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动力学平均场理论

2022-06-04T13:12:47Z

Bingyu Jiang：

此词条由神经动力学读书会词条梳理志愿者（Bingyu Jiang）翻译审校，带来阅读不便，请见谅。

'''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。

DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定晶格自能(lattice self-energy)是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。

DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。

==与平均场理论的关系==
DMFT对晶格量子模型的处理类似于平均场理论（MFT）对经典模型的处理，如Ising模型。在Ising模型中，晶格问题被映射到一个有效的单点问题上，其磁化是通过一个有效的 "平均场 "来重现晶格磁化。这个条件被称为自洽性条件。它规定，单点观测变量应该通过有效场来重现晶格的 "局部 "观测变量。虽然N-site Ising Hamiltonian很难分析解决（到目前为止，分析解决只存在于1D和2D情况下），但单点问题很容易解决。

同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math>。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==

= DMFT 映射 =
'''单轨道哈伯德模型'''

哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子场之间的相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：
:<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>
其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.

我们做了以下假设：

* 只有一个轨道对电子特性有贡献（如超导铜酸盐中的铜原子，其<math>d</math>-band是非退化的）。
* 轨道局部化，以至于只考虑到了近邻的跳跃 <math>t</math> 。

====辅助问题：安德森杂质模型====
在通常的微扰扩展技术下，哈伯德模型一般是难以解决的。DMFT将这个晶格模型映射到所谓的安德森杂质模型（AIM）。这个模型通过一个杂质函数描述了一个位点（杂质）与电子级 "浴 "的相互作用（由湮灭和创建算子 <math>a_{p\sigma}</math>和<math>a_{p\sigma}^{\dagger}</math>）。与我们的单点模型相对应的安德森模型是一个单轨道安德森杂质模型，在抑制一些自旋1/2处<math>\sigma</math>,时，其哈米尔顿公式为：
:<math>H_{\text{AIM}}=\underbrace{\sum_{p}\epsilon_p a_p^{\dagger}a_p}_{H_{\text{bath}}} + \underbrace{\sum_{p\sigma}\left(V_{p}^{\sigma}c_{\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}+h.c.\right)}_{H_{\text{mix}}}+\underbrace{U n_{\uparrow} n_{\downarrow}-\mu \left(n_{\uparrow}+n_{\downarrow}\right)}_{H_{\text{loc}}}</math>
其中
* <math>H_{\text{bath}} </math> 描述了bath的非相关电子水平 <math>\epsilon_p</math>
* <math>H_{\text{loc}}</math> 描述了杂质，其中 <math>U</math>为两个电子与能量交互成本
*<math> H_{\text{mix}}</math> 通过杂化项 <math>V_p^{\sigma}</math>描述杂质和bath之间的杂化（或耦合）

这个模型的 Matsubara Green 函数，定义为<math> G_{\text{imp}}(\tau) = - \langle T c(\tau) c^{\dagger}(0)\rangle </math>, 完全由参数 <math>U,\mu</math> 和所谓的杂交函数 <math> \Delta_\sigma(i\omega_n) = \sum_{p}\frac{|V_p^\sigma|^2}{i\omega_n-\epsilon_p}</math>确定, 它是<math>\Delta_{\sigma}(\tau)</math>的虚时间傅里叶变换。

这个杂化函数描述了电子跳入和跳出bath的动态。它应该重现晶格动力学，使杂质的格林函数与局部晶格格林函数相同。它与非相互作用的格林函数的关系是:
:<math>(\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n)=i\omega_n+\mu-\Delta(i\omega_n)</math> (1)

解决安德森杂质模型包括计算观测数据，例如对于给定的杂化函数 <math>\Delta(i\omega_n)</math> 和 <math> U,\mu</math>的相互作用格林函数。这是一个困难但并非难以解决的问题。存在一些解决AIM的方法，例如
* 数值重整化群
* 精确对角化
* 迭代微扰理论
* 非交叉近似
* 连续时间量子蒙特卡罗法算法

===自洽性方程===
自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:
:<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>
其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示晶格自能(lattice self-energy)。

===DMFT近似：晶格自能(lattice self-energy)的局域性===
唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略晶格自能(lattice self-energy)的空间波动，将其等同于杂质自能:
:<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>

这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在晶格自能(lattice self-energy)的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。

因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。

在相变附近，空间波动也变得相关。在这里，DMFT和经典均场理论导致了平均场临界指数，相变前的明显变化并没有反映在DMFT自能中。

===DMFT循环===
为了找到局部晶格格林函数，我们必须确定杂化函数，使相应的杂质格林函数与所寻求的局部晶格格林函数相吻合。解决这个问题最普遍的方法是使用正向递归法，即对于给定的 <math> U</math>, <math>\mu</math> 和温度 <math>T</math>:
# 从<math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 的猜测开始 (通常, <math>\Sigma(k,i\omega_n)=0</math>)
# 进行DMFT近似: <math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 计算局部格林函数 <math>G_\mathrm{loc}(i\omega_n)</math>
# 计算动态平均场 <math>\Delta(i\omega) = i\omega_n + \mu - G^{-1}_\mathrm{loc}(i\omega_n) - \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 为新的杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(i\omega_n)</math>求解AIM，提取其自能量: <math>\Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) = (\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n) - (G_\mathrm{imp})^{-1}(i\omega_n) </math>
# 返回到第2步，直到收敛，即当 <math>G_\mathrm{imp}^n = G_\mathrm{imp}^{n+1}</math>.

==应用==
局部晶格格林函数和其他杂质观测值可用于计算一些物理量，作为相关性 <math>U</math>、带宽、填充（化学势<math>\mu</math>）以及温度<math>T</math>的函数：

* 谱函数(给出能带结构)
* 动能
* 一个位点的双占有率
* 响应函数(压缩率，光导率，比热)

特别是，随着 <math>U</math> 的增加，双重占有率的下降是莫特转换的一个标志。.

==DMFT扩展==
DMFT有几个扩展，将上述公式扩展到多轨道、多站点问题、长程相关和非平衡问题。

=== 多轨道扩展===
DMFT可以扩展到具有多个轨道的Hubbard模型，即具有形式为 <math>U_{\alpha \beta} n_{\alpha}n_{\beta}</math> 的电子-电子相互作用，其中 <math>\alpha</math> 和<math>\beta</math> 表示不同轨道。然后与密度泛函理论（DFT+DMFT）相结合，可以对相关的材料进行计算。

=== 扩展的DMFT ===
扩展的DMFT产生了非局域相互作用的局域杂质自能，因此允许我们将DMFT应用于更普遍的模型，如t-J模型。

=== 团簇 DMFT ===
为了改进DMFT近似，Hubbard模型可以被映射到一个多位点的杂质（团簇）问题上，这使得人们可以在杂质自能上增加一些空间依赖性。团簇在低温下包含4到8个位点，在高温下包含多达100个位点。

=== 图解式扩展 ===
超越DMFT自能的空间依赖性，包括相变附近的长程相关性，也可以通过使用解析和数值技术相结合的 DMFT 图解扩展来获得。动态顶点近似和双费米子方法的出发点是局部双粒子顶点。

=== 非平衡性 ===
DMFT已被用于研究非平衡传输和光学激发。在这里，对非平衡状态下的AIM的格林函数的可靠计算仍然是一个很大的挑战。<references/>

= See also =
* 强相关材料

==外部链接==
* [http://www.physics.rutgers.edu/~kotliar/papers/PT-Kotliar_57_53.pdf Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean-Field Theory] G. Kotliar and D. Vollhardt
* [http://www.cond-mat.de/events/correl11/manuscript Lecture notes on the LDA+DMFT approach to strongly correlated materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

[[Category:Correlated electrons]]
[[Category:Materials science]]
[[Category:Condensed matter physics]]
[[Category:Quantum mechanics]]

类别: 相关电子类别: 材料科学类别: 凝聚态物理学科学类别: 量子力学

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[[Category:待整理页面]]

动力学平均场理论

2022-06-04T13:03:56Z

Bingyu Jiang：

此词条由神经动力学读书会词条梳理志愿者（Bingyu Jiang）翻译审校，带来阅读不便，请见谅。

'''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。

DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定晶格自能(lattice self-energy)是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。

DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。

==与平均场理论的关系==
DMFT对晶格量子模型的处理类似于平均场理论（MFT）对经典模型的处理，如Ising模型。在Ising模型中，晶格问题被映射到一个有效的单点问题上，其磁化是通过一个有效的 "平均场 "来重现晶格磁化。这个条件被称为自洽性条件。它规定，单点观测变量应该通过有效场来重现晶格的 "局部 "观测变量。虽然N-site Ising Hamiltonian很难分析解决（到目前为止，分析解决只存在于1D和2D情况下），但单点问题很容易解决。

同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==

= DMFT 映射 =
'''单轨道哈伯德模型'''

哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子场之间的相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：
:<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>
其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.

我们做了以下假设：

* 只有一个轨道对电子特性有贡献（如超导铜酸盐中的铜原子，其<math>d</math>-band是非退化的）。
* 轨道局部化，以至于只考虑到了近邻的跳跃 <math>t</math> 。

====辅助问题：安德森杂质模型====
在通常的微扰扩展技术下，哈伯德模型一般是难以解决的。DMFT将这个晶格模型映射到所谓的安德森杂质模型（AIM）。这个模型通过一个杂质函数描述了一个位点（杂质）与电子级 "浴 "的相互作用（由湮灭和创建算子 <math>a_{p\sigma}</math>和<math>a_{p\sigma}^{\dagger}</math>）。与我们的单点模型相对应的安德森模型是一个单轨道安德森杂质模型，在抑制一些自旋1/2处<math>\sigma</math>,时，其哈米尔顿公式为：
:<math>H_{\text{AIM}}=\underbrace{\sum_{p}\epsilon_p a_p^{\dagger}a_p}_{H_{\text{bath}}} + \underbrace{\sum_{p\sigma}\left(V_{p}^{\sigma}c_{\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}+h.c.\right)}_{H_{\text{mix}}}+\underbrace{U n_{\uparrow} n_{\downarrow}-\mu \left(n_{\uparrow}+n_{\downarrow}\right)}_{H_{\text{loc}}}</math>
其中
* <math>H_{\text{bath}} </math> 描述了bath的非相关电子水平 <math>\epsilon_p</math>
* <math>H_{\text{loc}}</math> 描述了杂质，其中 <math>U</math>为两个电子与能量交互成本
*<math> H_{\text{mix}}</math> 通过杂化项 <math>V_p^{\sigma}</math>描述杂质和bath之间的杂化（或耦合）

这个模型的 Matsubara Green 函数，定义为<math> G_{\text{imp}}(\tau) = - \langle T c(\tau) c^{\dagger}(0)\rangle </math>, 完全由参数 <math>U,\mu</math> 和所谓的杂交函数 <math> \Delta_\sigma(i\omega_n) = \sum_{p}\frac{|V_p^\sigma|^2}{i\omega_n-\epsilon_p}</math>确定, 它是<math>\Delta_{\sigma}(\tau)</math>的虚时间傅里叶变换。

这个杂化函数描述了电子跳入和跳出bath的动态。它应该重现晶格动力学，使杂质的格林函数与局部晶格格林函数相同。它与非相互作用的格林函数的关系是:
:<math>(\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n)=i\omega_n+\mu-\Delta(i\omega_n)</math> (1)

解决安德森杂质模型包括计算观测数据，例如对于给定的杂化函数 <math>\Delta(i\omega_n)</math> 和 <math> U,\mu</math>的相互作用格林函数。这是一个困难但并非难以解决的问题。存在一些解决AIM的方法，例如
* 数值重整化群
* 精确对角化
* 迭代微扰理论
* 非交叉近似
* 连续时间量子蒙特卡罗法算法

===自洽性方程===
自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:
:<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>
其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示晶格自能(lattice self-energy)。

===DMFT近似：晶格自能(lattice self-energy)的局域性===
唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略晶格自能(lattice self-energy)的空间波动，将其等同于杂质自能:
:<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>

这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在晶格自能(lattice self-energy)的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。

因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。

在相变附近，空间波动也变得相关。在这里，DMFT和经典均场理论导致了平均场临界指数，相变前的明显变化并没有反映在DMFT自能中。

===DMFT循环===
为了找到局部晶格格林函数，我们必须确定杂化函数，使相应的杂质格林函数与所寻求的局部晶格格林函数相吻合。解决这个问题最普遍的方法是使用正向递归法，即对于给定的 <math> U</math>, <math>\mu</math> 和温度 <math>T</math>:
# 从<math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 的猜测开始 (通常, <math>\Sigma(k,i\omega_n)=0</math>)
# 进行DMFT近似: <math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 计算局部格林函数 <math>G_\mathrm{loc}(i\omega_n)</math>
# 计算动态平均场 <math>\Delta(i\omega) = i\omega_n + \mu - G^{-1}_\mathrm{loc}(i\omega_n) - \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 为新的杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(i\omega_n)</math>求解AIM，提取其自能量: <math>\Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) = (\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n) - (G_\mathrm{imp})^{-1}(i\omega_n) </math>
# 返回到第2步，直到收敛，即当 <math>G_\mathrm{imp}^n = G_\mathrm{imp}^{n+1}</math>.

==应用==
局部晶格格林函数和其他杂质观测值可用于计算一些物理量，作为相关性 <math>U</math>、带宽、填充（化学势<math>\mu</math>）以及温度<math>T</math>的函数：

* 谱函数(给出能带结构)
* 动能
* 一个位点的双占有率
* 响应函数(压缩率，光导率，比热)

特别是，随着 <math>U</math> 的增加，双重占有率的下降是莫特转换的一个标志。.

==DMFT扩展==
DMFT有几个扩展，将上述公式扩展到多轨道、多站点问题、长程相关和非平衡问题。

=== 多轨道扩展===
DMFT可以扩展到具有多个轨道的Hubbard模型，即具有形式为 <math>U_{\alpha \beta} n_{\alpha}n_{\beta}</math> 的电子-电子相互作用，其中 <math>\alpha</math> 和<math>\beta</math> 表示不同轨道。然后与密度泛函理论（DFT+DMFT）相结合，可以对相关的材料进行计算。

=== 扩展的DMFT ===
扩展的DMFT产生了非局域相互作用的局域杂质自能，因此允许我们将DMFT应用于更普遍的模型，如t-J模型。

=== 团簇 DMFT ===
为了改进DMFT近似，Hubbard模型可以被映射到一个多位点的杂质（团簇）问题上，这使得人们可以在杂质自能上增加一些空间依赖性。团簇在低温下包含4到8个位点，在高温下包含多达100个位点。

=== 图解式扩展 ===
超越DMFT自能的空间依赖性，包括相变附近的长程相关性，也可以通过使用解析和数值技术相结合的 DMFT 图解扩展来获得。动态顶点近似和双费米子方法的出发点是局部双粒子顶点。

=== 非平衡性 ===
DMFT已被用于研究非平衡传输和光学激发。在这里，对非平衡状态下的AIM的格林函数的可靠计算仍然是一个很大的挑战。<references/>

= See also =
* 强相关材料

==外部链接==
* [http://www.physics.rutgers.edu/~kotliar/papers/PT-Kotliar_57_53.pdf Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean-Field Theory] G. Kotliar and D. Vollhardt
* [http://www.cond-mat.de/events/correl11/manuscript Lecture notes on the LDA+DMFT approach to strongly correlated materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

[[Category:Correlated electrons]]
[[Category:Materials science]]
[[Category:Condensed matter physics]]
[[Category:Quantum mechanics]]

类别: 相关电子类别: 材料科学类别: 凝聚态物理学科学类别: 量子力学

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动力学平均场理论

2022-06-04T12:58:36Z

Bingyu Jiang：

此词条由神经动力学读书会词条梳理志愿者（Bingyu Jiang）翻译审校，带来阅读不便，请见谅。

'''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。

DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定晶格自能(lattice self-energy)是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。

DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。

==与平均场理论的关系==
DMFT对晶格量子模型的处理类似于平均场理论（MFT）对经典模型的处理，如Ising模型。在Ising模型中，晶格问题被映射到一个有效的单点问题上，其磁化是通过一个有效的 "平均场 "来重现晶格磁化。这个条件被称为自洽性条件。它规定，单点观测变量应该通过有效场来重现晶格的 "局部 "观测变量。虽然N-site Ising Hamiltonian很难分析解决（到目前为止，分析解决只存在于1D和2D情况下），但单点问题很容易解决。

同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==

= DMFT 映射 =
'''单轨道哈伯德模型'''

哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子场之间的相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：
:<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>
其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.

我们做了以下假设：

* 只有一个轨道对电子特性有贡献（如超导铜酸盐中的铜原子，其<math>d</math>-band是非退化的）。
* 轨道局部化，以至于只考虑到了近邻的跳跃 <math>t</math> 。

====辅助问题：安德森杂质模型====
在通常的微扰扩展技术下，哈伯德模型一般是难以解决的。DMFT将这个晶格模型映射到所谓的安德森杂质模型（AIM）。这个模型通过一个杂质函数描述了一个位点（杂质）与电子级 "浴 "的相互作用（由湮灭和创建算子 <math>a_{p\sigma}</math>和<math>a_{p\sigma}^{\dagger}</math>）。与我们的单点模型相对应的安德森模型是一个单轨道安德森杂质模型，在抑制一些自旋1/2处<math>\sigma</math>,时，其哈米尔顿公式为：
:<math>H_{\text{AIM}}=\underbrace{\sum_{p}\epsilon_p a_p^{\dagger}a_p}_{H_{\text{bath}}} + \underbrace{\sum_{p\sigma}\left(V_{p}^{\sigma}c_{\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}+h.c.\right)}_{H_{\text{mix}}}+\underbrace{U n_{\uparrow} n_{\downarrow}-\mu \left(n_{\uparrow}+n_{\downarrow}\right)}_{H_{\text{loc}}}</math>
其中
* <math>H_{\text{bath}} </math> 描述了bath的非相关电子水平 <math>\epsilon_p</math>
* <math>H_{\text{loc}}</math> 描述了杂质，其中 <math>U</math>为两个电子与能量交互成本
*<math> H_{\text{mix}}</math> 通过杂化项 <math>V_p^{\sigma}</math>描述杂质和bath之间的杂化（或耦合）

这个模型的 Matsubara Green 函数，定义为<math> G_{\text{imp}}(\tau) = - \langle T c(\tau) c^{\dagger}(0)\rangle </math>, 完全由参数 <math>U,\mu</math> 和所谓的杂交函数 <math> \Delta_\sigma(i\omega_n) = \sum_{p}\frac{|V_p^\sigma|^2}{i\omega_n-\epsilon_p}</math>确定, 它是<math>\Delta_{\sigma}(\tau)</math>的虚时间傅里叶变换。

这个杂化函数描述了电子跳入和跳出bath的动态。它应该重现晶格动力学，使杂质的格林函数与局部晶格格林函数相同。它与非相互作用的格林函数的关系是:
:<math>(\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n)=i\omega_n+\mu-\Delta(i\omega_n)</math> (1)

解决安德森杂质模型包括计算观测数据，例如对于给定的杂化函数 <math>\Delta(i\omega_n)</math> 和 <math> U,\mu</math>的相互作用格林函数。这是一个困难但并非难以解决的问题。存在一些解决AIM的方法，例如
* 数值重整化群
* 精确对角化
* 迭代微扰理论
* 非交叉近似
* 连续时间量子蒙特卡罗法算法

===自洽性方程===
自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:
:<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>
其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示晶格自能(lattice self-energy)。

===DMFT近似：晶格自能(lattice self-energy)的局域性===
唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略晶格自能(lattice self-energy)的空间波动，将其等同于杂质自能:
:<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>

这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在晶格自能(lattice self-energy)的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。

因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。

在相变附近，空间波动也变得相关。在这里，DMFT和经典均场理论导致了平均场临界指数，相变前的明显变化并没有反映在DMFT自能中。

===DMFT循环===
为了找到局部晶格格林函数，我们必须确定杂化函数，使相应的杂质格林函数与所寻求的局部晶格格林函数相吻合。解决这个问题最普遍的方法是使用正向递归法，即对于给定的 <math> U</math>, <math>\mu</math> 和温度 <math>T</math>:
# 从<math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 的猜测开始 (通常, <math>\Sigma(k,i\omega_n)=0</math>)
# 进行DMFT近似: <math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 计算局部格林函数 <math>G_\mathrm{loc}(i\omega_n)</math>
# 计算动态平均场 <math>\Delta(i\omega) = i\omega_n + \mu - G^{-1}_\mathrm{loc}(i\omega_n) - \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 为新的杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(i\omega_n)</math>求解AIM，提取其自能量: <math>\Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) = (\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n) - (G_\mathrm{imp})^{-1}(i\omega_n) </math>
# 返回到第2步，直到收敛，即当 <math>G_\mathrm{imp}^n = G_\mathrm{imp}^{n+1}</math>.

==应用==
局部晶格格林函数和其他杂质观测值可用于计算一些物理量，作为相关性 <math>U</math>、带宽、填充（化学势<math>\mu</math>）以及温度<math>T</math>的函数：

* 谱函数(给出能带结构)
* 动能
* 一个位点的双占有率
* 响应函数(压缩率，光导率，比热)

特别是，随着 <math>U</math> 的增加，双重占有率的下降是莫特转换的一个标志。.

==DMFT扩展==
DMFT有几个扩展，将上述公式扩展到多轨道、多站点问题、长程相关和非平衡问题。

=== 多轨道扩展===
DMFT可以扩展到具有多个轨道的Hubbard模型，即具有形式为 <math>U_{\alpha \beta} n_{\alpha}n_{\beta}</math> 的电子-电子相互作用，其中 <math>\alpha</math> 和<math>\beta</math> 表示不同轨道。然后与密度泛函理论（DFT+DMFT）相结合，可以对相关的材料进行计算。

=== 扩展的DMFT ===
扩展的DMFT产生了非局域相互作用的局域杂质自能，因此允许我们将DMFT应用于更普遍的模型，如t-J模型。

=== 团簇 DMFT ===
为了改进DMFT近似，Hubbard模型可以被映射到一个多位点的杂质（团簇）问题上，这使得人们可以在杂质自能上增加一些空间依赖性。团簇在低温下包含4到8个位点，在高温下包含多达100个位点。

=== 图解式扩展 ===
超越DMFT自能的空间依赖性，包括相变附近的长程相关性，也可以通过使用解析和数值技术相结合的 DMFT 图解扩展来获得。动态顶点近似和双费米子方法的出发点是局部双粒子顶点。

=== 非平衡性 ===
DMFT已被用于研究非平衡传输和光学激发。在这里，对非平衡状态下的AIM的格林函数的可靠计算仍然是一个很大的挑战。<references/>

= See also =
* 强相关材料

==外部链接==
* [http://www.physics.rutgers.edu/~kotliar/papers/PT-Kotliar_57_53.pdf Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean-Field Theory] G. Kotliar and D. Vollhardt
* [http://www.cond-mat.de/events/correl11/manuscript Lecture notes on the LDA+DMFT approach to strongly correlated materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

[[Category:Correlated electrons]]
[[Category:Materials science]]
[[Category:Condensed matter physics]]
[[Category:Quantum mechanics]]

类别: 相关电子类别: 材料科学类别: 凝聚态物理学科学类别: 量子力学

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动力学平均场理论

2022-06-04T12:54:07Z

Bingyu Jiang：

此词条由神经动力学读书会词条梳理志愿者（Bingyu Jiang）翻译审校，带来阅读不便，请见谅。

'''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。

DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定电子自能是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。

DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。

==与平均场理论的关系==
DMFT对晶格量子模型的处理类似于平均场理论（MFT）对经典模型的处理，如Ising模型。在Ising模型中，晶格问题被映射到一个有效的单点问题上，其磁化是通过一个有效的 "平均场 "来重现晶格磁化。这个条件被称为自洽性条件。它规定，单点观测变量应该通过有效场来重现晶格的 "局部 "观测变量。虽然N-site Ising Hamiltonian很难分析解决（到目前为止，分析解决只存在于1D和2D情况下），但单点问题很容易解决。

同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==

= DMFT 映射 =
'''单轨道哈伯德模型'''

哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子场之间的相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：
:<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>
其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.

我们做了以下假设：

* 只有一个轨道对电子特性有贡献（如超导铜酸盐中的铜原子，其<math>d</math>-band是非退化的）。
* 轨道局部化，以至于只考虑到了近邻的跳跃 <math>t</math> 。

====辅助问题：安德森杂质模型====
在通常的微扰扩展技术下，哈伯德模型一般是难以解决的。DMFT将这个晶格模型映射到所谓的安德森杂质模型（AIM）。这个模型通过一个杂质函数描述了一个位点（杂质）与电子级 "浴 "的相互作用（由湮灭和创建算子 <math>a_{p\sigma}</math>和<math>a_{p\sigma}^{\dagger}</math>）。与我们的单点模型相对应的安德森模型是一个单轨道安德森杂质模型，在抑制一些自旋1/2处<math>\sigma</math>,时，其哈米尔顿公式为：
:<math>H_{\text{AIM}}=\underbrace{\sum_{p}\epsilon_p a_p^{\dagger}a_p}_{H_{\text{bath}}} + \underbrace{\sum_{p\sigma}\left(V_{p}^{\sigma}c_{\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}+h.c.\right)}_{H_{\text{mix}}}+\underbrace{U n_{\uparrow} n_{\downarrow}-\mu \left(n_{\uparrow}+n_{\downarrow}\right)}_{H_{\text{loc}}}</math>
其中
* <math>H_{\text{bath}} </math> 描述了bath的非相关电子水平 <math>\epsilon_p</math>
* <math>H_{\text{loc}}</math> 描述了杂质，其中 <math>U</math>为两个电子与能量交互成本
*<math> H_{\text{mix}}</math> 通过杂化项 <math>V_p^{\sigma}</math>描述杂质和bath之间的杂化（或耦合）

这个模型的 Matsubara Green 函数，定义为<math> G_{\text{imp}}(\tau) = - \langle T c(\tau) c^{\dagger}(0)\rangle </math>, 完全由参数 <math>U,\mu</math> 和所谓的杂交函数 <math> \Delta_\sigma(i\omega_n) = \sum_{p}\frac{|V_p^\sigma|^2}{i\omega_n-\epsilon_p}</math>确定, 它是<math>\Delta_{\sigma}(\tau)</math>的虚时间傅里叶变换。

这个杂化函数描述了电子跳入和跳出bath的动态。它应该重现晶格动力学，使杂质的格林函数与局部晶格格林函数相同。它与非相互作用的格林函数的关系是:
:<math>(\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n)=i\omega_n+\mu-\Delta(i\omega_n)</math> (1)

解决安德森杂质模型包括计算观测数据，例如对于给定的杂化函数 <math>\Delta(i\omega_n)</math> 和 <math> U,\mu</math>的相互作用格林函数。这是一个困难但并非难以解决的问题。存在一些解决AIM的方法，例如
* 数值重整化群
* 精确对角化
* 迭代微扰理论
* 非交叉近似
* 连续时间量子蒙特卡罗法算法

===自洽性方程===
自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:
:<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>
其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示电子自能。

===DMFT近似：电子自能的局域性===
唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略电子自能的空间波动，将其等同于杂质自能:
:<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>

这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在电子自能的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。

因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。

在相变附近，空间波动也变得相关。在这里，DMFT和经典均场理论导致了平均场临界指数，相变前的明显变化并没有反映在DMFT自能中。

===DMFT循环===
为了找到局部晶格格林函数，我们必须确定杂化函数，使相应的杂质格林函数与所寻求的局部晶格格林函数相吻合。解决这个问题最普遍的方法是使用正向递归法，即对于给定的 <math> U</math>, <math>\mu</math> 和温度 <math>T</math>:
# 从<math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 的猜测开始 (通常, <math>\Sigma(k,i\omega_n)=0</math>)
# 进行DMFT近似: <math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 计算局部格林函数 <math>G_\mathrm{loc}(i\omega_n)</math>
# 计算动态平均场 <math>\Delta(i\omega) = i\omega_n + \mu - G^{-1}_\mathrm{loc}(i\omega_n) - \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 为新的杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(i\omega_n)</math>求解AIM，提取其自能量: <math>\Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) = (\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n) - (G_\mathrm{imp})^{-1}(i\omega_n) </math>
# 返回到第2步，直到收敛，即当 <math>G_\mathrm{imp}^n = G_\mathrm{imp}^{n+1}</math>.

==应用==
局部晶格格林函数和其他杂质观测值可用于计算一些物理量，作为相关性 <math>U</math>、带宽、填充（化学势<math>\mu</math>）以及温度<math>T</math>的函数：

* 谱函数(给出能带结构)
* 动能
* 一个位点的双占有率
* 响应函数(压缩率，光导率，比热)

特别是，随着 <math>U</math> 的增加，双重占有率的下降是莫特转换的一个标志。.

==DMFT扩展==
DMFT有几个扩展，将上述公式扩展到多轨道、多站点问题、长程相关和非平衡问题。

=== 多轨道扩展===
DMFT可以扩展到具有多个轨道的Hubbard模型，即具有形式为 <math>U_{\alpha \beta} n_{\alpha}n_{\beta}</math> 的电子-电子相互作用，其中 <math>\alpha</math> 和<math>\beta</math> 表示不同轨道。然后与密度泛函理论（DFT+DMFT）相结合，可以对相关的材料进行计算。

=== 扩展的DMFT ===
扩展的DMFT产生了非局域相互作用的局域杂质自能，因此允许我们将DMFT应用于更普遍的模型，如t-J模型。

=== 团簇 DMFT ===
为了改进DMFT近似，Hubbard模型可以被映射到一个多位点的杂质（团簇）问题上，这使得人们可以在杂质自能上增加一些空间依赖性。团簇在低温下包含4到8个位点，在高温下包含多达100个位点。

=== 图解式扩展 ===
超越DMFT自能的空间依赖性，包括相变附近的长程相关性，也可以通过使用解析和数值技术相结合的 DMFT 图解扩展来获得。动态顶点近似和双费米子方法的出发点是局部双粒子顶点。

=== 非平衡性 ===
DMFT已被用于研究非平衡传输和光学激发。在这里，对非平衡状态下的AIM的格林函数的可靠计算仍然是一个很大的挑战。<references/>

= See also =
* 强相关材料

==外部链接==
* [http://www.physics.rutgers.edu/~kotliar/papers/PT-Kotliar_57_53.pdf Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean-Field Theory] G. Kotliar and D. Vollhardt
* [http://www.cond-mat.de/events/correl11/manuscript Lecture notes on the LDA+DMFT approach to strongly correlated materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

[[Category:Correlated electrons]]
[[Category:Materials science]]
[[Category:Condensed matter physics]]
[[Category:Quantum mechanics]]

类别: 相关电子类别: 材料科学类别: 凝聚态物理学科学类别: 量子力学

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动力学平均场理论

2022-06-04T12:52:55Z

Bingyu Jiang：/* 哈伯德模型的 DMFT 描述 */

此词条由神经动力学读书会词条梳理志愿者（Bingyu Jiang）翻译审校，带来阅读不便，请见谅。

'''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。

DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定电子自能是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。

DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。

==与平均场理论的关系==
DMFT对晶格量子模型的处理类似于平均场理论（MFT）对经典模型的处理，如Ising模型。在Ising模型中，晶格问题被映射到一个有效的单点问题上，其磁化是通过一个有效的 "平均场 "来重现晶格磁化。这个条件被称为自洽性条件。它规定，单点观测变量应该通过有效场来重现晶格的 "局部 "观测变量。虽然N-site Ising Hamiltonian很难分析解决（到目前为止，分析解决只存在于1D和2D情况下），但单点问题很容易解决。

同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==

= DMFT 映射 =
'''单轨道哈伯德模型'''

哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子场之间的相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：
:<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>
其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.

我们做了以下假设：

* 只有一个轨道对电子特性有贡献（如超导铜酸盐中的铜原子，其<math>d</math>-band是非退化的）。
* 轨道局部化，以至于只考虑到了近邻的跳跃 <math>t</math> 。

====辅助问题：安德森杂质模型====
在通常的微扰扩展技术下，哈伯德模型一般是难以解决的。DMFT将这个晶格模型映射到所谓的安德森杂质模型（AIM）。这个模型通过一个杂质函数描述了一个位点（杂质）与电子级 "浴 "的相互作用（由湮灭和创建算子 <math>a_{p\sigma}</math>和<math>a_{p\sigma}^{\dagger}</math>）。与我们的单点模型相对应的安德森模型是一个单轨道安德森杂质模型，在抑制一些自旋1/2处<math>\sigma</math>,时，其哈米尔顿公式为：
:<math>H_{\text{AIM}}=\underbrace{\sum_{p}\epsilon_p a_p^{\dagger}a_p}_{H_{\text{bath}}} + \underbrace{\sum_{p\sigma}\left(V_{p}^{\sigma}c_{\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}+h.c.\right)}_{H_{\text{mix}}}+\underbrace{U n_{\uparrow} n_{\downarrow}-\mu \left(n_{\uparrow}+n_{\downarrow}\right)}_{H_{\text{loc}}}</math>
其中
* <math>H_{\text{bath}} </math> 描述了bath的非相关电子水平 <math>\epsilon_p</math>
* <math>H_{\text{loc}}</math> 描述了杂质，其中 <math>U</math>为两个电子与能量交互成本
*<math> H_{\text{mix}}</math> 通过杂化项 <math>V_p^{\sigma}</math>描述杂质和bath之间的杂化（或耦合）

这个模型的 Matsubara Green 函数，定义为<math> G_{\text{imp}}(\tau) = - \langle T c(\tau) c^{\dagger}(0)\rangle </math>, 完全由参数 <math>U,\mu</math> 和所谓的杂交函数 <math> \Delta_\sigma(i\omega_n) = \sum_{p}\frac{|V_p^\sigma|^2}{i\omega_n-\epsilon_p}</math>确定, 它是<math>\Delta_{\sigma}(\tau)</math>的虚时间傅里叶变换。

这个杂化函数描述了电子跳入和跳出bath的动态。它应该重现晶格动力学，使杂质的格林函数与局部晶格格林函数相同。它与非相互作用的格林函数的关系是:
:<math>(\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n)=i\omega_n+\mu-\Delta(i\omega_n)</math> (1)

解决安德森杂质模型包括计算观测数据，例如对于给定的杂化函数 <math>\Delta(i\omega_n)</math> 和 <math> U,\mu</math>的相互作用格林函数。这是一个困难但并非难以解决的问题。存在一些解决AIM的方法，例如
* 数值重整化群
* 精确对角化
* 迭代微扰理论
* 非交叉近似
* 连续时间量子蒙特卡罗法算法

===自洽性方程===
自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:
:<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>
其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示电子自能。

===DMFT近似：电子自能的局域性===
唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略电子自能的空间波动，将其等同于杂质自能:
:<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>

这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在电子自能的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。

因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。

在相变附近，空间波动也变得相关。在这里，DMFT和经典均场理论导致了平均场临界指数，相变前的明显变化并没有反映在DMFT自能中。

===DMFT循环===
为了找到局部晶格格林函数，我们必须确定杂化函数，使相应的杂质格林函数与所寻求的局部晶格格林函数相吻合。解决这个问题最普遍的方法是使用正向递归法，即对于给定的 <math> U</math>, <math>\mu</math> 和温度 <math>T</math>:
# 从<math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 的猜测开始 (通常, <math>\Sigma(k,i\omega_n)=0</math>)
# 进行DMFT近似: <math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 计算局部格林函数 <math>G_\mathrm{loc}(i\omega_n)</math>
# 计算动态平均场 <math>\Delta(i\omega) = i\omega_n + \mu - G^{-1}_\mathrm{loc}(i\omega_n) - \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 为新的杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(i\omega_n)</math>求解AIM，提取其自能量: <math>\Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) = (\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n) - (G_\mathrm{imp})^{-1}(i\omega_n) </math>
# 返回到第2步，直到收敛，即当 <math>G_\mathrm{imp}^n = G_\mathrm{imp}^{n+1}</math>.

==应用==
局部晶格格林函数和其他杂质观测值可用于计算一些物理量，作为相关性 <math>U</math>、带宽、填充（化学势<math>\mu</math>）以及温度<math>T</math>的函数：

* 谱函数(给出能带结构)
* 动能
* 一个位点的双占有率
* 响应函数(压缩率，光导率，比热)

特别是，随着 <math>U</math> 的增加，双重占有率的下降是莫特转换的一个标志。.

==DMFT扩展==
DMFT有几个扩展，将上述公式扩展到多轨道、多站点问题、长程相关和非平衡问题。

=== 多轨道扩展===
DMFT可以扩展到具有多个轨道的Hubbard模型，即具有形式为 <math>U_{\alpha \beta} n_{\alpha}n_{\beta}</math> 的电子-电子相互作用，其中 <math>\alpha</math> 和<math>\beta</math> 表示不同轨道。然后与密度泛函理论（DFT+DMFT）相结合，可以对相关的材料进行计算。

=== 扩展的DMFT ===
扩展的DMFT产生了非局域相互作用的局域杂质自能，因此允许我们将DMFT应用于更普遍的模型，如t-J模型。

=== 团簇 DMFT ===
为了改进DMFT近似，Hubbard模型可以被映射到一个多位点的杂质（团簇）问题上，这使得人们可以在杂质自能上增加一些空间依赖性。团簇在低温下包含4到8个位点，在高温下包含多达100个位点。

=== 图解式扩展 ===
超越DMFT自能的空间依赖性，包括相变附近的长程相关性，也可以通过使用解析和数值技术相结合的 DMFT 图解扩展来获得。动态顶点近似和双费米子方法的出发点是局部双粒子顶点。

=== 非平衡性 ===
DMFT已被用于研究非平衡传输和光学激发。在这里，对非平衡状态下的AIM的格林函数的可靠计算仍然是一个很大的挑战。

==References and notes==
<references/>

= See also =
* 强相关材料

==外部链接==
* [http://www.physics.rutgers.edu/~kotliar/papers/PT-Kotliar_57_53.pdf Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean-Field Theory] G. Kotliar and D. Vollhardt
* [http://www.cond-mat.de/events/correl11/manuscript Lecture notes on the LDA+DMFT approach to strongly correlated materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

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统计场论

2022-05-20T03:40:04Z

Bingyu Jiang：翻译

在理论物理学中，统计场理论（SFT）是一个描述相变的理论框架。它并不表示一个单一的理论，而是包含了许多模型，包括用于磁性、超导性、超流性、拓扑相变、湿化以及非平衡相变。SFT是统计力学的任何模型，其中自由度由一个或多个场组成。换句话说，系统的微观状态是通过场的配置来表达的。它与描述场的量子力学的量子场理论密切相关，并与它共享许多技术，如路径积分公式和重整化。如果该系统涉及聚合物，它也被称为高分子场论。

事实上，通过进行从闵可夫斯基空间到欧几里得空间的Wick旋转，统计场论的许多结果可以直接应用于其量子等价物。统计场论的相关函数被称为Schwinger函数，其属性由Osterwalder-Schrader 公理描述。

统计场理论被广泛用于描述高分子物理学或生物物理学中的系统，如聚合物薄膜、纳米结构的嵌段共聚物或聚电解质。

==Notes==
{{reflist}}

==References==
*{{cite book |title=Statistical Field Theory |volume=I, II |series=Cambridge Monographs on Mathematical Physics |first1=Claude |last1=Itzykson |first2=Jean-Michel |last2=Drouffe |publisher=Cambridge University Press |date=1991 |isbn=0-521-40806-7}} {{ISBN|0-521-40805-9}}
*{{cite book |first=Giorgio |last=Parisi |title=Statistical Field Theory |url=https://books.google.com/books?id=bivTswEACAAJ |date=1998 |publisher=Perseus Books |isbn=978-0-7382-0051-4 |series=Advanced Book Classics}}
*{{cite book |title=The P(φ)2 Euclidean (quantum) field theory |first=Barry |last=Simon |publisher=Princeton University Press |date=1974 |isbn=0-691-08144-1}}
*{{cite book |title=Quantum Physics: A Functional Integral Point of View |first1=James |last1=Glimm |first2=Arthur |last2=Jaffe |publisher=Springer |edition=2nd |date=1987 |isbn=0-387-96477-0}}

*
*
*

*

*

==External links==
*[https://web.archive.org/web/20060925105340/http://www.gursey.gov.tr/~mgh/rg2006/problemsets.html Problems in Statistical Field Theory]
*[https://web.archive.org/web/20090107204013/http://www-dick.chemie.uni-regensburg.de/group/stephan_baeurle/ Particle and Polymer Field Theory Group]
{{Statistical mechanics topics}}
{{Industrial and applied mathematics}}

*Problems in Statistical Field Theory
*Particle and Polymer Field Theory Group

= = = 外部链接 = =
* 统计场论中的问题
* 粒子和高分子场论群

[[Category:Applied mathematics]]
[[Category:Mathematical physics]]
[[Category:Statistical field theories|*]]

Category:Applied mathematics
Category:Mathematical physics
*

类别: 应用数学类别: 数学物理 *

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动力学平均场理论

2022-05-20T03:36:26Z

Bingyu Jiang：翻译

'''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。

DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定晶格自能是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。

DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。

==与平均场理论的关系==
DMFT对晶格量子模型的处理类似于平均场理论（MFT）对经典模型的处理，如Ising模型。在Ising模型中，晶格问题被映射到一个有效的单点问题上，其磁化是通过一个有效的 "平均场 "来重现晶格磁化。这个条件被称为自洽性条件。它规定，单点观测变量应该通过有效场来重现晶格的 "局部 "观测变量。虽然N-site Ising Hamiltonian很难分析解决（到目前为止，分析解决只存在于1D和2D情况下），但单点问题很容易解决。

同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

=='''哈伯德'''模型的 DMFT 描述==

= DMFT 映射 =
'''单轨道哈伯德模型'''

哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子之间的现场相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：
:<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>
其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.

我们做了以下假设：

* 只有一个轨道对电子特性有贡献（如超导铜酸盐中的铜原子，其<math>d</math>-band是非退化的）。
* 轨道局部化，以至于只考虑到了近邻的跳跃 <math>t</math> 。

====辅助问题：安德森杂质模型====
在通常的微扰扩展技术下，哈伯德模型一般是难以解决的。DMFT将这个晶格模型映射到所谓的安德森杂质模型（AIM）。这个模型通过一个杂质函数描述了一个位点（杂质）与电子级 "浴 "的相互作用（由湮灭和创建算子 <math>a_{p\sigma}</math>和<math>a_{p\sigma}^{\dagger}</math>）。与我们的单点模型相对应的安德森模型是一个单轨道安德森杂质模型，在抑制一些自旋1/2处<math>\sigma</math>,时，其哈米尔顿公式为：
:<math>H_{\text{AIM}}=\underbrace{\sum_{p}\epsilon_p a_p^{\dagger}a_p}_{H_{\text{bath}}} + \underbrace{\sum_{p\sigma}\left(V_{p}^{\sigma}c_{\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}+h.c.\right)}_{H_{\text{mix}}}+\underbrace{U n_{\uparrow} n_{\downarrow}-\mu \left(n_{\uparrow}+n_{\downarrow}\right)}_{H_{\text{loc}}}</math>
其中
* <math>H_{\text{bath}} </math> 描述了bath的非相关电子水平 <math>\epsilon_p</math>
* <math>H_{\text{loc}}</math> 描述了杂质，其中 <math>U</math>为两个电子与能量交互成本
*<math> H_{\text{mix}}</math> 通过杂化项 <math>V_p^{\sigma}</math>描述杂质和bath之间的杂化（或耦合）

这个模型的 Matsubara Green 函数，定义为<math> G_{\text{imp}}(\tau) = - \langle T c(\tau) c^{\dagger}(0)\rangle </math>, 完全由参数 <math>U,\mu</math> 和所谓的杂交函数 <math> \Delta_\sigma(i\omega_n) = \sum_{p}\frac{|V_p^\sigma|^2}{i\omega_n-\epsilon_p}</math>确定, 它是<math>\Delta_{\sigma}(\tau)</math>的虚时间傅里叶变换。

这个杂化函数描述了电子跳入和跳出bath的动态。它应该重现晶格动力学，使杂质的格林函数与局部晶格格林函数相同。它与非相互作用的格林函数的关系是:
:<math>(\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n)=i\omega_n+\mu-\Delta(i\omega_n)</math> (1)

解决安德森杂质模型包括计算观测数据，例如对于给定的杂化函数 <math>\Delta(i\omega_n)</math> 和 <math> U,\mu</math>的相互作用格林函数。这是一个困难但并非难以解决的问题。存在一些解决AIM的方法，例如
* 数值重整化群
* 精确对角化
* 迭代微扰理论
* 非交叉近似
* 连续时间量子蒙特卡罗法算法

===自洽性方程===
自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:
:<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>
其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示晶格自能。

===DMFT近似：晶格自能的局域性===
唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略晶格自能的空间波动，将其等同于杂质自能:
:<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>

这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在晶格自能的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。

因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。

在相变附近，空间波动也变得相关。在这里，DMFT和经典均场理论导致了平均场临界指数，相变前的明显变化并没有反映在DMFT自能中。

===DMFT循环===
为了找到局部晶格格林函数，我们必须确定杂化函数，使相应的杂质格林函数与所寻求的局部晶格格林函数相吻合。解决这个问题最普遍的方法是使用正向递归法，即对于给定的 <math> U</math>, <math>\mu</math> 和温度 <math>T</math>:
# 从<math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 的猜测开始 (通常, <math>\Sigma(k,i\omega_n)=0</math>)
# 进行DMFT近似: <math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 计算局部格林函数 <math>G_\mathrm{loc}(i\omega_n)</math>
# 计算动态平均场 <math>\Delta(i\omega) = i\omega_n + \mu - G^{-1}_\mathrm{loc}(i\omega_n) - \Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) </math>
# 为新的杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(i\omega_n)</math>求解AIM，提取其自能量: <math>\Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) = (\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n) - (G_\mathrm{imp})^{-1}(i\omega_n) </math>
# 返回到第2步，直到收敛，即当 <math>G_\mathrm{imp}^n = G_\mathrm{imp}^{n+1}</math>.

==应用==
局部晶格格林函数和其他杂质观测值可用于计算一些物理量，作为相关性 <math>U</math>、带宽、填充（化学势<math>\mu</math>）以及温度<math>T</math>的函数：

* 谱函数(给出能带结构)
* 动能
* 一个位点的双占有率
* 响应函数(压缩率，光导率，比热)

特别是，随着 <math>U</math> 的增加，双重占有率的下降是莫特转换的一个标志。.

==DMFT扩展==
DMFT有几个扩展，将上述公式扩展到多轨道、多站点问题、长程相关和非平衡问题。

=== 多轨道扩展===
DMFT可以扩展到具有多个轨道的Hubbard模型，即具有形式为 <math>U_{\alpha \beta} n_{\alpha}n_{\beta}</math> 的电子-电子相互作用，其中 <math>\alpha</math> 和<math>\beta</math> 表示不同轨道。然后与密度泛函理论（DFT+DMFT）相结合，可以对相关的材料进行计算。

=== 扩展的DMFT ===
扩展的DMFT产生了非局域相互作用的局域杂质自能，因此允许我们将DMFT应用于更普遍的模型，如t-J模型。

=== 团簇 DMFT ===
为了改进DMFT近似，Hubbard模型可以被映射到一个多位点的杂质（团簇）问题上，这使得人们可以在杂质自能上增加一些空间依赖性。团簇在低温下包含4到8个位点，在高温下包含多达100个位点。

=== 图解式扩展 ===
超越DMFT自能的空间依赖性，包括相变附近的长程相关性，也可以通过使用解析和数值技术相结合的 DMFT 图解扩展来获得。动态顶点近似和双费米子方法的出发点是局部双粒子顶点。

=== 非平衡性 ===
DMFT已被用于研究非平衡传输和光学激发。在这里，对非平衡状态下的AIM的格林函数的可靠计算仍然是一个很大的挑战。

==References and notes==
<references/>

= See also =
* 强相关材料

==外部链接==
* [http://www.physics.rutgers.edu/~kotliar/papers/PT-Kotliar_57_53.pdf Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean-Field Theory] G. Kotliar and D. Vollhardt
* [http://www.cond-mat.de/events/correl11/manuscript Lecture notes on the LDA+DMFT approach to strongly correlated materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

* Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean-Field Theory G. Kotliar and D. Vollhardt
* Lecture notes on the LDA+DMFT approach to strongly correlated materials Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
* Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

[[Category:Correlated electrons]]
[[Category:Materials science]]
[[Category:Condensed matter physics]]
[[Category:Quantum mechanics]]

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