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==更多应用==

==更多应用==

Ising模型目前应用非常广泛。本小节主要从社会科学和神经科学这两个方面介绍它的应用。

Ising模型目前应用非常广泛。本小节主要从社会科学和神经科学这两个方面介绍它的应用。

===投票模型===

===投票模型 Voter Model===

在社会科学应用方面，我们主要介绍一个叫做投票（Voter）的模型。假设有一个村落，每家每户都规则地排列在一个网格上。每个人都有自己的政治观点，假设第i个村民的政治观点是<math>s_i</math>，其中<math>s_i</math>可以在有限状态集合V中取值。我们用不同的颜色来表示不同人的政治观点，如下图所示：

在社会科学应用方面，我们主要介绍一个叫做投票的模型。假设有一个村落，每家每户都规则地排列在一个网格上。每个人都有自己的政治观点，假设第i个村民的政治观点是<math>s_i</math>，其中<math>s_i</math>可以在有限状态集合V中取值。我们用不同的颜色来表示不同人的政治观点，如下图所示：

[[File:Votermodel.jpg|center|thumb|Voter Model]]

[[File:Votermodel.jpg|center|thumb|Voter Model]]

然而，如果我们稍作变化，只要每个村民在每个周期都会有一个小概率v发生政治观点的随机变化（并不拷贝邻居的颜色）。那么这个系统就将持续演化下去，不会停留在固定的状态上。不难看出，在这种改进的模型中，Voter模型与Ising模型很相似。其中，村民拷贝邻居的观点相当于Ising模型中，小磁针朝能量减小的方向演化。而每个村民按小概率v发生观点随机变化就相当于环境噪声的影响。如果适当地选择v参数的大小，Voter模型将会达到和ISING模型类似的效果，即存在着临界的概率<math>v_C</math>，使得系统处于临界状态。与ISING模型不同的是每个村民的状态取值可以更多。

然而，如果我们稍作变化，只要每个村民在每个周期都会有一个小概率v发生政治观点的随机变化（并不拷贝邻居的颜色）。那么这个系统就将持续演化下去，不会停留在固定的状态上。不难看出，在这种改进的模型中，Voter模型与Ising模型很相似。其中，村民拷贝邻居的观点相当于Ising模型中，小磁针朝能量减小的方向演化。而每个村民按小概率v发生观点随机变化就相当于环境噪声的影响。如果适当地选择v参数的大小，Voter模型将会达到和ISING模型类似的效果，即存在着临界的概率<math>v_C</math>，使得系统处于临界状态。与ISING模型不同的是每个村民的状态取值可以更多。

对比Voter模型和Ising模型不难发现，Voter模型中并不存在能量，但是给出了每个微观个体状态转变的具体规则，而在Ising模型中，单个小磁针的状态改变没有具体的规则，但是系统整体定义了总能量，于是只有那些可以使得总能量变小的微观个体转变才更容易被接受。当运行起来以后，Voter模型与Ising具有相似的行为，这意味着这两种状态更新方式存在着一定的等价性。我们看到，Voter模型中每个村民拷贝某个邻居的观点相当于使得这两个格点的状态乘积尽量等于1（当有+1,-1两个状态的时候），也相当于降低系统整体的能量。反过来，要想降低Ising模型中的总能量，一种明智的方法就是使得两个相邻格点的小磁针状态一致。由此可见，这两种模型存在着天然的对应。也意味着，我们可以定义Voter模型的能量函数，也可以为Ising模型指定微观演化的规则。

对比Voter模型和Ising模型不难发现，Voter模型中并不存在能量，但是给出了每个微观个体状态转变的具体规则，而在Ising模型中，单个小磁针的状态改变没有具体的规则，但是系统整体定义了总能量，于是只有那些可以使得总能量变小的微观个体转变才更容易被接受。当运行起来以后，Voter模型与Ising具有相似的行为，这意味着这两种状态更新方式存在着一定的等价性。我们看到，Voter模型中每个村民拷贝某个邻居的观点相当于使得这两个格点的状态乘积尽量等于1（当有+1,-1两个状态的时候），也相当于降低系统整体的能量。反过来，要想降低Ising模型中的总能量，一种明智的方法就是使得两个相邻格点的小磁针状态一致。由此可见，这两种模型存在着天然的对应。也意味着，我们可以定义Voter模型的能量函数，也可以为Ising模型指定微观演化的规则。

与此类似的社会学模型还有很多，例如著名经济学诺贝尔奖得主Thomas C. Schelling的[[种族隔离模型]]也是一个类似的温度T=0的Ising模型。种族隔离模型假设一个街区中随机分布着两种肤色的人，例如黑人和白人。假如一个黑人周围的白人过多，则黑人会搬家（移动到周边的方格），否则如果白人周围是黑人，他也会搬家。这样经过足够长时间的演化，系统将形成不同的肤色的区块。这个模型与ISING模型有很多异趣同工的地方。

与此类似的社会学模型还有很多，例如著名经济学诺贝尔奖得主Thomas C. Schelling的[[种族隔离模型]]也是一个类似的温度<math>T=0</math>的Ising模型。种族隔离模型假设一个街区中随机分布着两种肤色的人，例如黑人和白人。假如一个黑人周围的白人过多，则黑人会搬家（移动到周边的方格），否则如果白人周围是黑人，他也会搬家。这样经过足够长时间的演化，系统将形成不同的肤色的区块。这个模型与Ising模型有很多相似的地方。

===Hopfield神经网络模型===

===Hopfield神经网络模型===