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|description=ISING模型

|description=ISING模型

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==ISING模型简介==

==ISING模型简介==

可以毫不夸张地说，Ising模型是统计物理中迄今为止唯一的一个同时具备:表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。Ising模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种[[连续相变]]（也叫[[二级相变]]）。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。而当系统处于临界温度<math>T_C</math>的时候，Ising模型表现出一系列幂律行为和自相似现象。

可以毫不夸张地说，Ising模型是统计物理中迄今为止唯一的一个同时具备:表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。Ising模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种[[连续相变]]（也叫[[二级相变]]）。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。而当系统处于临界温度<math>T_C</math>的时候，Ising模型表现出一系列幂律行为和自相似现象。

Ising模型之所以具有如此广泛的应用并不仅仅在于它的模型机制的简单性，更重要的是它可以模拟出广泛存在于自然、社会、人工系统中的[[临界现象]]。所谓的临界现象，是指系统在[[相变]]临界点附近的时候表现出的一系列的[[标度现象]]（Scaling phenomena），以及系统在不同尺度之间的相似性。临界系统之中不同组成部分之间还会发生长程的关联，这种通过局部相互作用而导致长程联系的现象恰恰是真实复杂系统，如社会、经济、认知神经系统的复杂性所在。因此，Ising模型不仅仅是一个[[统计物理]]模型，它更是一个建模各种复杂系统模型的典范。

Ising模型之所以具有如此广泛的应用并不仅仅在于它的模型机制的简单性，更重要的是它可以模拟出广泛存在于自然、社会、人工系统中的[[临界现象]]。所谓的临界现象，是指系统在[[相变]]临界点附近的时候表现出的一系列的[[标度现象]]（Scaling phenomena），以及系统在不同尺度之间的相似性。临界系统之中不同组成部分之间还会发生长程的关联，这种通过局部相互作用而导致长程联系的现象恰恰是真实复杂系统，如社会、经济、认知神经系统的复杂性所在。因此，Ising模型不仅仅是一个[[统计物理]]模型，它更是一个建模各种复杂系统模型的典范。

'''ISING模型简史'''

 

Ising模型最早的提出者是Wilhelm Lenz (1920)。后来，他让他的学生Ernst Ising对一维的Ising模型进行求解，但是并没有发现相变现象，因此也没有得到更多物理学家的关注。

==ISING模型简史==

Ising模型最早的提出者是Wilhelm Lenz (1920)。后来，他让他的学生Ernst Ising对一维的Ising模型进行求解，但是并没有发现相变现象，因此也没有得到更多物理学家的关注。随后，著名的统计物理学家Lars Onsager于1944年对二维的ISING模型进行了解析求解，并同时发现了二维ISING模型中的相变现象，从而引起了更多学者的注意。之后，随着物理学家Landau、Ginzburg等人的努力，人们发现了Ising模型与量子场论之间的联系，并创立了平行的“[[统计场论]]”

之后，随着物理学家Landau、Ginzburg等人的努力，人们发现了Ising模型与量子场论之间的联系，并创立了平行的“[[统计场论]]”

 

==模型表述==

==模型表述==

表示磁针朝上或者朝下。网格上相邻的两个小磁针可以发生相互作用。

表示磁针朝上或者朝下。网格上相邻的两个小磁针可以发生相互作用。

===总能量===

===总能量===

具体作法是：

具体作法是：

  在每一个仿真周期，模拟程序会根据当前的状态组合<math>s_{i}(t)</math>，进行小的改进（例如随机翻转某一个小磁针），得到一个新的状态组合<math>s_i'</math>。

在每一个仿真周期，模拟程序会根据当前的状态组合<math>s_{i}(t)</math>，进行小的改进（例如随机翻转某一个小磁针），得到一个新的状态组合<math>s_i'</math>。

  但是系统下一时刻的状态并不是直接取为该状态组合，而是以概率发生：

但是系统下一时刻的状态并不是直接取为该状态组合，而是以概率发生：

    

    

   <math>s_i(t+1)=\left\{\begin{array}{ll} s_i' & \mbox {with probability } \mu, \\

   <math>s_i(t+1)=\left\{\begin{array}{ll} s_i' & \mbox {with probability } \mu, \\

  s_i(t) & \mbox {with probability }1-\mu.\end{array}\right.</math>

  s_i(t) & \mbox {with probability }1-\mu.\end{array}\right.</math>

      

      

  其中概率<math>\mu</math>按照如下公式计算：

其中概率<math>\mu</math>按照如下公式计算：

    

    

   <math>

   <math>

[[category:复杂系统]]

[[category:复杂系统]]