== 混沌动力学实例 ==

=== 子实例一 ===

=== 多项式 ===

* 有很多文献很前沿，离热点更近，这片天空还是请各位安排座席。“计算力学”词条下，将热点问题略做抽象，用ϵ-机器<math>M_ϵ = \{\mathbfcal{S}_ϵ, \mathbf{T} \}</math>包装，说是计算机科学，其实离数学很近。

YMZ：问题1：这种ϵ-机器的表达式中，可以加注<math>\mathcal{S}_ϵ = ϵ(\overset{\gets}{s})</math>吗？问题2：因果态是花写的加粗的<math>\mathbfcal{S}</math>，是花写的<math>\mathcal{S}</math>的集合吗？那么ϵ划分/算子可以表示成<math>\mathbfcal{S} = \{\mathcal{S}_ϵ = ϵ(\overset{\gets}{s}) \}</math>吗？问题3：ϵ-机器可以跟通用灵图机等价吗，可以表示为<math>M_ϵ \sim U \sim CA \sim CNN</math>吗？其中U表示通用图灵机，CA表示元胞自动机，CNN表示卷积神经网络。

* 关键字有：
均值，周期，实部，虚部，共轭根式，共轭复数

* ϵ-机器能分辨哪些五次以上多项式可解，哪些不可解吗？

YJX：ϵ-机器的能力可以请“因果涌现”的专家座谈一下。五次多项式没有通（公式型）解，倒是可以用伽罗瓦群证明。

WT：YJX老师说的群是抽象代数的群（Abstract Algebra Group），跟分组（Group）不一定是一个意思。

2024-09-11T03:17:39Z

涌现仿真：/* 统计复杂度 */ City不City

请大家把词条撰写的方法发表在这里。

=问题背景=

* 涌现通常被理解为一个引导结构出现的过程，该过程不能直接由定义约束和控制系统的即刻作用力所描述。随着时间的推移“一些新东西”在某尺度出现，且不能由运动的等式所说明。一个涌现的属性也不能明确由初始和边界条件所表征。简而言之，当下层系统释放一些效应到它的创建中则一个属性涌现。

YMZ：“一些新东西”是最平凡的定义，还是要补充出来作者对涌现后面两层的定义，并体现出它层层递进的关系。像木星的红斑跟蚁群在作者那里就不是同一个层次的涌现。

LHF：如果能对涌现层次化最好，从计算视角入手的话，看怎么联系二者。也感谢提供木星的红斑跟蚁群分属不同层次的涌现，这些还请多讨论和交流。

YMZ：首先先改这个问题吧，着重看1.2节的结尾部分的总结。

LHF：文献中1.2节的结尾总结得很精彩，集智俱乐部公众号《涌现的种类与形式》写得也很好，可以看作是从复杂性角度考察所有系统的一本手册。我需要再理解一下作者那里涌现的表现含义，至少“计算力学”的离散性难以考察所有系统。

YMZ：《涌现的种类与形式》不用在这里提，先把计算力学的东西讲出来。可以先把原文的段落翻译放在这里，然后思考怎么把它用我们自己的语言衔接上。现在我一直看不到学习推进的过程。

LHF：非常抱歉学习进程落后了。表达一下个人想法：直接把原文的段落翻译放在这里，也是一种表述。但原文视角跳变很厉害，比如层次1的涌现是：直觉上的涌现的定义“一些新颖的东西出现”，如果要严格化，新颖的东西必定得有指标，要不就是纯概念。层次2的视角是观察者（an observer），层次3是系统“the system”，不太容易跟上作者的思路。图片1又是智能体的视角下的环境。我觉得我们还是要尽力把他们梳理清楚。想清楚了我会尝试在页面进行修改，谢谢大家的建议。

LHF：原本看不出作者分类涌现的维度，一种处理方法是，先在计算力学里，认为一类斑图和现象（Pattern and Phenomenon）就是涌现。原文用我们自己的语言，认为是相对智能体来说，涌现对智能体和环境影响的三个阶段，也可能是原作者写作时的潜意识，应该是说得通的。不然假设有“涌现”的判别工具，“新颖的东西”当成层次一来理解，就是先入为主，如果属于层次一，结果判别工具输出为假，那层次一也就不存在的。呈现为上。

LHF：原作者使用原语言进行描述，我们用自己的语言的话，可以激发自己一把，把“对齐”当成自己的追求，也是进一步严格化形式化计算力学的必经步骤。使用我们的语言对齐后，“涌现”的层次为“直觉涌现”、“斑图涌现/构型”、“内在涌现”。

YMZ：作者这里要表达的意思应该没有那么复杂。对于第一层，只要有特征出现就算，比如质心，就是很trivial的。然后第二层和第三层现在没分开，第二层是外在观察者的视角，第三层才有agent的视角。另外我觉得agent翻译为“主体”是不是更好。前两层不用严格定义，都是给第三层做的铺垫。

* 智能体捕捉到这个新的现象，并能从动力系统的斑图构型（Pattern formation）中识别这种特定现象。例子有智能体能分析地震波的振幅和波长；

YMZ：这就是上一条我评论所指的。这里应该是外在的观察者以某种编码方式在观察，而不是智能体如何如何

LHF：第一层实打实，第二、三层有活性，有内外。铺垫下来，第三层能成就主体。

LHF：暂且不说其他<ref name="type-emerge">Jochen Fromm. Types and Forms of Emergence. Distributed Systems Group, Electrical Engineering & Computer Science, Universität Kassel, Germany. Mon, 13 Jun 2005</ref>，单说这篇<ref name="calculi-emerge">James P. Crutchfield. The Calculi of Emergence: Computation, Dynamics, and Induction. SFI 94-03-016. 1994</ref>，宇宙间完全的平衡态，则宏观上无法出新。能形成质心，说明质量出现了，这就很赞。而已知光子没有静止质量，所以将你的质子与光子耦合，或许能到第二层，即观察者（能量？）出现了（appear)？。

YMZ：质心是个例子，换成其他的属性求一个均值或者方差都可以。在我看来这个地方不需要高阶的物理知识。

LHF：均值和方差就属于概率论了，均质贝努利想必有办法。

* 现象的计算视角

YMZ：现在小标题划分的依据是什么？后面两个小标题出现在这里不太合适。

LHF: 小标题只是用于加强背景。三段论式过渡到因果态需要<math>10^2</math>倍信心。

LHF：相应内容已修改，难为情地提拔词条高度。集智百科面向的读者，科学文化素养在我之上，层次间貌似存在真空。有诗为鉴：口头语言不饶人，肢体不适勿烦扰。思想意识不进阶，淘汰机制少不了。

* 在牛顿力学提出以后，...... 这时往往需要借助新的科技手段，来对这些模式进行深入研究，发现其潜在的原理和规律。

YMZ：这两段话作用是什么？可以略写。

LHF：想引入复杂科学和因果科学。牛顿力学中，物理运动的变化，来源于力的作用，或者相反。通常认为牛顿定律不涉及解释跨层级的现象，然后力是路程对时间的二阶导数，我个人还在深入理解导数（微积分）是否跨层级。毕竟导数一种表达是无穷小/无穷小的极限存在，然后忽略更高阶无穷小。

YMZ：主要是说明需要多尺度建模是吧，可以只用一两句话引入这一点

YMZ：这些我没删评论的地方记得还要改哦。

* 一般对涌现现象定义为不能简单归结为元素间的相互作用力，而需要从对应层面来描述的现象，认为是涌现。

YMZ：这样的句式不太好读，另外内容不准确，“对应层面”是谁和谁对应呢？

LHF：句式确实要调整。“对应层面”涉及到如何来定义的问题，如果有观察者，则可建立视界面，物质/能量流穿过该视界面，转化成信息，这是一种理解方式。我们对观察者做个形式化：对高维对象，做低维映射，在低维的投影，只要不是完全随机，就有斑图（秩序）。

YMZ：这里的解释我没有看懂。可以先改一下前文的部分，然后尝试写一下这里如何跟前文衔接。

* 如果建立了促成这种涌现现象发生的机理的算法模型，则细化为因果涌现，是随附了宏观动力学的一类涌现。

YMZ：这句话对一般读者来说太难理解了，读这个词条的读者可能完全不知道什么是因果涌现。这句话似乎暗示因果涌现是涌现现象的一种，但其实因果涌现是量化涌现的一个手段和理论框架。另外，“随附”这个词作为哲学词汇出现也不常用

LHF：因果涌现可以是量化涌现的手段和理论框架，但“因果力”这些概念我再看看是否包含其中。我是在读书会到听到“随附”这个词，是个哲学词汇的话确实可以不用在词条里。

YMZ：不管是因果涌现还是因果力，这些概念提出来的时候一定要解释的。在保证内容全面的同时，我们要尽可能写的简洁，尤其是问题背景这部分，抽象概念越少越好。

* 这种涌现往往比微观层面更强

YMZ：是想说“宏观层面的动力学因果效应比微观层面的更强”？像这样的句子缺失成分就不容易理解。

LHF：可以做这些补充。

YMZ：你直接补充上然后删掉讨论即可。其他地方同理，我看到讨论被删除就会去看正文，然后给新的反馈。

LHF：“问题背景”页面已做大量删减，讨论在继续。虽然我们不用咬文嚼字，但作为初学者仍需请教。“计算力学”词汇有“计算”和“力学”，“计算”可以认为是二值离散运算；而“力学”按《The Calculi of Emergence》的说明，是离散系统动力学，而不是连续系统动力学。因此，会困惑对时间的二阶导这种方法，不知能不能在计算力学中使用。所以作为初学者，会去关注离散/连续动力学系统。也请大伙多谅解。

* 在Erik Hoel的理论框架中，用有效信息EI来度量因果涌现效应的强弱。

YMZ：不建议在“问题背景”里就提因果涌现，可以后面立一个小节谈计算力学和因果涌现的关系。

LHF：“问题背景”我再把握一下，毕竟“计算力学”涵盖的内容很多，所解决的问题也比较广泛。

YMZ：同上，“问题背景”要好读易懂。

* 在计算力学框架中，则在某些层面将“新颖”就归结为“涌现”

YMZ：在这个框架里，涌现不只是“新颖”

LHF：涌现如果是要通过粗粒化、低维投影、观察者效应来形成，则不同的“效应器”会形成不同的“涌现”。“计算力学”框架里，应该能做出不同的映射/效应器。

* 自然界中（Nature）或宇宙（Prototype Universe）中总是处在不断变化之中，这也是相对的......

YMZ: 到这一段少一个过渡，以及这一段也很难理解，我没有看太懂。

LHF：星系轨道和木星大红斑，是随时间变化的。但如果高度抽象到薛金鑫老师讲的那个程度，整个宇宙过程属于确定的，那甚至可以没有时间，只有能量。我们应该不用编写这方面内容。

* 这个过程本身从定性上来讲，也是一种涌现现象。

YMZ：这应该不是作者的本义，关键在于主体内部对世界的建模有没有捕捉到pattern

LHF：有些文章读着读着，很容易将pattern的概念泛化得太厉害，我看怎么能收敛一些。

* 有关的文献将极大的环境称为宇宙，其下是环境和智能体。

YMZ：直接用“系统”、“环境”、“主体”来指称就可以了。

LHF：我先理解一下。

=统计复杂度=

* 柯式复杂度是大家公认的复杂度度量方法

YMZ：可以说是“公认最符合直觉的复杂度度量方法”

LHF：谢谢补充。

* 定义是一个字符串s对于通用图灵机U的柯尔莫哥洛夫-蔡汀(Kolmogorov-Chaitin)复杂度定义为输出该字符串s的最短程序p的二进制长度。

YMZ：句子有问题。

LHF：感谢意见，确实要改得通顺一些。

* 针对K式复杂度的主要评论是它高度依赖编程语言的选择。

YMZ：讲柯氏复杂度的时候要围绕它和计算力学的关系，包括下面的内容也要注意

LHF：还要想办法理解好“柯氏复杂度”，在“计算力学”词条要注意把握好二者的关联关系。柯氏复杂度阅读过相关文献自然知道一些，计算力学按James P. Crutchfield的想法，则是来自统计，通往内在结构。拿地球举例的话，地壳、地幔……，非常值得深究。非常感谢您提醒我们要注意，要花精力去钻研好每一点和每一种关系。

* 这里的对应于因果涌现量化（有效信息EI），统计复杂度越小，有效信息EI越大。

YMZ：这是为啥？

LHF：计算力学和因果涌现，除开过份纠结的历史，最终都可以落实为优化目标。《因果涌现》框架找到了“有效信息EI”这个目标，越大越有优势。而《计算力学》框架找到了“因果态”，目标函数表现为“统计复杂度最小”。当然了，各自都有另外的优势，只是限于篇幅，丝绸之路再行展开。

=因果态=

* For all R and all L；<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>

YMZ：这地方还是没有改准确。我直接在正文里改了性质（1）和性质（2）的表述，你可以参照一下然后改一下最小随机性的表述。

* <math>\mathcal{S} </math>

YMZ：这个符号和一般的<math>S</math>的区别是什么？我在词条里没看见有描述它们之间的关系，还是说它们可以统一成一个符号？

=多层模式重构机器=

YMZ：这个地方那个表格要讲解一下，不然读者大概率不知道要怎么看

2024-09-10T08:14:02Z

涌现仿真：/* 问题背景 */ 三段论

2024-09-09T23:26:24Z

涌现仿真：/* 问题背景 */ 人生是一条长河

请大家把词条撰写的方法发表在这里。

=问题背景=

* 涌现通常被理解为一个引导结构出现的过程，该过程不能直接由定义约束和控制系统的即刻作用力所描述。随着时间的推移“一些新东西”在某尺度出现，且不能由运动的等式所说明。一个涌现的属性也不能明确由初始和边界条件所表征。简而言之，当下层系统释放一些效应到它的创建中则一个属性涌现。

YMZ：“一些新东西”是最平凡的定义，还是要补充出来作者对涌现后面两层的定义，并体现出它层层递进的关系。像木星的红斑跟蚁群在作者那里就不是同一个层次的涌现。

LHF：如果能对涌现层次化最好，从计算视角入手的话，看怎么联系二者。也感谢提供木星的红斑跟蚁群分属不同层次的涌现，这些还请多讨论和交流。

YMZ：首先先改这个问题吧，着重看1.2节的结尾部分的总结。

LHF：文献中1.2节的结尾总结得很精彩，集智俱乐部公众号《涌现的种类与形式》写得也很好，可以看作是从复杂性角度考察所有系统的一本手册。我需要再理解一下作者那里涌现的表现含义，至少“计算力学”的离散性难以考察所有系统。

YMZ：《涌现的种类与形式》不用在这里提，先把计算力学的东西讲出来。可以先把原文的段落翻译放在这里，然后思考怎么把它用我们自己的语言衔接上。现在我一直看不到学习推进的过程。

LHF：非常抱歉学习进程落后了。表达一下个人想法：直接把原文的段落翻译放在这里，也是一种表述。但原文视角跳变很厉害，比如层次1的涌现是：直觉上的涌现的定义“一些新颖的东西出现”，如果要严格化，新颖的东西必定得有指标，要不就是纯概念。层次2的视角是观察者（an observer），层次3是系统“the system”，不太容易跟上作者的思路。图片1又是智能体的视角下的环境。我觉得我们还是要尽力把他们梳理清楚。想清楚了我会尝试在页面进行修改，谢谢大家的建议。

LHF：原本看不出作者分类涌现的维度，一种处理方法是，先在计算力学里，认为一类斑图和现象（Pattern and Phenomenon）就是涌现。原文用我们自己的语言，认为是相对智能体来说，涌现对智能体和环境影响的三个阶段，也可能是原作者写作时的潜意识，应该是说得通的。不然假设有“涌现”的判别工具，“新颖的东西”当成层次一来理解，就是先入为主，如果属于层次一，结果判别工具输出为假，那层次一也就不存在的。呈现为上。

LHF：原作者使用原语言进行描述，我们用自己的语言的话，可以激发自己一把，把“对齐”当成自己的追求，也是进一步严格化形式化计算力学的必经步骤。使用我们的语言对齐后，“涌现”的层次为“直觉涌现”、“斑图涌现/构型”、“内在涌现”。

YMZ：作者这里要表达的意思应该没有那么复杂。对于第一层，只要有特征出现就算，比如质心，就是很trivial的。然后第二层和第三层现在没分开，第二层是外在观察者的视角，第三层才有agent的视角。另外我觉得agent翻译为“主体”是不是更好。前两层不用严格定义，都是给第三层做的铺垫。

* 智能体捕捉到这个新的现象，并能从动力系统的斑图构型（Pattern formation）中识别这种特定现象。例子有智能体能分析地震波的振幅和波长；

YMZ：这就是上一条我评论所指的。这里应该是外在的观察者以某种编码方式在观察，而不是智能体如何如何

LHF：第一层实打实，第二、三层有活性，有内外。铺垫下来，第三层能成就主体。

LHF：暂且不说其他<ref name="type-emerge">Jochen Fromm. Types and Forms of Emergence. Distributed Systems Group, Electrical Engineering & Computer Science, Universität Kassel, Germany. Mon, 13 Jun 2005</ref>，单说这篇<ref name="calculi-emerge">James P. Crutchfield. The Calculi of Emergence: Computation, Dynamics, and Induction. SFI 94-03-016. 1994</ref>，宇宙间完全的平衡态，则宏观上无法出新。能形成质心，说明质量出现了，这就很赞。而已知光子没有静止质量，所以将你的质子与光子耦合，或许能到第二层，即观察者（能量？）出现了（appear)？。

* 现象的计算视角

YMZ：现在小标题划分的依据是什么？后面两个小标题出现在这里不太合适。

LHF: 小标题送给研究中心的人们，因为进了研究中心背景肯定是很深远的。阅读集智百科还是有门槛的，门槛在于今天得有个三五斗。下月能保证每天有个三五斗吗？作为有点恍惚的我没法作答。所以小标题划分的依据就是，你得能从现象到本质，再到计算，否则另寻他途。自动忽略背景的同学，应当能数到100，不然今晚没鱼吃。好，划分依据先介绍到这里，请各位继续讨论。

* 在牛顿力学提出以后，...... 这时往往需要借助新的科技手段，来对这些模式进行深入研究，发现其潜在的原理和规律。

YMZ：这两段话作用是什么？可以略写。

LHF：想引入复杂科学和因果科学。牛顿力学中，物理运动的变化，来源于力的作用，或者相反。通常认为牛顿定律不涉及解释跨层级的现象，然后力是路程对时间的二阶导数，我个人还在深入理解导数（微积分）是否跨层级。毕竟导数一种表达是无穷小/无穷小的极限存在，然后忽略更高阶无穷小。

YMZ：主要是说明需要多尺度建模是吧，可以只用一两句话引入这一点

YMZ：这些我没删评论的地方记得还要改哦。

* 一般对涌现现象定义为不能简单归结为元素间的相互作用力，而需要从对应层面来描述的现象，认为是涌现。

YMZ：这样的句式不太好读，另外内容不准确，“对应层面”是谁和谁对应呢？

LHF：句式确实要调整。“对应层面”涉及到如何来定义的问题，如果有观察者，则可建立视界面，物质/能量流穿过该视界面，转化成信息，这是一种理解方式。我们对观察者做个形式化：对高维对象，做低维映射，在低维的投影，只要不是完全随机，就有斑图（秩序）。

YMZ：这里的解释我没有看懂。可以先改一下前文的部分，然后尝试写一下这里如何跟前文衔接。

* 如果建立了促成这种涌现现象发生的机理的算法模型，则细化为因果涌现，是随附了宏观动力学的一类涌现。

YMZ：这句话对一般读者来说太难理解了，读这个词条的读者可能完全不知道什么是因果涌现。这句话似乎暗示因果涌现是涌现现象的一种，但其实因果涌现是量化涌现的一个手段和理论框架。另外，“随附”这个词作为哲学词汇出现也不常用

LHF：因果涌现可以是量化涌现的手段和理论框架，但“因果力”这些概念我再看看是否包含其中。我是在读书会到听到“随附”这个词，是个哲学词汇的话确实可以不用在词条里。

YMZ：不管是因果涌现还是因果力，这些概念提出来的时候一定要解释的。在保证内容全面的同时，我们要尽可能写的简洁，尤其是问题背景这部分，抽象概念越少越好。

* 这种涌现往往比微观层面更强

YMZ：是想说“宏观层面的动力学因果效应比微观层面的更强”？像这样的句子缺失成分就不容易理解。

LHF：可以做这些补充。

YMZ：你直接补充上然后删掉讨论即可。其他地方同理，我看到讨论被删除就会去看正文，然后给新的反馈。

LHF：“问题背景”页面已做大量删减，讨论在继续。虽然我们不用咬文嚼字，但作为初学者仍需请教。“计算力学”词汇有“计算”和“力学”，“计算”可以认为是二值离散运算；而“力学”按《The Calculi of Emergence》的说明，是离散系统动力学，而不是连续系统动力学。因此，会困惑对时间的二阶导这种方法，不知能不能在计算力学中使用。所以作为初学者，会去关注离散/连续动力学系统。也请大伙多谅解。

* 在Erik Hoel的理论框架中，用有效信息EI来度量因果涌现效应的强弱。

YMZ：不建议在“问题背景”里就提因果涌现，可以后面立一个小节谈计算力学和因果涌现的关系。

LHF：“问题背景”我再把握一下，毕竟“计算力学”涵盖的内容很多，所解决的问题也比较广泛。

YMZ：同上，“问题背景”要好读易懂。

* 在计算力学框架中，则在某些层面将“新颖”就归结为“涌现”

YMZ：在这个框架里，涌现不只是“新颖”

LHF：涌现如果是要通过粗粒化、低维投影、观察者效应来形成，则不同的“效应器”会形成不同的“涌现”。“计算力学”框架里，应该能做出不同的映射/效应器。

* 自然界中（Nature）或宇宙（Prototype Universe）中总是处在不断变化之中，这也是相对的......

YMZ: 到这一段少一个过渡，以及这一段也很难理解，我没有看太懂。

LHF：星系轨道和木星大红斑，是随时间变化的。但如果高度抽象到薛金鑫老师讲的那个程度，整个宇宙过程属于确定的，那甚至可以没有时间，只有能量。我们应该不用编写这方面内容。

* 这个过程本身从定性上来讲，也是一种涌现现象。

YMZ：这应该不是作者的本义，关键在于主体内部对世界的建模有没有捕捉到pattern

LHF：有些文章读着读着，很容易将pattern的概念泛化得太厉害，我看怎么能收敛一些。

* 有关的文献将极大的环境称为宇宙，其下是环境和智能体。

YMZ：直接用“系统”、“环境”、“主体”来指称就可以了。

LHF：我先理解一下。

=统计复杂度=

* 二值计算

YMZ：为什么要写这一小节呢？

LHF：如果严格连贯，还是得从计算入手。“The Calculi of Emergence”中的“Calculi”也可理解为“积分”或“计算”。涌现的话题确实很诱人，二值计算则难免落入俗套。所以在写法在也可以讲究一点创新，这个还请在座的各位多多努力。

==柯氏复杂度==

* 柯式复杂度是大家公认的复杂度度量方法

YMZ：可以说是“公认最符合直觉的复杂度度量方法”

LHF：谢谢补充。

* 定义是一个字符串s对于通用图灵机U的柯尔莫哥洛夫-蔡汀(Kolmogorov-Chaitin)复杂度定义为输出该字符串s的最短程序p的二进制长度。

YMZ：句子有问题。

LHF：感谢意见，确实要改得通顺一些。

* 针对K式复杂度的主要评论是它高度依赖编程语言的选择。

YMZ：讲柯氏复杂度的时候要围绕它和计算力学的关系，包括下面的内容也要注意

LHF：还要想办法理解好“柯氏复杂度”，在“计算力学”词条要注意把握好二者的关联关系。柯氏复杂度阅读过相关文献自然知道一些，计算力学按James P. Crutchfield的想法，则是来自统计，通往内在结构。拿地球举例的话，地壳、地幔……，非常值得深究。非常感谢您提醒我们要注意，要花精力去钻研好每一点和每一种关系。

=因果态=

* 因果态的主要性质

YMZ：这里的性质最好都给个命名，分的清楚一些。另外在数学的表述上还不严谨，要严格地按照原文中对定理的描述来。

YMZ：这个改完可以继续往下写epsilon机器

* 用公式表示为<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的条件熵。

YMZ：这里没有说清楚。这个<math>\mathcal{R}</math>是存在一个<math>\mathcal{R}</math>满足后面的不等式，还是任意的一个<math>\mathcal{R}</math>满足后面的不等式？对于定理的描述要注意这种数学语言的表达。对于原文中出现的正式的定理或引理最好就直译，因为基本每个单词都是有用的。

计算力学

2024-09-09T06:27:26Z

涌现仿真：/* 复杂度理论 */ 将大、小标题改得更具体

'''计算力学（Computational Mechanics）'''是一套数学框架，试图从历史序列的形态（Morph）系综中寻找、总结规律，并预测未来。“寻找、总结规律、预测未来”属于“智能活动”的一种，在许许多多的“智能活动”背后又有着潜在的更一般的规律。潜在的一般的规律，往往来源于对微观态进行[[粗粒化]]形成宏观态的[[因果涌现]]。计算力学从信息论出发，采用计算的视角，定义出模式，因果态，各态之间的转换等重要概念，并最终将“智能”抽象为支持通用计算的ϵ-机器。ϵ-机器被有关学者从理论上证明，有着宏观态上的信息封闭性和计算封闭性，可以展现出极大的预测能力和极小的复杂性。ϵ-机器有序对的因果态对所有长度未来<math>\overset{\to}{S}</math>而言还有着强同质性（Strict Homogeneity of Causal States）。

== 问题背景 ==

=== 自然和社会现象 ===

[[文件:蚊群-杨明哲-202409011.png|无框]][[文件:集智公众号图片 20240901071124.gif|无框|344x344像素]] [[文件:真实生物群落图片-计算力学词条 2024090612.jpg|替代=生物群落图片-计算力学词条|无框|238x238像素]]

[[复杂系统]]的涌现问题由来已久<ref name=":0">James P. Crutchfield, Karl Young. Inferring Statistical Complexity. PHYSICAL REVIEW LETTERS, VOLUME 63, NUMBER 2. 10 JULY 1989</ref><ref name=":1">James P. Crutchfield. The Calculi of Emergence: Computation, Dynamics, and Induction. SFI 94-03-016. 1994</ref><ref name=":2">James E. Hanson, James P. Crutchfield. Computational Mechanics of Cellular Automata: An Example. SFI WORKING PAPER: 1995-10-095</ref><ref name=":3">Cosma Rohilla Shalizi, James P. Crutchfield. Computational Mechanics: Pattern and Prediction, Structure and Simplicity. February 1, 2008</ref>。最吸引人的和使人迷惑的自然模式是那些在高度结构化的联合行为随着时间涌现于简单子系统的交互。鸟群以步调一致地形式飞行，鱼儿在没有领头带领以连贯的序列群组流转并突然共同转向的方式游动。蚊群形成复杂的社会，生存继承自特异化的社会分工。几个世纪前，木星大气中五彩斑斓的混沌运动形成了被称之为“大红斑”的巨大漩涡，至少已存在二百到三百五十年，期间还在不断地改变颜色和形状。

这些观察构成直观的涌现定义,为了让它更可用，得有人说明“那些东西”是什么，并且它“新”在哪里。否则，表述就不够详细，甚至有些空洞。普通的机制能引导多样现象的涌现吗？同时代的科学和数学能提供什么语言去精确地描绘这些系统中涌现的不同组织？

=== 现象的计算视角 ===

我们取智能体对环境的适应度为指标，可将绝大多数智能活动整理出层次性，数理和逻辑，从而纳入科学研究<ref name="type-emerge">Jochen Fromm. Types and Forms of Emergence. Distributed Systems Group, Electrical Engineering & Computer Science, Universität Kassel, Germany. Mon, 13 Jun 2005</ref>对应的数学框架，进而使其和环境共同演化。在计算力学的宇宙模型里，'''现象（Phenomenon）'''相对于智能体的来说有三个层次：

#'''直觉涌现(Intuitive emergence)'''。系统中已经发生相对智能体来说之前没有建立内部结构的现象，也是“新颖的”。例子有对一个智能体来说，环境中首次发生地震；
#'''斑图涌现(Pattern emergence)'''。智能体捕捉到这个新的现象，并能从动力系统的'''斑图构型（Pattern formation）'''中识别这种特定现象。例子有智能体能分析地震波的振幅和波长；
#'''内在涌现（Intrinsic emergence）'''。具有识别和建立现象对应结构的智能体，组成新的环境，使得系统出现新的秩序，就达到了内在涌现层次。例子有智能体能通过地震分析出环境的一些结构信息；

只有达到了层次3，现象才进入'''内在涌现'''环节，融入到环境并得到保持，否则只是随机扰动。

智能体对三个层次的涌现，使用相应量化方法和计算机理论模型，以及机载的实际计算设备，进行计算模型建立。理论上已经证明图灵机具有通用图灵机的计算能力，且与[[元胞自动机]]的计算能力等价。这些计算能力包括算术方法和数理逻辑。

使用适当的假设和划分方法，在科学领域也称为[[映射]]，在[[复杂科学]]里一种特殊的映射可以称为[[粗粒化]]，能够获取一定程度上计算的下列特性：

* 封闭（完备）性。
* 一致性。

智能体一旦完成计算的封闭（完备）性和一致性的建立，那么对现象的分析就达到了基本的科学研究阶段，能建立相应的科学理论体系，进入动力系统的范畴。而如果要形成计算视角下的内在涌现，则还要面向复杂问题，建立多层次的理论。

=== 计算复杂性 ===

实际的科研课题，往往具有以下特征和性质：

* 非常长的输入和输出，但仍然有限；
* 理论上有无限长的历史和未来；
* 确定性系统也会引发混沌；
* 系统存在可遍历和不可遍历的区分；
* 无限长序列也存在数量上的大小关系；
* [[拯救2050]][[奇点]]临近。

这些课题转换为计算问题，则带有相当的复杂度，需要专门的计算复杂度理论加以研究。计算复杂度理论属于[[复杂系统]]理论一个分支，在复杂系统当中，对应的研究还有[[复杂网络]][[超图]]等相关领域，各个领域都对所研究的课题准备了相应的分析和量化方法。计算力学在大量借助这些成熟的科学方法上，进行了相应的优化方法制定。

==复杂度量化==

=== 计算复杂度 ===

计算复杂度也可认为是算术复杂度，理论上可以简化到二值计算。二值是符号里的0和1，是计算学所用的基本单位。通过组合0和1可以形成复杂的数学和逻辑，以及加入编解码器形成字符串。计算力学将经典[[复杂科学]]理论的部分核心“将自然过程二分为秩序和噪声”吸收了进来，也是相关文献<ref name=":1">James P. Crutchfield. The Calculi of Emergence: Computation, Dynamics, and Induction. SFI 94-03-016. 1994</ref>提到的创新方式。即我们可以利用[[复杂科学]]的粗粒化方法，将隐藏在自然现象中的过程压缩到极简的秩序（order，符号0）和随机（randomness，符号1），然后制定相应的运算法则，就能完成一种二值计算系统的建立，有兴趣的读者可以参阅[[布尔代数]]的相关内容。

在人工环境中使用二分法时，原始的随机过程，经过一定程度的累积，依赖于具体的粗粒化方法，有可能会呈现出一定的分布，导致计算复杂性的出现。这种计算复杂性经过抽象和形式化，使用不同的实体和规则，能形成不同的复杂度度量方法。

===柯式复杂度===

[[柯式复杂度]]是大家普遍公认的复杂度度量方法，在Jean-Paul Delahaye和Hector Zenil对复杂系统量化方法研究的工作中<ref name=":5">Jean-Paul Delahaye, Hector Zenil. Towards a stable definition of Kolmogorov-Chaitin complexity. Fundamenta Informaticae XXI 1–15. 2008</ref>，认为最天然的计算设备的模型需要有一定的表达能力，并定义一个字符串s对于通用图灵机U的'''柯尔莫哥洛夫-蔡汀(Kolmogorov-Chaitin)复杂度'''<math>K_{u}(s)</math>为输出该字符串s的最短程序p的二进制长度。

<math>
K_{u}(s) = min\{\lvert p \rvert, U(p) = s \}
</math>

下标u是对应通用图灵机的代号，U是运行程序p的通用图灵机的实体。

为提高通用性，忽略各图灵机之间的差异，将柯氏复杂度定义进一步定义为：

<math>
K(x) := C_m(x) = min\{ \lvert \lang M,w \rang \rvert: 通用计算机M在输入w时停机并输出x \}
</math>

按照前式标准化为：

<math>
K(x) := C_m(x) = min\{ \lvert \lang M,w \rang \rvert: M(w) = x \}
</math>

这里的w等于前式的p，即输出x的程序源代码字符串。x等于前式的s，即待输出的字符串。

在文献<ref name=":5">Jean-Paul Delahaye, Hector Zenil. Towards a stable definition of Kolmogorov-Chaitin complexity. Fundamenta Informaticae XXI 1–15. 2008</ref>中确定柯式复杂度的定义时，使用了两种不同的计算模型：
* 确定性图灵机（deterministic Turing machines (TM)）。能够模拟神经元，一般以串行方式运行代码。
* 一维元胞自动机（CA）。以并行方式同时更新单个时间步上的所有元胞。
做了计算性能的比较，实验结果显示两者有着很强的相互关联，而且两者均可将输出字符串构成支持反转和补余操作的对称群。

柯式复杂度的主要注解包括因为停机问题而导致的不可计算性，以及它高度依赖编程语言的选择。虽然柯式复杂度有上述问题，但仍能揭示计算和模拟的本质。不同的计算模型形成了复杂度的分水岭，又来到常量E的一处浅滩：

定理：总能找到一个常量E，对于任意的字符串s，两种计算模型U1和U2的柯式复杂度满足：

<math>
\lvert K_{U_1}(s) - K_{U_2}(s) \rvert < E
</math>

即，在误差条件E以内，有程序P能让计算模型U1模拟U2，智能体能借助程序P沿着复杂度的沟壑通向2050。

===统计复杂度===

定义及符号<math>C_{μ}</math>

下标μ依赖于测度和分布，同柯式复杂度<math>C_{u}</math>的下标u含义不完全相同，对应的计算模型M的分类和分布，也依赖于具体的理论实现。

统计复杂度可用于线性系统的[[复杂性]]量化，也可用于非线性动态系统中复杂系统[[因果涌现]][[复杂性]]的量化。香农熵基于概率分布，但对于确定性混沌却有些不足，统计复杂度则能量化宏观态上出现的确定性混沌。

统计复杂度（statistical complexity）是复杂系统深度的量化方式之一，用<math>C_{\mu}</math>符号来表示。其中μ依赖于测度和分布。跟统计力学中的量化理论有关，基于测度系统的定义。在部分混沌物理学的文献中，也被记作α。

在1989年《Inferring Statistical Complexity》<ref name=":0"></ref>这篇文献里，复杂度的阶次符号为α，在2001年文献<ref name=":3"></ref>中的符号为μ，这里我们统一使用μ。

μ-阶图复杂度

μ-阶图复杂度即为μ-阶图的概率算术复杂度，<math>C_{μ=0}=\log \lvert \mathbf{V} \rvert</math>。其中<math>\mathbf{V}</math>为μ-阶图的顶点集合。

在集智俱乐部的《因果涌现读书会》[[因果几何]]上，会对连续系统的因果涌现做更详细的介绍，有兴趣的可以参考下。

0-阶图复杂度(<math>C_{μ=0}</math>)和蔡汀-柯尔莫哥洛夫复杂度不同，0-阶图复杂度带有概率分布且依赖带有随机整数寄存器的图灵机。

μ-阶图复杂度（<math>C_{μ}</math>）是区别于信息论的量化复杂度的方法，后者基于维度<math>d_μ</math>和熵<math>h_μ</math>。

拓扑复杂度

当μ-阶图复杂度的μ为零时，μ-阶图复杂度也称为拓扑复杂度。由ϵ-机器的特征值给出。

统计复杂度

μ-阶图复杂度的μ = 1时，复杂度的量化方式为统计复杂度，带有热力学的“高温限制”。这里的统计复杂度也是1-阶图复杂度，即为香农熵。由ϵ-机器的物征向量给出。
统计复杂度（statistical complexity）是复杂系统深度的量化方式之一，用<math>C_{\mu}</math>符号来表示。这里的对应于因果涌现量化（有效信息EI），统计复杂度<math>C_{\mu}</math>越小，有效信息EI越大。

统计复杂度的下界，从周期行为和频段耦合中得出，是带二阶项的相位转换。

=== 复杂度目标 ===

经过演化，因果链能形成形式上的闭环，这里闭环在后文的因果态里，是指因果态在所有有效态中，统计复杂度最小等特征和属性。在管理学中，类似于使用组织行为学的知识，构建特定的反应链，从而完成特定目标。

几乎所有时间相关系统，经过复杂度的划分和优化，能展现出涌现属性。

==因果态==

===因果态的定义===

在计算力学中，宇宙被视为一个确定性动力系统（DS），即使规则和初始条件是确定的，随着规模的增长，系统也会变得极为复杂。由于系统内的智能体（Agent）的计算资源有限，无法测量和预测其内外部环境的所有行为，这些不能预测的部分对智能体来说就相当于是随机扰动，所以智能体被视为一个随机动力系统（SDS）。智能体试图构建和维持一个对其环境具有最大预测能力的内部模型，以提高其自身对环境的适应性和生存能力。

智能体对外部环境的测量精度一般都是有限的，测量结果只能描述外部环境的“模糊状态”，智能体需要对测量结果粗粒化后才能识别“模糊状态”中的模式。若将测量对象过去未来的所有信息视为限制在离散值、离散时间上的稳定[[随机过程]]，用双无限序列可数集合<math>\overleftrightarrow{S}=⋯s_{-2} s_{-1} s_0 s_1 s_2…</math>表示，则测量结果为<math>\overleftrightarrow{S}</math>中任意随机变量的序列。基于时间<math>t</math>可以将<math>\overleftrightarrow{S}</math>分为单侧前向序列<math>s_t^→=s_t s_{t+1} s_{t+2} s_{t+3}…</math>和单侧后向序列<math>s_t^←=⋯s_{t-3} s_{t-2} s_{t-1} s_t</math>两个部分，所有可能的未来序列<math>s_t^→</math>形成的集合记作<math> \overrightarrow{S}</math>，所有可能的历史序列<math>\overleftarrow{s_t}</math>形成的集合记作<math> \overleftarrow{S}</math>。

按照一定的划分方法（ partitioni）将<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>划分为若干个互斥且全面的子集，那么每个子集就是一个有效态（effective state），这些有效态的集合记作<math>\mathcal{R} </math>，划分方法可以是任意函数映射<math> η </math>，用公式表示为<math> \eta{:}\overleftarrow{S}\mapsto\mathcal{R}</math>，也可以将有效态理解为将<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>中的某段序列粗粒化后得到的宏观态。
[[文件:划分示意图.jpg|居中|400x400像素|替代=|无框]]
上图为某种划分方法的示意图，将集合<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>划分为某类有效态<math> \mathcal{R}=\{\mathcal{R}_i:i=1,2,3,4\}</math>，值得注意的是，<math> \mathcal{R}_i</math>不必形成紧致集，也可以是康托集或其他更特殊的结构，上图为了示意清楚才这样画的。

用来划分集合<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>的映射可以有很多种，若某一种划分方法能够在预测能力最强的同时消耗的计算资源最少，那么它肯定是最优的划分。为了找到这种最优的划分，需要定义因果态的概念，因果态就是智能体对测量结果进行处理后，根据其内部模型（尤其是状态结构）识别出的模式，并且这种模式不随时间发生变化。形式化定义为：对于任意的时间点<math>t </math> 和<math>t^{'} </math>，给定过去状态<math> s_t^← </math>的条件下，未来状态<math> s^→ </math>的分布与给定过去状态<math> s_{t^{'}}^← </math>的条件下，未来状态<math> s^→ </math>的分布相同。那么<math>t </math> 和<math>t^{'} </math>的关系就记作<math>t∼t^{'} </math>，“<math>∼ </math> ” 表示由等效未来状态所引起的等价关系，可以用公式表示为：<math>t∼t^{'} \triangleq Pr(s^→ |s_t^← )=Pr(s^→ |s_{t^{'}}^← ) </math>，若<math>t </math> 和<math>t^{'} </math>对未来状态预测的分布相同，则定义他们具有相同的因果态（casual state）。
[[文件:因果态的定义.jpg|居中|无框|400x400px|替代=]]
如上图所示，在<math>t_9</math>和<math>t_{13}</math>时刻分别对应一个状态，这两个状态处于相同的因果态，因为对未来的预测具有相同的分布；在<math>t_{11}</math>时刻的状态，则与<math>t_9</math>和<math>t_{13}</math>时刻处于不同的因果态。

===因果态的主要性质===
因果态是一种特殊的划分方法，它的划分函数记作<math>\epsilon</math>，公式为<math> \epsilon{:}\overleftarrow{S}\mapsto2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>，其中<math> 2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>是<math> \overleftarrow{S}</math>的幂集。根据因果态的定义，则存在如下关系：<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime})，\mathrm{for~all~}\overrightarrow{s}\in\overrightarrow{S},\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}\in\stackrel{\leftarrow}{S}\} </math>，其中<math>\mathcal{S} </math>为因果态的集合，<math>\stackrel{\leftarrow}{s} </math>为历史序列的随机变量，<math>\mathcal{S} </math>是<math>\mathcal{R} </math>的一种最优形式，因为<math>\mathcal{S} </math>的如下性质。

（1）最大预测性：因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的预测能力最强，用公式表示为<math>\textit{For all R and all L}\in\mathbb{Z}^+,H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的条件熵。它的证明过程如下：

<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}) </math>

<math>\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s} |\mathcal{S}=\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s}))=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}) </math>

<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}]~=~H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|~\stackrel{\leftarrow}{S}] </math>

<math>H[\stackrel{\to}{S}^L|\mathcal{R}] \geq H[\stackrel{\to}{S}^L|\stackrel{\leftarrow}{S}] </math>

<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>

（2）最小复杂度：在相同预测能力的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的统计复杂度最小，用公式表示为<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>，<math>\hat{\mathcal{R}} </math>与<math>\mathcal{S} </math>有同等的预测能力，满足<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\hat{\mathcal{R}}]=H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\mathcal{S}] </math>。

上文中已经介绍了柯式复杂度和统计复杂度的基本概念，如果<math>s^L </math>表示对过程的测量结果的前<math>L </math>个序列，那么它们之间的关系可以近似的表示为：

<math>K(s^L )≈C_μ (s^L )+h_μ L </math>

如果在已确定描述语言（程序）的情况下，柯式复杂度<math>K(s^L ) </math>可以理解为描述<math>s^L </math>所用的总信息量。

<math>h_μ </math>为香农熵率，是信息不确定性程度的归一化指标，信息的不确定性越高，香农熵率越大。<math>h_μ </math>在这里可以理解为误差率，则<math>h_μ L </math>为允许损失的随机信息量。

统计复杂度<math>C_μ (s^L ) </math>可以理解为允许存在误差率<math>h_μ </math>的情况下，描述<math>s^L </math>所用的最少信息量。

结合本条性质，求<math>C_μ (s^L ) </math>就是求<math>s^L </math>对应的因果态的统计复杂度，也就是说想要计算<math>C_μ (s^L ) </math>需要先找到<math>s^L </math>对应的因果态。

那么公式可以解释为：序列<math>s^L </math>的总信息量≈被归纳的因果态信息量+放弃归纳的随机信息量

（3）最小随机性：在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在有效态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小，用公式表示为<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，<math>\hat{\mathcal{R}} </math>满足<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\hat{\mathcal{R}}]=H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻有效态和下一时刻因果态。

用互信息的角度去理解的话，上式等价于<math>I(S^{\prime};S)\geq I(\widehat{R}^{\prime};\widehat{R}) </math>，可以理解为任意有效态对它自己下一时刻的互信息中，其中因果态的互信息最大，若不考虑Do干预，因果态和因果涌现理论中最大化有效信息所得到的宏观态意义相同。

若想更深入的理解因果态的性质可以阅读James Crutchfield的两篇论文<ref name=":0" /><ref>Shalizi, C. R.. & Crutchfield, J. P. (2001). Computational Mechanics: Pattern and Prediction, Structure and

Simplicity,Journal of Statistical Physics,104(3/4).817-879.</ref>，里面有因果态更多的性质和对应的形式化证明过程。

==模式重构机器==

智能体如何处理测量结果才能识别其中因果态呢？为了解决这个问题，计算力学建立了名为模式重构机器（ϵ-machine）的模型，它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪音后识别其中的因果态。模式重构机器的大小可以用统计复杂度衡量，它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，其中<math>T</math>为状态到状态映射的集合，满足<math>S_{(t+1)}=TS_t</math>，它类似于一个粗粒化后的宏观动力学。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>为两个因果态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果态转移概率映射，<math>T_{ij}^{(s)}\equiv\mathrm{P}(\mathcal{S}'=\mathcal{S}_j,\stackrel{\to}{S}^1=s|\mathcal{S}=\mathcal{S}_i)</math>。

ϵ-机器和图灵机不同，简单的图灵机是一种完全抽象的计算模型，它被实例化为冯·诺依曼架构，是现代计算机的理论模型。ϵ-机器可以通过和环境的互动，不断理解环境，更新自己的内秉属性，引入固定和随机变量而重构出来。

[[文件:无限ϵ-机器的有限字符生成器-202409051.png|替代=ϵ-机器的示意图|无框|349x349像素]]

无限判定厄普西隆机器（ϵ-machine）可以表征为有限版本，并通过后续章节的重构算法形成字符生成器。

==层次机器==

===多尺度===

层次机器由多层ϵ-机器构成，其中单层ϵ-机器停留在水平因果态。层次机器从特定视角来看，是ϵ-机器的一个变体，是垂直方向的因果态。

层次机器具有[[多尺度自动建模]]的能力。

===重构算法===

1. 在最低水平上，设定0级模型为描述数据本身，即M0=s1s2s3...；

2. 从更低模型重构模型Ml=Ml-1/~，其中~表示l级上的因果等价类；操作的含义是，在l-1级上被区别对待的状态在l级上可以被视为同一个因果态。此时S和T都更新了；

3. 收集更多的数据，增大序列长度L，得到更加精确的一系列模型Ml；

4. 如果随着L增大，模型的复杂度发散，即<math>\lVert M_l \rVert \to \infty</math>，那么回到第二步，得到更高级模型Ml+1；

5. 如果模型复杂度收敛，意味着重建好了一个合适的ϵ-机器，程序退出。

==实例==

===逻辑斯谛映射===

[[Logistic映射|逻辑斯谛（Logistic）映射]]求取迭代函数的极值，此极值可能呈现单周期、倍周期等现象。

===元胞自动机===

元胞自动机的复杂度的量化可使用0-阶图复杂度，即算术复杂度。

==参考文献==
<references />

==编者推荐==

计算力学和因果涌现关系密切，计算力学借鉴了因果涌现大量的概念、算法以及模型，并提出了因果态和统计复杂度概念和涌现的量化方法。下面是一些链接能够帮助读者更好的了解因果涌现的相关信息：

===因果涌现读书会===

*[https://campus.swarma.org/course/3110 因果涌现读书会简介]
读书会通过阅读前沿文献，加深我们对因果、涌现等概念的理解；聚焦于寻找因果与涌现、多尺度等概念相结合的研究方向；并探索复杂系统多尺度自动建模的研究方向。并探索复杂系统多尺度自动建模的研究方向。分享近期发展起来的一些理论与工具，包括因果涌现理论、机器学习驱动的重整化技术，以及自指动力学正在发展一套跨尺度的分析框架等。

*[https://pattern.swarma.org/study_group_issue/259 因果涌现读书会第二季]

涌现与因果的结合创造了因果涌现的概念。这是一套利用因果性来定量刻画涌现的理论体系，本季读书会通过阅读前沿文献，加深我们对因果、涌现等概念的理解；聚焦于寻找因果与涌现、多尺度等概念相结合的研究方向；并探索复杂系统多尺度自动建模的研究方向。第二季读书会更加集中在探讨因果科学与因果涌现之间的关系，以及对涌现进行定量刻画，聚焦于寻找因果与涌现、多尺度等概念相结合的研究方向；并探索复杂系统多尺度自动建模的研究方向。

*[https://pattern.swarma.org/study_group/28 因果涌现读书会第三季]

因果涌现第三季的读书会中，将进一步围绕因果涌现的核心研究问题『因果涌现的定义』以及『因果涌现的辨识』来进行深入的学习和讨论，对 Erik Hoel 提出的 Causal Emergence，Causal Geometry 等因果涌现的核心理论进行深入的探讨和剖析，并且详细梳理其中涉及到的方法论，包括从动力学约简、隐空间动力学学习等其他研究领域中学习和借鉴相关的研究思路，最后探讨因果涌现的应用，包括基于生物网络、脑网络或者涌现探测等问题展开扩展，发掘更多的实际应用场景。

===路径推荐===

*[https://pattern.swarma.org/study_group_issue/259 因果涌现第二季：13.计算力学：模式、预测、结构与简洁性]
*[https://pattern.swarma.org/study_group_issue/532 因果涌现第三季：5.计算力学：量化涌现的另一条路径]