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第166行：
第166行： − 近些年来越来越多的人把统计物理用于研究各式各样的复杂系统中，并发现了一些普适的规律。例如，经济系统中，如果把一个人所拥有的财富量记作x，拥有这么多财富量的人数记作p(x)，那么实证数据表明p(x)~x<sup>-1.5</sup>，这被称之为帕累托律（[https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_principle Pareto Law]）。在一本英文书中，如果把某一个单词w出现的次数记为f(w)，将所有出现过的单词按照f值的大小排序，记r(w)为该单词w在排序中的序数，那么f(w)~r(w)<sup>-1</sup>，即w出现的频率与它的排序r呈反比，这被称之为[https://en.wikipedia.org/wiki/Zipf%27s_law Zipf律]。还有城市的人口，地震的规模都呈现相似的分布特征，这被称之为幂律现象（[https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law Power law]）。根据这个英文名，我则戏称这个法则为强力法则。<br>+ − 之所以称这些规律为强力法则，更主要的原因是这种现象在复杂系统中的普适性，从细胞生物体，到互联网，再到人际交往关系，幂律现象比比皆是（有关幂律的讨论，请参看计算士的科普文章：[[涌现4]]）。<br>+ − 进一步，人们发现，这些普遍存在的幂律现象背后有一种更深层次的普适规律，也就是标度不变性。为了解释这种标度不变性，让我们用[https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal 分形]的例子来说明：<br>+ − + − <center>图3-12 分形图案</center><br>+ − + − 由此，我们看出，真实的复杂系统恰恰具有一种明显地依赖于观察者的行为，这就是：标度不变性，即'''系统不会随着我们观察者观察它的尺度而变化'''(参看科普小文：[[分形与尺度相对论]])。<br>+ + + +
→从强力法则到标度不变性
===从强力法则到标度不变性===
===从强力法则到标度不变性===
近些年来越来越多的人把统计物理用于研究各式各样的复杂系统中，并发现了一些普适的规律。例如，经济系统中，如果把一个人所拥有的财富量记作x，拥有这么多财富量的人数记作p(x)，那么实证数据表明p(x)~x<sup>-1.5</sup>，这被称之为帕累托律（[https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_principle Pareto Law]）。在一本英文书中，如果把某一个单词w出现的次数记为f(w)，将所有出现过的单词按照f值的大小排序，记r(w)为该单词w在排序中的序数，那么f(w)~r(w)<sup>-1</sup>，即w出现的频率与它的排序r呈反比，这被称之为[https://en.wikipedia.org/wiki/Zipf%27s_law Zipf律]。还有城市的人口，地震的规模都呈现相似的分布特征，这被称之为幂律现象（[https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law Power law]）。根据这个英文名，我则戏称这个法则为强力法则。<br>
[[File:xtzdgcz3_25.gif|图3-12|居中]]<br>
之所以称这些规律为强力法则，更主要的原因是这种现象在复杂系统中的普适性，从细胞生物体，到互联网，再到人际交往关系，幂律现象比比皆是（有关幂律的讨论，请参看计算士的科普文章：[[涌现4]]）。<br>
观察者将观察的精度提高的过程就是从左图过渡到右图的过程，我们知道，当观察者的观测精度扩大9倍，那么它就能看到每一个黑色方格之内的细节，因此也就有了右图。我们说这个图形是标度不变的，也就是说在扩大9倍的图中，每一个1/9方格的内容都与原来的图一样。这样一种对原始图形不断放大的方法在物理中被称为重正化操作([https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization Renormalization])。<br>
进一步，人们发现，这些普遍存在的幂律现象背后有一种更深层次的普适规律，也就是标度不变性。为了解释这种标度不变性，让我们用[https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal 分形]的例子来说明：<br>
[[File:xtzdgcz3_25.gif|图3-12 分形图案|居中|thumb]]<br>
观察者将观察的精度提高的过程就是从左图过渡到右图的过程，我们知道，当观察者的观测精度扩大9倍，那么它就能看到每一个黑色方格之内的细节，因此也就有了右图。我们说这个图形是标度不变的，也就是说在扩大9倍的图中，每一个1/9方格的内容都与原来的图一样。这样一种对原始图形不断放大的方法在物理中被称为重正化操作([https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization Renormalization])。由此，我们看出，真实的复杂系统恰恰具有一种明显地依赖于观察者的行为，这就是：标度不变性，即'''系统不会随着我们观察者观察它的尺度而变化'''(参看科普小文：[[分形与尺度相对论]])。<br>
===测量——联系空间标度和时间的纽带===
===测量——联系空间标度和时间的纽带===