集智百科 - 复杂系统|人工智能|复杂科学|复杂网络|自组织 - 最近更改 [zh-cn]

洛伦兹吸引子

王盛嘉 — Mon, 02 Nov 2026 13:44:12 GMT

概述

范德珀尔振子

褚天舒 — Mon, 02 Nov 2026 12:37:57 GMT

集体注意力流网络

千伏电压 — Sun, 01 Nov 2026 08:21:20 GMT

守恒性

马尔科夫链的成块性

Jake — Sun, 01 Nov 2026 05:46:10 GMT

范德珀尔振子

褚天舒 — Thu, 29 Oct 2026 11:12:38 GMT

参考文献

二维线性动力系统

千伏电压 — Thu, 29 Oct 2026 10:40:23 GMT

特例分析：相爱相杀的循环

部分信息分解

王亦理 — Thu, 29 Oct 2026 10:32:49 GMT

两源变量PID框架与部分信息原子

显示更改

WholeMinusSum

黄芸 — Tue, 27 Oct 2026 00:26:52 GMT

应用案例

范德珀尔振子

褚天舒 — Thu, 22 Oct 2026 14:46:21 GMT

显示更改

部分信息分解

王亦理 — Thu, 22 Oct 2026 10:42:35 GMT

I_{\min} 的特殊性质

范德珀尔振子

褚天舒 — Thu, 22 Oct 2026 10:29:45 GMT

部分信息分解

王亦理 — Thu, 22 Oct 2026 10:28:16 GMT

冗余信息的公理与具体度量I_{\min}性质

范德珀尔振子

褚天舒 — Thu, 22 Oct 2026 10:26:48 GMT

显示更改

部分信息分解

王亦理 — Thu, 22 Oct 2026 10:15:56 GMT

McGill 交互信息

显示更改

部分信息分解

Jake — Thu, 22 Oct 2026 08:59:30 GMT

两源变量PID框架与部分信息原子

部分信息分解

王亦理 — Thu, 22 Oct 2026 08:40:24 GMT

信息论基础

二维线性动力系统

Jake — Thu, 22 Oct 2026 08:37:47 GMT

特例分析：相爱相杀的循环

@@ 第36行： / 第36行： @@
 From a technical standpoint, the Lorenz system is [[nonlinearity|nonlinear]], non-periodic, three-dimensional and [[deterministic system (mathematics)|deterministic]]. The Lorenz equations have been the subject of hundreds of research articles, and at least one book-length study.<ref name="Sparrow 1982"/>
-从技术的角度看，洛伦兹系统是[[非线性|nonlinear]]、非周期性、三维和[[数学上确定的系统|deterministic]]。洛伦兹方程已经作为研究对象被数百篇论文讨论过，其中至少有一篇长篇研究。<ref name="Sparrow 1982"/>
+从技术的角度看，洛伦兹系统是[[非线性|非线性]]、非周期性、三维和[[数学上确定的系统|数学上的确定系统]]。洛伦兹方程已经作为研究对象被数百篇论文讨论过，其中至少有一篇长篇研究。<ref name="Sparrow 1982"/>
 ==分析==

@@ 第11行： / 第11行： @@
 其中 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 为非线性阻尼系数，中间的非线性阻尼项 [math]\displaystyle{ -\mu(1-x^2)\dot{x} }[/math] 决定了系统的全部动力学特性，该模型将线性理论、[[分岔理论]]、[[极限环]]、[[快慢动力学]]乃至[[混沌的边缘]]整合了起来，实现了由传统线性振荡理论向非线性动力学、乃至于[[混沌]]理论的飞跃。
-=主要内容=
+=数学模型=
 范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究[[极限环]][[非线性系统]]的经典实例。作为一个[[耗散]]性非线性振荡系统，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程：
@@ 第31行： / 第30行： @@
 当方程左侧为0的时候，模型为自由范德珀尔振子，不受外界噪声干扰；当方程右侧不为0时，模型变为[[受迫范德珀尔振子]]，可进一步展示[[分岔]]、[[混沌]]等更复杂的非线性现象。
-==物理意义与动力学行为==
+=物理意义与动力学行为=
 范德珀尔振子的动力学性质由三个相互关联的因素共同决定：阻尼系数的符号（[math]\displaystyle{ \mu }[/math] 的正负）、阻尼系数的大小（[math]\displaystyle{ |\mu| }[/math] 的强弱）以及振子位移的幅度（[math]\displaystyle{ |x| }[/math] 与 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 的相对大小）。阻尼系数的符号决定了系统是否发生分岔、是否存在极限环——当 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 从负值穿过零点变为正值时，系统经历[[霍普夫分岔]]，平凡平衡点由稳定变为不稳定，并产生稳定的极限环；阻尼系数的大小决定了极限环的形状和振动的非线性程度——[math]\displaystyle{ \mu }[/math] 较小时系统接近简谐振动，[math]\displaystyle{ \mu }[/math] 较大时呈现弛豫振荡；而位移幅度则决定了在一个振动周期内能量的实时分配——[math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math] 时系统注入能量，[math]\displaystyle{ |x|>1 }[/math] 时系统[[耗散]]能量。三者相互耦合，共同塑造了范德珀尔振子从线性振荡到弛豫振荡、从稳定极限环到[[混沌]]的丰富动力学行为。下文将分别从这三个维度展开论述。
-===阻尼参数正负不同时的分岔性质===
+==阻尼参数正负不同时的分岔性质==
 [[文件:阻尼系数不同的范德珀尔振子相图.png|缩略图|阻尼系数不同的范德珀尔振子振动相图]]
 [[文件:不同起振点的范德珀尔振子.png|缩略图|同一阻尼系数，不同起振点的范德珀尔振子收敛于同一极限环]]
@@ 第48行： / 第47行： @@
 上述 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 穿过零点时原点稳定性翻转、极限环随之产生或消失的现象，正是[[超临界霍普夫分岔]]的典型图景。值得注意的是，[math]\displaystyle{ \mu>0 }[/math] 与 [math]\displaystyle{ \mu<0 }[/math] 两种情形在时间反演下互为镜像：将 [math]\displaystyle{ t\to -t }[/math] 代入方程，[math]\displaystyle{ \mu }[/math] 的符号恰好翻转，因此一者为另一者的逆过程，体现了系统在时空意义上的对称性。从相图上看，当 [math]\displaystyle{ \mu>0 }[/math] 时，轨迹随机从平面内各点螺旋逼近极限环的位置（类似逆时针书写”6”字形，从“尾巴”出发，最后在下面的小圈处反复“画圈”），最终被极限环”捕获”并形成稳定循环；当 [math]\displaystyle{ \mu<0 }[/math] 时则相反，轨迹从极限环螺旋向内或向外随机收敛于平面内各点（类似顺时针书写“6”字形，从下面“小圈”左上角和“尾巴”衔接的地方出发，回到这里，再画出一条长长的“尾巴”）。分岔在此扮演了”入口”的角色——没有分岔，原点便是稳定的，所有轨迹终将被吸入口径为零的平衡点，极限环与后续的自持振荡便无从谈起。
-===阻尼参数大小不同时的振动非线性性质===
+==阻尼参数大小不同时的振动非线性性质==
 当阻尼系数 [math]\displaystyle{ \mu\ge 0 }[/math] 时，系统呈现稳定或趋于稳定的振动。系统的动力学特性随 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 的大小不同而呈现三种典型情形，分别对应模型非线性的不同强度，且随着 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 的增加，极限环的非线性动力学特征也在不断增强：
@@ 第59行： / 第58行： @@
 [[文件:阻尼系数不同时的范德珀尔振子位移随时间变化图.png|缩略图|阻尼系数不同的范德珀尔振子位移随时间变化图]]
 [[文件:阻尼系数不同的范德珀尔振子机械能随时间变化图.png|缩略图|阻尼系数不同的范德珀尔振子机械能随时间变化图]]
-===位移不同时的能量传递===
+==位移不同时的能量传递==
-在阻尼系数 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 为正且固定的条件下，系统的能量调节机制完全取决于位移 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的大小，这一机制在一个振动周期内呈现出精细的周期性波动，具体表现为非线性阻尼项 [math]\displaystyle{ -\mu(1-x^2)\dot{x} }[/math] 的符号随位移幅值切换：
+在阻尼系数 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 为正且固定的条件下，一个松弛振荡周期内系统的能量调节机制完全取决于位移 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的大小，这一机制在一个振动周期内呈现出精细的周期性波动，具体表现为非线性阻尼项 [math]\displaystyle{ -\mu(1-x^2)\dot{x} }[/math] 的符号随位移幅值切换：
 当位移较小（[math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math]）时，[math]\displaystyle{ (1-x^2)>0 }[/math]，非线性阻尼项表现为[[负阻尼]]，系统向振荡注入能量，使小振幅运动增长。在相空间中，这对应于轨迹在极限环内侧的区域运动时，阻尼力与速度方向相同，对振子做正功，不断向系统输入能量，推动轨迹向外螺旋扩张。
 当位移较大（[math]\displaystyle{ |x|>1 }[/math]）时，[math]\displaystyle{ (1-x^2)<0 }[/math]，非线性阻尼项表现为正阻尼，系统耗散能量，使大振幅运动衰减。在相空间中，这对应于轨迹在极限环外侧的区域运动时，阻尼力与速度方向相反，对振子做负功，从系统中抽取能量，迫使轨迹向内螺旋收缩。
@@ 第67行： / 第66行： @@
 上述能量调节机制是范德珀尔振子能够维持稳定自激振荡的核心物理机制，也是解释[[霍普夫分岔]]产生极限环现象的关键——分岔决定了极限环的”诞生”（原点失稳、极限环从无到有），而能量调节机制则决定了极限环的”维持”（振幅被锁定、振荡持续不断）。二者共同构成了范德珀尔振子作为”自激振荡原型系统”的完整物理图像。
-==模型的推导过程==
+=模型的推导过程=
 我们可通过如下步骤来探究<ref name="UConn_vanderpol_oscillator" />：考虑如图所示的RLC电路：它由电感 [math]\displaystyle{ L }[/math]、电容器 [math]\displaystyle{ C }[/math]、电阻 [math]\displaystyle{ R }[/math] 组成，我们假设电压源是电池（[math]\displaystyle{ E(t)=E }[/math]，常数）。当电池开关关闭时，根据[[基尔霍夫电压定律]]：

@@ 第249行： / 第249行： @@
 集体注意力流网络的诸多量化指标可以反映集体注意力流网络的多种性质和规律。
 ===基本规律===
-====平衡性和守恒性====
+====守恒性====
-守恒与平衡是集体注意力流网络中同一流量核算规律的两个侧面：守恒着眼于流动的注意力单元，指注意力在转移过程中不凭空增加或减少；平衡着眼于承接这些流动的节点，指在给定时间窗口内，计入外部输入与系统耗散后，节点的注意力总入流等于总出流。在注意力没有净积累或净释放的条件下，守恒在节点层面的具体表现就是流量平衡。
+守恒性着眼于承接这些流动的节点，指在给定时间窗口内，计入外部输入与系统耗散后，节点的注意力总入流等于总出流。在注意力没有净积累或净释放的条件下，守恒在节点层面的具体表现就是流量平衡。类似自然界的能量流是守恒的。事实上，由
 在集体注意力流网络中，节点可以表示话题、事件、内容、用户群体或平台入口，边表示注意力从一个节点向另一个节点的转移。例如，用户从一个新闻事件转向其相关评论区，或从一个热点话题转向另一个关联话题，都可以表示为节点之间的注意力流动。在统一的计量口径下，同一次转移所对应的注意力量，在流出节点和流入节点处应被一致地记录，不因边上的传递而自行增加或减少。
@@ 第289行： / 第290行： @@
 将所有内部节点的平衡方程相加，内部转移流会相互抵消，因为每一笔内部流动既是一个节点的出流，也是另一个节点的入流。因此，系统总体上满足：
-<math>IS=DS</math>
+<math>I_S=D_S</math>
 其中：
-<math>IS=\sum_{i=1}^N I_i</math>
+<math>I_S=\sum_{i=1}^N I_i</math>
-<math>DS=\sum_{i=1}^N D_i</math>
+<math>D_S=\sum_{i=1}^N D_i</math>
 这意味着，在没有系统净积累或净释放的条件下，给定时间窗口内的系统总输入等于总耗散。内部转移改变注意力在节点之间的分配，但不直接改变系统的注意力收支总量。需要注意，总输入等于总耗散只是总体收支平衡，并不能单独保证每个内部节点都满足平衡条件。
@@ 第352行： / 第353行： @@
 也可以进一步定义系统耗散率：
-<math>\Delta=\frac{DS}{TST}</math>
+<math>\Delta=\frac{D_S}{T_S}</math>
-其中，<math>TST</math>为系统总流量：
+其中，<math>T_s</math>为系统总流量：
-<math>TST=\sum_{i=1}^N T_i</math>
+<math>T_s=\sum_{i=1}^N T_i</math>
 系统耗散率越高，说明注意力越容易从当前系统中流出，网络内部的注意力循环能力较弱；系统耗散率越低，则说明注意力更倾向于在系统内部持续转移和再分配。

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第1行：		第1行：
−	成块性（Lumpability）是[[马尔科夫链的粗粒化]]~~理论中一种描述是否可聚类或可粗粒化的概念，最早由Kemeny和Snell在其1969年的著作Finite~~ Markov Chains<ref name=":1">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, ~~1969~~. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中提出。Lump一词有‘块’的意思。判断一个[[马尔科夫链]]是否可成块（lumpable），就是要判定是否存在一种状态划分方式，能够将原始的马尔科夫链压缩为一个保留其主要动力学特征的简化链。	+	成块性（Lumpability）是[[马尔科夫链的粗粒化]]理论中一种描述是否可聚类或可粗粒化的概念，最早由Kemeny和Snell在其1960年的著作Finite Markov Chains<ref name=":1">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1960. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中提出。Lump一词有‘块’的意思。判断一个[[马尔科夫链]]是否可成块（lumpable），就是要判定是否存在一种状态划分方式，能够将原始的马尔科夫链压缩为一个保留其主要动力学特征的简化链。

@@ 第136行： / 第136行： @@
 =参考文献=
 <ref name="Gerard-Lescuyer_Sur_un_paradoxe_electrodynamique">Gerard-Lescuyer, J. M. A. (1880). Sur un paradoxe électrodynamique.</ref>
-<ref name="Nature_Musical_Arcs">Musical Arcs. (1901). Nature, 63(1640), 542–543.</ref>
+<ref name="Nature_Musical_Arcs">Musical Arcs. (1901). Nature, 63(1640), 542–543</ref>.
 <ref name="De_Forest_The_Audion">De Forest, L. (1906). The Audion: A New Receiver for Wireless Telegraphy. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers.</ref>
 <ref name="Van_Der_Pol_A_theory_of_the_amplitude_of_free_and_forced_triode_vibrations">Van der Pol, B. (1920). A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations. Radio Review, 1, 701-710.</ref>
@@ 第145行： / 第145行： @@
 <ref name="Strogatz_Example_8.4.1">Strogatz, S. H. (2019). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2nd ed.). CRC Press. (Example 8.4.1)</ref>
 <ref name="Perko_2013_Differential_Equations_and_Dynamical_Systems">Perko, L. (2013). Differential Equations and Dynamical Systems (3rd ed.). Springer.</ref>
-<ref name="UConn_vanderpol_oscillator">Van der Pol Oscillator. Retrieved from https://www.phys.uconn.edu/~rozman/Courses/P2200_13F/downloads/vanderpol/vanderpol-oscillator-draft.pdf</ref>
+<ref name="UConn_vanderpol_oscillator">Van der Pol Oscillator. Retrieved from
 <ref name="Shah_Conservative_perturbation_theory_for_nonconservative_systems">Shah, T., Chattopadhyay, R., Vaidya, K., & Chakraborty, S. (2015). Conservative perturbation theory for nonconservative systems. Physical Review E, 92(6), 062927.</ref>
 <ref name="Chattopadhyay_Finding_the_Hannay_angle">Chattopadhyay, R., Shah, T., & Chakraborty, S. (2018). Finding the Hannay angle in dissipative oscillatory systems via conservative perturbation theory. Physical Review E, 97(6), 062209.</ref>

@@ 第162行： / 第162行： @@
 如 Fig.7 所示，随着状态点沿闭合轨迹运动，两人的情感关系依次经历以下四种典型状态：
-* '''彼此爱慕：''' 当 (R>0,\ J>0) 时，两人都处于积极的情感状态。此时罗密欧的情感继续增强，而朱丽叶的情感开始减弱。
+* '''彼此爱慕：''' 当 <math>R>0,J>0</math> 时，两人都处于积极的情感状态。此时罗密欧的情感继续增强，而朱丽叶的情感开始减弱。
-* '''罗密欧爱慕，朱丽叶回避：''' 当 (R>0,\ J<0) 时，罗密欧仍然保持爱慕，而朱丽叶表现出回避或消极态度。此时两人的情感强度均在下降。
+* '''罗密欧爱慕，朱丽叶回避：''' 当 <math>R>0, J<0</math> 时，罗密欧仍然保持爱慕，而朱丽叶表现出回避或消极态度。此时两人的情感强度均在下降。
-* '''彼此冷淡：''' 当 (R<0,\ J<0) 时，双方均处于消极的情感状态。罗密欧的情感继续下降，而朱丽叶的情感开始回升。
+* '''彼此冷淡：''' 当 <math>R<0, J<0</math> 时，双方均处于消极的情感状态。罗密欧的情感继续下降，而朱丽叶的情感开始回升。
-* '''朱丽叶爱慕，罗密欧冷淡：''' 当 (R<0,\ J>0) 时，朱丽叶重新表现出积极情感，而罗密欧仍处于消极状态。此时两人的情感均开始上升，系统逐渐回到彼此爱慕的阶段。
+* '''朱丽叶爱慕，罗密欧冷淡：''' 当 <math>R<0, J>0</math>时，朱丽叶重新表现出积极情感，而罗密欧仍处于消极状态。此时两人的情感均开始上升，系统逐渐回到彼此爱慕的阶段。
 这一循环不断重复，使两人的情感状态既不会收敛到静止平衡，也不会无限发散，而是在积极与消极状态之间周期性交替。对应的相轨迹为闭合椭圆，体现了中心型平衡点所具有的周期性动力学特征。

@@ 第184行： / 第184行： @@
 =信息分解框架下的分析=
 =应用案例=
-AND
+AND（逻辑与）
 CI(S : X; Y)

@@ 第219行： / 第219行： @@
 设 <math>I_{\cap}(T;\{S_1,\ldots,S_k\})</math> 表示关于目标变量 <math>T</math> 的一般冗余度量，则定义冗余信息时应满足以下三条公理。
-# '''对称性'''：冗余信息不依赖于信源的排列顺序。对任意置换 <math>\sigma</math>，有：
+ '''对称性'''：冗余信息不依赖于信源的排列顺序。对任意置换 <math>\sigma</math>，有：
-#: <math>I_{\cap}(T;\{S_1,\ldots,S_k\})=I_{\cap}(T;\{S_{\sigma(1)},\ldots,S_{\sigma(k)}\}).</math>
+<math>I_{\cap}(T;\{S_1,\ldots,S_k\})=I_{\cap}(T;\{S_{\sigma(1)},\ldots,S_{\sigma(k)}\}).</math>
-# '''自冗余性'''：当只包含一个信源时，冗余信息等于该信源与目标变量的互信息：
+ '''自冗余性'''：当只包含一个信源时，冗余信息等于该信源与目标变量的互信息：
-#: <math>I_{\cap}(T;\{S\})=I(T;S).</math>
+ <math>I_{\cap}(T;\{S\})=I(T;S).</math>
-# '''单调性'''：加入额外信源不会增加所有信源共同提供的信息：
+ '''单调性'''：加入额外信源不会增加所有信源共同提供的信息：
-#: <math>I_{\cap}(T;\{S_1,\ldots,S_{k-1},S_k\})\leq I_{\cap}(T;\{S_1,\ldots,S_{k-1}\}).</math>
+ <math>I_{\cap}(T;\{S_1,\ldots,S_{k-1},S_k\})\leq I_{\cap}(T;\{S_1,\ldots,S_{k-1}\}).</math>
-#: 若新加入的源 <math>S_k</math> 包含已有源之一，则加入该源不改变冗余量。
+ 若新加入的源 <math>S_k</math> 包含已有源之一，则加入该源不改变冗余量。
 上述三条是对一般冗余度量 <math>I_{\cap}</math> 的公理性要求；下列结论则可由这些公理推出
@@ 第275行： / 第275行： @@
 ==== <math>I_{\min}</math> 的特殊性质 ====
 Williams 和 Beer 提出的具体冗余度量为：
@@ 第319行： / 第318行： @@
 </math>
-这说明 <math>I_{\min}</math> 在所有信源逐结果提供相同信息时达到其上界；而单信源情形
+这说明 <math>I_{\min}</math> 在所有信源逐结果提供相同信息时达到其上界；
 <math>
 I_{\min}(T;\{S\})=I(T;S)

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（未显示同一用户的1个中间版本）
第1行：		第1行：
−	~~已将所有数学表达式统一改为 [math]\displaystyle{ ... }[/math] 格式。修改后的全文如下：~~
−
−	~~范德珀尔振子~~
	范德珀尔振子是[[非线性动力学]]中的一个典型[[自激振荡]]模型，由荷兰物理学家在研究真空电子管振荡电路时提出，核心数学模型为一个[[二阶非线性阻尼振子]]模型。因阻尼系数不同，产生振动的不同动力学特性；同时，因振幅不同，阻尼的正负性、敛散性也出现差异，即出现[[分岔]]现象。		范德珀尔振子是[[非线性动力学]]中的一个典型[[自激振荡]]模型，由荷兰物理学家在研究真空电子管振荡电路时提出，核心数学模型为一个[[二阶非线性阻尼振子]]模型。因阻尼系数不同，产生振动的不同动力学特性；同时，因振幅不同，阻尼的正负性、敛散性也出现差异，即出现[[分岔]]现象。
	在动力学理论中，该模型可进一步延伸为非齐次的[[受迫范德珀尔振子]]及[[量子振荡器]]的模型。该模型作为典型的[[非线性动力学]]模型，也在机械振动、电子电器、生物医学等领域中广泛应用；此外，对[[受迫范德珀尔振子]]的深入研究也促进了[[混沌理论]]的诞生和发展。		在动力学理论中，该模型可进一步延伸为非齐次的[[受迫范德珀尔振子]]及[[量子振荡器]]的模型。该模型作为典型的[[非线性动力学]]模型，也在机械振动、电子电器、生物医学等领域中广泛应用；此外，对[[受迫范德珀尔振子]]的深入研究也促进了[[混沌理论]]的诞生和发展。

@@ 第214行： / 第214行： @@
 注：为什么在三种信息里面只给出冗余信息的定义见“冗余晶格”小节开头。
-===冗余信息的若干性质===
+===冗余信息的公理与具体度量<math>I_{\min}</math>的性质===
-根据上述定义,Williams和Beer<ref name="Paul" /> 给出了[[冗余]]信息具有的一些重要性质:
+在引入了上面关于冗余的定义后，Williams 和 Beer<ref name="Paul" /> 给出了冗余信息度量的一般公理与其所提出的具体度量 <math>I_{\min}</math> 的性质。
-# '''非负性'''：要证明[[冗余]]信息是非负的，只需要证明 <math>I(T=t;S)</math> 是非负的。我们有 <math>I(T=t;S)=D(p(s|t)||p(s))\ge 0\</math>，其中 <math>D</math> 为 Kullback-Leibler 散度。而显然KL散度是非负的。
+# '''对称性'''：冗余信息不依赖于信源的排列顺序。对任意置换 <math>\sigma</math>，有：
-# '''上界性'''：对所有 <math>S_i</math> 都有 <math>I_{\min}\le I(T;S_i)</math>，且当且仅当对所有 <math>i,j</math>和所有 <math>t\in T</math>都有：当 <math>I(T=t;S_i)=I(T=t;S_j)</math> 成立时等号成立。
+#: <math>I_{\cap}(T;\{S_1,\ldots,S_k\})=I_{\cap}(T;\{S_{\sigma(1)},\ldots,S_{\sigma(k)}\}).</math>
-在这些底线性质中:对称性、单调性、自冗余性是定义冗余信息所必须遵守的公理。
+# '''自冗余性'''：当只包含一个信源时，冗余信息等于该信源与目标变量的互信息：
 === 两源变量[[PID框架]]与部分信息原子 ===

@@ 第169行： / 第169行： @@
 部分信息原子包括如下三个部分:
-'''[[特有]]信息(Un)''':仅源变量<math>S_1,S_2</math>中的一个自身可以向<math>T</math>目标提供,而另一个无法提供的信息。
+'''[[特有]]信息(Un)'''：仅源变量<math>S_1,S_2</math>中的一个自身可以向<math>T</math>目标提供,而另一个无法提供的信息。
 <math>\mathrm{Un}(S_1 \rightarrow T | S_2),\mathrm{Un}(S_2 \rightarrow T| S_1)</math>
-'''[[冗余]]信息(Red)''': <math>R_1,R_2</math>均可提供的重复信息（冗余信息）
+'''[[冗余]]信息(Red)'''：<math>R_1,R_2</math>均可提供的重复信息（冗余信息）
 <math>\mathrm{Red}(S_1,S_2\rightarrow T) </math>
-'''[[协同]]信息(Syn)''':<math>R_1,R_2</math>的组合可能产生单独任何一个随机变量无法提供的信息
+'''[[协同]]信息(Syn)'''：<math>R_1,R_2</math>的组合可能产生单独任何一个随机变量无法提供的信息
 <math>\mathrm{Syn}(S_1,S_2 \rightarrow T)</math>
@@ 第187行： / 第187行： @@
 从维恩图中显而易见的还有如下两组等式等式成立：
-. 某一源向目标变量传递的信息由其[[特有]]和[[冗余]]构成
+* 某一源向目标变量传递的信息由其[[特有]]和[[冗余]]构成
 <math>I(S_1;T) = \mathrm{Red}(S_1,S_2 \rightarrow T) + \mathrm{Un}(S_1 \rightarrow T| S_2)</math>
@@ 第195行： / 第195行： @@
 这意味着，我们可以通过[[互信息]]-[[冗余]]去计算特有信息。
-. 某一源向和目标变量组（整体）传递的信息由[[特有]]和[[协同]]构成
+* 某一源向和目标变量组（整体）传递的信息由[[特有]]和[[协同]]构成
 <math>I(T;S_1 |S_2) = \mathrm{Syn}(S_1,S_2 \rightarrow T) + \mathrm{Un}(S_1 \rightarrow T |S_2)</math>

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 == [[信息论]]基础 ==
-部分信息分解（Partial Information Decomposition，PID）研究多个信源如何共同提供关于目标变量的信息。设 <math>X_1,\ldots,X_n</math> 为 <math>n</math> 个信源，<math>Y</math> 为目标变量，并记信源组为 <math>\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)</math>。PID 所分解的对象是信源组与目标变量之间的[[互信息]]，而互信息的定义是基于多变量[[联合信息熵]]以及[[条件熵]]的，因此，我们有必要对这些量化指标做一一介绍。
+部分信息分解（Partial Information Decomposition，PID）分解的对象是信源组与目标变量之间的[[互信息]]，而互信息是基于多变量[[联合信息熵]]以及[[条件熵]]定义的，集智百科将在这一小节中对这些信息论指标进行简介。
-对于取值集合为 <math>\{x_1,\ldots,x_m\}</math> 的离散随机变量 <math>X</math>，记 <math>p_i=P(X=x_i)</math>。其[[信息熵]]定义为:
+==== 信息熵、联合熵与条件熵 ====
-<math>H(X)=-\sum_{i=1}^{m}p_i\log p_i.</math>
+对于取值集合为 <math>\{s_1,\ldots,s_m\}</math> 的离散随机变量 <math>S</math>，记 <math>p_i=P(S=s_i)</math>。其[[信息熵]]定义为:
 其中，对数底数决定信息量的单位；当以 2 为底时，单位为[[比特]]（bit）。通常约定 <math>0\log 0=0</math>。[[信息熵]]刻画随机变量取值的不确定程度；其公理化基础及连续变量情形下的[[微分熵]]，可参见[[信息熵]]词条。
-对于离散随机变量组 <math>\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)</math>，其[[联合熵]]定义为：
+对于离散随机变量组 <math>\mathbf{S}=(S_1,\ldots,S_n)</math>，其[[联合熵]]定义为：
-<math>H(X_1,\ldots,X_n)=-\sum_{(x_1,\ldots,x_n)\in\Omega(X_1,\ldots,X_n)}p(x_1,\ldots,x_n)\log p(x_1,\ldots,x_n),</math>
+<math>H(S_1,\ldots,S_n)=-\sum_{(s_1,\ldots,s_n)\in\Omega(S_1,\ldots,S_n)}p(s_1,\ldots,s_n)\log p(s_1,\ldots,s_n),</math>
-其中，<math>\Omega(X_1,\ldots,X_n)</math> 为随机变量组的联合取值空间，<math>p(x_1,\ldots,x_n)</math> 为其[[联合概率分布]]。
+其中，<math>\Omega(S_1,\ldots,S_n)</math> 为随机变量组的联合取值空间，<math>p(s_1,\ldots,s_n)</math> 为其[[联合概率分布]]。
-当观测到目标变量 <math>Y</math> 的取值后，信源组仍具有的不确定性由[[条件熵]]表示：
+当观测到目标变量 <math>T</math> 的取值后，信源组仍具有的不确定性由[[条件熵]]表示：
-<math>H(X_1,\ldots,X_n\mid Y)=-\sum_{x_1,\ldots,x_n,y}p(x_1,\ldots,x_n,y)\log p(x_1,\ldots,x_n\mid y).</math>
+<math>H(S_1,\ldots,S_n\mid T)=-\sum_{s_1,\ldots,s_n,t}p(s_1,\ldots,s_n,t)\log p(s_1,\ldots,s_n\mid t).</math>
-这里，[math]p(x_1,\ldots,x_n\mid y)[/math]为给定[math]Y[/math]的取值为[math]y[/math]的条件下，[math]X_1,\ldots,X_n[/math]取值为：[math]x_1,\ldots,x_n[/math]的条件概率。
+这里，<math>p(s_1,\ldots,s_n\mid T)</math>为给定<math>T=t</math>的条件下<math>S_1,\ldots,S_n</math>取值为:<math>s_1,\ldots,s_n</math>的条件概率。
 [[条件熵]]与[[联合熵]]满足：
-<math>H(X_1,\ldots,X_n\mid Y)=H(X_1,\ldots,X_n,Y)-H(Y).</math>
+<math>H(S_1,\ldots,S_n\mid T)=H(S_1,\ldots,S_n,T)-H(T).</math>
-在两个信源 <math>X_1,X_2</math> 的情形下，[[条件互信息]]为：
+==== 互信息与条件互信息 ====
-<math>I(X_1;Y\mid X_2)=H(X_1\mid X_2)-H(X_1\mid X_2,Y).</math>
+<math>I(S_1,\ldots,S_n;T)=H(S_1,\ldots,S_n)-H(S_1,\ldots,S_n\mid T).</math>
-在标准的二信源 PID 记号下，[[条件互信息]]可写为：
+互信息刻画信源组与目标变量之间的统计依赖程度；它也可写为联合分布 <math>p(\mathbf{S},T)</math> 与[[边缘分布]]乘积 <math>p(\mathbf{S})p(T)</math> 之间的 [[Kullback-Leibler 散度]]：
-<math>I(X_1;Y\mid X_2)=\operatorname{Unq}(X_1;Y)+\operatorname{Syn}(X_1,X_2;Y),</math>
+<math>I(\mathbf{S};T)=D_{\mathrm{KL}}\!\left(p(\mathbf{S},T)\,\middle\|\,p(\mathbf{S})p(T)\right).</math>
-即，在已知 <math>X_2</math> 后，<math>X_1</math> 对 <math>Y</math> 提供的信息由 <math>X_1</math> 的特有信息与两个信源的协同信息构成。这一关系说明了条件互信息与 PID 中特有信息、协同信息之间的联系。
+然而，<math>I(S_1,\ldots,S_n;T)</math> 只能描述信源组整体与目标变量共享的信息量，不能区分这些信息是由不同信源重复提供、还由某一信源独有提供，又或是只有联合观察多个信源时才会获得。PID 正是对这一总互信息作进一步分解，将其表示为[[冗余信息]]、[[特有信息]]和[[协同信息]]等成分的动机。
 == [[PID框架]]的形成动机 ==
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 <math>X_3=X_1\oplus X_2,</math>其中 <math>\oplus</math> 表示[[异或运算]]。此时，<math>X_1</math>、<math>X_2</math> 与 <math>X_3</math> 两两独立，但 <math>(X_1,X_2)</math> 的联合取值能够完全确定 <math>X_3</math>。因此，该系统存在无法由任意一对变量关系捕捉的[[高阶依赖]]。
-[[文件:三变量高阶冗余示例.png|337x337像素|替代=|缩略图|图：以韦恩图展示的三变量系统高阶依赖例子。]]
+[[文件:三变量高阶冗余示例.png|337x337像素|替代=|缩略图|图1：以韦恩图展示的三变量系统高阶依赖例子。]]
 这一例子表明，仅以“变量间是否相关”来描述多变量系统并不充分。若将 <math>X_1</math>、<math>X_2</math> 视为信源、<math>X_3</math> 视为目标，则它们提供的是典型的协同信息：任一信源单独不能预测目标，二者联合时却可以。高阶依赖的存在启发了PID框架重新严格定义冗余信息并对传输信息的来源进行分解。
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 相应的[[McGill交互信息]]为右图中的灰色部分:<math>I(X;Y;Z)</math>
-[[文件:Pasted_image_20251104135250.png|链接=特殊:文件路径/Pasted_image_20251104135250.png|替代=|338x338px|图：以韦恩图展示的三元随机变量系统的McGill交互信息示意图，灰色部分为该系统的McGill交互信息。来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Interaction_information|缩略图]]
+[[文件:Pasted_image_20251104135250.png|链接=特殊:文件路径/Pasted_image_20251104135250.png|替代=|338x338px|图2：以韦恩图展示的三元随机变量系统的McGill交互信息示意图，灰色部分为该系统的McGill交互信息。来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Interaction_information|缩略图]]
 '''交互信息的负值问题'''

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 [[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|Fig.1 二维线性系统不动点的迹-行列式（Trace-Determinant）分类平面图|替代=|无|389x389像素]]
-* '''鞍点（Saddle Point）：''' 当 [math]\Delta < 0[/math]（即左半平面）时，特征值为一正一负的实数。 此时鞍点在两个特征方向上表现出不同的动力学行为。负特征值对应<nowiki>'''</nowiki>稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，该方向上的轨迹随时间逐渐趋近平衡点；正特征值对应<nowiki>'''</nowiki>不稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，轨迹则随时间远离平衡 点。由于只有严格位于稳定方向上的轨迹才能收敛到平衡点，而附近的微小扰动产生的不稳定方向分量会随时间增长，因此鞍点整体上是不稳定的。例如，系统 [math]\dot{x}=x,\ \dot{y}=-y[/math] 的两个特征值分别为 [math]1[/math] 和 [math]-1[/math]，其中 [math]y[/math] 轴为稳定方向，[math]x[/math] 轴为不稳定方向，其余轨迹呈双曲线形状，由此形成如图Fig.2所示的典型鞍点相图[[文件:Saddle phase portrait.svg|无|缩略图|396x396像素|Fig.2 鞍点相图]]
+====鞍点（Saddle Point）====
-*'''结点（Node）：'''  当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号且互异的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。由于两个特征值均为实数，相轨迹通常沿特征方向趋近或远离平衡点，而不表现出围绕平衡点的旋转行为。  当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，系统形成'''稳定结点（Stable Node）'''。如 Fig.3(a) 所示，相轨迹从不同方向逐渐趋向平衡点，表明该平衡点为渐近稳定。  当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，系统形成'''不稳定结点（Unstable Node）'''。如 Fig.3(b) 所示，相轨迹从平衡点向外发散，附近任意微小扰动都会随时间远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。
+====结点（Node）====
-*'''焦点（Focus）：'''  当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta<0[/math] 时，系统具有一对共轭复特征值，对应于'''焦点（Focus）'''。此时特征值可写为 [math]\lambda_{1,2}=T/2\pm i\omega[/math]，其中虚部使相轨迹围绕平衡点旋转，而实部 [math]T/2[/math] 决定轨迹是逐渐收缩还是向外发散。  当 [math]T<0[/math] 时，共轭复特征值的实部为负，系统形成'''稳定焦点（Stable Focus）'''。如 Fig.3(c) 所示，相轨迹以螺旋形式逐渐趋近平衡点，因此该平衡点为渐近稳定。  当 [math]T>0[/math] 时，共轭复特征值的实部为正，系统形成'''不稳定焦点（Unstable Focus）'''。如 Fig.3(d) 所示，相轨迹以螺旋形式逐渐远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。
+当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号且互异的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。由于两个特征值均为实数，相轨迹通常沿特征方向趋近或远离平衡点，而不表现出围绕平衡点的旋转行为。  当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，系统形成'''稳定结点（Stable Node）'''。如 Fig.3(a) 所示，相轨迹从不同方向逐渐趋向平衡点，表明该平衡点为[[渐近稳定]]。当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，系统形成'''不稳定结点（Unstable Node）'''。如 Fig.3(b) 所示，相轨迹从平衡点向外发散，附近任意微小扰动都会随时间远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。
 [[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|621x621px|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]
-*'''中心（Center）：''' 当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T=0[/math] 时，系统具有一对纯虚共轭特征值，可写为 [math]\lambda_{1,2}=\pm i\sqrt{\Delta}[/math]。由于特征值的实部为零，轨迹既不会随时间趋近平衡点，也不会向外发散，而是围绕平衡点形成闭合轨道。  如 Fig.4 所示，相轨迹在平衡点周围持续作周期运动，因此该平衡点称为'''中心（Center）'''。此时系统保持周期性振荡，但轨迹不会收敛到平衡点。
-**[[文件:Fig4 center phase portrait.svg|无|缩略图|325x325像素|Fig.4 中心相图]]
+====中心（Center）====
-*'''星形结点（Star Node）：''' 当 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，系统具有重复实特征值 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]。若系统矩阵 [math]A[/math] 具有两个线性无关的特征向量，则形成'''星形结点（Star Node）'''。此时相轨迹沿不同方向直接趋近或远离平衡点，如 Fig.5(a) 所示。当 [math]T<0[/math] 时，重复特征值为负，轨迹随时间趋近平衡点，形成稳定星形结点；当 [math]T>0[/math] 时，重复特征值为正，轨迹从平衡点向外发散，形成不稳定星形结点。
+当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T=0[/math] 时，系统具有一对纯虚共轭特征值，可写为 [math]\lambda_{1,2}=\pm i\sqrt{\Delta}[/math]。由于特征值的实部为零，轨迹既不会随时间趋近平衡点，也不会向外发散，而是围绕平衡点形成闭合轨道。  如 Fig.4 所示，相轨迹在平衡点周围持续作周期运动，因此该平衡点称为'''中心（Center）'''。此时系统保持周期性振荡，但轨迹不会收敛到平衡点。
-*'''退化结点（Improper Node）：'''  当 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，若系统矩阵 [math]A[/math] 只有一个线性无关的特征向量，则形成'''退化结点（Improper Node）'''。与星形结点不同，退化结点附近的相轨迹通常呈弯曲形态，并在接近平衡点时逐渐与唯一的特征方向相切，如 Fig.5(b) 所示。当 [math]T<0[/math] 时，轨迹趋近平衡点，形成稳定退化结点；当 [math]T>0[/math] 时，轨迹远离平衡点，形成不稳定退化结点。
+* [[文件:Fig4 center phase portrait.svg|无|缩略图|325x325像素|Fig.4 中心相图]]
-*'''非孤立平衡点（Non-isolated Equilibrium Points）：'''  当 [math]\Delta=0[/math] 时，系统至少存在一个零特征值，因此系统矩阵 [math]A[/math] 为奇异矩阵，平衡点不一定是孤立的。若 [math]T\neq0[/math]，两个特征值分别为 [math]0[/math] 和 [math]T[/math]，矩阵的零空间通常形成一条由平衡点组成的直线。当 [math]T<0[/math] 时，附近轨迹趋向这条平衡点直线，如 Fig.5(c) 所示；当 [math]T>0[/math] 时，附近轨迹则远离该平衡点直线。  当 [math]T=0[/math] 且 [math]\Delta=0[/math] 时，两个特征值均为零。若 [math]A=0[/math]，则整个相平面上的点均为平衡点；若 [math]A\neq0[/math]，则系统存在一条平衡点直线，其余轨迹沿与该直线平行的方向发生线性漂移。
 [[文件:Fig5 退化情况.png|无|缩略图|1159x1159px|Fig.5 退化情况: 星形结点、退化结点和非孤立平衡点]]
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 从该演化方程可以看出，要完全确定系统未来的状态，仅仅知道位置<math>\displaystyle{ x }</math>这一物理量是不够的，还必须掌握系统当下的速度<math>\displaystyle{ v }</math>。因此，描述该系统的自然状态空间不再是一维的直线，而是由位置与速度构成的二维'''[[相平面]]（Phase plane），即<math>\displaystyle{ (x,v) }</math>空间。'''如 Fig.6 所示，弹簧振子的实际运动与相平面中的状态演化具有一一对应关系。
-[[文件:二维谐振子系统.gif|替代=|无|'''Fig.6 无阻尼弹簧振子的运动与相轨迹对应关系。''' 左侧展示质量块在弹簧作用下的周期往复运动，右侧展示对应状态点 ((x(t),v(t))) 在相平面中的演化。随着质量块的位置和速度周期性变化，状态点沿闭合椭圆轨迹运动。由于系统矩阵的迹 (T=0)、行列式 (\Delta=k/m>0)，其原点对应中心（Center）型平衡点。|有框]]
+[[文件:二维谐振子系统.gif|替代=|无|'''Fig.6 无阻尼弹簧振子的运动与相轨迹对应关系。''' 左侧展示质量块在弹簧作用下的周期往复运动，右侧展示对应状态点 ([math](x(t),v(t))[/math]) 在相平面中的演化。随着质量块的位置和速度周期性变化，状态点沿闭合椭圆轨迹运动。由于系统矩阵的迹 ([math]T=0[/math])、行列式 ([math]\Delta=k/m>0[/math])，其原点对应中心（Center）型平衡点。|有框]]
 ==跨学科案例：罗密欧与朱丽叶的恋爱动力学<ref name=":4" /> ==
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 这一案例展示了[[动力系统 Dynamical system|动力系统]]分析中的结构相似性：二维线性动力系统的不动点分类不仅可以用于解释弹簧振子等经典物理系统中的周期振动，也可以用于刻画社会或心理模型中的相互作用关系。在数学上，这类问题都可以归结为对系统矩阵的特征值、迹与行列式的分析；在几何上，它们都可以通过[[相平面]]中的轨迹结构进行直观理解。
 <references />