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可线索化算术表达式

2025-01-16T05:13:06Z

Mingli：

可线索化算术表达式是一种算术表达式，在它的语法树表示中所有的叶节点都在左侧（或者右侧），我们称其为左展开（或右展开）可线索化算术表达式。可线索化算术表达式只有唯一的求值顺序。可线索化算术表达式在[[算术表达式几何]]里是居于核心的构造元素，它等同于几何[[路径]]。另外，在计算机系统的实践里，[[乘法累加单元]]（ multiplier-accumulator unit，MAC unit）也是被广泛采用的计算机制，有不少算法是在此基础上实现的。

[[文件:Left right threadable expression.png|缩略图|可线索化表达式]]

==柯里化与路径表示法==

在函数式编程里，[[柯里化]]是一个基本的编程技巧，它把一个有多个参数的函数变成一串单参数的函数调用。我们对可线索化算术表达式可以应用这个技巧，由此得到如下的路径表示法。首先引入基本的操作数和操作子：

* 起始操作数: 语法树最左叶节点
* 加法操作子: <math>\oplus_y: x \mapsto x + y</math>
* 减法操作子: <math>\ominus_y: x \mapsto x - y</math>
* 乘法操作子: <math>\otimes_y: x \mapsto x \cdot e^y</math>
* 除法操作子: <math>\oslash_y: x \mapsto x \cdot e^{-y}</math>

例如 <math>(((((1 \times 2) \times 2) + 1) \times 3) + 6)</math> 可以被柯里化为 <math>\oplus_6(\otimes_{\ln 3}(\oplus_1(\otimes_{\ln 2}(\otimes_{\ln 2}(1)))))</math> 。

我们有一串操作子 <math>a_1, a_2, \cdots a_{n-1}, a_n</math>，我们引入如下'''路径表示法'''：<math>x a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n := a\_n( a_{n-1}( \cdots a_2( a_1(x) ) \cdots ) )</math>。

于是，上例可以用路径表示法表示为 <math>1 \otimes_{\ln 2} \otimes_{\ln 2} \oplus_1 \otimes_{\ln 3} \oplus_6 </math>。

容易证明，一条路径内部的各个操作子是满足[[结合律]]的；同时，对于两条路径，可以引入路径的拼接操作，解释为路径对应函数的复合。此时，同样可证结合律。由此，我们可以知道，一个路径的集合只要运算封闭，就有可能构成一个[[群胚]]。

==交错式算术表达式==

如果一个可线索化算术表达式里加法性的操作子（加法和减法）与乘法性的操作子（乘法和除法）是交错出现的，我们称其为交错式算术表达式。因为加零和乘一没有作用，我们可以把任意一个可线索化算术表达式规范化为交错式算术表达式。由于它整齐划一的特点，我们可以方便的讨论一些性质，比如一个扰动如何沿着交错式传递。

可线索化算术表达式

2025-01-16T05:01:21Z

Mingli：

可线索化算术表达式

2025-01-16T01:57:30Z

Mingli：

文件:Left right threadable expression.png

2025-01-16T01:50:35Z

Mingli：

可线索化表达式

可线索化算术表达式

2025-01-16T01:46:20Z

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可线索化算术表达式是一种算术表达式，在它的语法树表示中所有的叶节点都在左侧（或者右侧），我们称其为左展开（或右展开）可线索化算术表达式。可线索化算术表达式只有唯一的求值顺序。

算术表达式

2024-12-29T06:50:46Z

Mingli：/* 实数域上的困难 */

'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>。

== 语法式定义 ==

下面我们形式的引入有理数域上的算术表达式，因为此时我们可以存在算法判定如下的纯语法式构造什么时候会出现除零错误。

有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上的算术表达式是指由如下[[产生式规则]]生成的符号串
* <math>a \longleftarrow x</math>
* <math>a \longleftarrow ( a + a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a - a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \times a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \div a )</math>

其中 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，我们称此时有 <math>a \in \mathbb{E} \left [\mathbb{Q} \right ]</math>。

== 字串与语法树表示 ==

在上述生成过程中，我们可以得到一个算术表达式的字串表示或者树表示，两种表示是等价的。例如：
<div style="text-align:center;">
<math>
(((((1 \times 2) \times 2) - 1) \times (2 + 1)) - 6)\label{eq:equation}
</math>
</div>

相应的语法树如下：

[[File:syntax-tree.png|300px|center]]

严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了'''语法树表示'''。我们可以很容易的通过前序遍历从语法树表示得到字串表示。

由语法树表示，我们很容易的从子树引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

== 表达式的估值 ==

'''估值函数 <math>\nu</math>''' 是定义在算术表达式 <math>a \in \mathbb{E}[\mathbb{Q}]</math> 上的一个偏函数。仅当在递归求值过程中出现除以零的情况，估值过程才会变得没有定义。

我们可以递归地定义 <math>\nu(a)</math> 如下：
* 常数叶节点：对任意 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，<math>\nu(x) = x</math>。
* 由 <math>+</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a + b)</math>，<math>\nu((a + b)) = \nu(a) + \nu(b)</math>。
* 由 <math>-</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a - b)</math>，<math>\nu((a - b)) = \nu(a) - \nu(b)</math>。
* 由 <math>\times</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \times b)</math>，<math>\nu((a \times b)) = \nu(a),\nu(b)</math>。
* 由 <math>\div</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \div b)</math>，如果 <math>\nu(b) \neq 0</math>，则 <math>\nu((a \div b)) = \nu(a) / \nu(b)</math>。

我们称算术表达式 <math>a</math> 是''可估值''的（evaluable），如果 <math>\nu(a)</math> 有定义。除非另有说明，下文中我们只讨论可估值的算术表达式。

给定任意算术表达式 <math>a</math>（无论是否可估值），我们都可以得到它的树形表示。若一个节点 <math>l</math> 为叶节点，它对应的子表达式 <math>s</math> 是一个数字，因此我们将其视为已经“已估值”。若一个节点 <math>b</math> 为分支节点，对应的子表达式 <math>s</math> 是一个表达式，此时我们可以对它应用 <math>\nu</math> 得到一个数 <math>\nu(s)</math>。通过一个自底向上的递归估值过程，子表达式可以一个接一个地被估值，直到得到最终的表达式估值。

但是一般来讲，表达式的估值顺序通常并不唯一。

'''定义：''' 对一个算术表达式 <math>a</math> 的''估值顺序''，指的是对其树形表示中所有分支节点进行的一种排序方式，使得每个子节点（子表达式）都在其父节点之前被估值。

例如，对于上图中的算术表达式，其可能的估值顺序包括：

* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>2 + 1 \rightarrow \underline{3}; 1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
其中带有下划线的数字表示在估值过程中得到的中间结果。

==实数域上的困难==

实数域上的困难，主要是由 [[Richardson 定理]]带来的。我们不能轻易的断定两个由超越函数带来的实数在算术表达式组合下得到的值是不是零。不同于有理数域，可以存在整齐划一的算法来判定一个表达式是否为零。

另外一种困难是没有足够的计算资源去计算和分析一个大数是否满足一定的性质，比如我们不知道<math>e^{e^{e^{79}}}</math>是否是整数？由此，我们可以构造如下例的实数表达式

<math>\frac{1}{e^{e^{e^{79}}} - M} + 1</math>

其中的 M 是所有比 <math>e^{e^{79}}</math> 小的质数的连乘积。我们可以构造出来许许多多这样的表达式，但它们的合法性很难或者无从讨论。

==参考文献==

本节的内容主要来自苑明理的[https://github.com/mountain/aeg-paper 研究手稿]。

算术表达式

2024-12-29T06:49:07Z

Mingli：/* 实数域上的困难 */

'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>。

== 语法式定义 ==

下面我们形式的引入有理数域上的算术表达式，因为此时我们可以存在算法判定如下的纯语法式构造什么时候会出现除零错误。

有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上的算术表达式是指由如下[[产生式规则]]生成的符号串
* <math>a \longleftarrow x</math>
* <math>a \longleftarrow ( a + a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a - a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \times a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \div a )</math>

其中 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，我们称此时有 <math>a \in \mathbb{E} \left [\mathbb{Q} \right ]</math>。

== 字串与语法树表示 ==

在上述生成过程中，我们可以得到一个算术表达式的字串表示或者树表示，两种表示是等价的。例如：
<div style="text-align:center;">
<math>
(((((1 \times 2) \times 2) - 1) \times (2 + 1)) - 6)\label{eq:equation}
</math>
</div>

相应的语法树如下：

[[File:syntax-tree.png|300px|center]]

严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了'''语法树表示'''。我们可以很容易的通过前序遍历从语法树表示得到字串表示。

由语法树表示，我们很容易的从子树引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

== 表达式的估值 ==

'''估值函数 <math>\nu</math>''' 是定义在算术表达式 <math>a \in \mathbb{E}[\mathbb{Q}]</math> 上的一个偏函数。仅当在递归求值过程中出现除以零的情况，估值过程才会变得没有定义。

我们可以递归地定义 <math>\nu(a)</math> 如下：
* 常数叶节点：对任意 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，<math>\nu(x) = x</math>。
* 由 <math>+</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a + b)</math>，<math>\nu((a + b)) = \nu(a) + \nu(b)</math>。
* 由 <math>-</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a - b)</math>，<math>\nu((a - b)) = \nu(a) - \nu(b)</math>。
* 由 <math>\times</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \times b)</math>，<math>\nu((a \times b)) = \nu(a),\nu(b)</math>。
* 由 <math>\div</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \div b)</math>，如果 <math>\nu(b) \neq 0</math>，则 <math>\nu((a \div b)) = \nu(a) / \nu(b)</math>。

我们称算术表达式 <math>a</math> 是''可估值''的（evaluable），如果 <math>\nu(a)</math> 有定义。除非另有说明，下文中我们只讨论可估值的算术表达式。

给定任意算术表达式 <math>a</math>（无论是否可估值），我们都可以得到它的树形表示。若一个节点 <math>l</math> 为叶节点，它对应的子表达式 <math>s</math> 是一个数字，因此我们将其视为已经“已估值”。若一个节点 <math>b</math> 为分支节点，对应的子表达式 <math>s</math> 是一个表达式，此时我们可以对它应用 <math>\nu</math> 得到一个数 <math>\nu(s)</math>。通过一个自底向上的递归估值过程，子表达式可以一个接一个地被估值，直到得到最终的表达式估值。

但是一般来讲，表达式的估值顺序通常并不唯一。

'''定义：''' 对一个算术表达式 <math>a</math> 的''估值顺序''，指的是对其树形表示中所有分支节点进行的一种排序方式，使得每个子节点（子表达式）都在其父节点之前被估值。

例如，对于上图中的算术表达式，其可能的估值顺序包括：

* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>2 + 1 \rightarrow \underline{3}; 1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
其中带有下划线的数字表示在估值过程中得到的中间结果。

==实数域上的困难==

实数域上的困难，主要是由 [[Richardson 定理]]带来的。我们不能轻易的断定两个由超越函数带来的实数在算术表达式组合下得到的值是不是零。不同于有理数域，可以存在整齐划一的算法来判定一个表达式是否为零。

另外一种困难是没有足够的计算资源去计算和分析一个大数是否满足一定的性质，比如我们不知道<math>e^{e^{e^{79}}}</math>是否是整数？由此，我们可以构造如下例的实数表达式

<math>\frac{1}{e^{e^{e^{79}}} - M} + 1</math>

其中的 M 是所有比 <math>e^{e^{79}</math> 小的质数的连乘积。我们可以构造出来许许多多这样的表达式，但它们的合法性很难或者无从讨论。

==参考文献==

本节的内容主要来自苑明理的[https://github.com/mountain/aeg-paper 研究手稿]。

算术表达式

2024-12-29T06:48:35Z

Mingli：/* 实数域上的困难 */

'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>。

== 语法式定义 ==

下面我们形式的引入有理数域上的算术表达式，因为此时我们可以存在算法判定如下的纯语法式构造什么时候会出现除零错误。

有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上的算术表达式是指由如下[[产生式规则]]生成的符号串
* <math>a \longleftarrow x</math>
* <math>a \longleftarrow ( a + a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a - a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \times a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \div a )</math>

其中 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，我们称此时有 <math>a \in \mathbb{E} \left [\mathbb{Q} \right ]</math>。

== 字串与语法树表示 ==

在上述生成过程中，我们可以得到一个算术表达式的字串表示或者树表示，两种表示是等价的。例如：
<div style="text-align:center;">
<math>
(((((1 \times 2) \times 2) - 1) \times (2 + 1)) - 6)\label{eq:equation}
</math>
</div>

相应的语法树如下：

[[File:syntax-tree.png|300px|center]]

严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了'''语法树表示'''。我们可以很容易的通过前序遍历从语法树表示得到字串表示。

由语法树表示，我们很容易的从子树引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

== 表达式的估值 ==

'''估值函数 <math>\nu</math>''' 是定义在算术表达式 <math>a \in \mathbb{E}[\mathbb{Q}]</math> 上的一个偏函数。仅当在递归求值过程中出现除以零的情况，估值过程才会变得没有定义。

我们可以递归地定义 <math>\nu(a)</math> 如下：
* 常数叶节点：对任意 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，<math>\nu(x) = x</math>。
* 由 <math>+</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a + b)</math>，<math>\nu((a + b)) = \nu(a) + \nu(b)</math>。
* 由 <math>-</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a - b)</math>，<math>\nu((a - b)) = \nu(a) - \nu(b)</math>。
* 由 <math>\times</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \times b)</math>，<math>\nu((a \times b)) = \nu(a),\nu(b)</math>。
* 由 <math>\div</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \div b)</math>，如果 <math>\nu(b) \neq 0</math>，则 <math>\nu((a \div b)) = \nu(a) / \nu(b)</math>。

我们称算术表达式 <math>a</math> 是''可估值''的（evaluable），如果 <math>\nu(a)</math> 有定义。除非另有说明，下文中我们只讨论可估值的算术表达式。

给定任意算术表达式 <math>a</math>（无论是否可估值），我们都可以得到它的树形表示。若一个节点 <math>l</math> 为叶节点，它对应的子表达式 <math>s</math> 是一个数字，因此我们将其视为已经“已估值”。若一个节点 <math>b</math> 为分支节点，对应的子表达式 <math>s</math> 是一个表达式，此时我们可以对它应用 <math>\nu</math> 得到一个数 <math>\nu(s)</math>。通过一个自底向上的递归估值过程，子表达式可以一个接一个地被估值，直到得到最终的表达式估值。

但是一般来讲，表达式的估值顺序通常并不唯一。

'''定义：''' 对一个算术表达式 <math>a</math> 的''估值顺序''，指的是对其树形表示中所有分支节点进行的一种排序方式，使得每个子节点（子表达式）都在其父节点之前被估值。

例如，对于上图中的算术表达式，其可能的估值顺序包括：

* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>2 + 1 \rightarrow \underline{3}; 1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
其中带有下划线的数字表示在估值过程中得到的中间结果。

==实数域上的困难==

实数域上的困难，主要是由 [[Richardson 定理]]带来的。我们不能轻易的断定两个由超越函数带来的实数在算术表达式组合下得到的值是不是零。不同于有理数域，可以存在整齐划一的算法来判定一个表达式是否为零。

另外一种困难是没有足够的计算资源去计算和分析一个大数是否满足一定的性质，比如我们不知道<math>e^{e^{e^{79}}}</math>是否是整数？由此，我们可以构造如下例的实数表达式

<math>\frac{1}{e^{e^{e^{79}}} - M} + 1</math>

其中的 M 是所有比 e^{e^{79} 小的质数的连乘积。我们可以构造出来许许多多这样的表达式，但它们的合法性很难或者无从讨论。

==参考文献==

本节的内容主要来自苑明理的[https://github.com/mountain/aeg-paper 研究手稿]。

算术表达式

2024-12-29T06:03:33Z

Mingli：/* 实数域上的困难 */

'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>。

== 语法式定义 ==

下面我们形式的引入有理数域上的算术表达式，因为此时我们可以存在算法判定如下的纯语法式构造什么时候会出现除零错误。

有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上的算术表达式是指由如下[[产生式规则]]生成的符号串
* <math>a \longleftarrow x</math>
* <math>a \longleftarrow ( a + a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a - a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \times a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \div a )</math>

其中 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，我们称此时有 <math>a \in \mathbb{E} \left [\mathbb{Q} \right ]</math>。

== 字串与语法树表示 ==

在上述生成过程中，我们可以得到一个算术表达式的字串表示或者树表示，两种表示是等价的。例如：
<div style="text-align:center;">
<math>
(((((1 \times 2) \times 2) - 1) \times (2 + 1)) - 6)\label{eq:equation}
</math>
</div>

相应的语法树如下：

[[File:syntax-tree.png|300px|center]]

严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了'''语法树表示'''。我们可以很容易的通过前序遍历从语法树表示得到字串表示。

由语法树表示，我们很容易的从子树引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

== 表达式的估值 ==

'''估值函数 <math>\nu</math>''' 是定义在算术表达式 <math>a \in \mathbb{E}[\mathbb{Q}]</math> 上的一个偏函数。仅当在递归求值过程中出现除以零的情况，估值过程才会变得没有定义。

我们可以递归地定义 <math>\nu(a)</math> 如下：
* 常数叶节点：对任意 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，<math>\nu(x) = x</math>。
* 由 <math>+</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a + b)</math>，<math>\nu((a + b)) = \nu(a) + \nu(b)</math>。
* 由 <math>-</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a - b)</math>，<math>\nu((a - b)) = \nu(a) - \nu(b)</math>。
* 由 <math>\times</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \times b)</math>，<math>\nu((a \times b)) = \nu(a),\nu(b)</math>。
* 由 <math>\div</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \div b)</math>，如果 <math>\nu(b) \neq 0</math>，则 <math>\nu((a \div b)) = \nu(a) / \nu(b)</math>。

我们称算术表达式 <math>a</math> 是''可估值''的（evaluable），如果 <math>\nu(a)</math> 有定义。除非另有说明，下文中我们只讨论可估值的算术表达式。

给定任意算术表达式 <math>a</math>（无论是否可估值），我们都可以得到它的树形表示。若一个节点 <math>l</math> 为叶节点，它对应的子表达式 <math>s</math> 是一个数字，因此我们将其视为已经“已估值”。若一个节点 <math>b</math> 为分支节点，对应的子表达式 <math>s</math> 是一个表达式，此时我们可以对它应用 <math>\nu</math> 得到一个数 <math>\nu(s)</math>。通过一个自底向上的递归估值过程，子表达式可以一个接一个地被估值，直到得到最终的表达式估值。

但是一般来讲，表达式的估值顺序通常并不唯一。

'''定义：''' 对一个算术表达式 <math>a</math> 的''估值顺序''，指的是对其树形表示中所有分支节点进行的一种排序方式，使得每个子节点（子表达式）都在其父节点之前被估值。

例如，对于上图中的算术表达式，其可能的估值顺序包括：

* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>2 + 1 \rightarrow \underline{3}; 1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
其中带有下划线的数字表示在估值过程中得到的中间结果。

==实数域上的困难==

实数域上的困难，主要是由 [[Richardson 定理]]带来的。我们不能轻易的断定两个由超越函数带来的实数在算术表达式组合下得到的值是不是零。不同于有理数域，可以存在整齐划一的算法来判定一个表达式是否为零。

另外一种困难是没有足够的计算资源去计算和分析一个大数是否满足一定的性质，比如我们不知道<math>e^{e^{e^{79}}}</math>是否是整数？

==参考文献==

本节的内容主要来自苑明理的[https://github.com/mountain/aeg-paper 研究手稿]。

算术表达式

2024-12-29T06:02:51Z

Mingli：

'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>。

== 语法式定义 ==

下面我们形式的引入有理数域上的算术表达式，因为此时我们可以存在算法判定如下的纯语法式构造什么时候会出现除零错误。

有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上的算术表达式是指由如下[[产生式规则]]生成的符号串
* <math>a \longleftarrow x</math>
* <math>a \longleftarrow ( a + a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a - a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \times a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \div a )</math>

其中 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，我们称此时有 <math>a \in \mathbb{E} \left [\mathbb{Q} \right ]</math>。

== 字串与语法树表示 ==

在上述生成过程中，我们可以得到一个算术表达式的字串表示或者树表示，两种表示是等价的。例如：
<div style="text-align:center;">
<math>
(((((1 \times 2) \times 2) - 1) \times (2 + 1)) - 6)\label{eq:equation}
</math>
</div>

相应的语法树如下：

[[File:syntax-tree.png|300px|center]]

严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了'''语法树表示'''。我们可以很容易的通过前序遍历从语法树表示得到字串表示。

由语法树表示，我们很容易的从子树引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

== 表达式的估值 ==

'''估值函数 <math>\nu</math>''' 是定义在算术表达式 <math>a \in \mathbb{E}[\mathbb{Q}]</math> 上的一个偏函数。仅当在递归求值过程中出现除以零的情况，估值过程才会变得没有定义。

我们可以递归地定义 <math>\nu(a)</math> 如下：
* 常数叶节点：对任意 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，<math>\nu(x) = x</math>。
* 由 <math>+</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a + b)</math>，<math>\nu((a + b)) = \nu(a) + \nu(b)</math>。
* 由 <math>-</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a - b)</math>，<math>\nu((a - b)) = \nu(a) - \nu(b)</math>。
* 由 <math>\times</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \times b)</math>，<math>\nu((a \times b)) = \nu(a),\nu(b)</math>。
* 由 <math>\div</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \div b)</math>，如果 <math>\nu(b) \neq 0</math>，则 <math>\nu((a \div b)) = \nu(a) / \nu(b)</math>。

我们称算术表达式 <math>a</math> 是''可估值''的（evaluable），如果 <math>\nu(a)</math> 有定义。除非另有说明，下文中我们只讨论可估值的算术表达式。

给定任意算术表达式 <math>a</math>（无论是否可估值），我们都可以得到它的树形表示。若一个节点 <math>l</math> 为叶节点，它对应的子表达式 <math>s</math> 是一个数字，因此我们将其视为已经“已估值”。若一个节点 <math>b</math> 为分支节点，对应的子表达式 <math>s</math> 是一个表达式，此时我们可以对它应用 <math>\nu</math> 得到一个数 <math>\nu(s)</math>。通过一个自底向上的递归估值过程，子表达式可以一个接一个地被估值，直到得到最终的表达式估值。

但是一般来讲，表达式的估值顺序通常并不唯一。

'''定义：''' 对一个算术表达式 <math>a</math> 的''估值顺序''，指的是对其树形表示中所有分支节点进行的一种排序方式，使得每个子节点（子表达式）都在其父节点之前被估值。

例如，对于上图中的算术表达式，其可能的估值顺序包括：

* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>2 + 1 \rightarrow \underline{3}; 1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
其中带有下划线的数字表示在估值过程中得到的中间结果。

==实数域上的困难==

实数域上的困难，主要是由 [[Richardson 定理]]带来的。我们不能轻易的断定两个由超越函数带来的实数在算术表达式组合下得到的值是不是零。不同于有理数域，可以存在整齐划一的算法来判定一个表达式是否为零。

另外一种困难是没有足够的计算资源去计算和分析一个大数是否满足一定的性质，比如我们不知道<math>e^{e^{e^79}}</math>是否是整数？

==参考文献==

本节的内容主要来自苑明理的[https://github.com/mountain/aeg-paper 研究手稿]。

算术表达式

2024-12-29T05:37:54Z

Mingli：/* 表达式的估值 */

'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>。

== 语法式定义 ==

下面我们形式的引入有理数域上的算术表达式，因为此时我们可以存在算法判定如下的纯语法式构造什么时候会出现除零错误。

有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上的算术表达式是指由如下[[产生式规则]]生成的符号串
* <math>a \longleftarrow x</math>
* <math>a \longleftarrow ( a + a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a - a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \times a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \div a )</math>

其中 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，我们称此时有 <math>a \in \mathbb{E} \left [\mathbb{Q} \right ]</math>。

== 字串与语法树表示 ==

在上述生成过程中，我们可以得到一个算术表达式的字串表示或者树表示，两种表示是等价的。例如：
<div style="text-align:center;">
<math>
(((((1 \times 2) \times 2) - 1) \times (2 + 1)) - 6)\label{eq:equation}
</math>
</div>

相应的语法树如下：

[[File:syntax-tree.png|300px|center]]

严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了'''语法树表示'''。我们可以很容易的通过前序遍历从语法树表示得到字串表示。

由语法树表示，我们很容易的从子树引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

== 表达式的估值 ==

'''估值函数 <math>\nu</math>''' 是定义在算术表达式 <math>a \in \mathbb{E}[\mathbb{Q}]</math> 上的一个偏函数。仅当在递归求值过程中出现除以零的情况，估值过程才会变得没有定义。

我们可以递归地定义 <math>\nu(a)</math> 如下：
* 常数叶节点：对任意 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，<math>\nu(x) = x</math>。
* 由 <math>+</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a + b)</math>，<math>\nu((a + b)) = \nu(a) + \nu(b)</math>。
* 由 <math>-</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a - b)</math>，<math>\nu((a - b)) = \nu(a) - \nu(b)</math>。
* 由 <math>\times</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \times b)</math>，<math>\nu((a \times b)) = \nu(a),\nu(b)</math>。
* 由 <math>\div</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \div b)</math>，如果 <math>\nu(b) \neq 0</math>，则 <math>\nu((a \div b)) = \nu(a) / \nu(b)</math>。

我们称算术表达式 <math>a</math> 是''可估值''的（evaluable），如果 <math>\nu(a)</math> 有定义。除非另有说明，下文中我们只讨论可估值的算术表达式。

给定任意算术表达式 <math>a</math>（无论是否可估值），我们都可以得到它的树形表示。若一个节点 <math>l</math> 为叶节点，它对应的子表达式 <math>s</math> 是一个数字，因此我们将其视为已经“已估值”。若一个节点 <math>b</math> 为分支节点，对应的子表达式 <math>s</math> 是一个表达式，此时我们可以对它应用 <math>\nu</math> 得到一个数 <math>\nu(s)</math>。通过一个自底向上的递归估值过程，子表达式可以一个接一个地被估值，直到得到最终的表达式估值。

但是一般来讲，表达式的估值顺序通常并不唯一。

'''定义：''' 对一个算术表达式 <math>a</math> 的''估值顺序''，指的是对其树形表示中所有分支节点进行的一种排序方式，使得每个子节点（子表达式）都在其父节点之前被估值。

例如，对于上图中的算术表达式，其可能的估值顺序包括：

* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>2 + 1 \rightarrow \underline{3}; 1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
其中带有下划线的数字表示在估值过程中得到的中间结果。

==参考文献==

本节的内容主要来自苑明理的[https://github.com/mountain/aeg-paper 研究手稿]。

算术表达式

2024-12-29T05:35:52Z

Mingli：/* 表达式的估值 */

'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>。

== 语法式定义 ==

下面我们形式的引入有理数域上的算术表达式，因为此时我们可以存在算法判定如下的纯语法式构造什么时候会出现除零错误。

有理数域<math>\mathbb{Q}</math>上的算术表达式是指由如下[[产生式规则]]生成的符号串
* <math>a \longleftarrow x</math>
* <math>a \longleftarrow ( a + a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a - a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \times a )</math>
* <math>a \longleftarrow ( a \div a )</math>

其中 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，我们称此时有 <math>a \in \mathbb{E} \left [\mathbb{Q} \right ]</math>。

== 字串与语法树表示 ==

在上述生成过程中，我们可以得到一个算术表达式的字串表示或者树表示，两种表示是等价的。例如：
<div style="text-align:center;">
<math>
(((((1 \times 2) \times 2) - 1) \times (2 + 1)) - 6)\label{eq:equation}
</math>
</div>

相应的语法树如下：

[[File:syntax-tree.png|300px|center]]

严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了'''语法树表示'''。我们可以很容易的通过前序遍历从语法树表示得到字串表示。

由语法树表示，我们很容易的从子树引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

== 表达式的估值 ==

'''估值函数 <math>\nu</math>''' 是定义在算术表达式 <math>a \in \mathbb{E}[\mathbb{Q}]</math> 上的一个偏函数。仅当在递归求值过程中出现除以零的情况，估值过程才会变得没有定义。

我们可以递归地定义 <math>\nu(a)</math> 如下：
* 常数叶节点：对任意 <math>x \in \mathbb{Q}</math>，<math>\nu(x) = x</math>。
* 由 <math>+</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a + b)</math>，<math>\nu((a + b)) = \nu(a) + \nu(b)</math>。
* 由 <math>-</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a - b)</math>，<math>\nu((a - b)) = \nu(a) - \nu(b)</math>。
* 由 <math>\times</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \times b)</math>，<math>\nu((a \times b)) = \nu(a),\nu(b)</math>。
* 由 <math>\div</math> 组成的分支：对于任意 <math>(a \div b)</math>，如果 <math>\nu(b) \neq 0</math>，则 <math>\nu((a \div b)) = \nu(a) / \nu(b)</math>。

我们称算术表达式 <math>a</math> 是''可求值''的（evaluable），如果 <math>\nu(a)</math> 有定义。除非另有说明，下文中我们只讨论可求值的算术表达式。

给定任意算术表达式 <math>a</math>（无论是否可求值），我们都可以得到它的树形表示。若一个节点 <math>l</math> 为叶节点，它对应的子表达式 <math>s</math> 是一个数字，因此我们将其视为已经“求过值”。若一个节点 <math>b</math> 为分支节点，对应的子表达式 <math>s</math> 是一个表达式，此时我们可以对它应用 <math>\nu</math> 得到一个数 <math>\nu(s)</math>。通过一个自底向上的递归求值过程，子表达式可以一个接一个地被求值，直到得到最终的表达式估值。

但是一般来讲，表达式的估值顺序通常并不唯一。

'''定义：''' 对一个算术表达式 <math>a</math> 的''求值顺序''，指的是对其树形表示中所有分支节点进行的一种排序方式，使得每个子节点（子表达式）都在其父节点之前被求值。

例如，对于上图中的算术表达式，其可能的求值顺序包括：

* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; 2 + 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
* <math>2 + 1 \rightarrow \underline{3}; 1 \times 2 \rightarrow \underline{2}; \underline{2} \times 2 \rightarrow \underline{4}; \underline{4} - 1 \rightarrow \underline{3}; \underline{3} \times \underline{3} \rightarrow \underline{9}; \underline{9} - 6 \rightarrow 3</math>
其中带有下划线的数字表示在求值过程中得到的中间结果。

==参考文献==

本节的内容主要来自苑明理的[https://github.com/mountain/aeg-paper 研究手稿]。

算术表达式

2024-12-29T05:13:49Z

Mingli：

算术表达式

2024-12-29T05:03:58Z

Mingli：/* 字串与语法树表示 */

算术表达式

2024-12-29T05:02:47Z

Mingli：/* 字串与语法树表示 */

算术表达式

2024-12-29T05:01:53Z

Mingli：

算术表达式

2024-12-29T04:51:25Z

Mingli：

算术表达式

2024-12-29T04:37:11Z

Mingli：/* 字串表示与语法树表示 */

算术表达式

2024-12-29T04:36:16Z

Mingli：/* 表达式的估值 */

文件:Syntax-tree.png

2024-12-29T04:34:24Z

Mingli：基于MsUpload的文件上传

基于MsUpload的文件上传

算术表达式

2024-12-29T04:24:16Z

Mingli：/* 语法式定义 */

算术表达式

2024-12-28T17:26:27Z

Mingli：建立内容为“'''算术表达式'''是由数和算术运算（也即四则运算）构成的表达式。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号…”的新页面

用户:Mingli

2024-12-28T16:13:31Z

Mingli：建立内容为“* 算术表达式几何 * 算术表达式 * 可线索化算术表达式 * 流方程 * 第一类算术表达式空间”的新页面

* [[算术表达式几何]]
* [[算术表达式]]
* [[可线索化算术表达式]]
* [[流方程]]
* [[第一类算术表达式空间]]

Swarma Club

2022-09-03T15:42:39Z

Mingli：

{{#seo:
|keywords=swarma club
|description=introduction
}}

{| style="border: 1px solid black; border-spacing: 0; margin: 1em auto; float: right;"
|+ '''集智俱乐部'''
|-
| colspan="3" style="border: 0px solid black; text-align: center;" |
{|
|+ ''Logo''
|-
| style="text-align: center; width: 150px;" | [[File:集智俱乐部logo.png|200px|nothumb|center]]
|-
<small>this apple is the apple hitting on the head of Newton, <br>representing the feeling of scientific discovery.</small>
|}
{|
|+ ''Slogan''
|-
| style="text-align: center; width: 150px;" | Let the apple hit my head! (Eureka)
|}
{|
|+ ''Mission''
|-
| style="text-align: center; width: 150px;" | Creating a niche for free communications of ideas, incubating original scientific discovery.
|}
|}

Swarma Club, formally initiated in 2003, is an informal organization of investigators who enjoy scientific research. They cherish the spirits of equality, openness, and demonstration. They promote the interdisciplinary communications and cooperation. And they aim to build an "institute without fence" in China.

==Brief History==

In 2003, Dr. Jiang Zhang, the founder of the club built a website named Swarma club, to propagate the complexity sciences, and promote inter-disciplinary cooperation. Five years later, the activities went off-line from online, and the club become a real one for academic communication. In 2014, the first start-up project "colorful cloud" which trying to build an AI weather reporter is bred. All of the major members of the start-up are from the club. In 2015, the first formal symposium focusing on attention science is held in Nanjing university. In the same year, the first book entitled with "the acme of science - an informal introduction of artificial intelligence" is published. In the august of the same year, the off-line volunteer organization is formed. In 2016, the second book named "Stepping into 2050: attention, internet, and artificial intelligence" is published. In the October of 2016, the symposium on "Network, geometry, and machine learning" jointly organized by Kai-feng foundation, one of the famous non-official foundation, and the Swarma Club is held. In the end of 2016, the second start-up project "Swarma AI Campus" aiming at the education and training of artificial intelligence is founded.

==Activities==

===Public lectures===

We invite scholars in various backgrounds to give public talks almost once a month. The topics cover artificial intelligence, statistical physics, complex systems, biology, sociology, etc.

===Reading Groups ===
''See also: [[The reading groups of Swarma Club]]''

The reading groups are organized by topics which are selected by the active members and the Swarma scientists. Once a reading group with a given topic is present, the group will continue for about 2 or 3 months. And the reading activity is held twice a month. Reading groups can make intensive discussions on specific topics, therefore, they can breed innovative results, for example, scientific papers, prototypes of products, or reports. “Colorful cloud” App is made in the reading group of Deep Learning, and the book "Stepping into 2050" is also made during the activities of the reading group of Collective Attention.Past group reading, please see here：[http://www.swarma.org/swarma/huodong.php?bankuai_id=14]

===Symposium ===
''See also: [[The symposiums by Swarma Club]]''

We also organize symposiums almost once a year. For example, the symposium of "Attention Science" which is held in 2015, Nanjing. And also we held the symposium "Network, Geometry, and Machine Learning" which is supported by the Kaifeng funding in 2016.
[http://wiki.swarma.net/index.php/%E5%8D%97%E4%BA%AC%E6%B3%A8%E6%84%8F%E5%8A%9B%E7%9A%84%E7%A7%91%E5%AD%A6%E4%BC%9A%E8%AE%AE]

==Members==
''See also: [[The member list of Swarma Club]]''

All the members are grouped into scientists, volunteers, and fans. Swarma scientists are recommended by at least two old members of Swarma scientists and selected by all of them. The new member will be rejected if one old member disagree.

Volunteers are self-recommended and managed by the council.

==Organization ==
''See also: [[The organization of Swarma Club]]''

The club is managed by the council. The council is headed by the president. The current president is Dr. Jiang Zhang.

==Appendix ==

===Swarma Scientists===

There are 40 swarma scientists in total. All of them are young Chinese scientists all around the world. We list 6 swarma scientists in below（需要调整）.

==== W. Brian Arthur ====
[[文件:Brain-Arthur.png|缩略图|150x150像素|替代=|W. Brain Arthur]]
* W. Brian Arthur is a renowned economist, an external professor at the Santa Fe Institute, and a visiting fellow at the Palo Alto Research Center Systems Science Laboratory. In the 1980s, Arthur was invited by Nobel laureate in economics Kenneth Arrow to the newly established Santa Fe Institute. At the Santa Fe Institute, Arthur combined complex systems theory with economic research to develop the concept of "complexity economics", and won the Schumpeter Prize in 1990 for his theory of increasing returns. As the proposer of the theory of increasing returns, Arthur created a new model for interdisciplinary research into economics and complex systems. As one of the first scholars to study complexity at the Santa Fe Institute, Arthur was one of the founders of the field of complexity science and was awarded the inaugural Lagrange Prize in complexity science in 2008 for his outstanding achievements.

* Main contributions: Guest speaker of the AI&Society Activity:Where is technology taking the economy?

==== José Lobo ====
[[文件:Jose Lobo.png|缩略图|150x150像素|替代=|José Lobo]]
* José Lobo is an Associate Fellow at the School of Sustainable Development at Arizona State University, a scientist at the Julie Ann Wrigley Institute for Global Sustainability, and a member of the Santa Fe Institute's Sustainability for Cities, Scale Research Group. His research topics cover the theory of scale from early human communities to ancient cities to modern urban systems, as well as the nature and drivers of human invention, in particular how urban environments inhabit the formation of technological and cultural innovations. He is one of the leading researchers in urban science and has published several important papers in top journals such as PNAS and Nature Human Behaviour.

* Main contributions: Guest speaker of the AI&Society Activity:AI,Cities and the Future of Labor Tasks, Occupations and Networks。

==== James Evans ====
[[文件:James A. Evans.png|缩略图|150x150像素|替代=|James Evans]]
* James Evans is a professor of sociology at the University of Chicago and a world-renowned scholar of science of science, complex networks, and the sociology of knowledge. A graduate of Stanford University, he has conducted research on the structure of social organization at Harvard University, founded the Knowledge Mining Laboratory at the University of Chicago, and founded and chaired the Master of Computing Sociology program at the University of Chicago. His main interests include: group intelligence, social organization structure analysis, the generation and dissemination of scientific and technological innovation, etc., and has published a large number of articles in top journals such as Science, PNAS, American Journal of Sociology, Management Science and so on.

* Main contributions:
** Guest speaker of the AI&Society Activity:Social Computing；
** Scholar of Study Camp

==== Geoffrey West ====
[[文件:Geoffrey West.png|缩略图|150x150像素|替代=|Geoffrey West]]
* Geoffrey West, theoretical physicist, leading scholar of urban science, distinguished professor and former director of the Santa Fe Institute, was named one of Time Magazine's 100 Most Influential People in the World. Decades of research work on "scale", his research results have been applied to the understanding of life, urban sustainable development, business operations and many other fields, and are regarded as the "interdisciplinary Nobel Prize" in the industry.

* Guest speaker of the AI&Society Activity:The future of the planet-life, growth and death in organisms, cities&companies

==== Douglas, R. Hofstadter ====
[[文件:侯世达-Douglas, R.Hofstadter.png|缩略图|150x150像素|替代=|Douglas, R. Hofstadter]]
* Douglas, R. Hofstadter is Distinguished Professor of Cognitive Science and Comparative Literature at Indiana University, a Fellow of the American Academy of Arts and Sciences, a Member of the American Philosophical Society, and a Fellow of the Royal Swedish Academy of Social Sciences. His research interests include: the relationship of the self to the outside world, consciousness, analogies, artistic creation, literary translation, mathematics and physics. In addition to his academic achievements, He has published 《Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid》 and 《I Am a Strange Loop》， which won the Pulitzer Prize for Literature (nonfiction), the National Book Award (Science), and the Los Angeles Times Science Writing Book Award, respectively.

* Guest speaker of the AI&Society Activity:Human creativity vs artificial intelligence.

==== Ginestra Bianconi ====
[[文件:Ginestra Bianconi.png|缩略图|150x150像素|替代=|Ginestra Bianconi]]
Ginestra Bianconi is Professor of Applied Mathematics at queen Mary University of London's School of Mathematical Sciences and an Alan Turing Fellow at the Ellen Turing Institute. Currently, she is the editor-in-chief of the journal JPhys Complex and the editor of PlosOne and Scientific Reports. In 2020, she was awarded the Network Scientific Fellowships by the NetSci Society in recognition of her fundamental contributions to network science, particularly the proposal of Bose-Einstein cohesiveness in complex networks and advances in the structure and dynamics of multilayer networks. Her research interests include statistical mechanics and network science, including network theory and its interdisciplinary applications. She is an expert in network modeling, including growth network models and balanced networking. He has also published important works on dynamic processes on the Web, particularly on seepage. In recent years, she has focused on multilayer networks, pure complexes, network geometry, and topology. She is the author of two books, 《Multilayer Networks: Structure and Function 》published by Oxford University Press and 《Higher-order networks: An introduction to simplicial complexes》 published by Cambridge University Press.

Main contribution: Guest speaker of the High-Order networks reading group :Higher-order networks and dynamics.

==== Erik Hoel ====
[[文件:Erik Hoel.png|缩略图|150x150像素|替代=|Erik Hoel]]
Ph.D., University of Wisconsin-Madison, Assistant Professor at Tufts University, Theoretical Neuroscientist at Columbia University, and one of the proposers of the causal emergence theory. He is committed to using information theory and causal analysis to explore the biological basis of consciousness and to understand the nature of emergence. The research questions are how to use complexity and information theory to measure the neural differences between consciousness and unconsciousness, how causal structure changes across scales, and how information theory indicators capture and quantify causal emergence on macroscopic scales.

Main contribution: Guest speaker of the Causal Emergence reading group :Causal Emergence Theory.

==== Chen Deliang ====
Chen Deliang is currently the August Röhss Chair Professor at the University of Gothenburg in Sweden, where he graduated from Nanjing University with a bachelor's degree and received his Ph.D. from Nobel laureate Professor Paul Crutzen at Gutenberg University in Mainz, Germany. Professor Chen's research interests include climate dynamics, climate simulation, global and regional climate change, geographic information science and applied climatology.

Professor Chen is an internationally renowned climatologist, an expert of the Nobel Prize Committee, an advocate and practitioner of Earth system science, and a strategic scientist with a global perspective. He has participated in and led several international programs and organizations, served as scientific advisor to several governments, intergovernmental organizations and international non-governmental organizations, and national research funding agencies, was the lead author and coordinating lead author of working group I of the IPCC's Fifth and Sixth Evaluation Reports, and served as Executive Chair of the International Council for Science (ICSU) from 2009 to 2012. He has long been committed to the leadership, coordination and cooperation of global systems science, future geoscience, and global sustainable development research, and has made important contributions to international scientific and technological cooperation.

Professor Chen has been elected as an academician of the Royal Swedish Academy of Sciences, an academician of the Royal Academy of Arts and Sciences of Gothenburg, an academician of the Academy of Sciences for Developing Countries, the director of the Department of Geosciences of the Royal Swedish Academy of Sciences, a foreign academician of the Chinese Academy of Sciences, a foreign academician of the Norwegian Academy of Sciences and Letters, an academician of the European Academy of Sciences and Arts, and won the 2017 International Science and Technology Cooperation Award of the People's Republic of China. In recognition of his outstanding contributions to Swedish and international climate research, he was recently awarded the King's Medal by the King of Sweden.

Main contribution: Guest speaker of the Earth System Science reading group :A brief history of Earth system science and its major challenges.

==== Zhou Changsong ====
Dr. Changsong Zhou, Professor and Head, Department of Physics, Director of Centre for Nonlinear Studies, Deputy Director of Institute of Computational and Theoretical Studies, Hong Kong Baptist University (HKBU). He obtained his PhD degree at Nankai University, and served as Postdoctoral Fellow at National University of Singapore (1997-1999), Visiting Research Scholar at HKBU (1999-2000) and Humboldt Research Fellow and Research Scientist at University of Potsdam, Germany (2000-2007). He joined HKBU as Assistant Professor in 2007 and received HKBU President’s Award for Outstanding Young Researcher 2011 and President’s Award for Outstanding Performance in Scholarly Work 2021. Dr. Zhou’s research interest is dynamical processes on complex systems. His current emphasis is on analysis and modeling connectivity and activity in neural systems in collaboration with experimental neuroscientists, using the approaches of oscillatory dynamics networks and covering broad scales from network of excitatory-inhibitory neurons to interacting functional brain regions and functional EEG and cognitive variability and disorders. He has published over 150 research papers in interdisciplinary journalssuch as PNAS, PRL, National Science Review, J Neuroscience, NeuroImage, Cerebral Cortex, PLoS Computational Biology (above15900 citations in Google Scholar, h-index 48). He currently serves as Academic Editors of ''Scientific Reports'', ''PLoS One'' and ''Cognitive Neurodynamics''.

Main contribution: Guest speaker of the Neurodynamics reading group :Causal Emergence Theory.Complex Neural Dynamics: Analysis and Modeling ----

From neuronalspikes to cortical waves, from emergence to function.

====Yi-Zhuang(Everett) You ====

[[File:尤亦庄.png|200px|middle|链接=Special:FilePath/尤亦庄.png]]

PhD. in condensed matter physics, Tsinghua university, Post doc in physics department, San Babara campus, California University. Research interests: quantum many body systems, quantum field theory, collective behaviors, quantum information, and artificial intelligence.

====Pan Zhang====

[[File:张潘.png|200px|middle|链接=Special:FilePath/张潘.png]]

PhD. in statistical physics, associate research fellow in institute of theoretical physics, China academy of sciences. Research interests: statistical physics and complex systems, application problems of statistical physics in networks and computer sciences.

====Ling-fei Wu====

[[File:吴令飞.png|200px|middle|链接=Special:FilePath/吴令飞.png]]

PhD. in communication, Hong Kong city university, Post doc in knowledge lab, Chicago university. Research interests: attention dynamics and knowledge production.

====Jiang Zhang ====

[[File:张江.png|200px|middle|链接=Special:FilePath/张江.png]]

Associate professor in the school of systems science, Beijing Normal University, PhD in management science and technology, Consulting scholars of Ali research institute and Tencent research institute, founder and president of Swarma Club, founder of Swarma AI Campus. Research interests include artificial intelligence, computational social science, and complex systems.

====Yan-ran Li ====

[[File:李嫣然.png|200px|middle|链接=Special:FilePath/李嫣然.png]]

1st-year PhD student of The Hong Kong Polytechnic University. Her research interests mainly lie in deep learning and natural language generation.

====Zi-jun Jia ====

[[File:贾梓筠.png|200px|middle|链接=Special:FilePath/贾梓筠.png]]

PhD candidate of intelligent control in Beijing Jiaotong University, and joint PhD of artificial intelligence lab in MIT, pre-chief scientist and product VP in Turing Robot Inc. Her research focus on intelligent control, artificial neural network, and robotics.

===Publications===

====Stepping into 2050: attention, Internet, and Artificial Intelligence ====

*Swarma club: Stepping into 2050: attention, the Internet, and Artificial Intelligence, Posts & Telecom Press，2016

[[File:S28786557.jpg]]

*Intro:
The main idea of this book is that our attention flow is an important resource for machines because all the products and programs are made for the use by human beings. The topics of the book cover: artificial intelligence, Internet, psychology, and computer games.

====The Acme of Science: an informal introduction of Artificial Intelligence ====

*Swarma Club: The Acme of Science: an informal introduction of Artificial Intelligence, Posts & Telecom Press，2015

[[File:1438766064.JPG|400px]]

*Intro:
This book gives a chief introduction of the histories and developments of artificial intelligence for the public. It also contains rich topics of AI covered by the discussions in Swarma club, for example, Godel incomplete theorem, Kolmogorov complexity, Deep Learning, and Swarm Intelligence.

==== Deep Thinking: Where Machine Intelligence Ends and Human Creativity Begins ====

* Deep Thinking: Where Machine Intelligence Ends and Human Creativity Begins, China Renmin University Press, 2018

[[File:深度思考.jpg|450px]]

*Swarma Club translated Garry Kasparov's Deep Thinking by crowdsource. In this breakthrough book, Kasparov reveals his astonishing side of the story for the first time. He describes how it felt to strategize against an implacable, untiring opponent with the whole world watching, and recounts the history of machine intelligence through the microcosm of chess, considered by generations of scientific pioneers to be a key to unlocking the secrets of human and machine cognition.

===Incubations ===

====Colorful clouds AI reporter ====

Colorful clouds AI reporter is an APP on cellular phones which can give personalized and exact weather report for hours. This project is incubated by the reading group of deep learning, Swarma club in 2014. All the members of this project is almost from the active members in the club, and the head of the team, Xing-yuan Yuan, is the core member of the club, who is also the former engineer in Alibaba Inc.

[[File:彩云天气.png|800px|middle]]

Recently, this team develop another AI application called “colorful cloud translator”, which can make immediate translation between Chinese and English.

[[File:彩云小译.png|800px|middle]]

====Swarma AI Campus ====

This is a startup project initiated by Dr. Jiang Zhang, the president of the Swarma Club, in the end of 2016. This startup focuses on the education of artificial intelligence. All the core members of the team are from the club. Two kinds of classes of AI are provided. One is the course of “AI vision” which provides the general picture of the development of AI, and build an off-line environment for communications between students. The others are called “AI geeks” which include a bunch of online courses in techniques, such as, natural language processing, deep learning, etc.

[[File:集智AI.png|800px|middle|链接=Special:FilePath/集智AI.png]]

===Big events ===

[[File:集智蛇.png|600px|链接=Special:FilePath/集智蛇.png]]

===WeChat Groups ===

There are about 10 active wechat groups, most of them are around specific scientific topics.

====Swarma Translation group ====

'''Intro:'''

Swama Translation team was founded in June, 2016. In the beginning, translating articles from Complex Digest was our main task. With the development of the translation team, our translation target and types also widened，including latest AI knowledge and information in article, video and books. Welcome to the translation team if you are interested in AI, science or translation.

'''Manager:'''

Ying Qin
Swarma Core volunteer, professional translator and interpreter.

====Natural language Processing Groups ====

'''Intro:'''

Natural Language Processing Group was born from a reading group of Natural Language Processing in the Era of Deep Learning. The group focuses on the both academic and practical topics in the field of natural language processing, i.e., the frontier applications of deep learning in machine translation, dialogue generation, and knowledge inference.

'''Manager:'''

Yanran Li
Swarma Scientist, 1st-year PhD student of The Hong Kong Polytechnic University. Her research interests mainly lie in deep learning and natural language generation.

====Computer Vision Groups ====

'''Intro:'''

We are an organization focused on computer vision,We make friends, often organize paper sharing and activities.

'''Manager:'''

Chao Ding
Focus on Computer Vision, studied in Russia, Msc in General Artificial Intelligence and Computer Vision. Founder & CEO of AIcvs, which is committed to using AI and IoT to improve offline retail.

====Computational society Groups ====

'''Intro:'''

The Computational Society Group of Swarma was founded in March, 2016. The topics for discussion include but not limit to problems related to the basic theories of social sciences, complex systems and sciences, social computing and dynamic cyber behavior analysis. It aims to help group members to communicate with passion, to study with interests and to explore the truth with enthusiasm. The group will try its best to make sure that group members are able to enjoy their free, equal, open and comprehensive talking.

'''Manager:'''

De-hua Gao
Doctor of management science, a teacher in university. Study interests: computational society, routines of organization, and modelling and simulation for complex systems.

Xiao Wang
Doctor in automation institute, China Academy of Sciences, Head of Parallel Lab., institute of intelligent industries in Qing Dao.

====Knowledge Management Groups ====

'''Intro:'''

The dimension / perspectives involve the software tools of Knowledge Management and their methodology, the techniques on Attention Channeling & Personal Productivity, even some philosophy behind the tools and methods. Despite the open-ended discussion atomsphere, however, there is a Main Thread: How to establish, sustain and automate the Personal / Team Workflow of [Information Gathering & Organizing -> Inputting -> Outputting -> Seeking Feedback], with all kinds of tools and approaches, guided by any possible theories or philosophies——in order to boost productivity for both individuals and teams.

'''Manager:'''

Di Wu
Core Volunteer of Swarma Club, Educational / Training Software Product Manager, Personal Knowledge Management & Knowledge Collaboration Product Observer, seeking for practical methods of thought / consensus visualization, specialized in online training via all kinds of ICT tools.

====Intelligent Control Groups ====

'''Intro:'''

This group focus on intelligent control theory, artificial neural network, robotics, design and development of embedded control systems. We share knowledge, softwares, data, methods in this group.

'''Manager:'''

Manager:
Zi-jun Jia
Swarma Scientist, PhD candidate of intelligent control in Beijing Jiaotong University, and joint PhD of artificial intelligence lab in MIT, pre-chief scientist and product VP in Turing Robot Inc.

==Way of joining ==

WeChat Public Account：swarma_org

[[File:集智俱乐部.jpg|200px|right|thumb|Scanning Qr Code，following the Swarma Club]]

Official Website：http://www.swarma.org

QQ Group：292641157

E-mail List：swarm-agents@groups.google.com

Swarma Club douban Group：http://www.douban.com/group/swarmagents/

Swarma Club douban Station：http://site.douban.com/swarmagents/