors |journal=Journal of the ACM |volume=22 |pages=469–76 |year=1975 |issue=4 }}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.1007/s00778-006-0029-7 |last1=Godfrey |first1=P. |last2=Shipley |first2=R. |last3=Gryz |first3=J. |journal=VLDB Journal |volume=16 |pages=5–28 |year=2006 |title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation |citeseerx=10.1.1.73.6344 }}</ref>

* "The scalarization algorithm" or the method of weighted sums.
* “标量化算法”，或称加权求和法。<ref name="Kimde Weck2005">{{cite journal|last1=Kim|first1=I. Y.|last2=de Weck|first2=O. L.|title=Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=31|issue=2|year=2005|pages=105–116|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-005-0557-6}}</ref><ref name="MarlerArora2009">{{cite journal|last1=Marler|first1=R. Timothy|last2=Arora|first2=Jasbir S.|title=The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=41|issue=6|year=2009|pages=853–862|issn=1615-147X|doi=10.1007/s00158-009-0460-7}}</ref>

* "The <math>\epsilon</math>-constraints method".
* “ϵ-约束法”。 <ref>{{cite journal|title=On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization|journal=IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics|volume=SMC-1|issue=3|year=1971|pages=296–297|issn=0018-9472|doi=10.1109/TSMC.1971.4308298}}</ref><ref name="Mavrotas2009">{{cite journal|last1=Mavrotas|first1=George|title=Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=213|issue=2|year=2009|pages=455–465|issn=00963003|doi=10.1016/j.amc.2009.03.037}}</ref>

== Use in biology 在生物学中的应用==

Pareto optimisation has also been studied in biological processes. In bacteria, genes were shown to be either inexpensive to make (resource efficient) or easier to read (translation efficient). Natural selection acts to push highly expressed genes towards the Pareto frontier for resource use and translational efficiency. Genes near the Pareto frontier were also shown to evolve more slowly (indicating that they are providing a selective advantage).

Pareto optimisation has also been studied in biological processes. In bacteria, genes were shown to be either inexpensive to make (resource efficient) or easier to read (translation efficient). Natural selection acts to push highly expressed genes towards the Pareto frontier for resource use and translational efficiency. Genes near the Pareto frontier were also shown to evolve more slowly (indicating that they are providing a selective advantage).

帕累托最优化在生物过程中也有研究。<ref>Moore, J. H., Hill, D. P., Sulovari, A., & Kidd, L. C., "Genetic Analysis of Prostate Cancer Using Computational Evolution, Pareto-Optimization and Post-processing", in R. Riolo, E. Vladislavleva, M. D. Ritchie, & J. H. Moore, eds., ''Genetic Programming Theory and Practice X'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2013), [https://books.google.co.il/books?id=YZZAAAAAQBAJ&pg=PA86 pp. 87–102].</ref>在细菌中，基因要么生成成本低廉(资源节约型) ，要么更容易被读取(翻译效率型)。自然选择将高表达的基因推向资源利用和翻译效率的帕累托边界。帕累托边界附近基因的进化速度也较慢(这表明它们提供了一种选择优势)。<ref>{{Cite journal|doi=10.1186/s13059-018-1480-7|pmid=30064467|last1=Seward|first1=Emily A. |last2=Kelly|first2=Steven|title=Selection-driven cost-efficiency optimization of transcripts modulates gene evolutionary rate in bacteria.|journal=Genome Biology|volume=19|issue=1|pages=102|year=2018|pmc=6066932}}</ref>

== Criticism 批判 ==

It would be incorrect to treat Pareto efficiency as equivalent to societal optimization, as the latter is a [[normative]] concept that is a matter of interpretation that typically would account for the consequence of degrees of inequality of distribution. An example would be the interpretation of one school district with low property tax revenue versus another with much higher revenue as a sign that more equal distribution occurs with the help of government redistribution.

It would be incorrect to treat Pareto efficiency as equivalent to societal optimization, as the latter is a normative concept that is a matter of interpretation that typically would account for the consequence of degrees of inequality of distribution. An example would be the interpretation of one school district with low property tax revenue versus another with much higher revenue as a sign that more equal distribution occurs with the help of government redistribution.

把帕累托最优等同于社会优化是不正确的，<ref>[[Jacques Drèze|Drèze, J.]], ''Essays on Economic Decisions Under Uncertainty'' ([[Cambridge]]: [[Cambridge University Press]], 1987), [https://books.google.com/books?id=LWE4AAAAIAAJ&pg=PA358 pp. 358–364]</ref>因为后者是一个规范性概念，是一个典型的解释性问题，可以解释分配不平等程度的后果。<ref>Backhaus, J. G., ''The Elgar Companion to Law and Economics'' ([[Cheltenham|Cheltenham, UK]] / [[Northampton, MA]]: [[Edward Elgar Publishing|Edward Elgar]], 2005), [https://books.google.com/books?id=EtguKoWHUHYC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA10 pp. 10–15].</ref>一个例子就是对一个财产税收入较低的学区和另一个财政收入高很多的学区的解释，这表明在政府再分配的帮助下实现了更加平等的分配。<ref>Paulsen, M. B., "The Economics of the Public Sector: The Nature and Role of Public Policy in the Finance of Higher Education", in M. B. Paulsen, J. C. Smart, eds. ''The Finance of Higher Education: Theory, Research, Policy, and Practice'' (New York: Agathon Press, 2001), [https://books.google.com/books?id=BlkPAy-gb8sC&pg=PA95 pp. 95–132].</ref>

Pareto efficiency does not require a totally equitable distribution of wealth. An economy in which a wealthy few hold the [[Wealth condensation|vast majority of resources]] can be Pareto efficient. This possibility is inherent in the definition of Pareto efficiency; often the [[status quo]] is Pareto efficient regardless of the degree to which wealth is equitably distributed. A simple example is the distribution of a pie among three people. The most equitable distribution would assign one third to each person. However the assignment of, say, a half section to each of two individuals and none to the third is also Pareto optimal despite not being equitable, because none of the recipients could be made better off without decreasing someone else's share; and there are many other such distribution examples. An example of a Pareto inefficient distribution of the pie would be allocation of a quarter of the pie to each of the three, with the remainder discarded. The origin (and utility value) of the pie is conceived as immaterial in these examples. In such cases, whereby a "windfall" is gained that none of the potential distributees actually produced (e.g., land, inherited wealth, a portion of the broadcast spectrum, or some other resource), the criterion of Pareto efficiency does not determine a unique optimal allocation. Wealth consolidation may exclude others from wealth accumulation because of bars to market entry, etc.

Pareto efficiency does not require a totally equitable distribution of wealth. An economy in which a wealthy few hold the vast majority of resources can be Pareto efficient. This possibility is inherent in the definition of Pareto efficiency; often the status quo is Pareto efficient regardless of the degree to which wealth is equitably distributed. A simple example is the distribution of a pie among three people. The most equitable distribution would assign one third to each person. However the assignment of, say, a half section to each of two individuals and none to the third is also Pareto optimal despite not being equitable, because none of the recipients could be made better off without decreasing someone else's share; and there are many other such distribution examples. An example of a Pareto inefficient distribution of the pie would be allocation of a quarter of the pie to each of the three, with the remainder discarded. The origin (and utility value) of the pie is conceived as immaterial in these examples. In such cases, whereby a "windfall" is gained that none of the potential distributees actually produced (e.g., land, inherited wealth, a portion of the broadcast spectrum, or some other resource), the criterion of Pareto efficiency does not determine a unique optimal allocation. Wealth consolidation may exclude others from wealth accumulation because of bars to market entry, etc.

帕累托效率并不需要完全公平的财富分配。<ref>Bhushi, K., ed., ''Farm to Fingers: The Culture and Politics of Food in Contemporary India'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2018), [https://books.google.com/books?id=NYJIDwAAQBAJ&pg=PA222 p. 222].</ref>一个少数富人拥有绝大多数资源的经济体系可以是帕累托有效的。这种可能性是帕累托效率的固有定义; 通常情况下，无论财富的公平分配程度如何，现状都是帕累托有效的。一个简单的例子是在三个人之间分配馅饼。最公平的分配将分配给每个人三分之一。

另一种分配是两个人各占半部分，第三个人不占分毫。然而，尽管这种分配并不公平，它也是帕累托最优的，因为没有一个接受者能够在不减少其他人的份额的情况下得到更优的收益; 还有其他许多这样的分配例子。帕累托无效率的馅饼分配的一个例子是三者中的每一个分得馅饼的四分之一，剩下的部分丢弃。<ref>Wittman, D., ''Economic Foundations of Law and Organization'' (Cambridge: Cambridge University Press, 2006), [https://books.google.com/books?id=fOolQOtKM7QC&pg=PA18 p. 18].</ref>在这些示例中，馅饼的缘由(和实用价值)被认为是无关紧要的。在这种情况下，由于潜在的分配者都没有实际生产，却获得了“意外之财”(例如，土地、继承的财产、广播频谱的一部分或其他资源) ，帕累托最优的标准并不能决定唯一的最优分配。由于市场准入门槛等原因，财产整合可能会将他者排除在财产积累之外。

The [[liberal paradox]] elaborated by [[Amartya Sen]] shows that when people have preferences about what other people do, the goal of Pareto efficiency can come into conflict with the goal of individual liberty.

The liberal paradox elaborated by Amartya Sen shows that when people have preferences about what other people do, the goal of Pareto efficiency can come into conflict with the goal of individual liberty.

阿马蒂亚·森 Amartya Sen阐述的'''自由主义悖论 The liberal paradox'''表明，当人们对他人的行为有偏好时，帕累托有效的目标可能与个人自由的目标发生冲突。<ref>Sen, A., ''Rationality and Freedom'' ([[Cambridge, Massachusetts|Cambridge, MA]] / London: [[Harvard University Press|Belknep Press]], 2004), [https://books.google.cz/books?id=DaOY4DQ-MKAC&pg=PA92 pp. 92–94].</ref>

==See also 请参阅 ==

* [[Admissible decision rule]], analog in [[decision theory]] 可容许决策规则，决策理论中的类比

* [[Arrow's impossibility theorem]] 阿罗不可能定理

* [[Bayesian efficiency]] 贝叶斯效率

* [[Fundamental theorems of welfare economics]] 福利经济学基本定理

* [[Deadweight loss]] 无谓损失

* [[Economic efficiency]] 经济效益

* [[Highest and best use]] 最佳使用

* [[Kaldor–Hicks efficiency]] 卡尔多-希克斯效率

* [[Market failure]], when a market result is not Pareto optimal 市场失灵，即市场结果非帕累托最优的时刻

* [[Maximal element]], concept in [[order theory]] 极大元，阶理论中的概念

* [[Maxima of a point set]] 点集极大值

* [[Multi-objective optimization]] 多目标优化

* [[Pareto-efficient envy-free division]] 帕累托有效的无嫉妒分割

* ''[[Social Choice and Individual Values]]'' for the '(weak) Pareto principle' 关于弱帕累托原则的社会选择与个人价值

* [[Trade-off talking rational economic person|TOTREP]] 讲究权衡的理性经济人

* [[Welfare economics]] 福利经济

--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）需附上编者推荐

==References 参考文献==

{{reflist|30em}}

== Further reading 延伸阅读 ==

* {{Cite Fudenberg Tirole 1991|pages=[https://books.google.com/books?id=pFPHKwXro3QC&pg=PA18 18–23]}}

* {{Cite journal |last1=Bendor | first1=Jonathan |last2= Mookherjee | first2=Dilip | title = Communitarian versus Universalistic norms | journal = [[Quarterly Journal of Political Science]] | volume = 3 | issue = 1 | pages = 33–61 | doi = 10.1561/100.00007028 | date = April 2008 | ref = harv }}

* {{Cite journal | last = Kanbur | first = Ravi| author-link = Ravi Kanbur | title = Pareto's revenge | journal = Journal of Social and Economic Development | volume = 7 | issue = 1 | pages = 1–11 | date = January–June 2005 | url = http://www.arts.cornell.edu/poverty/kanbur/ParRev.pdf | ref = harv }}

* {{cite book | last = Ng | first = Yew-Kwang | author-link = Yew-Kwang Ng | title = Welfare economics towards a more complete analysis | url=https://books.google.com/books?id=o-2GDAAAQBAJ&printsec=frontcover| publisher = Palgrave Macmillan | location = Basingstoke, Hampshire New York | year = 2004 | isbn = 9780333971215 }}

* {{Citation | author-first1=Ariel | author-last1=Rubinstein | author-first2=Martin J. | author-last2=Osborne | author-link1 = Ariel Rubinstein | contribution = Introduction | editor-first1=Ariel | editor-last1=Rubinstein | editor-first2=Martin J. | editor-last2=Osborne | editor-link1 = Ariel Rubinstein | title = A course in game theory | pages = 6–7 | publisher = MIT Press | location = Cambridge, Massachusetts | year = 1994 | isbn = 9780262650403 }} [https://books.google.com/books?id=5ntdaYX4LPkC&pg=PA6 Book preview.]

* {{Cite journal | last = Mathur | first = Vijay K. | title = How well do we know Pareto optimality? | journal = The Journal of Economic Education | volume = 22 | issue = 2 | pages = 172–178 | doi = 10.2307/1182422 | date = Spring 1991 | ref = harv | jstor = 1182422 }}

* {{Cite journal | last1 = Newbery | first1 = David M.G. | last2 = Stiglitz | first2 = Joseph E. | author-link1 = David Newbery | author-link2 = Joseph Stiglitz | title = Pareto inferior trade | journal = Review of Economic Studies | volume = 51 | issue = 1 | pages = 1–12 | doi = 10.2307/2297701 | date = January 1984 | ref = harv | jstor = 2297701 }}

{{Economics}}

{{Game theory}}

{{Voting systems}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Pareto Efficiency}}

[[Category:Game theory]]

Category:Game theory

范畴: 博弈论

[[Category:Law and economics]]

Category:Law and economics

类别: 法律和经济学

[[Category:Welfare economics]]

Category:Welfare economics

类别: 福利经济学

[[Category:Pareto efficiency]]

Category:Pareto efficiency

类别: 帕累托最优

[[Category:Mathematical optimization]]

Category:Mathematical optimization

类别: 最优化

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Category:Electoral system criteria

类别: 选举制度标准

[[Category:Vilfredo Pareto]]

Category:Vilfredo Pareto

类别: Vilfredo Pareto

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零和博弈

2020-12-05T11:24:50Z

打豆豆：/* 扩展 */

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，约翰·冯·诺依曼[[John von Neumann]]和奥斯卡·摩根斯坦[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(n+1)个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

==参考文献 ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

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本中文词条由[[用户:水流心不竞|水流心不竞]]编译，[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]审校，[[用户:打豆豆|打豆豆]]编辑，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

零和博弈

2020-12-05T11:24:07Z

打豆豆：/* 扩展 */

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(n+1)个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

==参考文献 ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

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本中文词条由[[用户:水流心不竞|水流心不竞]]编译，[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]审校，[[用户:打豆豆|打豆豆]]编辑，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

零和博弈

2020-12-05T11:21:40Z

打豆豆：/* 外部链接 */

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

==参考文献 ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

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本中文词条由[[用户:水流心不竞|水流心不竞]]编译，[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]审校，[[用户:打豆豆|打豆豆]]编辑，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

零和博弈

2020-12-05T11:20:43Z

打豆豆：

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

==参考文献 ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

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'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

零和博弈

2020-12-05T11:18:38Z

打豆豆：/* References */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

==参考文献 ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:17:46Z

打豆豆：/* 拓展阅读 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:17:21Z

打豆豆：/* 拓展阅读 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:16:42Z

打豆豆：/* 争议问题 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:16:10Z

打豆豆：/* 通解 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:15:48Z

打豆豆：/* 定义 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:15:27Z

打豆豆：/* 定义 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:15:02Z

打豆豆：/* 定义 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:14:13Z

打豆豆：/* 举例 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:13:02Z

打豆豆：/* 解答 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:12:29Z

打豆豆：/* 解答 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素<math>M_{ij}</math>是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:11:30Z

打豆豆：/* 解答 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M_{ij}''}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:11:01Z

打豆豆：/* 解答 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M_ij''}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:09:55Z

打豆豆：/* S解答 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:09:31Z

打豆豆：/* 方案 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为4/7，动作2的可能性为3/7，蓝色应将概率0，4/7, 和4/7分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== S解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均衡'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:08:26Z

打豆豆：/* 方案 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== Example 举例===

[[文件:零和博弈游戏.jpg|缩略图|零和博弈游戏]]

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为{{sfrac|4|7}}，动作2的可能性为{sfrac|3|7}}，蓝色应将概率0，{{sfrac|4|7}}, 和{{sfrac|3|7}}分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== Solving 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均衡'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

文件:零和博弈游戏.jpg

2020-12-05T11:08:11Z

打豆豆：

零和博弈游戏

零和博弈

2020-12-05T11:06:51Z

打豆豆：

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

[[文件:零和博弈.jpg|缩略图|零和博弈]]

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== Example 举例===

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:1em;"
|+ align=bottom |''A zero-sum game''
! {{diagonal split header|{{red|Red}}|{{blue|Blue}}}}
! {{blue|''A''}}
! {{blue|''B''}}
! {{blue|''C''}}
|-
! {{red|''1''}}
| {{diagonal split header|{{red|30}}|{{blue|−30}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|−10}}|{{blue|10}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|20}}|{{blue|−20}}|white}}
|-
! {{red|''2''}}
| {{diagonal split header|{{red|−10}}|{{blue|10}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|20}}|{{blue|−20}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|−20}}|{{blue|20}}|white}}
|}

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为{{sfrac|4|7}}，动作2的可能性为{sfrac|3|7}}，蓝色应将概率0，{{sfrac|4|7}}, 和{{sfrac|3|7}}分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== Solving 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均衡'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

文件:零和博弈.jpg

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零和博弈

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打豆豆：/* 外部链接 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

{{distinguish|Empty sum|Zero game}}

{{other uses|Zero sum (disambiguation)}}

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

{{Payoff matrix | Name = 基因零和博弈
| 2L = Choice 1 | 2R = Choice 2 |
1U =Choice 1 | UL = −A, A | UR = B, −B |
1D = Choice 2 | DL = C, −C | DR = −D, D }}

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== Example 举例===

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:1em;"
|+ align=bottom |''A zero-sum game''
! {{diagonal split header|{{red|Red}}|{{blue|Blue}}}}
! {{blue|''A''}}
! {{blue|''B''}}
! {{blue|''C''}}
|-
! {{red|''1''}}
| {{diagonal split header|{{red|30}}|{{blue|−30}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|−10}}|{{blue|10}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|20}}|{{blue|−20}}|white}}
|-
! {{red|''2''}}
| {{diagonal split header|{{red|−10}}|{{blue|10}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|20}}|{{blue|−20}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|−20}}|{{blue|20}}|white}}
|}

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为{{sfrac|4|7}}，动作2的可能性为{sfrac|3|7}}，蓝色应将概率0，{{sfrac|4|7}}, 和{{sfrac|3|7}}分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== Solving 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均衡'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:02:15Z

打豆豆：/* 参阅 */

此词条暂由水流心不竞初译，翻译字数共1421，带来阅读不便，请见谅。

此词条暂由Miyasaki审校
--[[用户:Miyasaki|Miyasaki]]（[[用户讨论:Miyasaki|讨论]]）此词条存在重复部分，有些重复段落不能确切定位，暂搁置。

{{distinguish|Empty sum|Zero game}}

{{other uses|Zero sum (disambiguation)}}

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

{{Payoff matrix | Name = 基因零和博弈
| 2L = Choice 1 | 2R = Choice 2 |
1U =Choice 1 | UL = −A, A | UR = B, −B |
1D = Choice 2 | DL = C, −C | DR = −D, D }}

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== Example 举例===

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:1em;"
|+ align=bottom |''A zero-sum game''
! {{diagonal split header|{{red|Red}}|{{blue|Blue}}}}
! {{blue|''A''}}
! {{blue|''B''}}
! {{blue|''C''}}
|-
! {{red|''1''}}
| {{diagonal split header|{{red|30}}|{{blue|−30}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|−10}}|{{blue|10}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|20}}|{{blue|−20}}|white}}
|-
! {{red|''2''}}
| {{diagonal split header|{{red|−10}}|{{blue|10}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|20}}|{{blue|−20}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|−20}}|{{blue|20}}|white}}
|}

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为{{sfrac|4|7}}，动作2的可能性为{sfrac|3|7}}，蓝色应将概率0，{{sfrac|4|7}}, 和{{sfrac|3|7}}分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== Solving 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均衡'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{Game theory}}

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>

零和博弈

2020-12-05T11:01:43Z

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{{distinguish|Empty sum|Zero game}}

{{other uses|Zero sum (disambiguation)}}

在[[博弈论]]和经济理论中，''' 零和博弈Zero-sum game'''是对某种情形的一种数学描述，在这种情形中每个参与者的效用增减与其他参与者的效用的增减互相平衡。如果将参与者的总收益加起来，再减去总损失，则它们之和为零。因此，如果公认蛋糕每一部分都具有同等价值，那么切蛋糕就是一个零和游戏，切一块蛋糕会减少给其他人的蛋糕量，同时也会增加给那个接受者的蛋糕量。

相比之下，'''非零和Non-zero-sum'''描述了另一种情形，在这种情形中，相互作用的各方的总计收益和损失可能小于或大于零。零和博弈也称为严格竞争博弈，而非零和博弈可以是竞争博弈，也可以是非竞争博弈。零和博弈通常是用极大极小定理来解决的，这个定理与线性规划二元性<ref name="Binmore2007"/>密切相关。

许多人对将情况视为零和有[[认知偏差]]，称为[[零和偏差]]。

零和博弈是常数和博弈的一个具体例子，其中每个结果的和总是为零。这种游戏是分配性的，而不是综合性的; 良好的谈判无法扩大这块蛋糕。

== 定义==

{{Payoff matrix | Name = 基因零和博弈
| 2L = Choice 1 | 2R = Choice 2 |
1U =Choice 1 | UL = −A, A | UR = B, −B |
1D = Choice 2 | DL = C, −C | DR = −D, D }}

零和属性（如果一个获得，另一个失败）意味着零和情况的任何结果都是[[帕累托最优]]。一般来说，所有策略都是[[帕累托最优]]的博弈称为冲突博弈.<ref>{{cite book |first=Samuel |last=Bowles |title=Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution |url=https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl |url-access=limited |location= |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=[https://archive.org/details/microeconomicsbe00bowl/page/n47 33]–36 |year=2004 |isbn=0-691-09163-3 }}</ref>。

零和博弈是恒定和博弈的特定示例，其中每个结果的总和始终为零。这种游戏是分布式的，而不是集成的；不能通过良好的谈判来扩大派。

参与者可以共同获益或共同受苦的情况称为''' 非零和'''。因此，如果一个香蕉过剩的国家与另一个国家进行交易以换取其过剩的苹果，这两个国家都从交易中受益，那么这个国家就处于一种非零和情况。其他'''非零和博弈'''是这样一种博弈，在这种博弈中，参与者的得与失之和有时大于或小于开始时的水平。

在零和博弈中，帕累托最优收益的概念引出了一个广义的相对自私的理性标准，即惩罚对手的标准，在这个标准中，双方总是以对自己较有利的代价来寻求最小化对手的收益，而不是偏好多于少。惩罚对手标准可以同时用在零和博弈（例如战争游戏，国际象棋)和非零和博弈(例如:合并选择游戏)<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 1 and Chapter 4.</ref>。

对于双人有限零和博弈来说，''' 纳什均衡点Nash equilibrium'''、极大极小和极大的不同对策理论解概念都给出了相同的解。如果允许参与者采用混合策略，博弈中总是存在平衡。

==方案==

对于两人有限零和对策，[[Nash均衡]], [[最小最大]]和[[最大最小（决策理论）| 最大最小]]的不同的[[博弈论|博弈论]][[解概念]]都给出了相同的解。如果允许玩家玩一个[[混合策略]]，游戏总是有一个平衡点。

=== Example 举例===

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:1em;"
|+ align=bottom |''A zero-sum game''
! {{diagonal split header|{{red|Red}}|{{blue|Blue}}}}
! {{blue|''A''}}
! {{blue|''B''}}
! {{blue|''C''}}
|-
! {{red|''1''}}
| {{diagonal split header|{{red|30}}|{{blue|−30}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|−10}}|{{blue|10}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|20}}|{{blue|−20}}|white}}
|-
! {{red|''2''}}
| {{diagonal split header|{{red|−10}}|{{blue|10}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|20}}|{{blue|−20}}|white}}
| {{diagonal split header|{{red|−20}}|{{blue|20}}|white}}
|}

一场博弈的收益矩阵是一种方便的表示形式。让我们以图中右上方的两人零和博弈为例来考虑一下。

进行的顺序如下: 第一个玩家(红色)秘密地在两个动作1或2中选择一个; 第二个玩家(蓝色)不知道第一个玩家的选择，秘密地在三个动作 a、 b 或 c 中选择一个，然后，选择公布，每个玩家的总分受到这些选择的收益的影响。

例如: 玩家红选择操作2，玩家蓝选择操作B。当回报被分配时，红色获得20点，蓝色失去20点。

在这个例子中，两个玩家都知道收益矩阵，并试图最大化他们的分数。红队的理由如下: “在第二场比赛中，我可能输掉20分，只能赢20分，而在第一场比赛中，我只能输掉10分，但可以赢得30分，所以第一场比赛看起来要好得多。”根据类似的推理，蓝方会选择动作 c。如果两个玩家都采取这些动作，红方会赢得20分。如果蓝色预料到红色的推理和行动1的选择，蓝色可能会选择行动 b，从而赢得10点。如果红色，反过来，预测到这个计策，并选择行动2，这将为红色赢得20点。

[[Émile Borel]]和[[John von Neumann]]的基本见解是[[概率]]提供了一种解决这个难题的方法。这两个玩家没有决定要采取的明确行动，而是给他们各自的行动分配概率，然后使用一个随机装置，根据这些概率，为他们选择一个行动。每个玩家计算概率，以使最大[[期望值|预期]]点损失最小化，与对手的策略无关。这就导致了一个[[线性规划]]问题，每个参与者的最优策略。这种[[极大极小]]方法可以计算所有两人零和博弈的可能最优策略。
|}

对于上面给出的示例，事实证明红色应该选择概率为1的动作为{{sfrac|4|7}}，动作2的可能性为{sfrac|3|7}}，蓝色应将概率0，{{sfrac|4|7}}, 和{{sfrac|3|7}}分配给A，B和C这三个动作。红色将赢得平均每场比赛的分数。

=== Solving 解答===

如果游戏矩阵不具备所有的正元素，只要在每个元素上加一个足够大的常数，使得它们都是正的。这个常数会增加游戏的价值，对均衡的混合策略没有影响。

一个两人零和博弈的[[纳什均衡]]可以通过求解一个[[线性规划]]问题得到。假设一个零和博弈有一个支付矩阵{{mvar|M}}，其中元素{{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}}是当最小化的玩家选择纯策略 {{mvar|i}}而最大化的玩家选择纯策略 {{mvar|j}} 时获得的收益（即，试图最小化收益的玩家选择行，而试图最大化收益的玩家选择列）。假设 {{mvar|M}}的每个元素都是正的。博弈至少有一个纳什均衡。纳什均衡可以通过求解以下线性规划找到向量 {{mvar|u}}来找到（Raghavan 1994，p.740）：

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化问题的均衡混合策略。或者，可以用上述方法求解一个修正后的收益矩阵，它是(加一个常数使其为正)的转置和否定，然后求解结果博弈。

: 最小化：
::: <math>\sum_{i} u_i</math>

如果找到线性规划的所有解，它们就构成了博弈的所有纳什均衡。相反，任何线性规划可以转换成一个两人，零和博弈使用变量的变化，使其成为上述方程的形式。所以这样的博弈一般等价于线性规划。

: 受限于以下约束：

:: {{math|''u'' ≥ 0}}

:: {{math|''M u'' ≥ 1}}.

如果回避零和博弈是一个具有一定概率的行动选择，那么在零和博弈中，至少一个参与者的回避总是一个均衡策略。对于任何一个零和游戏的玩家来说，在游戏开始后零和游戏是不可能的或者不可信的，比如说扑克，除了回避游戏之外没有其他的纳什均衡点策略。即使在零和博弈开始后出现了可信的零比零平局，这也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中找到随走随奖在开始与否的问题上将比所有所有双人零和游戏。

第一个约束说明{{mvar|u}}向量的每个元素都必须是非负的，第二个约束要求{{mvar|M u}}向量的每个元素必须至少为1。对于得到的{{mvar|u}} 向量，其元素和的倒数就是博弈的值。将 {{mvar|u}}乘以这个值就得到了一个概率向量，给出了最大化的玩家选择每个可能的纯策略的概率。

如果博弈矩阵没有所有的正元素，只需在每个元素上添加一个常量，该元素足够大，足以使它们都是正的。这将使博弈值增加该常数，并且不会对均衡的均衡混合策略产生影响。

通过求解给定线性规划的对偶问题，可以找到最小化博弈者的均衡混合策略。或者，也可以通过使用上述过程来求解修正的支付矩阵，即 {{mvar|M}}的转置和否定（添加一个常数使其为正），然后求解结果博弈。

如果找到线性规划的所有解，它们将构成博弈的所有''' 纳什均衡'''。相反，任何线性程序都可以通过使用变量上述方程形式的变化，将其转换为两人零和博弈。所以，一般来说，这种游戏相当于线性程序。{{citation needed|date=October 2010}}

=== 通解 ===

Robert Wright在他的《非零: 人类命运的逻辑》一书中提出了这样的理论: 当社会变得越来越复杂、专门化和相互依存时，它就会变得越来越非零和。

如果避免零和博弈对玩家来说是一种有一定概率的行为选择，那么在零和博弈中，回避总是至少一个参与者的均衡策略。对于任何两个玩家的零和游戏，在游戏开始后零-零平局是不可能或不可信的，例如扑克，没有纳什均衡策略，除非不做游戏。即使在零和博弈开始后出现了可信的零-零平局，也不比回避策略好。从这个意义上说，有趣的是，在最优选择计算中，在开始游戏或不开始游戏时，最佳选择计算应优先于所有两个玩家的零和博弈<ref>Wenliang Wang (2015). Pooling Game Theory and Public Pension Plan. {{ISBN|978-1507658246}}. Chapter 4.</ref>。

1944年，John von Neumann和Oskar Morgenstern证明了 n 个玩家的任何非零和博弈等价于 n + 1个玩家的零和博弈，第(n + 1)个玩家代表全球的盈亏。

[[社会心理学]]子领域中最常见或最简单的例子是“[[社会陷阱]]”的概念。在某些情况下，追求个人利益可以增进群体的集体福祉，但在其他情况下，追求个人利益的各方都会导致相互破坏的行为。

=== 复杂性===

[[Robert Wright（记者）|Robert Wright]]在他的著作“[[非零：人类命运的逻辑]]”中提出，随着社会变得更加复杂、专业化和相互依存，社会变得越来越非零和。

== 扩展==

在心理学中，零和思维指的是这样一种感觉，即某种情况就像一个零和游戏，一个人的得到就是另一个人的损失。

1944年，[[John von Neumann]]和[[Oskar Morgenstern]]证明了“n”玩家的任何非零和游戏都等价于一个“n”玩家+1玩家的零和游戏，即第(''n'' + 1)th 个玩家代表全球盈亏<ref>{{cite book|url=https://press.princeton.edu/titles/7802.html |title=Theory of Games and Economic Behavior |publisher=Princeton University Press (1953) |date=June 25, 2005|accessdate=2018-02-25|isbn=9780691130613 }}</ref>。

== 争议问题==

零和博弈，尤其是它们的解决方案经常被[[博弈论]]的批评者误解，通常是关于参与者的独立性和[[理性选择理论|理性]]，以及对效用函数的解释。此外，“游戏”一词并不意味着该模型仅对娱乐[[游戏]]有效<ref name="Binmore2007">{{cite book|author=Ken Binmore|title=Playing for real: a text on game theory|url=https://books.google.com/?id=eY0YhSk9ujsC|year=2007|publisher=Oxford University Press US|isbn=978-0-19-530057-4|authorlink=Ken Binmore}}, chapters 1 & 7</ref>。

政治有时被称为零和。<ref>{{cite news|last=Rubin |first=Jennifer |url=https://www.washingtonpost.com/blogs/right-turn/wp/2013/10/04/the-flaw-in-zero-sum-politics/ |title=The flaw in zero sum politics |newspaper=The Washington Post |date=2013-10-04 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite news|url=https://www.economist.com/news/united-states/21595973-voters-think-both-parties-are-telling-truth-about-how-awful-other-lot-are-zero-sum |title=Lexington: Zero-sum politics |newspaper=The Economist |date=2014-02-08 |accessdate=2017-03-08}}</ref><ref>{{cite dictionary|url=http://www.dictionary.com/browse/zero-sum-game |title=Zero-sum game | Define Zero-sum game at |dictionary=Dictionary.com |accessdate=2017-03-08}}</ref>

== 零和思维==

在心理学中，[[零和思维]]指的是一种感觉，即感觉某情形就像一场零和博弈，一个人的收益就是另一个人的损失。

== 参阅 ==

{{col div|colwidth=30em}}

*[[双矩阵游戏 Bimatrix game]]

*[[比较优势 Comparative advantage]]

* [[荷兰病 Dutch disease]]

*[[贸易收益 Gains from trade]]

*[[劳动谬误 Lump of labour fallacy]]

*[[正和博弈 Positive-sum game]]

{{colend}}

== References ==

{{reflist}}

== 拓展阅读==
* ''Misstating the Concept of Zero-Sum Games within the Context of Professional Sports Trading Strategies'', series ''Pardon the Interruption'' (2010-09-23) [[ESPN]], created by [[Tony Kornheiser]] and [[Michael Wilbon]], performance by [[Bill Simmons]]
* ''Handbook of Game Theory – volume 2'', chapter ''Zero-sum two-person games'', (1994) [[Elsevier]] Amsterdam, by Raghavan, T. E. S., Edited by Aumann and Hart, pp. 735–759, {{ISBN|0-444-89427-6}}
* ''Power: Its Forms, Bases and Uses'' (1997) Transaction Publishers, by [[Dennis Wrong]]{{ISBN?}}

== 外部链接 ==

* [http://www.egwald.ca/operationsresearch/twoperson.php Play zero-sum games online] by Elmer G. Wiens.
* [https://web.archive.org/web/20070518035304/http://www.le.ac.uk/psychology/amc/gtaia.html Game Theory & its Applications] – comprehensive text on psychology and game theory. (Contents and Preface to Second Edition.)
* [http://economics-games.com/mixed-nash A playable zero-sum game] and its mixed strategy Nash equilibrium.

{{Game theory}}

{{DEFAULTSORT:零和博弈}}
[[Category:非合作游戏]]
[[Category:国际关系理论]]
[[Category:博弈论游戏类]]

此页摘自[[维基百科：英语：零和博弈]]。其编辑历史可在[[零和博弈编辑历史记录]]查看</noinclude>