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图（抽象数据类型）

2020-12-19T09:46:56Z

Lux Cicero：/* 操作方式 Operations */

{{#seo:
|keywords=图论,边,顶点
|description=在计算机科学中，用来展现数学中图论领域中的无向图和有向图
}}
[[File:Directed.png|160px|thumb|一个有三个顶点（蓝色圆圈）和三条边（黑色箭头）的有向图。]]
在计算机科学中，图是一种抽象的数据类型，用来展现数学中[[图论]]领域中的'''无向图 undirected graph'''和'''有向图 directed graph'''的概念。

一个图的数据结构由一组有限的（也可能是可变的）'''顶点 vertices'''（也称为节点 nodes或点 points），以及一组无向图的无序顶点对或有向图的有序顶点对组成。这些连线被称为'''边 edges'''（也称为链接 links或直线 lines），对于有向图，也称为'''箭头 arrows'''。顶点可以是图结构的一部分，也可以是由整数索引或引用表示的外部实体。

图形数据结构还可以为每条边关联一些'''边值 edge value'''，如符号标签或数字属性（成本、容量、长度等）。

==操作方式 Operations==

图形'' G ''的数据结构提供的基本操作通常包括：<ref name="gt-ops">See, e.g. Section 13.1.2: Operations on graphs, p. 360. For a more detailed set of operations, see {{citation|contribution=Chapter 6: Graphs and their data structures|pages=240–282|title=LEDA: A platform for combinatorial and geometric computing|first1=K.|last1=Mehlhorn|first2=S.|last2=Näher|publisher=Cambridge University Press|year=1999}}.</ref>

* <code>adjacent</code>(''G'', ''x'', ''y'')：检验顶点'' x ''到顶点'' y ''是否存在边；

* <code>neighbors</code>(''G'', ''x'')：列出所有满足这样条件的顶点''y''：它们有一条边连到了给定的顶点''x''；

* <code>add_vertex</code>(''G'', ''x'')：添加新顶点'' x ''；

* <code>remove_vertex</code>(''G'', ''x'')：删除已有顶点'' x ''；

* <code>add_edge</code>(''G'', ''x'', ''y'')：添加一条连接顶点'' x ''和顶点'' y ''的边；

* <code>remove_edge</code>(''G'', ''x'', ''y'')：删除连接顶点'' x ''和顶点'' y ''的边；

* <code>get_vertex_value</code>(''G'', ''x'')：返回顶点''x''的关联值；

* <code>set_vertex_value</code>(''G'', ''x'', ''v'')：将顶点'' x ''的值设置为 '' v ''。

将值关联到边的结构通常还提供：<ref name="gt-ops"/>

* <code>get_edge_value</code>(''G'', ''x'', ''y''): 返回与边(''x'', ''y'')的值；

* <code>set_edge_value</code>(''G'', ''x'', ''y'', ''v''): 将与边 (''x'', ''y'')的值设置为 ''v''。

== 表示方法 Representations==

在实际应用中不同数据结构的图表示方法：

*[[邻接表 Adjacency list]]<ref>Cormen et al. (2001), pp. 528–529; Goodrich & Tamassia (2015), pp. 361-362.</ref>

:顶点作为记录或存储对象，每个顶点存储一个相邻顶点列表。这种数据结构允许在顶点上存储额外的数据。如果边也被存储为对象，那么它就可以存储额外的数据，在这种情况下，每个顶点记录着它的关联边，每个边又存储它的关联顶点。

*[[邻接矩阵 Adjacency matrix]]<ref>Cormen et al. (2001), pp. 529–530; Goodrich & Tamassia (2015), p. 363..</ref>

:一个二维矩阵，其中行表示'''源顶点 Source Vertices'''，列表示'''目标顶点 Destination Vertices'''。关于边和顶点的数据必须存储在外部。只有一条边时它可以被存储在每对顶点之间。

*[[关联矩阵 Incidence matrix]]<ref>Cormen et al. (2001), Exercise 22.1-7, p. 531.</ref>

: 一个二维布尔矩阵，其中行表示顶点，列表示边。'''矩阵的条目值 entries '''表明行上的顶点是否与列上的边是相关联。

下表给出了在图上执行各种操作的'''时间复杂度 Time Complexity'''，对于每个表达式，用 | '' V '' | 顶点数和 | '' E '' | 边数。在矩阵表示中，'''条目值'''the entries跟随边的代价进行编码。假定不存在的边的值为∞。

{| class="wikitable"
!
! scope="col" | 邻接表
! scope="col" | 邻接矩阵
! scope="col" | 关联矩阵
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 图的存储
| <math>O(|V|+|E|)</math>
| <math>O(|V|^2)</math>
| <math>O(|V|\cdot|E|)</math>
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 添加顶点
| <math>O(1)</math>
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|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 备注
| 删除顶点和边这俩操作的执行速度慢，因为这俩操作需要遍历所有的顶点或边
| 增加或删除顶点这俩操作的执行速度慢，因为这俩操作需要调整矩阵的尺寸，或者对矩阵进行复制。
| 增加或删除顶点和边这几个操作的执行速度慢，因为这几个操作需要调整矩阵的尺寸，或者对矩阵进行复制。
|}

邻接表通常是首选的，因为它们能有效地表示'''稀疏图 Sparse Graph'''。如果图是'''稠密图 Dense Graph'''的，那么邻接矩阵是首选的，即边的数目 |'' E ''| 接近于顶点的平方数，|'' V ''|2 ，或者说如果有一条边连接两个顶点，那么所选取的数据结构必须满足可以快速查找到数据。<ref name="clrs">{{citation |first=Thomas H. |last=Cormen |first2=Charles E. |last2=Leiserson |first3=Ronald L. |last3=Rivest |authorlink4=Clifford Stein |first4=Clifford |last4=Stein |year=2001 |title=Introduction to Algorithms|edition=Second |publisher=MIT Press and McGraw-Hill |isbn=0-262-03293-7 |chapter=Section 22.1: Representations of graphs |pages=527–531 }}.</ref><ref name="gt">{{citation|title=Algorithm Design and Applications|first1=Michael T.|last1=Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|publisher=Wiley|year=2015|contribution=Section 13.1: Graph terminology and representations|pages=355–364}}.</ref>

== 图的并行化表示 Parallel Graph Representations==

图问题的并行化面临着重大的挑战: 数据驱动的计算、非结构化问题、局部性差和计算数据访问率高。<ref name=":1">{{Cite book|last=Bader|first=David|url=http://www.ams.org/conm/588/|title=Graph Partitioning and Graph Clustering|last2=Meyerhenke|first2=Henning|last3=Sanders|first3=Peter|last4=Wagner|first4=Dorothea|date=January 2013|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-9038-7|series=Contemporary Mathematics|volume=588|language=en|doi=10.1090/conm/588/11709}}</ref><ref>{{Cite journal|last=LUMSDAINE|first=ANDREW|last2=GREGOR|first2=DOUGLAS|last3=HENDRICKSON|first3=BRUCE|last4=BERRY|first4=JONATHAN|date=March 2007|title=CHALLENGES IN PARALLEL GRAPH PROCESSING|url=http://dx.doi.org/10.1142/s0129626407002843|journal=Parallel Processing Letters|volume=17|issue=01|pages=5–20|doi=10.1142/s0129626407002843|issn=0129-6264}}</ref> 用于并行架构的图表示在面对这些挑战时扮演着重要的角色。选择的表示方式不当可能会增加不必要的算法连接代价，从而降低算法的可扩展性。接下来的段落中，我们将着重探讨共享和分布式的内存架构。

===共享内存 Shared memory===

在共享内存模型下，之所以用于并行处理的图表示与顺序处理的方式相同，<ref name=":0">{{Cite book|last=Sanders|first=Peter|url=https://www.springer.com/gp/book/9783030252083|title=Sequential and Parallel Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox|last2=Mehlhorn|first2=Kurt|last3=Dietzfelbinger|first3=Martin|last4=Dementiev|first4=Roman|date=2019|publisher=Springer International Publishing|isbn=978-3-030-25208-3|language=en}}</ref>是因为对图表示的并行只读访问(例如：邻接表)是共享内存的有效方法。

=== 分布式存储 distributed memory===

在分布式存储模型中，常用的方法是将图的顶点集合<math>V</math> 分解为<math>p</math> 集合 <math> Vo,\dots,V{ p-1}</math> 。这里，<math>p</math> 是可用处理元素 processing elements（PE）的数量。然后，顶点集合分区被分配到具有匹配索引的 PE 中，并附加到相应的边上。每个 PE 都有自己的子图表示法，其中带有另一个分区中端点的边需要特别注意。对于像 MPI 这样的标准通信接口，拥有其他端点的 PE 的 ID 必须是可识别的。在分布式图算法的计算过程中，沿着这些边传递信息意味着连接通信。<ref name=":0" />

图的划分需要仔细地进行——在低效率连接和大小划分之间有一个权衡。<ref>{{Cite web|url=https://www.graphengine.io/downloads/papers/ParallelProcessingOfGraphs.pdf|title=Parallel Processing of Graphs|last=|first=|date=|website=|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>但是图的划分是一个'''NP-难问题 NP-Hard Problem'''，因此计算它们是不可行的。不过，我们可以使用以下启发式。

1D 分区：每个处理器都会得到 <math>n/p</math> 顶点和相应的外边。这可以理解为按行或按列对邻接矩阵进行展开。对于在这种表示形式上运行的算法，需要一个 All-to-All 连接步骤以及 <math> mathcal{o}(m)</math> 消息缓冲区大小，因为每个 PE 可能具有相对于其他 PE 的输出边。<ref name=":2">{{Cite web|url=https://dl.acm.org/doi/abs/10.1145/2063384.2063471|title=Parallel breadth-first search on distributed memory systems {{!}} Proceedings of 2011 International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis|website=dl.acm.org|language=EN|doi=10.1145/2063384.2063471|access-date=2020-02-06}}</ref>

2D 分区：每个处理器都有一个邻接矩阵的子矩阵。假设处理器在一个矩形<math>p = p_r \times p_c</math> 中对齐，其中 <math>p_r</math>和<math>p_c</math>是每行和每列中处理元素的数量。然后每个处理器得到维数<math>(n/p_r)\times(n/p_c)</math> 的邻接矩阵。这可以可视化为矩阵中的棋盘格模式。<ref name=":2" />因此，每个处理单元只能在同一行和列中具有 PE 的输出边。这将每个 PE 的通信伙伴的数量限制为<math>p = p_r \times p_c</math>可能伙伴中的 <math>p_r + p_c - 1</math>个。

 

==参见==

* [[图的遍历 Graph traversal]] 用于图遍历的策略
* [[图数据库 Graph database]] 用于图（数据结构）的持久性
* [[图重构 Graph rewriting]] 用于基于规则的图形转换（图数据结构）
* [[画图软件 Graph drawing software]] 用于绘制图形的软件、系统和系统提供商

==参考文献==

{{reflist}}

==其他链接==

*[http://www.boost.org/libs/graph Boost Graph Library: a powerful C++ graph library]

*[https://networkx.github.com/ Networkx: a Python graph library]

*[http://www.graphmatcher.com GraphMatcher] a java program to align directed/undirected graphs.

*[http://graphblas.org GraphBLAS] A specification for a library interface for operations on graphs, with a particular focus on sparse graphs.

[[Category:图论]]

[[Category:抽象数据类型 ]]

[[Category:图]]

[[Category:超图]]

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'''本词条内容源自公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

图（抽象数据类型）

2020-12-19T09:37:08Z

Lux Cicero：/* 操作方式 Operations */ 删除两行多余的

{{#seo:
|keywords=图论,边,顶点
|description=在计算机科学中，用来展现数学中图论领域中的无向图和有向图
}}
[[File:Directed.png|160px|thumb|一个有三个顶点（蓝色圆圈）和三条边（黑色箭头）的有向图。]]
在计算机科学中，图是一种抽象的数据类型，用来展现数学中[[图论]]领域中的'''无向图 undirected graph'''和'''有向图 directed graph'''的概念。

一个图的数据结构由一组有限的（也可能是可变的）'''顶点 vertices'''（也称为节点 nodes或点 points），以及一组无向图的无序顶点对或有向图的有序顶点对组成。这些连线被称为'''边 edges'''（也称为链接 links或直线 lines），对于有向图，也称为'''箭头 arrows'''。顶点可以是图结构的一部分，也可以是由整数索引或引用表示的外部实体。

图形数据结构还可以为每条边关联一些'''边值 edge value'''，如符号标签或数字属性（成本、容量、长度等）。

==操作方式 Operations==

图形'' G ''的数据结构提供的基本操作通常包括：<ref name="gt-ops">See, e.g. Section 13.1.2: Operations on graphs, p. 360. For a more detailed set of operations, see {{citation|contribution=Chapter 6: Graphs and their data structures|pages=240–282|title=LEDA: A platform for combinatorial and geometric computing|first1=K.|last1=Mehlhorn|first2=S.|last2=Näher|publisher=Cambridge University Press|year=1999}}.</ref>

* <code>adjacent</code>(''G'', ''x'', ''y'')：检验顶点'' x ''到顶点'' y ''是否存在边；

* <code>neighbors</code>(''G'', ''x'')：列出所有顶点'' y ''，使顶点'' x ''有一条边到顶点'' y ''；

* <code>add_vertex</code>(''G'', ''x'')：添加新顶点'' x ''；

* <code>remove_vertex</code>(''G'', ''x'')：删除已有顶点'' x ''；

* <code>add_edge</code>(''G'', ''x'', ''y'')：添加一条连接顶点'' x ''和顶点'' y ''的边；

* <code>remove_edge</code>(''G'', ''x'', ''y'')：删除连接顶点'' x ''和顶点'' y ''的边；

* <code>get_vertex_value</code>(''G'', ''x'')：返回与顶点'' x ''相关的值；

* <code>set_vertex_value</code>(''G'', ''x'', ''v'')：将顶点'' x ''的值设置为 '' v ''。

将值关联到边的结构通常还提供：<ref name="gt-ops"/>

* <code>get_edge_value</code>(''G'', ''x'', ''y''): 返回与边(''x'', ''y'')的值；

* <code>set_edge_value</code>(''G'', ''x'', ''y'', ''v''): 将与边 (''x'', ''y'')的值设置为 ''v''。

== 表示方法 Representations==

在实际应用中不同数据结构的图表示方法：

*[[邻接表 Adjacency list]]<ref>Cormen et al. (2001), pp. 528–529; Goodrich & Tamassia (2015), pp. 361-362.</ref>

:顶点作为记录或存储对象，每个顶点存储一个相邻顶点列表。这种数据结构允许在顶点上存储额外的数据。如果边也被存储为对象，那么它就可以存储额外的数据，在这种情况下，每个顶点记录着它的关联边，每个边又存储它的关联顶点。

*[[邻接矩阵 Adjacency matrix]]<ref>Cormen et al. (2001), pp. 529–530; Goodrich & Tamassia (2015), p. 363..</ref>

:一个二维矩阵，其中行表示'''源顶点 Source Vertices'''，列表示'''目标顶点 Destination Vertices'''。关于边和顶点的数据必须存储在外部。只有一条边时它可以被存储在每对顶点之间。

*[[关联矩阵 Incidence matrix]]<ref>Cormen et al. (2001), Exercise 22.1-7, p. 531.</ref>

: 一个二维布尔矩阵，其中行表示顶点，列表示边。'''矩阵的条目值 entries '''表明行上的顶点是否与列上的边是相关联。

下表给出了在图上执行各种操作的'''时间复杂度 Time Complexity'''，对于每个表达式，用 | '' V '' | 顶点数和 | '' E '' | 边数。在矩阵表示中，'''条目值'''the entries跟随边的代价进行编码。假定不存在的边的值为∞。

{| class="wikitable"
!
! scope="col" | 邻接表
! scope="col" | 邻接矩阵
! scope="col" | 关联矩阵
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 图的存储
| <math>O(|V|+|E|)</math>
| <math>O(|V|^2)</math>
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| <math>O(|V|)</math>
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| <math>O(|E|)</math>
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 备注
| 删除顶点和边这俩操作的执行速度慢，因为这俩操作需要遍历所有的顶点或边
| 增加或删除顶点这俩操作的执行速度慢，因为这俩操作需要调整矩阵的尺寸，或者对矩阵进行复制。
| 增加或删除顶点和边这几个操作的执行速度慢，因为这几个操作需要调整矩阵的尺寸，或者对矩阵进行复制。
|}

邻接表通常是首选的，因为它们能有效地表示'''稀疏图 Sparse Graph'''。如果图是'''稠密图 Dense Graph'''的，那么邻接矩阵是首选的，即边的数目 |'' E ''| 接近于顶点的平方数，|'' V ''|2 ，或者说如果有一条边连接两个顶点，那么所选取的数据结构必须满足可以快速查找到数据。<ref name="clrs">{{citation |first=Thomas H. |last=Cormen |first2=Charles E. |last2=Leiserson |first3=Ronald L. |last3=Rivest |authorlink4=Clifford Stein |first4=Clifford |last4=Stein |year=2001 |title=Introduction to Algorithms|edition=Second |publisher=MIT Press and McGraw-Hill |isbn=0-262-03293-7 |chapter=Section 22.1: Representations of graphs |pages=527–531 }}.</ref><ref name="gt">{{citation|title=Algorithm Design and Applications|first1=Michael T.|last1=Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|publisher=Wiley|year=2015|contribution=Section 13.1: Graph terminology and representations|pages=355–364}}.</ref>

== 图的并行化表示 Parallel Graph Representations==

图问题的并行化面临着重大的挑战: 数据驱动的计算、非结构化问题、局部性差和计算数据访问率高。<ref name=":1">{{Cite book|last=Bader|first=David|url=http://www.ams.org/conm/588/|title=Graph Partitioning and Graph Clustering|last2=Meyerhenke|first2=Henning|last3=Sanders|first3=Peter|last4=Wagner|first4=Dorothea|date=January 2013|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-9038-7|series=Contemporary Mathematics|volume=588|language=en|doi=10.1090/conm/588/11709}}</ref><ref>{{Cite journal|last=LUMSDAINE|first=ANDREW|last2=GREGOR|first2=DOUGLAS|last3=HENDRICKSON|first3=BRUCE|last4=BERRY|first4=JONATHAN|date=March 2007|title=CHALLENGES IN PARALLEL GRAPH PROCESSING|url=http://dx.doi.org/10.1142/s0129626407002843|journal=Parallel Processing Letters|volume=17|issue=01|pages=5–20|doi=10.1142/s0129626407002843|issn=0129-6264}}</ref> 用于并行架构的图表示在面对这些挑战时扮演着重要的角色。选择的表示方式不当可能会增加不必要的算法连接代价，从而降低算法的可扩展性。接下来的段落中，我们将着重探讨共享和分布式的内存架构。

===共享内存 Shared memory===

在共享内存模型下，之所以用于并行处理的图表示与顺序处理的方式相同，<ref name=":0">{{Cite book|last=Sanders|first=Peter|url=https://www.springer.com/gp/book/9783030252083|title=Sequential and Parallel Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox|last2=Mehlhorn|first2=Kurt|last3=Dietzfelbinger|first3=Martin|last4=Dementiev|first4=Roman|date=2019|publisher=Springer International Publishing|isbn=978-3-030-25208-3|language=en}}</ref>是因为对图表示的并行只读访问(例如：邻接表)是共享内存的有效方法。

=== 分布式存储 distributed memory===

在分布式存储模型中，常用的方法是将图的顶点集合<math>V</math> 分解为<math>p</math> 集合 <math> Vo,\dots,V{ p-1}</math> 。这里，<math>p</math> 是可用处理元素 processing elements（PE）的数量。然后，顶点集合分区被分配到具有匹配索引的 PE 中，并附加到相应的边上。每个 PE 都有自己的子图表示法，其中带有另一个分区中端点的边需要特别注意。对于像 MPI 这样的标准通信接口，拥有其他端点的 PE 的 ID 必须是可识别的。在分布式图算法的计算过程中，沿着这些边传递信息意味着连接通信。<ref name=":0" />

图的划分需要仔细地进行——在低效率连接和大小划分之间有一个权衡。<ref>{{Cite web|url=https://www.graphengine.io/downloads/papers/ParallelProcessingOfGraphs.pdf|title=Parallel Processing of Graphs|last=|first=|date=|website=|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>但是图的划分是一个'''NP-难问题 NP-Hard Problem'''，因此计算它们是不可行的。不过，我们可以使用以下启发式。

1D 分区：每个处理器都会得到 <math>n/p</math> 顶点和相应的外边。这可以理解为按行或按列对邻接矩阵进行展开。对于在这种表示形式上运行的算法，需要一个 All-to-All 连接步骤以及 <math> mathcal{o}(m)</math> 消息缓冲区大小，因为每个 PE 可能具有相对于其他 PE 的输出边。<ref name=":2">{{Cite web|url=https://dl.acm.org/doi/abs/10.1145/2063384.2063471|title=Parallel breadth-first search on distributed memory systems {{!}} Proceedings of 2011 International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis|website=dl.acm.org|language=EN|doi=10.1145/2063384.2063471|access-date=2020-02-06}}</ref>

2D 分区：每个处理器都有一个邻接矩阵的子矩阵。假设处理器在一个矩形<math>p = p_r \times p_c</math> 中对齐，其中 <math>p_r</math>和<math>p_c</math>是每行和每列中处理元素的数量。然后每个处理器得到维数<math>(n/p_r)\times(n/p_c)</math> 的邻接矩阵。这可以可视化为矩阵中的棋盘格模式。<ref name=":2" />因此，每个处理单元只能在同一行和列中具有 PE 的输出边。这将每个 PE 的通信伙伴的数量限制为<math>p = p_r \times p_c</math>可能伙伴中的 <math>p_r + p_c - 1</math>个。

 

==参见==

* [[图的遍历 Graph traversal]] 用于图遍历的策略
* [[图数据库 Graph database]] 用于图（数据结构）的持久性
* [[图重构 Graph rewriting]] 用于基于规则的图形转换（图数据结构）
* [[画图软件 Graph drawing software]] 用于绘制图形的软件、系统和系统提供商

==参考文献==

{{reflist}}

==其他链接==

*[http://www.boost.org/libs/graph Boost Graph Library: a powerful C++ graph library]

*[https://networkx.github.com/ Networkx: a Python graph library]

*[http://www.graphmatcher.com GraphMatcher] a java program to align directed/undirected graphs.

*[http://graphblas.org GraphBLAS] A specification for a library interface for operations on graphs, with a particular focus on sparse graphs.

[[Category:图论]]

[[Category:抽象数据类型 ]]

[[Category:图]]

[[Category:超图]]

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'''本词条内容源自公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

图（抽象数据类型）

2020-12-19T09:25:09Z

Lux Cicero：

{{#seo:
|keywords=图论,边,顶点
|description=在计算机科学中，用来展现数学中图论领域中的无向图和有向图
}}
[[File:Directed.png|160px|thumb|一个有三个顶点（蓝色圆圈）和三条边（黑色箭头）的有向图。]]
在计算机科学中，图是一种抽象的数据类型，用来展现数学中[[图论]]领域中的'''无向图 undirected graph'''和'''有向图 directed graph'''的概念。

一个图的数据结构由一组有限的（也可能是可变的）'''顶点 vertices'''（也称为节点 nodes或点 points），以及一组无向图的无序顶点对或有向图的有序顶点对组成。这些连线被称为'''边 edges'''（也称为链接 links或直线 lines），对于有向图，也称为'''箭头 arrows'''。顶点可以是图结构的一部分，也可以是由整数索引或引用表示的外部实体。

图形数据结构还可以为每条边关联一些'''边值 edge value'''，如符号标签或数字属性（成本、容量、长度等）。

==操作方式 Operations==

图形'' G ''的数据结构提供的基本操作通常包括：<ref name="gt-ops">See, e.g. Section 13.1.2: Operations on graphs, p. 360. For a more detailed set of operations, see {{citation|contribution=Chapter 6: Graphs and their data structures|pages=240–282|title=LEDA: A platform for combinatorial and geometric computing|first1=K.|last1=Mehlhorn|first2=S.|last2=Näher|publisher=Cambridge University Press|year=1999}}.</ref>

* <code>adjacent</code>(''G'', ''x'', ''y'')：检验顶点'' x ''到顶点'' y ''是否存在边；

* <code>neighbors</code>(''G'', ''x'')：列出所有顶点'' y ''，使顶点'' x ''有一条边到顶点'' y ''；

* <code>add_vertex</code>(''G'', ''x'')：添加新顶点'' x ''；

* <code>remove_vertex</code>(''G'', ''x'')：删除已有顶点'' x ''；

* <code>add_edge</code>(''G'', ''x'', ''y'')：添加一条连接顶点'' x ''和顶点'' y ''的边；

* <code>remove_edge</code>(''G'', ''x'', ''y'')：删除连接顶点'' x ''和顶点'' y ''的边；

* <code>get_vertex_value</code>(''G'', ''x'')：返回与顶点'' x ''相关的值；

* <code>set_vertex_value</code>(''G'', ''x'', ''v'')：将顶点'' x ''的值设置为 '' v ''。

将值关联到边的结构通常还提供：<ref name="gt-ops"/>

* <code>get_edge_value</code>(''G'', ''x'', ''y''): returns the value associated with the edge (''x'', ''y'');

* <code>set_edge_value</code>(''G'', ''x'', ''y'', ''v''): sets the value associated with the edge (''x'', ''y'') to ''v''.
* <code>get_edge_value</code>(''G'', ''x'', ''y''): 返回与边(''x'', ''y'')的值；

* <code>set_edge_value</code>(''G'', ''x'', ''y'', ''v''): 将与边 (''x'', ''y'')的值设置为 ''v''。

== 表示方法 Representations==

在实际应用中不同数据结构的图表示方法：

*[[邻接表 Adjacency list]]<ref>Cormen et al. (2001), pp. 528–529; Goodrich & Tamassia (2015), pp. 361-362.</ref>

:顶点作为记录或存储对象，每个顶点存储一个相邻顶点列表。这种数据结构允许在顶点上存储额外的数据。如果边也被存储为对象，那么它就可以存储额外的数据，在这种情况下，每个顶点记录着它的关联边，每个边又存储它的关联顶点。

*[[邻接矩阵 Adjacency matrix]]<ref>Cormen et al. (2001), pp. 529–530; Goodrich & Tamassia (2015), p. 363..</ref>

:一个二维矩阵，其中行表示'''源顶点 Source Vertices'''，列表示'''目标顶点 Destination Vertices'''。关于边和顶点的数据必须存储在外部。只有一条边时它可以被存储在每对顶点之间。

*[[关联矩阵 Incidence matrix]]<ref>Cormen et al. (2001), Exercise 22.1-7, p. 531.</ref>

: 一个二维布尔矩阵，其中行表示顶点，列表示边。'''矩阵的条目值 entries '''表明行上的顶点是否与列上的边是相关联。

下表给出了在图上执行各种操作的'''时间复杂度 Time Complexity'''，对于每个表达式，用 | '' V '' | 顶点数和 | '' E '' | 边数。在矩阵表示中，'''条目值'''the entries跟随边的代价进行编码。假定不存在的边的值为∞。

{| class="wikitable"
!
! scope="col" | 邻接表
! scope="col" | 邻接矩阵
! scope="col" | 关联矩阵
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 图的存储
| <math>O(|V|+|E|)</math>
| <math>O(|V|^2)</math>
| <math>O(|V|\cdot|E|)</math>
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 添加顶点
| <math>O(1)</math>
| <math>O(|V|^2)</math>
| <math>O(|V|\cdot|E|)</math>
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 添加边
| <math>O(1)</math>
| <math>O(1)</math>
| <math>O(|V|\cdot|E|)</math>
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 删除顶点
| <math>O(|E|)</math>
| <math>O(|V|^2)</math>
| <math>O(|V|\cdot|E|)</math>
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 删除边
| <math>O(|V|)</math>
| <math>O(1)</math>
| <math>O(|V|\cdot|E|)</math>
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 判断顶点 x 和 y 是否相邻(假设它们的存储位置已知)
| <math>O(|V|)</math>
| <math>O(1)</math>
| <math>O(|E|)</math>
|-
! scope="row" {{rh2|align=left}} | 备注
| 删除顶点和边这俩操作的执行速度慢，因为这俩操作需要遍历所有的顶点或边
| 增加或删除顶点这俩操作的执行速度慢，因为这俩操作需要调整矩阵的尺寸，或者对矩阵进行复制。
| 增加或删除顶点和边这几个操作的执行速度慢，因为这几个操作需要调整矩阵的尺寸，或者对矩阵进行复制。
|}

邻接表通常是首选的，因为它们能有效地表示'''稀疏图 Sparse Graph'''。如果图是'''稠密图 Dense Graph'''的，那么邻接矩阵是首选的，即边的数目 |'' E ''| 接近于顶点的平方数，|'' V ''|2 ，或者说如果有一条边连接两个顶点，那么所选取的数据结构必须满足可以快速查找到数据。<ref name="clrs">{{citation |first=Thomas H. |last=Cormen |first2=Charles E. |last2=Leiserson |first3=Ronald L. |last3=Rivest |authorlink4=Clifford Stein |first4=Clifford |last4=Stein |year=2001 |title=Introduction to Algorithms|edition=Second |publisher=MIT Press and McGraw-Hill |isbn=0-262-03293-7 |chapter=Section 22.1: Representations of graphs |pages=527–531 }}.</ref><ref name="gt">{{citation|title=Algorithm Design and Applications|first1=Michael T.|last1=Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|publisher=Wiley|year=2015|contribution=Section 13.1: Graph terminology and representations|pages=355–364}}.</ref>

== 图的并行化表示 Parallel Graph Representations==

图问题的并行化面临着重大的挑战: 数据驱动的计算、非结构化问题、局部性差和计算数据访问率高。<ref name=":1">{{Cite book|last=Bader|first=David|url=http://www.ams.org/conm/588/|title=Graph Partitioning and Graph Clustering|last2=Meyerhenke|first2=Henning|last3=Sanders|first3=Peter|last4=Wagner|first4=Dorothea|date=January 2013|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-9038-7|series=Contemporary Mathematics|volume=588|language=en|doi=10.1090/conm/588/11709}}</ref><ref>{{Cite journal|last=LUMSDAINE|first=ANDREW|last2=GREGOR|first2=DOUGLAS|last3=HENDRICKSON|first3=BRUCE|last4=BERRY|first4=JONATHAN|date=March 2007|title=CHALLENGES IN PARALLEL GRAPH PROCESSING|url=http://dx.doi.org/10.1142/s0129626407002843|journal=Parallel Processing Letters|volume=17|issue=01|pages=5–20|doi=10.1142/s0129626407002843|issn=0129-6264}}</ref> 用于并行架构的图表示在面对这些挑战时扮演着重要的角色。选择的表示方式不当可能会增加不必要的算法连接代价，从而降低算法的可扩展性。接下来的段落中，我们将着重探讨共享和分布式的内存架构。

===共享内存 Shared memory===

在共享内存模型下，之所以用于并行处理的图表示与顺序处理的方式相同，<ref name=":0">{{Cite book|last=Sanders|first=Peter|url=https://www.springer.com/gp/book/9783030252083|title=Sequential and Parallel Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox|last2=Mehlhorn|first2=Kurt|last3=Dietzfelbinger|first3=Martin|last4=Dementiev|first4=Roman|date=2019|publisher=Springer International Publishing|isbn=978-3-030-25208-3|language=en}}</ref>是因为对图表示的并行只读访问(例如：邻接表)是共享内存的有效方法。

=== 分布式存储 distributed memory===

在分布式存储模型中，常用的方法是将图的顶点集合<math>V</math> 分解为<math>p</math> 集合 <math> Vo,\dots,V{ p-1}</math> 。这里，<math>p</math> 是可用处理元素 processing elements（PE）的数量。然后，顶点集合分区被分配到具有匹配索引的 PE 中，并附加到相应的边上。每个 PE 都有自己的子图表示法，其中带有另一个分区中端点的边需要特别注意。对于像 MPI 这样的标准通信接口，拥有其他端点的 PE 的 ID 必须是可识别的。在分布式图算法的计算过程中，沿着这些边传递信息意味着连接通信。<ref name=":0" />

图的划分需要仔细地进行——在低效率连接和大小划分之间有一个权衡。<ref>{{Cite web|url=https://www.graphengine.io/downloads/papers/ParallelProcessingOfGraphs.pdf|title=Parallel Processing of Graphs|last=|first=|date=|website=|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>但是图的划分是一个'''NP-难问题 NP-Hard Problem'''，因此计算它们是不可行的。不过，我们可以使用以下启发式。

1D 分区：每个处理器都会得到 <math>n/p</math> 顶点和相应的外边。这可以理解为按行或按列对邻接矩阵进行展开。对于在这种表示形式上运行的算法，需要一个 All-to-All 连接步骤以及 <math> mathcal{o}(m)</math> 消息缓冲区大小，因为每个 PE 可能具有相对于其他 PE 的输出边。<ref name=":2">{{Cite web|url=https://dl.acm.org/doi/abs/10.1145/2063384.2063471|title=Parallel breadth-first search on distributed memory systems {{!}} Proceedings of 2011 International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis|website=dl.acm.org|language=EN|doi=10.1145/2063384.2063471|access-date=2020-02-06}}</ref>

2D 分区：每个处理器都有一个邻接矩阵的子矩阵。假设处理器在一个矩形<math>p = p_r \times p_c</math> 中对齐，其中 <math>p_r</math>和<math>p_c</math>是每行和每列中处理元素的数量。然后每个处理器得到维数<math>(n/p_r)\times(n/p_c)</math> 的邻接矩阵。这可以可视化为矩阵中的棋盘格模式。<ref name=":2" />因此，每个处理单元只能在同一行和列中具有 PE 的输出边。这将每个 PE 的通信伙伴的数量限制为<math>p = p_r \times p_c</math>可能伙伴中的 <math>p_r + p_c - 1</math>个。

 

==参见==

* [[图的遍历 Graph traversal]] 用于图遍历的策略
* [[图数据库 Graph database]] 用于图（数据结构）的持久性
* [[图重构 Graph rewriting]] 用于基于规则的图形转换（图数据结构）
* [[画图软件 Graph drawing software]] 用于绘制图形的软件、系统和系统提供商

==参考文献==

{{reflist}}

==其他链接==

*[http://www.boost.org/libs/graph Boost Graph Library: a powerful C++ graph library]

*[https://networkx.github.com/ Networkx: a Python graph library]

*[http://www.graphmatcher.com GraphMatcher] a java program to align directed/undirected graphs.

*[http://graphblas.org GraphBLAS] A specification for a library interface for operations on graphs, with a particular focus on sparse graphs.

[[Category:图论]]

[[Category:抽象数据类型 ]]

[[Category:图]]

[[Category:超图]]

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动力系统理论 Dynamical Systems Theory

2020-12-18T22:55:15Z

Lux Cicero：更新了第五节相关领域和相关概念中的最新审校结果

'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前，运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

动力系统理论和[[混沌理论]] Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的[[周期点]] Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=Science |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

动态系统理论的概念起源于[[牛顿运动定律]]。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==
===动力系统===

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

===动态主义 ===

[[动态主义]] Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统 Nonlinear System]]是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

===算术动力学===

[[算术动力学]] arithmetic dynamics 是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。传统上来讲，离散动力学的研究对象是复平面或实数轴上的自映射的迭代过程，这一迭代过程构成了离散动力系统。这里的自映射指，从复平面到复平面，或从实数轴到实数轴。算术动力学研究一种特殊的数论性质，这种数论性质是整数、有理数、p进数(p-adic)被某个多项式或者有理函数反复映射，所构成的离散动力系统的数论性质。

===混沌理论===

[[混沌理论]] chaos theory 描述了确定的动力系统，在随时间演化时所展现出的，其演化过程对初始条件高度敏感的特点。这种动力系统的演化行为通常被称为[[蝴蝶效应]] butterfly effect。注意，这里所说的“确定的”（certain）不应与“确定性的” （deterministic）相混淆。前者说的是“确切知道”的意思，后者说的是“排除随机因素和自由意志”意义上的”决定论的“。这样一来，混沌系统的演化行为，也就是初始条件敏感性所导致的后果，呈现成这样：随着系统演化时间增长，初始条件中的微扰对系统状态量的影响随指数增强，使得这种系统的演化行为看起来是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况。这意味着这些系统在初始时刻之后的演化过程完全由他们的初始条件决定，同时没有涉及任何随机成分。这些系统的演化行为就是人们所熟知的确定性混沌 deterministic chaos，或者简称混沌。

=== 复杂系统===

[[复杂系统]] 复杂系统 complex systems 是一个科学研究的领域，它研究自然、社会和科学中复杂系统的共同性质。它也被称为复杂系统理论 complex systems theory、复杂性科学 complexity science、复杂系统研究和关于复杂性的科学 study of complex systems and/or sciences of complexity。这种系统的关键问题在于对他们进行的形式化建模与仿真的困难性。因此，在不同的研究背景中，复杂系统被定义在它们不同属性的基础上。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中更一般的基于还原论的策略已经陷入了不足。因此，复杂系统这一术语，经常在更广泛的意义上，被用来涵盖能处理多种多样知识领域中的问题的研究方法。这些知识领域包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞天性的调查。

=== 控制理论===

[[控制理论]] control theory 是工程和数学的一个交叉学科在某种程度上来说，控制理论研究如何影响动态系统的演化过程；它也是社会科学和数学的一个交叉学科，逐渐应用于多个社会科学领域中，例如心理学、社会学、犯罪学及金融系统 financial system。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是通过改变系统的控制量（输入量），使系统状态量（或输出量）的变化稳定在设定值或设定轨迹附近，且尽量减弱振动。通过控制系统，自动校正系统误差，使得系统状态量（或输出量）稳定在给定范围之内的过程，称之为控制调节；当设定值快速变化时，能利用基于误差传感的负反馈来校正系统误差从而“跟踪”设定值变化的自动装置，称之为伺服机构 servo。

=== 遍历理论===

[[遍历理论]] ergodic theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

[[泛函分析]] functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如Fourier变换，微分方程和积分方程的研究等。泛函分析的名称“functional analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，而这个领域的创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。

===图动力系统===

[[图动力系统]] graph dynamical systems (GDS) 可以用来表示和研究在图上和网络上发生和进行的各种过程。在利用图动力系统所做的数学分析和计算分析中，一个独特的重点是，去把图和网络的结构特性(例如网络的连通性)，与在这些图和网络上所发生和进行的全局动态过程联系起来。
===投影动力系统===

[[投影动力系统]] projected dynamical systems 是一种数学理论。它研究某一类动力系统的演化行为，这类动力系统的解被限制在某一约束集内。这门学科与属于优化问题和均衡问题 equilibrium problems 的“静态世界”，以及属于常微分方程的“动态世界”，都有关联，也有着共同的应用场景。一个投影动力系统是由投影微分方程的流（所有解所构成的集合）所给定的。

投影微分方程具有如下的形式：

<math>\dfrac{dx(t)}{dt}\Pi_{K}(x(t),-F(x(t)))</math>

其中 <math>K</math> 是约束集，满足 <math>K \subset X</math> 是 Hilbert 空间 <math>X</math> 的，凸的，非空的，闭子集；定义在集合<math>K</math> 上的极限<math>\Pi_{K}(x,v)</math> 满足

<math>\Pi_{K}(x,v):=\lim_{\delta \to 0^+}\dfrac{P_K(x+\delta v)-x}{\delta}</math>

其中<math>P_K:X\to K</math> 是从 Hilbert 空间 <math>X</math> 到子集 <math>K</math> 的投影算子。

===符号动力学===

[[符号动力学]] symbolic dynamics 利用无限长的抽象符号序列所构成的离散空间，来对拓扑动力系统或光滑动力系统建模。每个抽象符号都对应一个系统状态，并且系统状态演化的动力学方程，由移位算子 shift operator 对抽象符号序列的作用而给出。

===系统动力学===

[[系统动力学]] system dynamics 是一种方法，用于理解随时间变化的系统行为。这种方法关注于，受内部反馈回路和时间延迟所影响的，系统的整体行为和状态<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)]</ref>。不同于其他研究动力系统的方法，系统动力学使用以下两个要素：反馈回路以及存量与流量。这些要素有助于描述看似简单的系统如何表现出令人费解的非线性行为。

===拓扑动力学===

[[拓扑动力学]] topological dynamics 是动力系统理论的一个分支。它以一般拓扑学的观点来研究动力系统的性质和具有渐近属性的性质。

== 应用==

===在运动生物力学中的应用===

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

===在第二语言发展中的应用===

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

== 相关概念==

{{div col|colwidth=20em}}

* [[面包师映射]] Baker's map

* [[分岔理论]] Bifurcation theory

* [[动力系统]] Dynamical system

* [[具身嵌入认知]] Embodied embedded cognition

* [[斐波那契数]] Fibonacci numbers

* [[分形]] Fractals

* 姜饼人映射 Gingerbreadman map

* [[晕轨道]] Halo orbit

* [[振荡性]] Oscillation

* 后认知主义 Postcognitivism

* [[循环神经网络]] Recurrent neural network

* [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems

* [[协同学]] Synergetics (Haken)

{{div col end}}

==著名学者==

{{div col|colwidth=20em}}

* 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

* 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

* 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

* 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

* 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

* 于尔根·摩泽 JürgenMoser

* 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

* 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

* 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

* 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

* 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

{{div col end}}

==拓展阅读==

*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7}}

*{{cite book |first=Edward J. |last=Beltrami |title=Mathematics for Dynamic Modeling |url=https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C |year=1998 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-085566-7 |edition=2nd }}

*{{cite book |first=Otomar |last=Hájek |title=Dynamical systems in the plane |url=https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ |year=1968 |publisher=Academic Press |ref=harv}}

*{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications |url=https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ |year=1979 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-02594-8 |ref=harv}}

*{{cite book |first1=Anthony |last1=Michel |author2=Kaining Wang |author3=Bo Hu |title=Qualitative Theory of Dynamical Systems |url=https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-8247-0526-8}}

*{{cite book |first1=Louis |last1=Padulo |first2=Michael A. |last2=Arbib |title=System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems |url=https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ |year=1974 |publisher=Saunders |isbn=9780721670355|ref=harv}}

* {{cite book |first=Steven H. |last=Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |year=1994 |publisher=Addison Wesley |isbn=978-0-7382-0453-6 |ref=harv |url-access=registration |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro }}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html Dynamic Systems 动力系统] Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

*[http://mathworld.wolfram.com/DynamicalSystem.html Definition of dynamical system 动力系统的定义] in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==编者推荐==
[[File:chaos.jpg|thumb|100px|right|Chaos]]
===书籍推荐===

====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
 

====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。

===集智课程推荐===
[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应 Butterfly effect、奇异吸引子 Attractors等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。
 

====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
 

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[[category:动力系统]]
[[category:复杂系统理论]]
[[category:计算研究领域]]

蝴蝶效应 Butterfly effect

2020-12-16T06:22:36Z

Lux Cicero：/* 混沌理论中的蝴蝶效应 */

{{#seo:
|keywords=蝴蝶效应混沌理论确定性非线性系统
|description=蝴蝶效应变化复杂系统
}}
== 历史 ==
[[File:蝴蝶效应2.jpg|400px|thumb|right|值ρ= 28，σ= 10，β= 8/3 的Lorenz [[奇异吸引子]]的图。蝴蝶效应或对初始条件的敏感依赖性是[[动力学系统]]的特性，该[[动力学系统]]从[[吸引子]]上的各种任意接近的替代初始条件中的任意一个开始，迭代点将彼此任意散布。]]

美国气象学家爱德华·洛伦茨 Edward N. Lorenz 1963年在一篇发表于《大气科学杂志》 ''Journal of Atmospheric Sciences''的论文《确定性非周期流》''Deterministic Nonperiodic Flow''<ref>Lorenz, Edward N. (March 1963). "[https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Deterministic+non-periodic+flow&author=E.+N.+Lorenz&publication_year=1963 Deterministic Nonperiodic Flow]". Journal of the Atmospheric Sciences. 20(2): 130–141.</ref>中首次观察并分析了这个效应，并在发表于《纽约科学院学报》 ''Transactions of the New York Academy of Sciences'' 的论文《流体动力流的可预测性》''The Predictability of Hydrodynamic Flow'' 中评论说：“一个气象学家曾评论说：'如果这个理论是正确，那么海鸥扇动一次翅膀就足以永远改变天气变化。'在后来的演讲和论文中他用了更加有诗意的表达——"'''蝴蝶效应'''"。

对于这个效应最常见的阐述是："一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。"

其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，蝴蝶的这一动作，影响了它周围的微弱气流，从而微弱地改变了，“天气变化”这一动态过程，导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。一般来说，微观尺度上蝴蝶微弱的干扰，不会影响宏观尺度上整个天气变。然而，在某些情况下，正好是蝴蝶多扇动了一次翅膀所造成的微观效果，由此引起了连锁反应，随后在天气的变化中不断扩大自身，乃至于后来成为龙卷风这样宏观尺度的天气现象。洛伦茨在利用数值工具预测天气变化时，观察到了这样的效应。他发现，将天气模型的初始条件进行看似无关紧要的四舍五入之后，模型所预测的天气变化完全不同于四舍五入之前所预测的那样。实际上，这种现象曾在数学和科学历史上被反复发现过，至少追溯到麦克斯韦 James Clerk Maxwell 和庞加莱 Henri Poincaré ，但是一直没有引起学术界足够的重视，直到1972年，洛伦兹在一场于华盛顿召开的学术会议上，做了那场著名的演讲，题为《可预测性：在巴西的一只蝴蝶扇扇翅膀会引起在特克萨斯州的龙卷风吗》''Predictability: Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?''。在此之后，蝴蝶效应以及这个现象背后的原理开始引起学术界的广泛关注。1975年，李天岩Tien-Yien Li 和詹姆斯·约克 James Yorke’s 发表了题为《周期三意味着混沌》''Period three implies chaos''，正式使用了混沌一词来命名这个领域的研究。随着之后混沌理论的发展，"蝴蝶效应"这个形象又生动的比喻逐渐广为人知 —— 一个不起眼的小动作却有可能会引起一连串的巨大反应。
 

== 概念 ==
==== 混沌理论中的蝴蝶效应 ====
在[[混沌理论]] chaos theory 中，蝴蝶效应指的是动力系统 dynamical system 的一种属性，即其关于初始条件的敏感依赖性 the sensitive dependence on initial conditions 。对于具备这种属性的确定性动力系统 deterministic system，某个状态量的微小改变都有可能导致这个系统之后演化过程的巨大差异。

根据 Gleick (2011) 的考证，“初始条件的敏感依赖性“并不是个全新的概念，之前人们所传颂的谚语中就有提到：

{{Quotation|丢了一只马蹄铁，折了一匹战马；
折了一匹战马，损了一位国王；

损了一位国王，输了一场战争；

输了一场战争，亡了一个帝国。

For want of a nail, the shoe was lost;

For want of a shoe, the horse was lost;

For want of a horse, the rider was lost;

For want of a rider, the battle was lost;

For want of a battle, the kingdom was lost!
}}看起来丢了一只马蹄跌只是一件无关痛痒的小事，但是在事物发展过程中，这却有可能导致完全无法预知的大后果。

蝴蝶效应反映了事物发展经常同时存在“定数”与“变数”，事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循，同时也可能被不可预知、不可精确测量的“变数”所影响。这样使得我们即使已经掌握了确定的规律，但是在根据规律而做预测和推断时，也有可能会失之毫厘，差之千里。微观上的一个小变化却有可能影响宏观上事物的大发展，这反映了一些事物的发展具有复杂性。

====蝴蝶效应的成因分析====
如前文所说，蝴蝶效应指的是动力系统的初始条件敏感依赖性，那么什么样的动力系统会有这样的性质？

最简单的情况就是发散的divergent动力系统。例如削尖的铅笔，其笔尖立在桌子上。理论上它可以保持平衡，但是非常不稳定，稍微一点外力影响就会倒下。如果我们不考虑在铅笔倒下过程中，桌子对铅笔的阻挡作用，那么铅笔倒下之后，就会一直跌落下去，直到无穷远。这个时候我们说，铅笔动力系统的运动轨迹发散到了无穷。这样的铅笔动力系统就是发散的。从过程角度来说，发散的动力系统都具有初始条件敏感依赖性，只要初始条件有一点差异，那么系统的演化过程就会很不一样；从“结果”（长期行为）角度来说，发散的动力系统都不具备初始条件敏感依赖性，因为无论什么样的初始条件，系统的演化过程一定是朝向无穷大（或无穷远）的。

除了发散的动力系统之外，还有一些介于收敛convergent和发散之间的动力系统，会具备初始条件的敏感依赖性。

这类系统又可以分成三类，第一类是含有鞍点saddle point平衡态的系统。和上面说的发散系统不同，对于含有鞍点的系统，当初始条件在鞍点附近的某些区域，系统演化会趋向于鞍点平衡态，而在鞍点附近的另一些区域，系统演化会远离于鞍点平衡态。

第二类是具有多个平衡态和周期态的系统，例如范德波尔振荡器 van der Pol Oscillator。这种振荡器是荷兰物理学家 Balthasar van der Pol 在1927年研究真空管时首次提出的动力系统。对于这种系统来说，当系统初始状态在某一区域时，系统状态先发散，之后的长期行为趋近于周期变化，而系统初始状态在另外一些区域时，系统状态不经发散直接趋于周期变化。如果改变这个动力系统的参数，又会出现，当系统初始状态在某一区域时，系统状态收敛到某一平衡态，而在另一区域时，系统状态又趋于无穷。隧道二极管 tunnel diode 动力系统也有类似的性质。

第三类就是混沌系统，例如洛伦茨所构建的系统。这类系统不仅具备初始条件敏感依赖性，而且既不发散，也不收敛，还表现出非周期aperiodic/nonperiodic现象。狭义的说，洛伦茨所考虑的蝴蝶效应，正是混沌系统的效应。但是严格的说，初始条件敏感依赖性，并不是混沌系统的专有性质。只是在20世纪60年代，人们对于混沌的认识不深，因此把蝴蝶效应定义为了初始条件敏感依赖性，而没有注意区分蝴蝶效应和混沌行为。

今天，我们一般所说的蝴蝶效应，也主要指混沌系统的初始条件敏感依赖性(Shinbrot et al., 1992)。然而，我们不应混淆蝴蝶效应和混沌系统。虽然混沌系统都具备这样的性质，但是具备这样性质的系统，却不一定是混沌系统。

==== 数学定义====
定义：设M是映射<math> f^{t}</math>的状态空间：如果对于任何<math> x∈M</math>和<math> δ> 0</math>，都存在<math> y∈M</math>和距离<math>d(. , .)</math>使得 <math> 0<d(x,y)<δ</math> 且对于某个正数 <math>a</math> 有 <math>d(f^{t}(x),f^{t}(y))>e^{at}d(x,y) </math>，则映射 <math> f^{t}</math> 表现出对初始条件的敏感依赖性。该定义不要求邻域中的所有点都与基点x分开，而是需要一个正的[[李雅普诺夫指数 Lyapunov exponent]]。

逻辑图映射的特定参数化提供了表现出对初始条件敏感依赖的最简单的数学框架：

::<math>x_{n+1} = 4x_n(1-x_n),\quad 0≤x_{0}≤1.</math>

与大多数混沌图映射不同，该图映射具有封闭形式的解决方案：

::<math>x_{n} = sin^{2}(2^{n}θπ).</math>

其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>，对于有理数 <math>θ</math> ，在有限次数的迭代之后，<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的 <math>θ</math> 都是无理数的，那么对于无理数的 <math>θ</math> ，<math>x_{n}</math> 永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸 stretching和折叠 folding ：因子，<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长，这导致对初始条件的敏感依赖（即蝴蝶效应），而正弦平方函数将，<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。

== 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==

:{|class="wikitable" width=100%
|-
! colspan=3| [[洛伦茨吸引子]]中的蝴蝶效应
|-
|colspan="2" style="text-align:center;"| 时间 0 ≤ ''t'' ≤ 30
| style="text-align:center;"| ''z'' 坐标
|-
| colspan="2" style="text-align:center;"|[[File:QQ图片20200428212643.png|400px]]
| style="text-align:center;"|[[File:QQ图片20200428212658.png|400px]]
|-
|colspan=3| 这些两幅图表示了洛伦茨系统从两个相差无几的初始状态（仅在某一方向上差$10^{-5}$）而演化的过程。上图中，蓝色曲线由外侧的蓝色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的蓝色椎体；黄色曲线由外侧的黄色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的黄色椎体。这里把这两条曲线分开绘制的原因是，两条曲线的大部分高度相近，若绘制在一起，则会看起来重合在一起，而不方便我们对比这两条曲线的不同。通过对比这两条曲线，我们可以发现，两条演化轨迹在最后一段时间完全不同，特别是最终位置明显差了一截。
下图对比了两条曲线的沿某一固定方向的坐标变化。其中上半子图是两条曲线的平均坐标变化，下半子图是两条曲线坐标差异的变化。可以看出，最初，两条轨迹几乎是重合的，而当演化时间超过23倍单位时间的时候，两条演化曲线开始不再一致，并且他们的差异开始无规律震荡，到最终30倍单位时间时，两条曲线大概相差15倍单位坐标。
由此可见，初始条件的微小不同（仅在某一方向上差$10^{-5}$倍单位坐标），在经过30倍单位时间的演化后，放大了10万倍，成了巨大的差异（15倍单位坐标）
|-
| style="text-align:center;" colspan="3"| [[洛伦茨吸引子]]的动画显示了不断的发展。
|}

== 各领域中的蝴蝶效应 ==
====天气系统方面====
蝴蝶效应在气象领域是最为人所熟知的，例如标准天气预报模型就可以轻而易举地的演示这一效应。气候科学家詹姆斯·安南 James Annan和威廉·康诺利 William Connolley解释说，混沌对天气预报方法的发展很重要; 天气模型对初始条件很敏感。他们也补充告诫: “当然，是否有一只未知蝴蝶扇动翅膀不会直接显示在天气预报上，因为这样一个微小的扰动需要很长时间才会发展到一个显著的规模，而且还有许多更直接的不确定因素需要我们担心。因此，如果说蝴蝶效应这一现象直接对天气预报造成了什么影响，这一说法往往在某种程度上是错误的。”<ref>{{cite web |url=http://www.realclimate.org/index.php/archives/2005/11/chaos-and-climate/ |title=Chaos and Climate |publisher=RealClimate |accessdate=2014-06-08 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140702105624/http://www.realclimate.org/index.php/archives/2005/11/chaos-and-climate/ |archivedate=2014-07-02 }}</ref>

====量子力学方面====
一些学者已经论证了，量子力学系统中不存在"初始条件的极端（指数）敏感依赖性"，但是量子系统能以一些量子现象反映经典力学中的混沌现象（通过考虑随机矩阵的特征值）。随机矩阵理论和基于量子计算机的仿真也验证了在量子力学中不存在蝴蝶效应（Sinitsyn and Yan, 2020）。<ref>{{Cite journal |title=Postmodern Quantum Mechanics |first=E. J. |last=Heller |first2=S. |last2=Tomsovic |journal=Physics Today |date=July 1993 | doi = 10.1063/1.881358 |volume=46 |issue=7 |pages=38–46|bibcode = 1993PhT....46g..38H }}</ref><ref>{{Cite book |first=Martin C. |last=Gutzwiller |title=Chaos in Classical and Quantum Mechanics |year=1990 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=0-387-97173-4 }}</ref> 一些作者认为，在纯量子处理中不存在对初始条件的极端（指数）依赖；<ref name="What is... Quantum Chaos">{{cite web |url=http://www.ams.org/notices/200801/tx080100032p.pdf |title=What is...Quantum Chaos |first=Ze'ev |last=Rudnick |date=January 2008 |work=Notices of the American Mathematical Society |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20091002000354/http://www.ams.org/notices/200801/tx080100032p.pdf |archivedate=2009-10-02 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Berry |first1=Michael |title=Quantum chaology, not quantum chaos |journal=Physica Scripta |volume=40 |pages=335–336 |year=1989 |doi=10.1088/0031-8949/40/3/013 |bibcode = 1989PhyS...40..335B |issue=3 }}</ref>然而，经典运动证明了系统对初始条件存在敏感依赖，Martin Gutzwiller<ref>{{Cite journal |first=Martin C. |last=Gutzwiller |year=1971 |title=Periodic Orbits and Classical Quantization Conditions |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=12 |issue= 3|page=343 |doi=10.1063/1.1665596 |bibcode = 1971JMP....12..343G }}</ref>、Delos 及其同事发展的半经典处理也纳入了这一点。<ref>{{Cite journal |title=Closed-orbit theory of oscillations in atomic photoabsorption cross sections in a strong electric field. II. Derivation of formulas |first=J. |last=Gao |lastauthoramp=yes |first2=J. B. |last2=Delos |journal=Physical Review A |volume=46 |issue=3 |pages=1455–1467 |year=1992 |doi=10.1103/PhysRevA.46.1455 |pmid=9908268 |bibcode = 1992PhRvA..46.1455G }}</ref>

也有其他学者认为，如果我们换个角度，也可以在量子系统中可以观测到某种演化过程的敏感性，类似经典力学中的蝴蝶效应。在经典力学中，我们所讨论的蝴蝶效应，是对于给定的哈密顿主函数（系统动力学方程），考虑受微扰的系统状态量，从而观察到了系统状态量在微扰作用后的演化差异。而在量子力学中，系统状态量是波函数，并不存在相对于时间的状态发散。于是这些学者考虑，我们在量子力学中，我们固定系统初始状态量，而考虑受微扰的哈密顿主函数，再观察系统状态量的演化差异(Peres, 2006)。从这个方面考虑，卡库谢夫斯基 Karkuszewski 等学者，以系统状态量的重叠程度作为"标度"measure，研究了对于同一初始状态，不同哈密顿量的敏感性水平。这一视角是思考量子混沌的一条路径，不过基本上不被算作量子力学版本的蝴蝶效应。<ref name="iqc.ca">{{cite web|title=A Rough Guide to Quantum Chaos |first=David |last=Poulin |url=http://www.iqc.ca/publications/tutorials/chaos.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20101104132156/http://www.iqc.ca/publications/tutorials/chaos.pdf |archivedate=2010-11-04 }}</ref><ref>{{Cite book |first=A. |last=Peres |title=Quantum Theory: Concepts and Methods |publisher=Kluwer Academic |location=Dordrecht |year=1995 |isbn= }}</ref>这种量子蝴蝶效应已被实验证实。<ref>{{Cite journal |title=Quantum amplifier: Measurement with entangled spins |first=Jae-Seung |last=Lee |lastauthoramp=yes |first2=A. K. |last2=Khitrin |journal=Journal of Chemical Physics |volume=121 |issue=9 |pages=3949–51 |year=2004 |doi=10.1063/1.1788661 |pmid=15332940 |bibcode = 2004JChPh.121.3949L }}</ref>量子和半经典处理的系统对初始条件的敏感性被称为量子混沌。<ref name="What is... Quantum Chaos"/><ref name="iqc.ca"/>

====中国古籍中的蝴蝶效应====
《吕氏春秋·察微》原文：

楚之边邑曰卑梁，其处女与吴之边邑处女桑于境上，戏而伤卑梁之处女。卑梁人操其伤子以让吴人，吴人应之不恭，怒，杀而去之。吴人往报之，尽屠其家。卑梁公怒，曰：“吴人焉敢攻吾邑？”举兵反攻之，老弱尽杀之矣。吴王夷昧闻之，怒，使人举兵侵楚之边邑，克夷而后去之。

吴、楚以此大隆。吴公子光又率师与楚人战于鸡父，大败楚人，获其帅潘子臣、小帷子、陈夏啮。又反伐郢，得荆平王之夫人以归，实为鸡父之战。凡持国，太上知始，其次知终，其次知中。三者不能，国必危，身必穷。

《孝经》曰：“高而不危，所以长守贵也；满而不溢，所以长守富也。富贵不离其身，然后能保其社稷，而和其民人。”楚不能之也。

译文：

楚国有个边境城邑叫卑梁，那里的姑娘和吴国边境城邑的姑娘同在边境上采桑叶，游戏时，吴国的姑娘弄伤了卑梁的姑娘。卑梁的人带着受伤的姑娘去责备吴国人。吴国人出言不恭，卑梁人十分恼火，杀死吴人走了。吴国人去卑梁报复，把那个卑梁人全家都杀了。

卑梁的守邑大夫大怒，说：“吴国人怎么敢攻打我的城邑？”于是发兵反击吴人，把吴人老幼全都杀死了。吴王夷昧听到这件事后很生气，派人领兵入侵楚国的边境城邑，攻占夷以后才离去。吴国和楚国因此发生了大规模的冲突。吴国公子光又率领军队在鸡父和楚国人交战，大败楚军，俘获了楚军的主帅潘子臣、小帷子以及陈国的大夫夏啮。又接着攻打郢都，获得楚平王的夫人而回。这就是鸡父之战。凡是主持国事，最上等的是要了解事情开始时的情势，其次是要预见到事情的结局，再次是要知道事情发展的经过。这三点都做不到，国家一定危险，自身一定困窘。

《孝经》上说：“高却不倾危，就能长期保持尊贵；满却不外溢，就能长期保持富足。富贵不离其身，然后才能保住他的国家，而且安定他的人民。”可是楚国做不到这一点。

====流行文化的引用====
2008年，记者彼得·迪齐克斯 Peter Dizikes在《波士顿环球报 The Boston Globe》上撰文指出，流行文化喜欢蝴蝶效应这个概念，但却把它搞错了。相比于洛伦茨用蝴蝶的隐喻正确地指出了可预测性“本质上是有限的” ，流行文化却假定，每一个发生的事件都可以由寻找引起它的基本条件来进行解释。迪齐克斯解释说: “这说明了我们更大的期望，那就是这个世界应该是可以理解的 —— 也就是每件事的发生都是合理的（可以用理性去探究推理的），并且我们可以明确且准确的进行解释，无论这些解释所用的基本条件有多么细微。然而，大自然本身就漠视了这种期望”<ref name="Globe">{{cite news |last1=Dizikes |first1=Petyer |title=The meaning of the butterfly |url=http://archive.boston.com/bostonglobe/ideas/articles/2008/06/08/the_meaning_of_the_butterfly/?page=full |accessdate=8 June 2016 |agency=The Boston Globe |date=8 June 2008 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160418154015/http://archive.boston.com/bostonglobe/ideas/articles/2008/06/08/the_meaning_of_the_butterfly/?page=full |archivedate=18 April 2016 }}</ref>

== 进一步阅读 ==
* 刘式达. 从蝴蝶效应谈起[M]. 湖南教育出版社, 1994.[http://book.ixueshu.com/book/85d13e4864d81241.html]
* 韩立新, 霍江河. “蝴蝶效应”与网络舆论生成机制[J]. 当代传播, 2008(06):65-68.[https://www.ixueshu.com/document/37b2a6291a6e745b.html]
* 匡文波. 论新媒体传播中的“蝴蝶效应”及其对策[J]. 国际新闻界, 2009, 6(8):72-75.[https://www.ixueshu.com/document/3c180ef4115de4af.html]

== 参考文献 ==
<references/>

 

== 编者推荐 ==
===集智推荐===
====[https://campus.swarma.org/course/1647 Chaos and the Butterfly Effect]====
本节课程，将主要围绕逻辑斯谛方程（logistic equation），一种迭代函数，带领大家初步认识蝴蝶效应（butterfly effect），将讨论蝴蝶效应的影响，并深入探讨随机性（randomness）概念。

====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应（butterfly effect）、奇异吸引子（attractors）等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。

====[https://swarma.org/?p=21251 蝴蝶效应和混沌故事 | 陈关荣]====
“人们经常都会看到，纯粹理论研究的一点点成果，也许在很长时间之后，会导致连做该纯理论研究的科学家都始料不及的实际应用。”

====[https://swarma.org/?p=22581 什么是动力系统理论 | 集智百科]====
动力系统理论 dynamical systems theory ，也常译作动力学理论、或动力系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。

===书籍推荐===
====《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》====
[[File:蝴蝶效应之谜.jpg|400px|right|thumb|《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》封面]]
内容简介:有人将分形和混沌理论誉为继相对论和量子力学之后的20世纪物理学的第三次革命。本书首先描述了各种分形的基础知识和特性，包括线性迭代产生的分形如分形龙、科和曲线等，以及非线性迭代产生的曼德勃罗集、朱利亚集等。通过这些例子，介绍了自相似性及分数维的概念。然后，遵循混沌现象发展的历史，通过讲述庞加莱的三体问题、洛伦茨的蝴蝶效应等等故事和趣闻，将读者带进神奇混沌理论的天地中。再进一步通过对一个简单混沌系统--逻辑斯蒂映射的探讨，详细介绍分岔理论、稳定性、及费根鲍姆普适常数等概念。

本书后半部分，介绍了分形和混沌在各个领域的应用及前景、分形和混沌的关系、以及与分形混沌密切相关而发展起来的非线性科学。

====《蝴蝶效应（知微见著，影响我们生活的，往往是从小事开始。）》====
内容简介:本书剖析了以“蝴蝶效应”为代表的诸多心理学规律、法则在人们生活、工作等方面运行的心理机制：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。本书语言生动流畅，案例与理论鲜明而不枯燥，能帮助读者从容应对种种不可控却对生活影响至深的事件……

====《蝴蝶效应经济和社会中那些不可忽略的小事件》====
内容简介:社会科学特别是经济学传统的思维方式将世界看作一部机器，虽然复杂但却可以被理解传统的经济学思维方式往往将世界看作一部机器，虽然复杂但却可以被理解甚至控制。这种思维至多只能片面地说明世界是如何运转的，而无法看到世界的本质。为什么犯罪率居高不下？为什么投资过亿的电影，票房表现却差强人意？为什么成年人中单身的比例越来越高？这些都是主流经济学没能完美地解释的问题。在本书中，作者从蚂蚁模型出发，通过大量的事例，详细地解释了蝴蝶效应在社会与经济运行中的作用。个体的品位和偏好会受到社会中其他人的影响，将这一理念加入到经济学分析中可以解释很多社会现象。本书为政府决策人、经济学学者、经济学专业学生以及对经济学感兴趣的读者提供了多元的视角、生动的案例和变革性的方法。

===视频推荐===
====[http://www.le.com/ptv/vplay/26917825.html?ch=360_kan&site=360_kan 电影《蝴蝶效应》]====
剧情简介: 伊万（艾什顿·库奇 Ashton Kutcher 饰）曾经有一个糟糕的童年，因为他行为闯下了大祸，令他童年充满不堪回忆的往事。而事实上，他确实只是依稀记得一点可怕的情景，这些情景一直纠缠着他的正常生活。伊万接受心理学家建议，把琐碎生活记在记事本里，却偶然发现通过记事本回到过去。这时他才清楚记起，童年时候的自己做了那么多的错事。他幻想着用现在的意识，潜入童年的身体，去弥补种种过失给人们带来的伤害，尤其是希望与当年暗恋的凯西最终走回一起。然而他一次次的跨越时空的更改，只能越来越招致现实世界的不可救药。一切就像蝴蝶效应般，牵一发而动全身。

====[https://b23.tv/ZRj1GU 视频《什么是蝴蝶效应》]====
剧情简介:利用动画生动的展现了由于一只蝴蝶扇动翅膀而造成的一系列事件，从而诠释[[蝴蝶效应]]。

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[[Category:以动物作比喻]]

蝴蝶效应 Butterfly effect

2020-12-16T06:21:20Z

Lux Cicero：/* 混沌理论中的蝴蝶效应 */ 马蹄铁民谣的格式调整

{{#seo:
|keywords=蝴蝶效应混沌理论确定性非线性系统
|description=蝴蝶效应变化复杂系统
}}
== 历史 ==
[[File:蝴蝶效应2.jpg|400px|thumb|right|值ρ= 28，σ= 10，β= 8/3 的Lorenz [[奇异吸引子]]的图。蝴蝶效应或对初始条件的敏感依赖性是[[动力学系统]]的特性，该[[动力学系统]]从[[吸引子]]上的各种任意接近的替代初始条件中的任意一个开始，迭代点将彼此任意散布。]]

美国气象学家爱德华·洛伦茨 Edward N. Lorenz 1963年在一篇发表于《大气科学杂志》 ''Journal of Atmospheric Sciences''的论文《确定性非周期流》''Deterministic Nonperiodic Flow''<ref>Lorenz, Edward N. (March 1963). "[https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Deterministic+non-periodic+flow&author=E.+N.+Lorenz&publication_year=1963 Deterministic Nonperiodic Flow]". Journal of the Atmospheric Sciences. 20(2): 130–141.</ref>中首次观察并分析了这个效应，并在发表于《纽约科学院学报》 ''Transactions of the New York Academy of Sciences'' 的论文《流体动力流的可预测性》''The Predictability of Hydrodynamic Flow'' 中评论说：“一个气象学家曾评论说：'如果这个理论是正确，那么海鸥扇动一次翅膀就足以永远改变天气变化。'在后来的演讲和论文中他用了更加有诗意的表达——"'''蝴蝶效应'''"。

对于这个效应最常见的阐述是："一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。"

其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，蝴蝶的这一动作，影响了它周围的微弱气流，从而微弱地改变了，“天气变化”这一动态过程，导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。一般来说，微观尺度上蝴蝶微弱的干扰，不会影响宏观尺度上整个天气变。然而，在某些情况下，正好是蝴蝶多扇动了一次翅膀所造成的微观效果，由此引起了连锁反应，随后在天气的变化中不断扩大自身，乃至于后来成为龙卷风这样宏观尺度的天气现象。洛伦茨在利用数值工具预测天气变化时，观察到了这样的效应。他发现，将天气模型的初始条件进行看似无关紧要的四舍五入之后，模型所预测的天气变化完全不同于四舍五入之前所预测的那样。实际上，这种现象曾在数学和科学历史上被反复发现过，至少追溯到麦克斯韦 James Clerk Maxwell 和庞加莱 Henri Poincaré ，但是一直没有引起学术界足够的重视，直到1972年，洛伦兹在一场于华盛顿召开的学术会议上，做了那场著名的演讲，题为《可预测性：在巴西的一只蝴蝶扇扇翅膀会引起在特克萨斯州的龙卷风吗》''Predictability: Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?''。在此之后，蝴蝶效应以及这个现象背后的原理开始引起学术界的广泛关注。1975年，李天岩Tien-Yien Li 和詹姆斯·约克 James Yorke’s 发表了题为《周期三意味着混沌》''Period three implies chaos''，正式使用了混沌一词来命名这个领域的研究。随着之后混沌理论的发展，"蝴蝶效应"这个形象又生动的比喻逐渐广为人知 —— 一个不起眼的小动作却有可能会引起一连串的巨大反应。
 

== 概念 ==
==== 混沌理论中的蝴蝶效应 ====
在[[混沌理论]] chaos theory 中，蝴蝶效应指的是动力系统 dynamical system 的一种属性，即其关于初始条件的敏感依赖性 the sensitive dependence on initial conditions 。对于具备这种属性的确定性动力系统 deterministic system，某个状态量的微小改变都有可能导致这个系统之后演化过程的巨大差异。

根据 Gleick (2011) 的考证，“初始条件的敏感依赖性“并不是个全新的概念，之前人们所传颂的谚语中就有提到：

{{Quotation|“丢了一只马蹄铁，折了一匹战马；
折了一匹战马，损了一位国王；

损了一位国王，输了一场战争；

输了一场战争，亡了一个帝国。

For want of a nail, the shoe was lost;

For want of a shoe, the horse was lost;

For want of a horse, the rider was lost;

For want of a rider, the battle was lost;

For want of a battle, the kingdom was lost!”
}}看起来丢了一只马蹄跌只是一件无关痛痒的小事，但是在事物发展过程中，这却有可能导致完全无法预知的大后果。

蝴蝶效应反映了事物发展经常同时存在“定数”与“变数”，事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循，同时也可能被不可预知、不可精确测量的“变数”所影响。这样使得我们即使已经掌握了确定的规律，但是在根据规律而做预测和推断时，也有可能会失之毫厘，差之千里。微观上的一个小变化却有可能影响宏观上事物的大发展，这反映了一些事物的发展具有复杂性。

====蝴蝶效应的成因分析====
如前文所说，蝴蝶效应指的是动力系统的初始条件敏感依赖性，那么什么样的动力系统会有这样的性质？

最简单的情况就是发散的divergent动力系统。例如削尖的铅笔，其笔尖立在桌子上。理论上它可以保持平衡，但是非常不稳定，稍微一点外力影响就会倒下。如果我们不考虑在铅笔倒下过程中，桌子对铅笔的阻挡作用，那么铅笔倒下之后，就会一直跌落下去，直到无穷远。这个时候我们说，铅笔动力系统的运动轨迹发散到了无穷。这样的铅笔动力系统就是发散的。从过程角度来说，发散的动力系统都具有初始条件敏感依赖性，只要初始条件有一点差异，那么系统的演化过程就会很不一样；从“结果”（长期行为）角度来说，发散的动力系统都不具备初始条件敏感依赖性，因为无论什么样的初始条件，系统的演化过程一定是朝向无穷大（或无穷远）的。

除了发散的动力系统之外，还有一些介于收敛convergent和发散之间的动力系统，会具备初始条件的敏感依赖性。

这类系统又可以分成三类，第一类是含有鞍点saddle point平衡态的系统。和上面说的发散系统不同，对于含有鞍点的系统，当初始条件在鞍点附近的某些区域，系统演化会趋向于鞍点平衡态，而在鞍点附近的另一些区域，系统演化会远离于鞍点平衡态。

第二类是具有多个平衡态和周期态的系统，例如范德波尔振荡器 van der Pol Oscillator。这种振荡器是荷兰物理学家 Balthasar van der Pol 在1927年研究真空管时首次提出的动力系统。对于这种系统来说，当系统初始状态在某一区域时，系统状态先发散，之后的长期行为趋近于周期变化，而系统初始状态在另外一些区域时，系统状态不经发散直接趋于周期变化。如果改变这个动力系统的参数，又会出现，当系统初始状态在某一区域时，系统状态收敛到某一平衡态，而在另一区域时，系统状态又趋于无穷。隧道二极管 tunnel diode 动力系统也有类似的性质。

第三类就是混沌系统，例如洛伦茨所构建的系统。这类系统不仅具备初始条件敏感依赖性，而且既不发散，也不收敛，还表现出非周期aperiodic/nonperiodic现象。狭义的说，洛伦茨所考虑的蝴蝶效应，正是混沌系统的效应。但是严格的说，初始条件敏感依赖性，并不是混沌系统的专有性质。只是在20世纪60年代，人们对于混沌的认识不深，因此把蝴蝶效应定义为了初始条件敏感依赖性，而没有注意区分蝴蝶效应和混沌行为。

今天，我们一般所说的蝴蝶效应，也主要指混沌系统的初始条件敏感依赖性(Shinbrot et al., 1992)。然而，我们不应混淆蝴蝶效应和混沌系统。虽然混沌系统都具备这样的性质，但是具备这样性质的系统，却不一定是混沌系统。

==== 数学定义====
定义：设M是映射<math> f^{t}</math>的状态空间：如果对于任何<math> x∈M</math>和<math> δ> 0</math>，都存在<math> y∈M</math>和距离<math>d(. , .)</math>使得 <math> 0<d(x,y)<δ</math> 且对于某个正数 <math>a</math> 有 <math>d(f^{t}(x),f^{t}(y))>e^{at}d(x,y) </math>，则映射 <math> f^{t}</math> 表现出对初始条件的敏感依赖性。该定义不要求邻域中的所有点都与基点x分开，而是需要一个正的[[李雅普诺夫指数 Lyapunov exponent]]。

逻辑图映射的特定参数化提供了表现出对初始条件敏感依赖的最简单的数学框架：

::<math>x_{n+1} = 4x_n(1-x_n),\quad 0≤x_{0}≤1.</math>

与大多数混沌图映射不同，该图映射具有封闭形式的解决方案：

::<math>x_{n} = sin^{2}(2^{n}θπ).</math>

其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>，对于有理数 <math>θ</math> ，在有限次数的迭代之后，<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的 <math>θ</math> 都是无理数的，那么对于无理数的 <math>θ</math> ，<math>x_{n}</math> 永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸 stretching和折叠 folding ：因子，<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长，这导致对初始条件的敏感依赖（即蝴蝶效应），而正弦平方函数将，<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。

== 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==

:{|class="wikitable" width=100%
|-
! colspan=3| [[洛伦茨吸引子]]中的蝴蝶效应
|-
|colspan="2" style="text-align:center;"| 时间 0 ≤ ''t'' ≤ 30
| style="text-align:center;"| ''z'' 坐标
|-
| colspan="2" style="text-align:center;"|[[File:QQ图片20200428212643.png|400px]]
| style="text-align:center;"|[[File:QQ图片20200428212658.png|400px]]
|-
|colspan=3| 这些两幅图表示了洛伦茨系统从两个相差无几的初始状态（仅在某一方向上差$10^{-5}$）而演化的过程。上图中，蓝色曲线由外侧的蓝色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的蓝色椎体；黄色曲线由外侧的黄色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的黄色椎体。这里把这两条曲线分开绘制的原因是，两条曲线的大部分高度相近，若绘制在一起，则会看起来重合在一起，而不方便我们对比这两条曲线的不同。通过对比这两条曲线，我们可以发现，两条演化轨迹在最后一段时间完全不同，特别是最终位置明显差了一截。
下图对比了两条曲线的沿某一固定方向的坐标变化。其中上半子图是两条曲线的平均坐标变化，下半子图是两条曲线坐标差异的变化。可以看出，最初，两条轨迹几乎是重合的，而当演化时间超过23倍单位时间的时候，两条演化曲线开始不再一致，并且他们的差异开始无规律震荡，到最终30倍单位时间时，两条曲线大概相差15倍单位坐标。
由此可见，初始条件的微小不同（仅在某一方向上差$10^{-5}$倍单位坐标），在经过30倍单位时间的演化后，放大了10万倍，成了巨大的差异（15倍单位坐标）
|-
| style="text-align:center;" colspan="3"| [[洛伦茨吸引子]]的动画显示了不断的发展。
|}

== 各领域中的蝴蝶效应 ==
====天气系统方面====
蝴蝶效应在气象领域是最为人所熟知的，例如标准天气预报模型就可以轻而易举地的演示这一效应。气候科学家詹姆斯·安南 James Annan和威廉·康诺利 William Connolley解释说，混沌对天气预报方法的发展很重要; 天气模型对初始条件很敏感。他们也补充告诫: “当然，是否有一只未知蝴蝶扇动翅膀不会直接显示在天气预报上，因为这样一个微小的扰动需要很长时间才会发展到一个显著的规模，而且还有许多更直接的不确定因素需要我们担心。因此，如果说蝴蝶效应这一现象直接对天气预报造成了什么影响，这一说法往往在某种程度上是错误的。”<ref>{{cite web |url=http://www.realclimate.org/index.php/archives/2005/11/chaos-and-climate/ |title=Chaos and Climate |publisher=RealClimate |accessdate=2014-06-08 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140702105624/http://www.realclimate.org/index.php/archives/2005/11/chaos-and-climate/ |archivedate=2014-07-02 }}</ref>

====量子力学方面====
一些学者已经论证了，量子力学系统中不存在"初始条件的极端（指数）敏感依赖性"，但是量子系统能以一些量子现象反映经典力学中的混沌现象（通过考虑随机矩阵的特征值）。随机矩阵理论和基于量子计算机的仿真也验证了在量子力学中不存在蝴蝶效应（Sinitsyn and Yan, 2020）。<ref>{{Cite journal |title=Postmodern Quantum Mechanics |first=E. J. |last=Heller |first2=S. |last2=Tomsovic |journal=Physics Today |date=July 1993 | doi = 10.1063/1.881358 |volume=46 |issue=7 |pages=38–46|bibcode = 1993PhT....46g..38H }}</ref><ref>{{Cite book |first=Martin C. |last=Gutzwiller |title=Chaos in Classical and Quantum Mechanics |year=1990 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=0-387-97173-4 }}</ref> 一些作者认为，在纯量子处理中不存在对初始条件的极端（指数）依赖；<ref name="What is... Quantum Chaos">{{cite web |url=http://www.ams.org/notices/200801/tx080100032p.pdf |title=What is...Quantum Chaos |first=Ze'ev |last=Rudnick |date=January 2008 |work=Notices of the American Mathematical Society |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20091002000354/http://www.ams.org/notices/200801/tx080100032p.pdf |archivedate=2009-10-02 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Berry |first1=Michael |title=Quantum chaology, not quantum chaos |journal=Physica Scripta |volume=40 |pages=335–336 |year=1989 |doi=10.1088/0031-8949/40/3/013 |bibcode = 1989PhyS...40..335B |issue=3 }}</ref>然而，经典运动证明了系统对初始条件存在敏感依赖，Martin Gutzwiller<ref>{{Cite journal |first=Martin C. |last=Gutzwiller |year=1971 |title=Periodic Orbits and Classical Quantization Conditions |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=12 |issue= 3|page=343 |doi=10.1063/1.1665596 |bibcode = 1971JMP....12..343G }}</ref>、Delos 及其同事发展的半经典处理也纳入了这一点。<ref>{{Cite journal |title=Closed-orbit theory of oscillations in atomic photoabsorption cross sections in a strong electric field. II. Derivation of formulas |first=J. |last=Gao |lastauthoramp=yes |first2=J. B. |last2=Delos |journal=Physical Review A |volume=46 |issue=3 |pages=1455–1467 |year=1992 |doi=10.1103/PhysRevA.46.1455 |pmid=9908268 |bibcode = 1992PhRvA..46.1455G }}</ref>

也有其他学者认为，如果我们换个角度，也可以在量子系统中可以观测到某种演化过程的敏感性，类似经典力学中的蝴蝶效应。在经典力学中，我们所讨论的蝴蝶效应，是对于给定的哈密顿主函数（系统动力学方程），考虑受微扰的系统状态量，从而观察到了系统状态量在微扰作用后的演化差异。而在量子力学中，系统状态量是波函数，并不存在相对于时间的状态发散。于是这些学者考虑，我们在量子力学中，我们固定系统初始状态量，而考虑受微扰的哈密顿主函数，再观察系统状态量的演化差异(Peres, 2006)。从这个方面考虑，卡库谢夫斯基 Karkuszewski 等学者，以系统状态量的重叠程度作为"标度"measure，研究了对于同一初始状态，不同哈密顿量的敏感性水平。这一视角是思考量子混沌的一条路径，不过基本上不被算作量子力学版本的蝴蝶效应。<ref name="iqc.ca">{{cite web|title=A Rough Guide to Quantum Chaos |first=David |last=Poulin |url=http://www.iqc.ca/publications/tutorials/chaos.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20101104132156/http://www.iqc.ca/publications/tutorials/chaos.pdf |archivedate=2010-11-04 }}</ref><ref>{{Cite book |first=A. |last=Peres |title=Quantum Theory: Concepts and Methods |publisher=Kluwer Academic |location=Dordrecht |year=1995 |isbn= }}</ref>这种量子蝴蝶效应已被实验证实。<ref>{{Cite journal |title=Quantum amplifier: Measurement with entangled spins |first=Jae-Seung |last=Lee |lastauthoramp=yes |first2=A. K. |last2=Khitrin |journal=Journal of Chemical Physics |volume=121 |issue=9 |pages=3949–51 |year=2004 |doi=10.1063/1.1788661 |pmid=15332940 |bibcode = 2004JChPh.121.3949L }}</ref>量子和半经典处理的系统对初始条件的敏感性被称为量子混沌。<ref name="What is... Quantum Chaos"/><ref name="iqc.ca"/>

====中国古籍中的蝴蝶效应====
《吕氏春秋·察微》原文：

楚之边邑曰卑梁，其处女与吴之边邑处女桑于境上，戏而伤卑梁之处女。卑梁人操其伤子以让吴人，吴人应之不恭，怒，杀而去之。吴人往报之，尽屠其家。卑梁公怒，曰：“吴人焉敢攻吾邑？”举兵反攻之，老弱尽杀之矣。吴王夷昧闻之，怒，使人举兵侵楚之边邑，克夷而后去之。

吴、楚以此大隆。吴公子光又率师与楚人战于鸡父，大败楚人，获其帅潘子臣、小帷子、陈夏啮。又反伐郢，得荆平王之夫人以归，实为鸡父之战。凡持国，太上知始，其次知终，其次知中。三者不能，国必危，身必穷。

《孝经》曰：“高而不危，所以长守贵也；满而不溢，所以长守富也。富贵不离其身，然后能保其社稷，而和其民人。”楚不能之也。

译文：

楚国有个边境城邑叫卑梁，那里的姑娘和吴国边境城邑的姑娘同在边境上采桑叶，游戏时，吴国的姑娘弄伤了卑梁的姑娘。卑梁的人带着受伤的姑娘去责备吴国人。吴国人出言不恭，卑梁人十分恼火，杀死吴人走了。吴国人去卑梁报复，把那个卑梁人全家都杀了。

卑梁的守邑大夫大怒，说：“吴国人怎么敢攻打我的城邑？”于是发兵反击吴人，把吴人老幼全都杀死了。吴王夷昧听到这件事后很生气，派人领兵入侵楚国的边境城邑，攻占夷以后才离去。吴国和楚国因此发生了大规模的冲突。吴国公子光又率领军队在鸡父和楚国人交战，大败楚军，俘获了楚军的主帅潘子臣、小帷子以及陈国的大夫夏啮。又接着攻打郢都，获得楚平王的夫人而回。这就是鸡父之战。凡是主持国事，最上等的是要了解事情开始时的情势，其次是要预见到事情的结局，再次是要知道事情发展的经过。这三点都做不到，国家一定危险，自身一定困窘。

《孝经》上说：“高却不倾危，就能长期保持尊贵；满却不外溢，就能长期保持富足。富贵不离其身，然后才能保住他的国家，而且安定他的人民。”可是楚国做不到这一点。

====流行文化的引用====
2008年，记者彼得·迪齐克斯 Peter Dizikes在《波士顿环球报 The Boston Globe》上撰文指出，流行文化喜欢蝴蝶效应这个概念，但却把它搞错了。相比于洛伦茨用蝴蝶的隐喻正确地指出了可预测性“本质上是有限的” ，流行文化却假定，每一个发生的事件都可以由寻找引起它的基本条件来进行解释。迪齐克斯解释说: “这说明了我们更大的期望，那就是这个世界应该是可以理解的 —— 也就是每件事的发生都是合理的（可以用理性去探究推理的），并且我们可以明确且准确的进行解释，无论这些解释所用的基本条件有多么细微。然而，大自然本身就漠视了这种期望”<ref name="Globe">{{cite news |last1=Dizikes |first1=Petyer |title=The meaning of the butterfly |url=http://archive.boston.com/bostonglobe/ideas/articles/2008/06/08/the_meaning_of_the_butterfly/?page=full |accessdate=8 June 2016 |agency=The Boston Globe |date=8 June 2008 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160418154015/http://archive.boston.com/bostonglobe/ideas/articles/2008/06/08/the_meaning_of_the_butterfly/?page=full |archivedate=18 April 2016 }}</ref>

== 进一步阅读 ==
* 刘式达. 从蝴蝶效应谈起[M]. 湖南教育出版社, 1994.[http://book.ixueshu.com/book/85d13e4864d81241.html]
* 韩立新, 霍江河. “蝴蝶效应”与网络舆论生成机制[J]. 当代传播, 2008(06):65-68.[https://www.ixueshu.com/document/37b2a6291a6e745b.html]
* 匡文波. 论新媒体传播中的“蝴蝶效应”及其对策[J]. 国际新闻界, 2009, 6(8):72-75.[https://www.ixueshu.com/document/3c180ef4115de4af.html]

== 参考文献 ==
<references/>

 

== 编者推荐 ==
===集智推荐===
====[https://campus.swarma.org/course/1647 Chaos and the Butterfly Effect]====
本节课程，将主要围绕逻辑斯谛方程（logistic equation），一种迭代函数，带领大家初步认识蝴蝶效应（butterfly effect），将讨论蝴蝶效应的影响，并深入探讨随机性（randomness）概念。

====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应（butterfly effect）、奇异吸引子（attractors）等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。

====[https://swarma.org/?p=21251 蝴蝶效应和混沌故事 | 陈关荣]====
“人们经常都会看到，纯粹理论研究的一点点成果，也许在很长时间之后，会导致连做该纯理论研究的科学家都始料不及的实际应用。”

====[https://swarma.org/?p=22581 什么是动力系统理论 | 集智百科]====
动力系统理论 dynamical systems theory ，也常译作动力学理论、或动力系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。

===书籍推荐===
====《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》====
[[File:蝴蝶效应之谜.jpg|400px|right|thumb|《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》封面]]
内容简介:有人将分形和混沌理论誉为继相对论和量子力学之后的20世纪物理学的第三次革命。本书首先描述了各种分形的基础知识和特性，包括线性迭代产生的分形如分形龙、科和曲线等，以及非线性迭代产生的曼德勃罗集、朱利亚集等。通过这些例子，介绍了自相似性及分数维的概念。然后，遵循混沌现象发展的历史，通过讲述庞加莱的三体问题、洛伦茨的蝴蝶效应等等故事和趣闻，将读者带进神奇混沌理论的天地中。再进一步通过对一个简单混沌系统--逻辑斯蒂映射的探讨，详细介绍分岔理论、稳定性、及费根鲍姆普适常数等概念。

本书后半部分，介绍了分形和混沌在各个领域的应用及前景、分形和混沌的关系、以及与分形混沌密切相关而发展起来的非线性科学。

====《蝴蝶效应（知微见著，影响我们生活的，往往是从小事开始。）》====
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====《蝴蝶效应经济和社会中那些不可忽略的小事件》====
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====[http://www.le.com/ptv/vplay/26917825.html?ch=360_kan&site=360_kan 电影《蝴蝶效应》]====
剧情简介: 伊万（艾什顿·库奇 Ashton Kutcher 饰）曾经有一个糟糕的童年，因为他行为闯下了大祸，令他童年充满不堪回忆的往事。而事实上，他确实只是依稀记得一点可怕的情景，这些情景一直纠缠着他的正常生活。伊万接受心理学家建议，把琐碎生活记在记事本里，却偶然发现通过记事本回到过去。这时他才清楚记起，童年时候的自己做了那么多的错事。他幻想着用现在的意识，潜入童年的身体，去弥补种种过失给人们带来的伤害，尤其是希望与当年暗恋的凯西最终走回一起。然而他一次次的跨越时空的更改，只能越来越招致现实世界的不可救药。一切就像蝴蝶效应般，牵一发而动全身。

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蝴蝶效应 Butterfly effect

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Lux Cicero：/* 成因分析 */

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|keywords=蝴蝶效应混沌理论确定性非线性系统
|description=蝴蝶效应变化复杂系统
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== 历史 ==
[[File:蝴蝶效应2.jpg|400px|thumb|right|值ρ= 28，σ= 10，β= 8/3 的Lorenz [[奇异吸引子]]的图。蝴蝶效应或对初始条件的敏感依赖性是[[动力学系统]]的特性，该[[动力学系统]]从[[吸引子]]上的各种任意接近的替代初始条件中的任意一个开始，迭代点将彼此任意散布。]]

美国气象学家爱德华·洛伦茨 Edward N. Lorenz 1963年在一篇发表于《大气科学杂志》 ''Journal of Atmospheric Sciences''的论文《确定性非周期流》''Deterministic Nonperiodic Flow''<ref>Lorenz, Edward N. (March 1963). "[https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Deterministic+non-periodic+flow&author=E.+N.+Lorenz&publication_year=1963 Deterministic Nonperiodic Flow]". Journal of the Atmospheric Sciences. 20(2): 130–141.</ref>中首次观察并分析了这个效应，并在发表于《纽约科学院学报》 ''Transactions of the New York Academy of Sciences'' 的论文《流体动力流的可预测性》''The Predictability of Hydrodynamic Flow'' 中评论说：“一个气象学家曾评论说：'如果这个理论是正确，那么海鸥扇动一次翅膀就足以永远改变天气变化。'在后来的演讲和论文中他用了更加有诗意的表达——"'''蝴蝶效应'''"。

对于这个效应最常见的阐述是："一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。"

其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，蝴蝶的这一动作，影响了它周围的微弱气流，从而微弱地改变了，“天气变化”这一动态过程，导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。一般来说，微观尺度上蝴蝶微弱的干扰，不会影响宏观尺度上整个天气变。然而，在某些情况下，正好是蝴蝶多扇动了一次翅膀所造成的微观效果，由此引起了连锁反应，随后在天气的变化中不断扩大自身，乃至于后来成为龙卷风这样宏观尺度的天气现象。洛伦茨在利用数值工具预测天气变化时，观察到了这样的效应。他发现，将天气模型的初始条件进行看似无关紧要的四舍五入之后，模型所预测的天气变化完全不同于四舍五入之前所预测的那样。实际上，这种现象曾在数学和科学历史上被反复发现过，至少追溯到麦克斯韦 James Clerk Maxwell 和庞加莱 Henri Poincaré ，但是一直没有引起学术界足够的重视，直到1972年，洛伦兹在一场于华盛顿召开的学术会议上，做了那场著名的演讲，题为《可预测性：在巴西的一只蝴蝶扇扇翅膀会引起在特克萨斯州的龙卷风吗》''Predictability: Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?''。在此之后，蝴蝶效应以及这个现象背后的原理开始引起学术界的广泛关注。1975年，李天岩Tien-Yien Li 和詹姆斯·约克 James Yorke’s 发表了题为《周期三意味着混沌》''Period three implies chaos''，正式使用了混沌一词来命名这个领域的研究。随着之后混沌理论的发展，"蝴蝶效应"这个形象又生动的比喻逐渐广为人知 —— 一个不起眼的小动作却有可能会引起一连串的巨大反应。
 

== 概念 ==
==== 混沌理论中的蝴蝶效应 ====
在[[混沌理论]] chaos theory 中，蝴蝶效应指的是动力系统 dynamical system 的一种属性，即其关于初始条件的敏感依赖性 the sensitive dependence on initial conditions 。对于具备这种属性的确定性动力系统 deterministic system，某个状态量的微小改变都有可能导致这个系统之后演化过程的巨大差异。

根据 Gleick (2011) 的考证，“初始条件的敏感依赖性“并不是个全新的概念，之前人们所传颂的谚语中就有提到：

丢了一只马蹄铁，折了一匹战马；
折了一匹战马，损了一位国王；
损了一位国王，输了一场战争；
输了一场战争，亡了一个帝国。”

“For want of a nail, the shoe was lost;
For want of a shoe, the horse was lost;
For want of a horse, the rider was lost;
For want of a rider, the battle was lost;
For want of a battle, the kingdom was lost!”

看起来丢了一只马蹄跌只是一件无关痛痒的小事，但是在事物发展过程中，这却有可能导致完全无法预知的大后果。

蝴蝶效应反映了事物发展经常同时存在“定数”与“变数”，事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循，同时也可能被不可预知、不可精确测量的“变数”所影响。这样使得我们即使已经掌握了确定的规律，但是在根据规律而做预测和推断时，也有可能会失之毫厘，差之千里。微观上的一个小变化却有可能影响宏观上事物的大发展，这反映了一些事物的发展具有复杂性。

====蝴蝶效应的成因分析====
如前文所说，蝴蝶效应指的是动力系统的初始条件敏感依赖性，那么什么样的动力系统会有这样的性质？

最简单的情况就是发散的divergent动力系统。例如削尖的铅笔，其笔尖立在桌子上。理论上它可以保持平衡，但是非常不稳定，稍微一点外力影响就会倒下。如果我们不考虑在铅笔倒下过程中，桌子对铅笔的阻挡作用，那么铅笔倒下之后，就会一直跌落下去，直到无穷远。这个时候我们说，铅笔动力系统的运动轨迹发散到了无穷。这样的铅笔动力系统就是发散的。从过程角度来说，发散的动力系统都具有初始条件敏感依赖性，只要初始条件有一点差异，那么系统的演化过程就会很不一样；从“结果”（长期行为）角度来说，发散的动力系统都不具备初始条件敏感依赖性，因为无论什么样的初始条件，系统的演化过程一定是朝向无穷大（或无穷远）的。

除了发散的动力系统之外，还有一些介于收敛convergent和发散之间的动力系统，会具备初始条件的敏感依赖性。

这类系统又可以分成三类，第一类是含有鞍点saddle point平衡态的系统。和上面说的发散系统不同，对于含有鞍点的系统，当初始条件在鞍点附近的某些区域，系统演化会趋向于鞍点平衡态，而在鞍点附近的另一些区域，系统演化会远离于鞍点平衡态。

第二类是具有多个平衡态和周期态的系统，例如范德波尔振荡器 van der Pol Oscillator。这种振荡器是荷兰物理学家 Balthasar van der Pol 在1927年研究真空管时首次提出的动力系统。对于这种系统来说，当系统初始状态在某一区域时，系统状态先发散，之后的长期行为趋近于周期变化，而系统初始状态在另外一些区域时，系统状态不经发散直接趋于周期变化。如果改变这个动力系统的参数，又会出现，当系统初始状态在某一区域时，系统状态收敛到某一平衡态，而在另一区域时，系统状态又趋于无穷。隧道二极管 tunnel diode 动力系统也有类似的性质。

第三类就是混沌系统，例如洛伦茨所构建的系统。这类系统不仅具备初始条件敏感依赖性，而且既不发散，也不收敛，还表现出非周期aperiodic/nonperiodic现象。狭义的说，洛伦茨所考虑的蝴蝶效应，正是混沌系统的效应。但是严格的说，初始条件敏感依赖性，并不是混沌系统的专有性质。只是在20世纪60年代，人们对于混沌的认识不深，因此把蝴蝶效应定义为了初始条件敏感依赖性，而没有注意区分蝴蝶效应和混沌行为。

今天，我们一般所说的蝴蝶效应，也主要指混沌系统的初始条件敏感依赖性(Shinbrot et al., 1992)。然而，我们不应混淆蝴蝶效应和混沌系统。虽然混沌系统都具备这样的性质，但是具备这样性质的系统，却不一定是混沌系统。

==== 数学定义====
定义：设M是映射<math> f^{t}</math>的状态空间：如果对于任何<math> x∈M</math>和<math> δ> 0</math>，都存在<math> y∈M</math>和距离<math>d(. , .)</math>使得 <math> 0<d(x,y)<δ</math> 且对于某个正数 <math>a</math> 有 <math>d(f^{t}(x),f^{t}(y))>e^{at}d(x,y) </math>，则映射 <math> f^{t}</math> 表现出对初始条件的敏感依赖性。该定义不要求邻域中的所有点都与基点x分开，而是需要一个正的[[李雅普诺夫指数 Lyapunov exponent]]。

逻辑图映射的特定参数化提供了表现出对初始条件敏感依赖的最简单的数学框架：

::<math>x_{n+1} = 4x_n(1-x_n),\quad 0≤x_{0}≤1.</math>

与大多数混沌图映射不同，该图映射具有封闭形式的解决方案：

::<math>x_{n} = sin^{2}(2^{n}θπ).</math>

其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>，对于有理数 <math>θ</math> ，在有限次数的迭代之后，<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的 <math>θ</math> 都是无理数的，那么对于无理数的 <math>θ</math> ，<math>x_{n}</math> 永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸 stretching和折叠 folding ：因子，<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长，这导致对初始条件的敏感依赖（即蝴蝶效应），而正弦平方函数将，<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。

== 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==

:{|class="wikitable" width=100%
|-
! colspan=3| [[洛伦茨吸引子]]中的蝴蝶效应
|-
|colspan="2" style="text-align:center;"| 时间 0 ≤ ''t'' ≤ 30
| style="text-align:center;"| ''z'' 坐标
|-
| colspan="2" style="text-align:center;"|[[File:QQ图片20200428212643.png|400px]]
| style="text-align:center;"|[[File:QQ图片20200428212658.png|400px]]
|-
|colspan=3| 这些两幅图表示了洛伦茨系统从两个相差无几的初始状态（仅在某一方向上差$10^{-5}$）而演化的过程。上图中，蓝色曲线由外侧的蓝色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的蓝色椎体；黄色曲线由外侧的黄色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的黄色椎体。这里把这两条曲线分开绘制的原因是，两条曲线的大部分高度相近，若绘制在一起，则会看起来重合在一起，而不方便我们对比这两条曲线的不同。通过对比这两条曲线，我们可以发现，两条演化轨迹在最后一段时间完全不同，特别是最终位置明显差了一截。
下图对比了两条曲线的沿某一固定方向的坐标变化。其中上半子图是两条曲线的平均坐标变化，下半子图是两条曲线坐标差异的变化。可以看出，最初，两条轨迹几乎是重合的，而当演化时间超过23倍单位时间的时候，两条演化曲线开始不再一致，并且他们的差异开始无规律震荡，到最终30倍单位时间时，两条曲线大概相差15倍单位坐标。
由此可见，初始条件的微小不同（仅在某一方向上差$10^{-5}$倍单位坐标），在经过30倍单位时间的演化后，放大了10万倍，成了巨大的差异（15倍单位坐标）
|-
| style="text-align:center;" colspan="3"| [[洛伦茨吸引子]]的动画显示了不断的发展。
|}

== 各领域中的蝴蝶效应 ==
====天气系统方面====
蝴蝶效应在气象领域是最为人所熟知的，例如标准天气预报模型就可以轻而易举地的演示这一效应。气候科学家詹姆斯·安南 James Annan和威廉·康诺利 William Connolley解释说，混沌对天气预报方法的发展很重要; 天气模型对初始条件很敏感。他们也补充告诫: “当然，是否有一只未知蝴蝶扇动翅膀不会直接显示在天气预报上，因为这样一个微小的扰动需要很长时间才会发展到一个显著的规模，而且还有许多更直接的不确定因素需要我们担心。因此，如果说蝴蝶效应这一现象直接对天气预报造成了什么影响，这一说法往往在某种程度上是错误的。”<ref>{{cite web |url=http://www.realclimate.org/index.php/archives/2005/11/chaos-and-climate/ |title=Chaos and Climate |publisher=RealClimate |accessdate=2014-06-08 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140702105624/http://www.realclimate.org/index.php/archives/2005/11/chaos-and-climate/ |archivedate=2014-07-02 }}</ref>

====量子力学方面====
一些学者已经论证了，量子力学系统中不存在"初始条件的极端（指数）敏感依赖性"，但是量子系统能以一些量子现象反映经典力学中的混沌现象（通过考虑随机矩阵的特征值）。随机矩阵理论和基于量子计算机的仿真也验证了在量子力学中不存在蝴蝶效应（Sinitsyn and Yan, 2020）。<ref>{{Cite journal |title=Postmodern Quantum Mechanics |first=E. J. |last=Heller |first2=S. |last2=Tomsovic |journal=Physics Today |date=July 1993 | doi = 10.1063/1.881358 |volume=46 |issue=7 |pages=38–46|bibcode = 1993PhT....46g..38H }}</ref><ref>{{Cite book |first=Martin C. |last=Gutzwiller |title=Chaos in Classical and Quantum Mechanics |year=1990 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=0-387-97173-4 }}</ref> 一些作者认为，在纯量子处理中不存在对初始条件的极端（指数）依赖；<ref name="What is... Quantum Chaos">{{cite web |url=http://www.ams.org/notices/200801/tx080100032p.pdf |title=What is...Quantum Chaos |first=Ze'ev |last=Rudnick |date=January 2008 |work=Notices of the American Mathematical Society |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20091002000354/http://www.ams.org/notices/200801/tx080100032p.pdf |archivedate=2009-10-02 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Berry |first1=Michael |title=Quantum chaology, not quantum chaos |journal=Physica Scripta |volume=40 |pages=335–336 |year=1989 |doi=10.1088/0031-8949/40/3/013 |bibcode = 1989PhyS...40..335B |issue=3 }}</ref>然而，经典运动证明了系统对初始条件存在敏感依赖，Martin Gutzwiller<ref>{{Cite journal |first=Martin C. |last=Gutzwiller |year=1971 |title=Periodic Orbits and Classical Quantization Conditions |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=12 |issue= 3|page=343 |doi=10.1063/1.1665596 |bibcode = 1971JMP....12..343G }}</ref>、Delos 及其同事发展的半经典处理也纳入了这一点。<ref>{{Cite journal |title=Closed-orbit theory of oscillations in atomic photoabsorption cross sections in a strong electric field. II. Derivation of formulas |first=J. |last=Gao |lastauthoramp=yes |first2=J. B. |last2=Delos |journal=Physical Review A |volume=46 |issue=3 |pages=1455–1467 |year=1992 |doi=10.1103/PhysRevA.46.1455 |pmid=9908268 |bibcode = 1992PhRvA..46.1455G }}</ref>

也有其他学者认为，如果我们换个角度，也可以在量子系统中可以观测到某种演化过程的敏感性，类似经典力学中的蝴蝶效应。在经典力学中，我们所讨论的蝴蝶效应，是对于给定的哈密顿主函数（系统动力学方程），考虑受微扰的系统状态量，从而观察到了系统状态量在微扰作用后的演化差异。而在量子力学中，系统状态量是波函数，并不存在相对于时间的状态发散。于是这些学者考虑，我们在量子力学中，我们固定系统初始状态量，而考虑受微扰的哈密顿主函数，再观察系统状态量的演化差异(Peres, 2006)。从这个方面考虑，卡库谢夫斯基 Karkuszewski 等学者，以系统状态量的重叠程度作为"标度"measure，研究了对于同一初始状态，不同哈密顿量的敏感性水平。这一视角是思考量子混沌的一条路径，不过基本上不被算作量子力学版本的蝴蝶效应。<ref name="iqc.ca">{{cite web|title=A Rough Guide to Quantum Chaos |first=David |last=Poulin |url=http://www.iqc.ca/publications/tutorials/chaos.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20101104132156/http://www.iqc.ca/publications/tutorials/chaos.pdf |archivedate=2010-11-04 }}</ref><ref>{{Cite book |first=A. |last=Peres |title=Quantum Theory: Concepts and Methods |publisher=Kluwer Academic |location=Dordrecht |year=1995 |isbn= }}</ref>这种量子蝴蝶效应已被实验证实。<ref>{{Cite journal |title=Quantum amplifier: Measurement with entangled spins |first=Jae-Seung |last=Lee |lastauthoramp=yes |first2=A. K. |last2=Khitrin |journal=Journal of Chemical Physics |volume=121 |issue=9 |pages=3949–51 |year=2004 |doi=10.1063/1.1788661 |pmid=15332940 |bibcode = 2004JChPh.121.3949L }}</ref>量子和半经典处理的系统对初始条件的敏感性被称为量子混沌。<ref name="What is... Quantum Chaos"/><ref name="iqc.ca"/>

====中国古籍中的蝴蝶效应====
《吕氏春秋·察微》原文：

楚之边邑曰卑梁，其处女与吴之边邑处女桑于境上，戏而伤卑梁之处女。卑梁人操其伤子以让吴人，吴人应之不恭，怒，杀而去之。吴人往报之，尽屠其家。卑梁公怒，曰：“吴人焉敢攻吾邑？”举兵反攻之，老弱尽杀之矣。吴王夷昧闻之，怒，使人举兵侵楚之边邑，克夷而后去之。

吴、楚以此大隆。吴公子光又率师与楚人战于鸡父，大败楚人，获其帅潘子臣、小帷子、陈夏啮。又反伐郢，得荆平王之夫人以归，实为鸡父之战。凡持国，太上知始，其次知终，其次知中。三者不能，国必危，身必穷。

《孝经》曰：“高而不危，所以长守贵也；满而不溢，所以长守富也。富贵不离其身，然后能保其社稷，而和其民人。”楚不能之也。

译文：

楚国有个边境城邑叫卑梁，那里的姑娘和吴国边境城邑的姑娘同在边境上采桑叶，游戏时，吴国的姑娘弄伤了卑梁的姑娘。卑梁的人带着受伤的姑娘去责备吴国人。吴国人出言不恭，卑梁人十分恼火，杀死吴人走了。吴国人去卑梁报复，把那个卑梁人全家都杀了。

卑梁的守邑大夫大怒，说：“吴国人怎么敢攻打我的城邑？”于是发兵反击吴人，把吴人老幼全都杀死了。吴王夷昧听到这件事后很生气，派人领兵入侵楚国的边境城邑，攻占夷以后才离去。吴国和楚国因此发生了大规模的冲突。吴国公子光又率领军队在鸡父和楚国人交战，大败楚军，俘获了楚军的主帅潘子臣、小帷子以及陈国的大夫夏啮。又接着攻打郢都，获得楚平王的夫人而回。这就是鸡父之战。凡是主持国事，最上等的是要了解事情开始时的情势，其次是要预见到事情的结局，再次是要知道事情发展的经过。这三点都做不到，国家一定危险，自身一定困窘。

《孝经》上说：“高却不倾危，就能长期保持尊贵；满却不外溢，就能长期保持富足。富贵不离其身，然后才能保住他的国家，而且安定他的人民。”可是楚国做不到这一点。

====流行文化的引用====
2008年，记者彼得·迪齐克斯 Peter Dizikes在《波士顿环球报 The Boston Globe》上撰文指出，流行文化喜欢蝴蝶效应这个概念，但却把它搞错了。相比于洛伦茨用蝴蝶的隐喻正确地指出了可预测性“本质上是有限的” ，流行文化却假定，每一个发生的事件都可以由寻找引起它的基本条件来进行解释。迪齐克斯解释说: “这说明了我们更大的期望，那就是这个世界应该是可以理解的 —— 也就是每件事的发生都是合理的（可以用理性去探究推理的），并且我们可以明确且准确的进行解释，无论这些解释所用的基本条件有多么细微。然而，大自然本身就漠视了这种期望”<ref name="Globe">{{cite news |last1=Dizikes |first1=Petyer |title=The meaning of the butterfly |url=http://archive.boston.com/bostonglobe/ideas/articles/2008/06/08/the_meaning_of_the_butterfly/?page=full |accessdate=8 June 2016 |agency=The Boston Globe |date=8 June 2008 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160418154015/http://archive.boston.com/bostonglobe/ideas/articles/2008/06/08/the_meaning_of_the_butterfly/?page=full |archivedate=18 April 2016 }}</ref>

== 进一步阅读 ==
* 刘式达. 从蝴蝶效应谈起[M]. 湖南教育出版社, 1994.[http://book.ixueshu.com/book/85d13e4864d81241.html]
* 韩立新, 霍江河. “蝴蝶效应”与网络舆论生成机制[J]. 当代传播, 2008(06):65-68.[https://www.ixueshu.com/document/37b2a6291a6e745b.html]
* 匡文波. 论新媒体传播中的“蝴蝶效应”及其对策[J]. 国际新闻界, 2009, 6(8):72-75.[https://www.ixueshu.com/document/3c180ef4115de4af.html]

== 参考文献 ==
<references/>

 

== 编者推荐 ==
===集智推荐===
====[https://campus.swarma.org/course/1647 Chaos and the Butterfly Effect]====
本节课程，将主要围绕逻辑斯谛方程（logistic equation），一种迭代函数，带领大家初步认识蝴蝶效应（butterfly effect），将讨论蝴蝶效应的影响，并深入探讨随机性（randomness）概念。

====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应（butterfly effect）、奇异吸引子（attractors）等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。

====[https://swarma.org/?p=21251 蝴蝶效应和混沌故事 | 陈关荣]====
“人们经常都会看到，纯粹理论研究的一点点成果，也许在很长时间之后，会导致连做该纯理论研究的科学家都始料不及的实际应用。”

====[https://swarma.org/?p=22581 什么是动力系统理论 | 集智百科]====
动力系统理论 dynamical systems theory ，也常译作动力学理论、或动力系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。

===书籍推荐===
====《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》====
[[File:蝴蝶效应之谜.jpg|400px|right|thumb|《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》封面]]
内容简介:有人将分形和混沌理论誉为继相对论和量子力学之后的20世纪物理学的第三次革命。本书首先描述了各种分形的基础知识和特性，包括线性迭代产生的分形如分形龙、科和曲线等，以及非线性迭代产生的曼德勃罗集、朱利亚集等。通过这些例子，介绍了自相似性及分数维的概念。然后，遵循混沌现象发展的历史，通过讲述庞加莱的三体问题、洛伦茨的蝴蝶效应等等故事和趣闻，将读者带进神奇混沌理论的天地中。再进一步通过对一个简单混沌系统--逻辑斯蒂映射的探讨，详细介绍分岔理论、稳定性、及费根鲍姆普适常数等概念。

本书后半部分，介绍了分形和混沌在各个领域的应用及前景、分形和混沌的关系、以及与分形混沌密切相关而发展起来的非线性科学。

====《蝴蝶效应（知微见著，影响我们生活的，往往是从小事开始。）》====
内容简介:本书剖析了以“蝴蝶效应”为代表的诸多心理学规律、法则在人们生活、工作等方面运行的心理机制：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。本书语言生动流畅，案例与理论鲜明而不枯燥，能帮助读者从容应对种种不可控却对生活影响至深的事件……

====《蝴蝶效应经济和社会中那些不可忽略的小事件》====
内容简介:社会科学特别是经济学传统的思维方式将世界看作一部机器，虽然复杂但却可以被理解传统的经济学思维方式往往将世界看作一部机器，虽然复杂但却可以被理解甚至控制。这种思维至多只能片面地说明世界是如何运转的，而无法看到世界的本质。为什么犯罪率居高不下？为什么投资过亿的电影，票房表现却差强人意？为什么成年人中单身的比例越来越高？这些都是主流经济学没能完美地解释的问题。在本书中，作者从蚂蚁模型出发，通过大量的事例，详细地解释了蝴蝶效应在社会与经济运行中的作用。个体的品位和偏好会受到社会中其他人的影响，将这一理念加入到经济学分析中可以解释很多社会现象。本书为政府决策人、经济学学者、经济学专业学生以及对经济学感兴趣的读者提供了多元的视角、生动的案例和变革性的方法。

===视频推荐===
====[http://www.le.com/ptv/vplay/26917825.html?ch=360_kan&site=360_kan 电影《蝴蝶效应》]====
剧情简介: 伊万（艾什顿·库奇 Ashton Kutcher 饰）曾经有一个糟糕的童年，因为他行为闯下了大祸，令他童年充满不堪回忆的往事。而事实上，他确实只是依稀记得一点可怕的情景，这些情景一直纠缠着他的正常生活。伊万接受心理学家建议，把琐碎生活记在记事本里，却偶然发现通过记事本回到过去。这时他才清楚记起，童年时候的自己做了那么多的错事。他幻想着用现在的意识，潜入童年的身体，去弥补种种过失给人们带来的伤害，尤其是希望与当年暗恋的凯西最终走回一起。然而他一次次的跨越时空的更改，只能越来越招致现实世界的不可救药。一切就像蝴蝶效应般，牵一发而动全身。

====[https://b23.tv/ZRj1GU 视频《什么是蝴蝶效应》]====
剧情简介:利用动画生动的展现了由于一只蝴蝶扇动翅膀而造成的一系列事件，从而诠释[[蝴蝶效应]]。

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动力系统理论 Dynamical Systems Theory

2020-12-09T20:58:33Z

Lux Cicero：

'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前，运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

动力系统理论和[[混沌理论]] Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的[[周期点]] Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=Science |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

动态系统理论的概念起源于[[牛顿运动定律]]。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==
===动力系统===

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

===动态主义 ===

[[动态主义]] Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统 Nonlinear System]]是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

===算术动力学===

[[算术动力学]] Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

===混沌理论===

[[混沌理论]] Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

=== 复杂系统===

[[复杂系统]] Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

=== 控制理论===

[[控制理论]] Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

=== 遍历理论===

[[遍历理论]] Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

[[泛函分析]] Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

===图动力系统===

[[图动力系统]] Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

===投影动力系统===

[[投影动力系统]] Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。
通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：
:<math>
\frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t)))
</math>
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

===符号动力学===

[[符号动力学]] Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。

===系统动力学===

[[系统动力学]] System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)]</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

===拓扑动力学===

[[拓扑动力学]] Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

== 应用==

===在运动生物力学中的应用===

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

===在第二语言发展中的应用===

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

== 相关概念==

{{div col|colwidth=20em}}

* [[贝克地图]] Baker's map

* [[分支理论]] bifurcation theory

* [[动力系统]] Dynamical system

* [[具身嵌入认知]] Embodied Embedded Cognition

* [[斐波那契数]] Fibonacci numbers

* [[分形]] Fractals

* Gingerbreadman map

* [[Halo 轨道]] Halo orbit

* [[振动性]] Oscillation

* Postcognitivism

* [[递归神经网络]] Recurrent neural network

* [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems

* [[协同学]] Synergetics Haken

{{div col end}}

==著名学者==

{{div col|colwidth=20em}}

* 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

* 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

* 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

* 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

* 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

* 于尔根·摩泽 JürgenMoser

* 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

* 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

* 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

* 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

* 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

{{div col end}}

==拓展阅读==

*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7}}

*{{cite book |first=Edward J. |last=Beltrami |title=Mathematics for Dynamic Modeling |url=https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C |year=1998 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-085566-7 |edition=2nd }}

*{{cite book |first=Otomar |last=Hájek |title=Dynamical systems in the plane |url=https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ |year=1968 |publisher=Academic Press |ref=harv}}

*{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications |url=https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ |year=1979 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-02594-8 |ref=harv}}

*{{cite book |first1=Anthony |last1=Michel |author2=Kaining Wang |author3=Bo Hu |title=Qualitative Theory of Dynamical Systems |url=https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-8247-0526-8}}

*{{cite book |first1=Louis |last1=Padulo |first2=Michael A. |last2=Arbib |title=System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems |url=https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ |year=1974 |publisher=Saunders |isbn=9780721670355|ref=harv}}

* {{cite book |first=Steven H. |last=Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |year=1994 |publisher=Addison Wesley |isbn=978-0-7382-0453-6 |ref=harv |url-access=registration |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro }}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html Dynamic Systems 动力系统] Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

*[http://mathworld.wolfram.com/DynamicalSystem.html Definition of dynamical system 动力系统的定义] in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==编者推荐==
[[File:chaos.jpg|thumb|100px|right|Chaos]]
===书籍推荐===

====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
 

====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。

===集智课程推荐===
[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
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====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
 

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[[category:复杂系统理论]]
[[category:计算研究领域]]

动力系统理论 Dynamical Systems Theory

2020-12-09T20:38:18Z

Lux Cicero：

'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么
描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前，运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

动力系统理论和[[混沌理论]] Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的[[周期点]] Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=Science |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

动态系统理论的概念起源于[[牛顿运动定律]]。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==
===动力系统===

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

===动态主义 ===

[[动态主义]] Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统 Nonlinear System]]是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

===算术动力学===

[[算术动力学]] Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

===混沌理论===

[[混沌理论]] Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

=== 复杂系统===

[[复杂系统]] Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

=== 控制理论===

[[控制理论]] Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

=== 遍历理论===

[[遍历理论]] Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

[[泛函分析]] Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

===图动力系统===

[[图动力系统]] Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

===投影动力系统===

[[投影动力系统]] Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。
通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：
:<math>
\frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t)))
</math>
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

===符号动力学===

[[符号动力学]] Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。

===系统动力学===

[[系统动力学]] System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)]</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

===拓扑动力学===

[[拓扑动力学]] Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

== 应用==

===在运动生物力学中的应用===

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

===在第二语言发展中的应用===

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

== 相关概念==

{{div col|colwidth=20em}}

* [[贝克地图]] Baker's map

* [[分支理论]] bifurcation theory

* [[动力系统]] Dynamical system

* [[具身嵌入认知]] Embodied Embedded Cognition

* [[斐波那契数]] Fibonacci numbers

* [[分形]] Fractals

* Gingerbreadman map

* [[Halo 轨道]] Halo orbit

* [[振动性]] Oscillation

* Postcognitivism

* [[递归神经网络]] Recurrent neural network

* [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems

* [[协同学]] Synergetics Haken

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==著名学者==

{{div col|colwidth=20em}}

* 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

* 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

* 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

* 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

* 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

* 于尔根·摩泽 JürgenMoser

* 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

* 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

* 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

* 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

* 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

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==拓展阅读==

*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7}}

*{{cite book |first=Edward J. |last=Beltrami |title=Mathematics for Dynamic Modeling |url=https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C |year=1998 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-085566-7 |edition=2nd }}

*{{cite book |first=Otomar |last=Hájek |title=Dynamical systems in the plane |url=https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ |year=1968 |publisher=Academic Press |ref=harv}}

*{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications |url=https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ |year=1979 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-02594-8 |ref=harv}}

*{{cite book |first1=Anthony |last1=Michel |author2=Kaining Wang |author3=Bo Hu |title=Qualitative Theory of Dynamical Systems |url=https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-8247-0526-8}}

*{{cite book |first1=Louis |last1=Padulo |first2=Michael A. |last2=Arbib |title=System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems |url=https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ |year=1974 |publisher=Saunders |isbn=9780721670355|ref=harv}}

* {{cite book |first=Steven H. |last=Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |year=1994 |publisher=Addison Wesley |isbn=978-0-7382-0453-6 |ref=harv |url-access=registration |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro }}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html Dynamic Systems 动力系统] Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

*[http://mathworld.wolfram.com/DynamicalSystem.html Definition of dynamical system 动力系统的定义] in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==编者推荐==
[[File:chaos.jpg|thumb|100px|right|Chaos]]
===书籍推荐===

====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
 

====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。

===集智课程推荐===
[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应 Butterfly effect、奇异吸引子 Attractors等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。
 

====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
 

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[[category:复杂系统理论]]
[[category:计算研究领域]]

动力系统理论 Dynamical Systems Theory

2020-12-09T20:28:26Z

Lux Cicero：

'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么
描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前，运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

动力系统理论和[[混沌理论]] Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的[[周期点]] Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=Science |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

动态系统理论的概念起源于[[牛顿运动定律]]。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==
===动力系统===

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

===动态主义 ===

[[动态主义]] Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统 Nonlinear System]]是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

===算术动力学===

[[算术动力学]] Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

===混沌理论===

[[混沌理论]] Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

=== 复杂系统===

[[复杂系统]] Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

=== 控制理论===

[[控制理论]] Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

=== 遍历理论===

[[遍历理论]] Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

[[泛函分析]] Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

===图动力系统===

[[图动力系统]] Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

===投影动力系统===

[[投影动力系统]] Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。
通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：
:<math>
\frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t)))
</math>
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

===符号动力学===

[[符号动力学]] Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。

===系统动力学===

[[系统动力学]] System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)]</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

===拓扑动力学===

[[拓扑动力学]] Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

== 应用==

===在运动生物力学中的应用===

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

===在第二语言发展中的应用===

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

== 相关概念==

{{div col|colwidth=20em}}

* [[贝克地图]] Baker's map

* [[分支理论]] bifurcation theory

* [[动力系统]] Dynamical system

* [[具身嵌入认知]] Embodied Embedded Cognition

* [[斐波那契数]] Fibonacci numbers

* [[分形]] Fractals

* Gingerbreadman map

* [[Halo 轨道]] Halo orbit

* [[振动性]] Oscillation

* Postcognitivism

* [[递归神经网络]] Recurrent neural network

* [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems

* [[协同学]] Synergetics Haken

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==著名学者==

{{div col|colwidth=20em}}

* 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

* 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

* 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

* 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

* 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

* 于尔根·摩泽 JürgenMoser

* 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

* 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

* 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

* 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

* 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

{{div col end}}

==拓展阅读==

*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7}}

*{{cite book |first=Edward J. |last=Beltrami |title=Mathematics for Dynamic Modeling |url=https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C |year=1998 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-085566-7 |edition=2nd }}

*{{cite book |first=Otomar |last=Hájek |title=Dynamical systems in the plane |url=https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ |year=1968 |publisher=Academic Press |ref=harv}}

*{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications |url=https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ |year=1979 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-02594-8 |ref=harv}}

*{{cite book |first1=Anthony |last1=Michel |author2=Kaining Wang |author3=Bo Hu |title=Qualitative Theory of Dynamical Systems |url=https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-8247-0526-8}}

*{{cite book |first1=Louis |last1=Padulo |first2=Michael A. |last2=Arbib |title=System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems |url=https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ |year=1974 |publisher=Saunders |isbn=9780721670355|ref=harv}}

* {{cite book |first=Steven H. |last=Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |year=1994 |publisher=Addison Wesley |isbn=978-0-7382-0453-6 |ref=harv |url-access=registration |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro }}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html Dynamic Systems 动力系统] Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

*[http://mathworld.wolfram.com/DynamicalSystem.html Definition of dynamical system 动力系统的定义] in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==编者推荐==
[[File:chaos.jpg|thumb|100px|right|Chaos]]
===书籍推荐===

====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
 

====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。

===集智课程推荐===
[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应 Butterfly effect、奇异吸引子 Attractors等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。
 

====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
 

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本中文词条由[[用户:嘉树|嘉树]]编译，[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]]审校，[[用户:打豆豆|打豆豆]]编辑，欢迎在讨论页面留言。

'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''
[[category:动力系统]]
[[category:复杂系统理论]]
[[category:计算研究领域]]

动力系统理论 Dynamical Systems Theory

2020-12-09T20:17:19Z

Lux Cicero：

'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么
描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前，运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

动力系统理论和[[混沌理论]] Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的[[周期点]] Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=Science |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

动态系统理论的概念起源于[[牛顿运动定律]]。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==
===动力系统===

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

===动态主义 ===

[[动态主义]] Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统 Nonlinear System]]是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

===算术动力学===

[[算术动力学]] Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

===混沌理论===

[[混沌理论]] Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

=== 复杂系统===

[[复杂系统]] Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

=== 控制理论===

[[控制理论]] Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

=== 遍历理论===

[[遍历理论]] Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

[[泛函分析]] Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

===图动力系统===

[[图动力系统]] Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

===投影动力系统===

[[投影动力系统]] Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。
通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：
:<math>
\frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t)))
</math>
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

===符号动力学===

[[符号动力学]] Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。

===系统动力学===

[[系统动力学]] System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)]</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

===拓扑动力学===

[[拓扑动力学]] Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

== 应用==

===在运动生物力学中的应用===

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

===在第二语言发展中的应用===

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

== 相关概念==

{{div col|colwidth=20em}}

* [[贝克地图]] Baker's map

* [[分支理论]] bifurcation theory

* [[动力系统]] Dynamical system

* [[具身嵌入认知]] Embodied Embedded Cognition

* [[斐波那契数]] Fibonacci numbers

* [[分形]] Fractals

* Gingerbreadman map

* [[Halo 轨道]] Halo orbit

* [[振动性]] Oscillation

* Postcognitivism

* [[递归神经网络]] Recurrent neural network

* [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems

* [[协同学]] Synergetics Haken

{{div col end}}

==著名学者==

{{div col|colwidth=20em}}

* 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

* 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

* 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

* 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

* 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

* 于尔根·摩泽 JürgenMoser

* 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

* 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

* 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

* 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

* 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

{{div col end}}

==拓展阅读==

*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7}}

*{{cite book |first=Edward J. |last=Beltrami |title=Mathematics for Dynamic Modeling |url=https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C |year=1998 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-085566-7 |edition=2nd }}

*{{cite book |first=Otomar |last=Hájek |title=Dynamical systems in the plane |url=https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ |year=1968 |publisher=Academic Press |ref=harv}}

*{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications |url=https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ |year=1979 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-02594-8 |ref=harv}}

*{{cite book |first1=Anthony |last1=Michel |author2=Kaining Wang |author3=Bo Hu |title=Qualitative Theory of Dynamical Systems |url=https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-8247-0526-8}}

*{{cite book |first1=Louis |last1=Padulo |first2=Michael A. |last2=Arbib |title=System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems |url=https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ |year=1974 |publisher=Saunders |isbn=9780721670355|ref=harv}}

* {{cite book |first=Steven H. |last=Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |year=1994 |publisher=Addison Wesley |isbn=978-0-7382-0453-6 |ref=harv |url-access=registration |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro }}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html Dynamic Systems 动力系统] Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

*[http://mathworld.wolfram.com/DynamicalSystem.html Definition of dynamical system 动力系统的定义] in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==编者推荐==
[[File:chaos.jpg|thumb|100px|right|Chaos]]
===书籍推荐===

====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
 

====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。

===集智课程推荐===
[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应 Butterfly effect、奇异吸引子 Attractors等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。
 

====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
 

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[[category:动力系统]]
[[category:复杂系统理论]]
[[category:计算研究领域]]

动力系统理论 Dynamical Systems Theory

2020-12-09T20:16:19Z

Lux Cicero：

'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么
描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前,运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

动力系统理论和[[混沌理论]] Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的[[周期点]] Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=Science |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

动态系统理论的概念起源于[[牛顿运动定律]]。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==
===动力系统===

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

===动态主义 ===

[[动态主义]] Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统 Nonlinear System]]是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

===算术动力学===

[[算术动力学]] Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

===混沌理论===

[[混沌理论]] Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

=== 复杂系统===

[[复杂系统]] Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

=== 控制理论===

[[控制理论]] Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

=== 遍历理论===

[[遍历理论]] Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

[[泛函分析]] Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

===图动力系统===

[[图动力系统]] Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

===投影动力系统===

[[投影动力系统]] Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。
通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：
:<math>
\frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t)))
</math>
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

===符号动力学===

[[符号动力学]] Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。

===系统动力学===

[[系统动力学]] System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)]</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

===拓扑动力学===

[[拓扑动力学]] Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

== 应用==

===在运动生物力学中的应用===

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

===在第二语言发展中的应用===

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

== 相关概念==

{{div col|colwidth=20em}}

* [[贝克地图]] Baker's map

* [[分支理论]] bifurcation theory

* [[动力系统]] Dynamical system

* [[具身嵌入认知]] Embodied Embedded Cognition

* [[斐波那契数]] Fibonacci numbers

* [[分形]] Fractals

* Gingerbreadman map

* [[Halo 轨道]] Halo orbit

* [[振动性]] Oscillation

* Postcognitivism

* [[递归神经网络]] Recurrent neural network

* [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems

* [[协同学]] Synergetics Haken

{{div col end}}

==著名学者==

{{div col|colwidth=20em}}

* 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

* 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

* 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

* 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

* 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

* 于尔根·摩泽 JürgenMoser

* 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

* 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

* 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

* 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

* 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

{{div col end}}

==拓展阅读==

*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7}}

*{{cite book |first=Edward J. |last=Beltrami |title=Mathematics for Dynamic Modeling |url=https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C |year=1998 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-085566-7 |edition=2nd }}

*{{cite book |first=Otomar |last=Hájek |title=Dynamical systems in the plane |url=https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ |year=1968 |publisher=Academic Press |ref=harv}}

*{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications |url=https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ |year=1979 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-02594-8 |ref=harv}}

*{{cite book |first1=Anthony |last1=Michel |author2=Kaining Wang |author3=Bo Hu |title=Qualitative Theory of Dynamical Systems |url=https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-8247-0526-8}}

*{{cite book |first1=Louis |last1=Padulo |first2=Michael A. |last2=Arbib |title=System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems |url=https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ |year=1974 |publisher=Saunders |isbn=9780721670355|ref=harv}}

* {{cite book |first=Steven H. |last=Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |year=1994 |publisher=Addison Wesley |isbn=978-0-7382-0453-6 |ref=harv |url-access=registration |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro }}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html Dynamic Systems 动力系统] Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

*[http://mathworld.wolfram.com/DynamicalSystem.html Definition of dynamical system 动力系统的定义] in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==编者推荐==
[[File:chaos.jpg|thumb|100px|right|Chaos]]
===书籍推荐===

====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
 

====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。

===集智课程推荐===
[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
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====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
 

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[[category:复杂系统理论]]
[[category:计算研究领域]]

动力系统理论 Dynamical Systems Theory

2020-12-09T20:14:10Z

Lux Cicero：简介部分第一段漏了一句，少了时标动态方程

'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么
描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前,运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，指的是系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

动力系统理论和[[混沌理论]] Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的[[周期点]] Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=Science |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

动态系统理论的概念起源于[[牛顿运动定律]]。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==
===动力系统===

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

===动态主义 ===

[[动态主义]] Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统 Nonlinear System]]是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

===算术动力学===

[[算术动力学]] Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

===混沌理论===

[[混沌理论]] Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

=== 复杂系统===

[[复杂系统]] Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

=== 控制理论===

[[控制理论]] Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

=== 遍历理论===

[[遍历理论]] Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

[[泛函分析]] Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

===图动力系统===

[[图动力系统]] Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

===投影动力系统===

[[投影动力系统]] Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。
通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：
:<math>
\frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t)))
</math>
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

===符号动力学===

[[符号动力学]] Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。

===系统动力学===

[[系统动力学]] System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)]</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

===拓扑动力学===

[[拓扑动力学]] Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

== 应用==

===在运动生物力学中的应用===

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

===在第二语言发展中的应用===

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

== 相关概念==

{{div col|colwidth=20em}}

* [[贝克地图]] Baker's map

* [[分支理论]] bifurcation theory

* [[动力系统]] Dynamical system

* [[具身嵌入认知]] Embodied Embedded Cognition

* [[斐波那契数]] Fibonacci numbers

* [[分形]] Fractals

* Gingerbreadman map

* [[Halo 轨道]] Halo orbit

* [[振动性]] Oscillation

* Postcognitivism

* [[递归神经网络]] Recurrent neural network

* [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems

* [[协同学]] Synergetics Haken

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==著名学者==

{{div col|colwidth=20em}}

* 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

* 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

* 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

* 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

* 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

* 于尔根·摩泽 JürgenMoser

* 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

* 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

* 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

* 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

* 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

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==拓展阅读==

*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7}}

*{{cite book |first=Edward J. |last=Beltrami |title=Mathematics for Dynamic Modeling |url=https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C |year=1998 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-085566-7 |edition=2nd }}

*{{cite book |first=Otomar |last=Hájek |title=Dynamical systems in the plane |url=https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ |year=1968 |publisher=Academic Press |ref=harv}}

*{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications |url=https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ |year=1979 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-02594-8 |ref=harv}}

*{{cite book |first1=Anthony |last1=Michel |author2=Kaining Wang |author3=Bo Hu |title=Qualitative Theory of Dynamical Systems |url=https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-8247-0526-8}}

*{{cite book |first1=Louis |last1=Padulo |first2=Michael A. |last2=Arbib |title=System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems |url=https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ |year=1974 |publisher=Saunders |isbn=9780721670355|ref=harv}}

* {{cite book |first=Steven H. |last=Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |year=1994 |publisher=Addison Wesley |isbn=978-0-7382-0453-6 |ref=harv |url-access=registration |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro }}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html Dynamic Systems 动力系统] Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

*[http://mathworld.wolfram.com/DynamicalSystem.html Definition of dynamical system 动力系统的定义] in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==编者推荐==
[[File:chaos.jpg|thumb|100px|right|Chaos]]
===书籍推荐===

====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
 

====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。

===集智课程推荐===
[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应 Butterfly effect、奇异吸引子 Attractors等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。
 

====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
 

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[[category:复杂系统理论]]
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动力系统理论 Dynamical Systems Theory

2020-12-09T20:08:09Z

Lux Cicero：对简介部分做了一些补充和删改

'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前,运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，指的是系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

动力系统理论和[[混沌理论]] Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的[[周期点]] Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=Science |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

动态系统理论的概念起源于[[牛顿运动定律]]。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==
===动力系统===

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

===动态主义 ===

[[动态主义]] Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统 Nonlinear System]]是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

===算术动力学===

[[算术动力学]] Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

===混沌理论===

[[混沌理论]] Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

=== 复杂系统===

[[复杂系统]] Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

=== 控制理论===

[[控制理论]] Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

=== 遍历理论===

[[遍历理论]] Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

[[泛函分析]] Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

===图动力系统===

[[图动力系统]] Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

===投影动力系统===

[[投影动力系统]] Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。
通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：
:<math>
\frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t)))
</math>
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

===符号动力学===

[[符号动力学]] Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。

===系统动力学===

[[系统动力学]] System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)]</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

===拓扑动力学===

[[拓扑动力学]] Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

== 应用==

===在运动生物力学中的应用===

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

===在第二语言发展中的应用===

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

== 相关概念==

{{div col|colwidth=20em}}

* [[贝克地图]] Baker's map

* [[分支理论]] bifurcation theory

* [[动力系统]] Dynamical system

* [[具身嵌入认知]] Embodied Embedded Cognition

* [[斐波那契数]] Fibonacci numbers

* [[分形]] Fractals

* Gingerbreadman map

* [[Halo 轨道]] Halo orbit

* [[振动性]] Oscillation

* Postcognitivism

* [[递归神经网络]] Recurrent neural network

* [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems

* [[协同学]] Synergetics Haken

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==著名学者==

{{div col|colwidth=20em}}

* 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

* 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

* 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

* 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

* 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

* 于尔根·摩泽 JürgenMoser

* 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

* 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

* 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

* 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

* 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

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==拓展阅读==

*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7}}

*{{cite book |first=Edward J. |last=Beltrami |title=Mathematics for Dynamic Modeling |url=https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C |year=1998 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-085566-7 |edition=2nd }}

*{{cite book |first=Otomar |last=Hájek |title=Dynamical systems in the plane |url=https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ |year=1968 |publisher=Academic Press |ref=harv}}

*{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications |url=https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ |year=1979 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-02594-8 |ref=harv}}

*{{cite book |first1=Anthony |last1=Michel |author2=Kaining Wang |author3=Bo Hu |title=Qualitative Theory of Dynamical Systems |url=https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC |year=2001 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-8247-0526-8}}

*{{cite book |first1=Louis |last1=Padulo |first2=Michael A. |last2=Arbib |title=System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems |url=https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ |year=1974 |publisher=Saunders |isbn=9780721670355|ref=harv}}

* {{cite book |first=Steven H. |last=Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |year=1994 |publisher=Addison Wesley |isbn=978-0-7382-0453-6 |ref=harv |url-access=registration |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro }}

==外部链接==

*[https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html Dynamic Systems 动力系统] Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

*[http://mathworld.wolfram.com/DynamicalSystem.html Definition of dynamical system 动力系统的定义] in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==编者推荐==
[[File:chaos.jpg|thumb|100px|right|Chaos]]
===书籍推荐===

====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
 

====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。

===集智课程推荐===
[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应 Butterfly effect、奇异吸引子 Attractors等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。
 

====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
 

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'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''
[[category:动力系统]]
[[category:复杂系统理论]]
[[category:计算研究领域]]

用户:Lux Cicero

2020-12-09T20:02:07Z

Lux Cicero：/* 个人简介 */

== 个人简介 ==

=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，<strike>工作</strike>摸鱼之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自确证计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（analysis of variance , ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
** 最优控制
** 全局优化
** 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
** 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
** 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
** 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
** 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
** 心理学：荣格心理学
** 认知科学：和数感（numerosity）、抽象推理（abstract reasoning）直接相关的认知科学

非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
* 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-09T20:00:35Z

Lux Cicero：

== 个人简介 ==
$\mathcal F_1$
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，<strike>工作</strike>摸鱼之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自确证计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（analysis of variance , ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
** 最优控制
** 全局优化
** 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
** 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
** 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
** 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
** 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
** 心理学：荣格心理学
** 认知科学：和数感（numerosity）、抽象推理（abstract reasoning）直接相关的认知科学

非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
* 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T22:08:50Z

Lux Cicero：/* 缘起 */

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，<strike>工作</strike>摸鱼之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自确证计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（analysis of variance , ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
** 最优控制
** 全局优化
** 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
** 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
** 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
** 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
** 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
** 心理学：荣格心理学
** 认知科学：和数感（numerosity）、抽象推理（abstract reasoning）直接相关的认知科学

非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
* 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T22:07:12Z

Lux Cicero：/* 缘起 */

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，<nowiki><strike>工作</strike>之余</nowiki>，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自确证计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（analysis of variance , ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
** 最优控制
** 全局优化
** 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
** 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
** 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
** 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
** 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
** 心理学：荣格心理学
** 认知科学：和数感（numerosity）、抽象推理（abstract reasoning）直接相关的认知科学

非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
* 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T22:04:21Z

Lux Cicero：/* 之后 */

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自确证计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（analysis of variance , ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
** 最优控制
** 全局优化
** 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
** 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
** 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
** 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
** 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
** 心理学：荣格心理学
** 认知科学：和数感（numerosity）、抽象推理（abstract reasoning）直接相关的认知科学

非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
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Lux Cicero：/* 当下 */

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自确证计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（analysis of variance , ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
** 最优控制
** 全局优化
** 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
** 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
** 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
** 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
** 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
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非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
* 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:56:34Z

Lux Cicero：/* 当下 */

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自确证计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
** 最优控制
** 全局优化
** 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
** 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
** 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
** 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
** 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
** 心理学：荣格心理学

非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
* 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:55:48Z

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== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
** 最优控制
** 全局优化
** 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
** 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
** 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
** 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
** 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
** 心理学：荣格心理学

非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
* 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:54:02Z

Lux Cicero：/* 之后 */

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
* 最优控制
* 全局优化
* 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
# 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
# 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
# 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
# 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
# 心理学：荣格心理学

非常想要更深入了解的领域有：

* 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
* 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
* 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:53:21Z

Lux Cicero：/* 之后 */

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

* 专业领域：
# 最优控制
# 全局优化
# 自确证计算（self-validated computing）
* 兴趣领域：
# 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
# 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
# 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
# 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
# 心理学：荣格心理学

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# 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
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# 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:52:51Z

Lux Cicero：/* 之后 */

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

# 专业领域：
# 最优控制
# 全局优化
# 自确证计算（self-validated computing）
# 兴趣领域：
# 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
# 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
# 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
# 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
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# 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
# 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
# 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

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== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

# 专业领域：
# 最优控制
# 全局优化
# 自确证计算（self-validated computing）
# 兴趣领域：
# 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
# 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
# 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
# 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
# 心理学：荣格心理学

非常想要更深入了解的领域有：

# 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
# 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
# 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:51:56Z

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== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

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=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

# 专业领域：
# 最优控制
# 全局优化
# 自确证计算（self-validated computing）

# 兴趣领域：
# 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
# 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
# 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
# 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
# 心理学：荣格心理学

非常想要更深入了解的领域有：

# 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
# 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
# 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:51:25Z

Lux Cicero：/* 之后 */ 具体写了一下

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流。我目前了解比较深入的领域有：

# 专业领域：
# 最优控制
# 全局优化
# 自确证计算（self-validated computing）

# 兴趣领域：
# 数学史：史前算术 - 古美速不达米亚和古埃及算术 - 古希腊数学 - 伊斯兰数学 - （之后的阅读量还不够）
# 语言学：历史语言学（古美索不达米亚、古埃及、古希腊）
# 逻辑学：弗雷格 - 基本的数理逻辑
# 哲学：和算术有关的本体论与知识论基础，以及相关思想和概念的历史
# 心理学：荣格心理学

非常想要更深入了解的领域有：

# 分析哲学和语言学：索绪尔 - 乔姆斯基 - 卡尔纳普 - Lakoff - 蒯因 - 普特南
# 科学哲学和数学哲学：拉卡托斯 - 范弗拉森 - MacLane - Kitcher - Maddy - Shapiro - Resnik
# 复杂性科学：重整化群 - 复杂性与网络科学

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:30:53Z

Lux Cicero：/* 当下 */ 标点符号修改

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem, KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流

用户:Lux Cicero

2020-12-05T21:30:09Z

Lux Cicero：扩写了一点个人材料

== 个人简介 ==
=== 基本信息 ===
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

=== 专业背景 ===
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

== 为什么参与集智 ==
=== 缘起 ===
出生在工程师家庭，自幼对科学和工程学感兴趣，从小一直“妄想”自己能更多更深入的理解“这个世界”。曾以为电子和计算机系统是这个时代的发展趋势，抱着学习这方面知识的期望，高考后选择进入一所以工科见长的高校学习。

在本科的四年里，我拼命折腾，参与过不少实践项目，也做过一些学生工作。在不断的碰壁中，我对信息科学和信息行业有了虽然初步但是切身的理解，也掌握了一定的技能，终于想明白了自己想要什么样的人生。虽然4年的本科生活击碎了之前幼稚的幻想，又给我带来了新的向往。除了挣扎着活下去之外，也想作为“知识群体”的一份子，为我所处在的社会、为哺育我成长的国家和人民，做点什么，来对得起我所占用的社会资源，特别是教育资源。

本科毕业之后，机缘巧合之下，得以去某高校继续深造。导师是一位受过严格数学教育的工程师，也是一位创造力极为丰富的学者。在他那里，我得以接触非常前沿的信息和学者群体，也几乎重学了全部数学基础和专业知识。研究生的日子里，我像一块海绵一样疯狂的吸收着所有与我的工作可能有关的事情，集智俱乐部就是在这时候，进入了我的生活。从那时开始，我就一直默默关注着集智推送的材料，从中受益良多。

研究生毕业之后，又是机缘巧合，得以继续深造。我之前所研究的问题还没有被完全解决，或者说我对于已经取得的结果非常不满意。这使得我在博士的工作中同时朝着更深和更广的知识海洋迈进，也使得我的阅读量相比于研究生阶段增加的更快。学校的学术写作课程、工作中的学术写作需要、以及大量英文材料的阅读，基本颠覆和重塑了我之前的知识体系，受制于中文世界的信息而搭建的知识体系。我不得不承认，我之前基于中文所理解的概念，基本都是不准确的；我之前的思维体系，基本都是不“清楚”的。为了应对我自己工作的挑战，我开始学习搭建我自己的维基，也试着参与公共编辑，也试图寻找一个社区，能向前辈学习，能和志同道合的同志们一起进步，能一起为后辈做点事情。在尝试了一些知识平台和社区之后，我认识到，那个我所想要的社区，并不容易找。最近几个月，集智连续推了好几期百科词条的文章。这些词条质量挺不错，内容也基本兼顾了广泛、深入、准确、通俗易懂。我猜想集智的百科社区，一定是个有追求也有活力的社区，于是就提交了申请，希望能作为一份子，工作之余，贡献自己的力量。

=== 当下 ===
我本身的科研工作和复杂性息息相关，只是我所处的领域（人不太多），还没有完全被归结进复杂性科学。具体来说，我目前在研究基于叠加形式（superposition form）的高维函数表示（representation）、逼近（approximation）、自证实计算（self-validated computation）。这项工作与柯尔莫哥洛夫叠加定理有关（Kolmogorov's Superposition Theorem ,KST）,也和稀疏网格有关（sparse grid），也和山脊函数有关（ridge function），也和传统的多项式逼近方法有关，当然也因此和当前最热门的神经网络有很深的关系。这项工作也能支撑其他的相关领域也包括方差分析（ANOVA）、参数估计（parameter estimation）、实验设计（experiment design）、优化（optimization）、鲁棒最优控制（robust optimal control）等等。其实因为它的基础性的功能，涉及到整个现代科学方法论：实验 - 统计 - 建模 - 参数估计 - 优化 - 制定策略（控制）。

除此之外我也在啃一些可能有用的数学工具，例如代数几何（一开始是Groebner basis，暂时还没涉及scheme，不过也是迟早的事）、计算几何（主要是Clifford Algera）。我的工作当然也包括实现（implementation），于是我涉猎了一点点计算机代数（computer algebra system）和底层实现，比如LLVM框架（长期来看，当然要以某种方法做进编译器里），毕竟这年头IPOPT调用都用CasADi，PSE建模求解经常都是用GAMS调库。

这项工作的研究背景，粗略的说，是"新的算术"。是的，我花了相当长的时间搞明白了算术的历史、哲学基础、和我们目前所处的位置。在工作的影响下，我目前也对哲学史、科学哲学、数学哲学、逻辑哲学、分析哲学、语言学、数学史、心理学、中文写作学、翻译学很感兴趣，有一定的阅读量。

我最近正在提高自己的写作能力，发现翻译就是很好的练习。

考虑过翻译SEP词条，但是工作量令我感到望而生畏，要是单枪匹马地做，我动力不足。我也考虑过写一些我所了解到的“前沿”信息（有些信息其实已经几十年了，但是鲜有中文材料），但是为了保证准确性，我同样需要付出相当的精力和时间。如果写作出来的成果，我没有地方可以发布，也没有前辈可以指点、没有同伴可以讨论，那么这样的写作对我来说是没有意义的。

实际上，随着我阅读量的暴增，我发现英文世界中有相当丰富又短小精悍的专业百科材料，例如斯普林格（Springer）出版的一些行业百科里面就有非常丰富的词条。回想自己懵懵懂懂刚入行的时候，笨拙试图理解百度和维基、笨拙的在知乎在stack exchange提问，如果那时候我知道有这样的资料可以查阅，我就能省很多无用功。

这样我最近就在试着从一些容易上手又容易完成并作出贡献的领域，翻译或者审校一些，与我专业相关的信息。

=== 之后 ===
欢迎、也希望能和大家交流

用户:Lux Cicero

2020-12-05T20:06:02Z

Lux Cicero：修改排版

== 基本信息 ==
'''集智id'''：Lux Cicero

'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）

'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

== 专业背景 ==
'''本科'''：电子信息工程

'''研究生'''：通信与信息系统

'''博士'''（在读）：过程系统工程

用户:Lux Cicero

2020-12-05T20:05:41Z

Lux Cicero：添加基本信息

== 基本信息 ==
'''集智id'''：Lux Cicero
'''工作单位'''：帝国理工（博士在读）
'''研究领域'''：集合计算、全局优化、最优控制

== 专业背景 ==
'''本科'''：电子信息工程
'''研究生'''：通信与信息系统
'''博士'''（在读）：过程系统工程