贝当古城市模型是由2013年贝当古提出的<ref name=":0">Bettencourt, L. M. A. (2013). The origins of scaling in cities. Science, 340(6139), 1438–1441. https://doi.org/10.1126/science.1235823</ref>，用于解释城市规模标度律的机制模型。
== 城市中的规模标度律 ==
城市的规模标度律是指城市的属性和城市规模存在[math]Y=cN^{\beta}[/math]的关系。

[[文件:city_scaling.png|居中|替代=|600x600像素]]

按照幂指数[math]\beta[/math]的大小可以将城市的属性分成三类：与人的交互相关的属性和城市规模的超线性关系（幂指数约为1.15），如城市GDP，创新和财富的创造等；基础建设和城市规模的亚线性关系（幂指数约为0.85），如城市加油站的数量，道路的面积等；还有一类和家庭相关，和城市的规模是线性关系，如房屋的数量，用电量等等（如图1）。城市的规模标度律在许多数据集中都得到了验证，体现了在城市的多样性背后的统一性，暗示了城市动力学的普适机制<ref>Bettencourt, L. M. A., Lobo, J., Helbing, D., Kühnert, C., & West, G. B. (2007). Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 104(17), 7301–7306. https://doi.org/10.1073/pnas.0610172104</ref>。更加详细的内容可以参考[[城市中的规模标度律]]。

[[文件:Summary scaling.png|居中|替代=|600x600像素]]

其实从实证中就可以发现一个重要的观察，基建相关的幂指数和社会产出相关的幂指数，二者的求和近似为2，这意味着人均基础设施[math]A_n[/math]和人均产出Y的乘积是一个规模无关的常数，即

[math]\frac{A_n}{N} \frac{Y}{N} = const = G[/math]

直觉上理解，这意味着城市的物理空间和交互空间存在着某种权衡，较多的社会互动，会在可用物理空间方面造成损失，反之亦然。贝当古则出于这一洞察，提出了一个城市规模法则起源的定量理论。

== 贝当古城市模型 ==

贝当古提出了一个在理论上统一的定量理论，用于解释城市标度律的起源。在贝当古21年出版的书中<ref>Bettencourt, L. (2021). Introduction to Urban Science.</ref>，他将其总结为以下四个步骤

[[文件:Scaling city theory1.png|居中|替代=|600x600像素]]

下面，我们就来依次介绍这四个步骤。

=== 基础模型-无组织的定居模型 ===

* 首先我们考虑一个人口在城市空间内随机分布的模型，城市的人口数量为N，面积为A，人们在空间中自由移动，就像是理想气体分子。（如图）

可以得到城市的人口密度[math]n=N/A[/math]

* 其次，我们考虑每个人在空间中充分移动，设移动成本和距离有关，即[math]c = c_{T_0} R = c_{T_0} A^{1/2}[/math]

可得城市的总成本为[math]T =c_{T_0} R N = c_{T_0} N \sqrt{A}[/math]

* 人们通过移动发生交互，设每个人在特征距离[math]\ell[/math]内，与一个人发生一次互动的概率为[math]a_0[/math]

可得人均交互数量[math]k = a_0 \ell N/A[/math]

* 引入交互产出系数[math]g[/math]，即一次交互可以带来的社会产出量

得到社会产出[math]Y=gkN = ga_0 \ell \frac{N^2}{A} = G \frac{N^2}{A}[/math]，其中[math]G=ga_0 \ell[/math]

* 最后考虑城市的收支平衡，即[math]Y = T[/math]，得到

<math>
A = a N^{2/3} = (G/c_{T_0})^{2/3}
</math>

<math>
Y = Y_0 N^{4/3}= G^{1/3}c_{T_0}^{2/3}
</math>

以上的分析实际上会高估产出，低估成本。因为现实的情况肯定不是人们像理想气体分子一样在空间中运动，而是移动会受到地理空间的约束。人和人的交互也是在空间约束的条件下进行的。于是就有了以下的改进

=== 城市组织的四条基本原则 ===

基于以上的设置，一个更为现实的模型如下。它有四个基本的假设

==== 假设1：人口充分混合====

要求每个城市居民可获取的最低资源[math]y_{min} = GN^2/A[/math]，与到达城市任何地方的成本相匹配。并且引入移动空间维数[math]H_m[/math]，即每个人移动成本和城市面积的关系为[math]c = c_{T_0} A^{H_m/2}[/math]，其中[math]c_{T_0}[/math]定义为每个人单位距离的移动成本，也就是居民的移动范围定义了城市的面积，[math]H_m=1[/math]时其实就回退到了前面的版本。以下都将在[math]H_m=1[/math]的情况下展开讨论

所以同样根据收支平衡，可以得到城市面积和人口的关系[math]A = (\frac{G}{c_{T_0}})^{2/3}N^{2/3}[/math]，方便起见记为[math]A = aN^{2/3}[/math]

====假设2：网络增长随着人口增长====

这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，以满足每个人便捷出行的需求。引入道路面积[math]A_n[/math]

可以得到：

1. 人们之间的平均距离和人口密度有关，[math]d=n^{-1/2} = (A/N)^{1/2}[/math]. 而且这个距离和人均基建网络的长度相等。

2. 假设网络的宽度是一个常数[math]s_*[/math]，所以平均距离d也正比于人均道路长度[math]A_n /N[/math]，最终可以得到[math]A_n \sim A^{1/2}N^{1/2}[/math]。

3. 最终可以得到道路面积和人口的关系 [math]A_n \sim a^{1/2} N^{5/6}[/math]

====假设3：有限的人类社会能力====

这一假设要求了在平均意义上，人们在移动[math]l[/math]上的努力和在互动[math]a_0[/math]上的努力G，是不随城市规模变化的。即 [math]dG/dN = 0[/math]

观察G的表达式发现，这约束实际上是对人均道路面积（成本）和人均交互乘积的限制。我们在稍后将进一步探讨这一点。

====假设4：社会经济产出正比于局部的社会交互。====

这一部分和第一部分类似，引入产出系数[math]g[/math]，将交互转化为社会产出。即[math]y = g k[/math]其中[math] k = \ell a_0 N / A_n[/math]，最终可以得到社会总产出的表达式[math]Y = N y =g \ell a_0 N^2/A_n[/math]。根据假设3，有[math]Y = G N^2/A_n[/math]

至此，可以得到产出Y和规模的关系[math]Y \sim G^{2/3}c_{T_0}^{1/3} N^{7/6}[/math]，记为[math]Y \sim N^{7/6}[/math]（原文说[math]Y_0 \sim G^{1/3}[/math]？）

而新的指数也和开篇提到的实证数据相比非常吻合。下图分别展示了美国2006年的道路网络（左），GDP（右）和人口数量的关系。在双对数下斜率分别约为0.849和1.126：

[[文件:city_scaling data.png|居中|替代=|600x600像素]]

我们前面提到[math]G=ka_0 \ell[/math]的表达式实际上在告诉我们，G体现了人均享有的基建数量和人均交互乘积的限制，而这实际上也等价于第一部分提到的[math]\frac{Y}{N} \frac{A_n}{N} = Const [/math]的限制。这意味着如果人均的产出越高，以人均道路面积为代表的基建数量就越小。比如大城市的人均产出（或者两个人的交互概率）比较高，那么人均享有的服务设施就会比较少。

另外，作者提到G会随着社会的科技和生产力的提升而增大。可以想象，如果科技水平提高，那么无论是人均产出还是人均基础设施数量都会提高。

到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第三个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。

=== 层级网络模型 ===

在这一模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，下面我们来介绍其基本设置。

==== 微观模型基本设置 ====

越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示

[[File:hierache_network.png|居中|600px]]

这棵树每一层的节点数量为[math]N_i = b^i[/math]。将最底层的节点定义为人口，也就是给出了边界条件[math]N_h = b^h = N[/math]。那么每一层的节点[math]N_i[/math]就可以理解为对应层级的道路可以覆盖的人口。根据当前的条件，我们可以推出[math]h = lnN/lnb[/math]

==== 设置道路相关物理量 ====

进一步，设置道路相关的物理量：尺度i上的单位段长度为[math]l_i[/math]，跨越的城市面积为[math]a_i[/math]，横向维度（即道路宽度）为[math]s_i[/math]。

* 根据第二部分的原则1，基础设施需要覆盖每一个人，也就是每个尺度的道路都是要面积填充的。即[math]N_ia_i = A_i[/math]

* 同样根据第二部分的假设1，我们可以类得到每个尺度的面积和基建单元的关系[math]N_ia_i = N_i^{2/3}[/math]，可以得到[math]a_i = b^{-i/3}[/math]

* 根据第二部分的假设2，由道路定义交互距离，根据交互特征长度[math]l = a_h/l_h[/math]，得到人均道路长度为[math]l_h \sim N^{-1/3}[/math]，随着城市规模的增大而减小。最终也可得到不同尺度的道路单元长度[math]l_i \sim b^{-i/3}[/math]

* 假设最微观的横向维度[math]s_*[/math]与规模无关。得到可以得到道路宽度的标度变化[math]s_{i} = s_{*}b^{\frac{5}{6}(h-i)}[/math]。

==== 计算相关宏观指标 ====
根据等比数列求和，最后我们可以得到道路总长度[math]L_n[/math]和道路总面积[math]A_n[/math]的表达式:

<math>
L_n = \sum_i^h l_iN_i \sim \sum_i^h b^{2i/3} = \frac{1-b^{2(h+1)/3}}{1-b^{2/3}} \approx b^{2h/3 } = N^{\frac{2}{3}}
</math>

<math>
A_n = \sum_i^h a_{si}l_iN_i \sim \sum_i^h s_* b^{\frac{5}{6} (h-i)} b^{-i/3} b^{i} = s_* b^{\frac{5}{6} h} \sum_i^h b^{(-\frac{5}{6}+\frac{2}{3})i} \approx b^{\frac{5}{6} h} = N^{\frac{5}{6}}
</math>

级数收敛的条件也是满足的。

我们还可以得到地价和规模的关系[math]P = Y/L_n \sim N^{\frac{1}{2}}[/math]。下表展示了文章中相关的幂律理论结果，所有的指标和实证都非常接近。

[[文件:City scaling table.png|居中|600px]]

=== 城市能耗与城市效率评价 ===

最后，贝当古还根据这些基本的推论讨论了城市的运行效率问题。这部分的讨论很大程度上借鉴了west推导生物克莱伯法则的思路。

==== 城市道路流量守恒 ====

首先假设对城市道路引入了“流量”的概念，他可以表示为城市的交通流，也可以为维持城市移动和交互所必需的能量流。并假设这一流量/能量在各个层级上都是守恒的，根据流量公式，有[math]J_i = s_i N_i \rho_i v_i =s_{i-1} N_{i-1} \rho_{i-1} v_{i-1} = J_{i-1}[/math]。

其中[math]v[/math]是流速，[math]\rho[/math]是流量密度。根据前一个部分得出的关系[math]N_i=b^i[/math]和[math]s_{i} = s_{*}b^{\frac{5}{6}(h-i)}[/math]，可以得到[math]\rho_i v_i = b^{-1/6} \rho_{i-1} v_{i-1}[/math]。这一关系告诉我们，流量密度随i的增加（更微观）而减小，也就是高速公路比小道路更快，车辆更多。

假设最微观的流量密度与规模无关[math]\rho_h v_h = \rho_* v_*[/math]，可以得到[math] \rho_i v_i = b^{\frac{1}{6}(h-1)} \rho_* v_*[/math]

最终，总流量[math]J_i[/math]就是一个线性项[math]J_i = J = J_0N[/math]，其中[math]J_0 = s_* \rho_* v_*[/math]。也就是说，非线性的基础设施和非线性的社会产出，最终推导出了个体需求的线性关系

==== 城市功耗 ====

进一步，引入电阻的概念，用于计算城市运转带来的功率损耗。假设单位长度和单位横向网络面积的电阻[math]r_J[/math]是恒定的。根据层级模型，将每一层看做[math]N_i[/math]个并联电阻。可以得到

每一层的总电阻[math]R_{J_i} = r_{J_i}/N_i = r_{J}l_i/s_{i} N_i = r_J \frac{l_h}{s_*} b^{-i/2 -5i/6}[/math]

根据功率耗散和流量的关系，得到每一层的功率耗散[math]W_i = R_{J_i}J_i^2[/math]

最终得到城市总功率耗散

[math]W(N)= J^2 \sum_{i=1}^{h} R_{J_i} = J^2 \frac{a r_J}{l s_{*}} b^{-5h/6} \frac{1 - b^{- (h+1)/2}} {1 - b^{1/2}}= W_{0} N^{\,7/6}[/math]，其中[math]W_{0} = \frac{a\,r_{J}\,J^{2}}{l\,s_{*}\,\bigl(1 - b^{1/2}\bigr)}[/math]

可以看到城市总功耗也是超线性增长的，并且和城市产出[math]Y[/math]的幂指数相同。最终，[math]Y/W[/math]就可以作为一个衡量城市效率的指标，且这一指标和规模无关。

具体来说，[math]Y/W[/math]的大小就取决于[math]Y=Y_0N^{7/6}[/math]和[math]W=W_0N^{7/6}[/math]的系数[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]。其中前文已经提到[math]Y_0=G^{2/3}c_{T_0}^{1/3} [/math]，[math]c_{T_0}[/math]是单位距离的输运成本，[math]W_{0} = \frac{a\,r_{J}\,J^{2}}{l\,s_{*}\,\bigl(1 - b^{1/2}\bigr)} = \frac{G^{2/3} r_{J}\,J^{2}}{ c_{T_0}^{2/3} l\,s_{*}\,\bigl(1 - b^{1/2}\bigr)} [/math]

我们可以定义城市运行效率E等于总产出与能量消耗的差额，即

<math>
E = Y - W = (Y_0-W_0)N^{7/6}
</math>

显然，如果一个城市增加产出，或者通过优化基础建设网络减少能耗，都能提高城市运行的效率。影响E的主要就是[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]的大小，而二者都是[math]G[/math]的函数。因此，可以根据拉格朗日乘子法计算最优的城市效率[math]G^*[/math]

[[文件:G.png|缩略图|居中|替代=|600x600像素]]

贝当古对美国各大城市的[math]G[/math]和[math]G^*[/math]进行了对比，发现加州的滨河市、德州的布朗斯维尔市效率相对底下（即[math]G[/math]远低于[math]G^*[/math]）。对此，贝当古给出建议：城市规划者可以考虑提高人口的流动性或者人口密度。另一个极端是康涅狄格周的布里奇波特市，它的[math]G[/math]远大于[math]G^*[/math]，这样的城市经济功能和基础设施已经充分发展，然而由于交通成本过高，经济产出方面的优势没有发挥出来。

总的来看，贝当古基于城市产出与交通成本的相互平衡给出了一个对城市建模的基本框架，在这一框架下我们可以推导出各种变量的规模法则。层级化道路网络模型是在这一框架下构建的一个具体模型，我们可以精确计算出它在各个等级的道路长度、道路面积、车流量、能耗等指标。更多详情可以参考原文<ref name=":0" />

贝当古城市模型

2025-03-09T01:50:36Z

Taoruyi：/* 城市功耗 */

贝当古城市模型是由2013年贝当古提出的<ref name=":0">Bettencourt, L. M. A. (2013). The origins of scaling in cities. Science, 340(6139), 1438–1441. https://doi.org/10.1126/science.1235823</ref>，用于解释城市规模标度律的机制模型。
== 城市中的规模标度律 ==
城市的规模标度律是指城市的属性和城市规模存在[math]Y=cN^{\beta}[/math]的关系。

[[文件:city_scaling.png|居中|替代=|600x600像素]]

按照幂指数[math]\beta[/math]的大小可以将城市的属性分成三类：与人的交互相关的属性和城市规模的超线性关系（幂指数约为1.15），如城市GDP，创新和财富的创造等；基础建设和城市规模的亚线性关系（幂指数约为0.85），如城市加油站的数量，道路的面积等；还有一类和家庭相关，和城市的规模是线性关系，如房屋的数量，用电量等等（如图1）。城市的规模标度律在许多数据集中都得到了验证，体现了在城市的多样性背后的统一性，暗示了城市动力学的普适机制<ref>Bettencourt, L. M. A., Lobo, J., Helbing, D., Kühnert, C., & West, G. B. (2007). Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 104(17), 7301–7306. https://doi.org/10.1073/pnas.0610172104</ref>。更加详细的内容可以参考[[城市中的规模标度律]]。

[[文件:Summary scaling.png|居中|替代=|600x600像素]]

其实从实证中就可以发现一个重要的观察，基建相关的幂指数和社会产出相关的幂指数，二者的求和近似为2，这意味着人均基础设施[math]A_n[/math]和人均产出Y的乘积是一个规模无关的常数，即

[math]\frac{A_n}{N} \frac{Y}{N} = const = G[/math]

直觉上理解，这意味着城市的物理空间和交互空间存在着某种权衡，较多的社会互动，会在可用物理空间方面造成损失，反之亦然。贝当古则出于这一洞察，提出了一个城市规模法则起源的定量理论。

== 贝当古城市模型 ==

贝当古提出了一个在理论上统一的定量理论，用于解释城市标度律的起源。在贝当古21年出版的书中<ref>Bettencourt, L. (2021). Introduction to Urban Science.</ref>，他将其总结为以下四个步骤

[[文件:Scaling city theory1.png|居中|替代=|600x600像素]]

下面，我们就来依次介绍这四个步骤。

=== 基础模型-无组织的定居模型 ===

* 首先我们考虑一个人口在城市空间内随机分布的模型，城市的人口数量为N，面积为A，人们在空间中自由移动，就像是理想气体分子。（如图）

可以得到城市的人口密度[math]n=N/A[/math]

* 其次，我们考虑每个人在空间中充分移动，设移动成本和距离有关，即[math]c = c_{T_0} R = c_{T_0} A^{1/2}[/math]

可得城市的总成本为[math]T =c_{T_0} R N = c_{T_0} N \sqrt{A}[/math]

* 人们通过移动发生交互，设每个人在特征距离[math]\ell[/math]内，与一个人发生一次互动的概率为[math]a_0[/math]

可得人均交互数量[math]k = a_0 \ell N/A[/math]

* 引入交互产出系数[math]g[/math]，即一次交互可以带来的社会产出量

得到社会产出[math]Y=gkN = ga_0 \ell \frac{N^2}{A} = G \frac{N^2}{A}[/math]，其中[math]G=ga_0 \ell[/math]

* 最后考虑城市的收支平衡，即[math]Y = T[/math]，得到

<math>
A = a N^{2/3} = (G/c_{T_0})^{2/3}
</math>

<math>
Y = Y_0 N^{4/3}= G^{1/3}c_{T_0}^{2/3}
</math>

以上的分析实际上会高估产出，低估成本。因为现实的情况肯定不是人们像理想气体分子一样在空间中运动，而是移动会受到地理空间的约束。人和人的交互也是在空间约束的条件下进行的。于是就有了以下的改进

=== 城市组织的四条基本原则 ===

基于以上的设置，一个更为现实的模型如下。它有四个基本的假设

==== 假设1：人口充分混合====

要求每个城市居民可获取的最低资源[math]y_{min} = GN^2/A[/math]，与到达城市任何地方的成本相匹配。并且引入移动空间维数[math]H_m[/math]，即每个人移动成本和城市面积的关系为[math]c = c_{T_0} A^{H_m/2}[/math]，其中[math]c_{T_0}[/math]定义为每个人单位距离的移动成本，也就是居民的移动范围定义了城市的面积，[math]H_m=1[/math]时其实就回退到了前面的版本。以下都将在[math]H_m=1[/math]的情况下展开讨论

所以同样根据收支平衡，可以得到城市面积和人口的关系[math]A = (\frac{G}{c_{T_0}})^{2/3}N^{2/3}[/math]，方便起见记为[math]A = aN^{2/3}[/math]

====假设2：网络增长随着人口增长====

这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，以满足每个人便捷出行的需求。引入道路面积[math]A_n[/math]

可以得到：

1. 人们之间的平均距离和人口密度有关，[math]d=n^{-1/2} = (A/N)^{1/2}[/math]. 而且这个距离和人均基建网络的长度相等。

2. 假设网络的宽度是一个常数[math]s_*[/math]，所以平均距离d也正比于人均道路长度[math]A_n /N[/math]，最终可以得到[math]A_n \sim A^{1/2}N^{1/2}[/math]。

3. 最终可以得到道路面积和人口的关系 [math]A_n \sim a^{1/2} N^{5/6}[/math]

====假设3：有限的人类社会能力====

这一假设要求了在平均意义上，人们在移动[math]l[/math]上的努力和在互动[math]a_0[/math]上的努力G，是不随城市规模变化的。即 [math]dG/dN = 0[/math]

观察G的表达式发现，这约束实际上是对人均道路面积（成本）和人均交互乘积的限制。我们在稍后将进一步探讨这一点。

====假设4：社会经济产出正比于局部的社会交互。====

这一部分和第一部分类似，引入产出系数[math]g[/math]，将交互转化为社会产出。即[math]y = g k[/math]其中[math] k = \ell a_0 N / A_n[/math]，最终可以得到社会总产出的表达式[math]Y = N y =g \ell a_0 N^2/A_n[/math]。根据假设3，有[math]Y = G N^2/A_n[/math]

至此，可以得到产出Y和规模的关系[math]Y \sim G^{2/3}c_{T_0}^{1/3} N^{7/6}[/math]，记为[math]Y \sim N^{7/6}[/math]（原文说[math]Y_0 \sim G^{1/3}[/math]？）

而新的指数也和开篇提到的实证数据相比非常吻合。下图分别展示了美国2006年的道路网络（左），GDP（右）和人口数量的关系。在双对数下斜率分别约为0.849和1.126：

[[文件:city_scaling data.png|居中|替代=|600x600像素]]

我们前面提到[math]G=ka_0 \ell[/math]的表达式实际上在告诉我们，G体现了人均享有的基建数量和人均交互乘积的限制，而这实际上也等价于第一部分提到的[math]\frac{Y}{N} \frac{A_n}{N} = Const [/math]的限制。这意味着如果人均的产出越高，以人均道路面积为代表的基建数量就越小。比如大城市的人均产出（或者两个人的交互概率）比较高，那么人均享有的服务设施就会比较少。

另外，作者提到G会随着社会的科技和生产力的提升而增大。可以想象，如果科技水平提高，那么无论是人均产出还是人均基础设施数量都会提高。

到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第三个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。

=== 层级网络模型 ===

在这一模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，下面我们来介绍其基本设置。

==== 微观模型基本设置 ====

越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示

[[File:hierache_network.png|居中|600px]]

这棵树每一层的节点数量为[math]N_i = b^i[/math]。将最底层的节点定义为人口，也就是给出了边界条件[math]N_h = b^h = N[/math]。那么每一层的节点[math]N_i[/math]就可以理解为对应层级的道路可以覆盖的人口。根据当前的条件，我们可以推出[math]h = lnN/lnb[/math]

==== 设置道路相关物理量 ====

进一步，设置道路相关的物理量：尺度i上的单位段长度为[math]l_i[/math]，跨越的城市面积为[math]a_i[/math]，横向维度（即道路宽度）为[math]s_i[/math]。

* 根据第二部分的原则1，基础设施需要覆盖每一个人，也就是每个尺度的道路都是要面积填充的。即[math]N_ia_i = A_i[/math]

* 同样根据第二部分的假设1，我们可以类得到每个尺度的面积和基建单元的关系[math]N_ia_i = N_i^{2/3}[/math]，可以得到[math]a_i = b^{-i/3}[/math]

* 根据第二部分的假设2，由道路定义交互距离，根据交互特征长度[math]l = a_h/l_h[/math]，得到人均道路长度为[math]l_h \sim N^{-1/3}[/math]，随着城市规模的增大而减小。最终也可得到不同尺度的道路单元长度[math]l_i \sim b^{-i/3}[/math]

* 假设最微观的横向维度[math]s_*[/math]与规模无关。得到可以得到道路宽度的标度变化[math]s_{i} = s_{*}b^{\frac{5}{6}(h-i)}[/math]。

==== 计算相关宏观指标 ====
根据等比数列求和，最后我们可以得到道路总长度[math]L_n[/math]和道路总面积[math]A_n[/math]的表达式:

<math>
L_n = \sum_i^h l_iN_i \sim \sum_i^h b^{2i/3} = \frac{1-b^{2(h+1)/3}}{1-b^{2/3}} \approx b^{2h/3 } = N^{\frac{2}{3}}
</math>

<math>
A_n = \sum_i^h a_{si}l_iN_i \sim \sum_i^h s_* b^{\frac{5}{6} (h-i)} b^{-i/3} b^{i} = s_* b^{\frac{5}{6} h} \sum_i^h b^{(-\frac{5}{6}+\frac{2}{3})i} \approx b^{\frac{5}{6} h} = N^{\frac{5}{6}}
</math>

级数收敛的条件也是满足的。

我们还可以得到地价和规模的关系[math]P = Y/L_n \sim N^{\frac{1}{2}}[/math]。下表展示了文章中相关的幂律理论结果，所有的指标和实证都非常接近。

[[文件:City scaling table.png|居中|600px]]

=== 城市能耗与城市效率评价 ===

最后，贝当古还根据这些基本的推论讨论了城市的运行效率问题。这部分的讨论很大程度上借鉴了west推导生物克莱伯法则的思路。

==== 城市道路流量守恒 ====

首先假设对城市道路引入了“流量”的概念，他可以表示为城市的交通流，也可以为维持城市移动和交互所必需的能量流。并假设这一流量/能量在各个层级上都是守恒的，根据流量公式，有[math]J_i = s_i N_i \rho_i v_i =s_{i-1} N_{i-1} \rho_{i-1} v_{i-1} = J_{i-1}[/math]。

其中[math]v[/math]是流速，[math]\rho[/math]是流量密度。根据前一个部分得出的关系[math]N_i=b^i[/math]和[math]s_{i} = s_{*}b^{\frac{5}{6}(h-i)}[/math]，可以得到[math]\rho_i v_i = b^{-1/6} \rho_{i-1} v_{i-1}[/math]。这一关系告诉我们，流量密度随i的增加（更微观）而减小，也就是高速公路比小道路更快，车辆更多。

假设最微观的流量密度与规模无关[math]\rho_h v_h = \rho_* v_*[/math]，可以得到[math] \rho_i v_i = b^{\frac{1}{6}(h-1)} \rho_* v_*[/math]

最终，总流量[math]J_i[/math]就是一个线性项[math]J_i = J = J_0N[/math]，其中[math]J_0 = s_* \rho_* v_*[/math]。也就是说，非线性的基础设施和非线性的社会产出，最终推导出了个体需求的线性关系

==== 城市功耗 ====

进一步，引入电阻的概念，用于计算城市运转带来的功率损耗。假设单位长度和单位横向网络面积的电阻[math]r_J[/math]是恒定的。根据层级模型，将每一层看做[math]N_i[/math]个并联电阻。可以得到

每一层的总电阻[math]R_{J_i} = r_{J_i}/N_i = r_{J}l_i/s_{i} N_i = r_J \frac{l_h}{s_*} b^{-i/2 -5i/6}[/math]

根据功率耗散和流量的关系，得到每一层的功率耗散[math]W_i = R_{J_i}J_i^2[/math]

最终得到城市总功率耗散

[math]W(N)= J^2 \sum_{i=1}^{h} R_{J_i} = J^2 \frac{a r_J}{l s_{*}} b^{-5h/6} \frac{1 - b^{- (h+1)/2}} {1 - b^{1/2}}= W_{0} N^{\,7/6}[/math]，其中[math]W_{0} = \frac{a\,r_{J}\,J^{2}}{l\,s_{*}\,\bigl(1 - b^{1/2}\bigr)}[/math]

可以看到城市总功耗也是超线性增长的，并且和城市产出[math]Y[/math]的幂指数相同。最终，[math]Y/W[/math]就可以作为一个衡量城市效率的指标，且这一指标和规模无关。

具体来说，[math]Y/W[/math]的大小就取决于[math]Y=Y_0N^{7/6}[/math]和[math]W=W_0N^{7/6}[/math]的系数[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]。其中前文已经提到[math]Y_0=G^{2/3}c_{T_0}^{1/3} [/math]，[math]c_{T_0}[/math]是单位距离的输运成本，[math]W_{0} = \frac{a\,r_{J}\,J^{2}}{l\,s_{*}\,\bigl(1 - b^{1/2}\bigr)} = \frac{G^{2/3} r_{J}\,J^{2}}{ c_{T_0}^{2/3} l\,s_{*}\,\bigl(1 - b^{1/2}\bigr)} \sim G^{1/3}[/math]

我们可以定义城市运行效率E等于总产出与能量消耗的差额，即

<math>
E = Y - W = (Y_0-W_0)N^{7/6}
</math>

显然，如果一个城市增加产出，或者通过优化基础建设网络减少能耗，都能提高城市运行的效率。影响E的主要就是[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]的大小，而二者都是[math]G[/math]的函数。因此，可以根据拉格朗日乘子法计算最优的城市效率[math]G^*[/math]

[[文件:G.png|缩略图|居中|替代=|600x600像素]]

贝当古对美国各大城市的[math]G[/math]和[math]G^*[/math]进行了对比，发现加州的滨河市、德州的布朗斯维尔市效率相对底下（即[math]G[/math]远低于[math]G^*[/math]）。对此，贝当古给出建议：城市规划者可以考虑提高人口的流动性或者人口密度。另一个极端是康涅狄格周的布里奇波特市，它的[math]G[/math]远大于[math]G^*[/math]，这样的城市经济功能和基础设施已经充分发展，然而由于交通成本过高，经济产出方面的优势没有发挥出来。

总的来看，贝当古基于城市产出与交通成本的相互平衡给出了一个对城市建模的基本框架，在这一框架下我们可以推导出各种变量的规模法则。层级化道路网络模型是在这一框架下构建的一个具体模型，我们可以精确计算出它在各个等级的道路长度、道路面积、车流量、能耗等指标。更多详情可以参考原文<ref name=":0" />