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动力系统理论和[[混沌理论]](Chaos Theory)都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

动力系统理论和[[混沌理论]](Chaos Theory)都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

动力系统的[[周期点]](Periodic Points)也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力（attactive）的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

动力系统的[[周期点]](Periodic Points)也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力（attactive）的。[[Sharkovskii定理]]描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为'''混沌chaos'''<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=[[Science (journal)|Science]] |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |jstor=1700479 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌chaos<ref>{{cite journal |last=Grebogi |first=C. |last2=Ott |first2=E. |last3=Yorke |first3=J. |year=1987 |title=Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics |journal=[[Science (journal)|Science]] |volume=238 |issue=4827 |pages=632–638 |jstor=1700479 |doi=10.1126/science.238.4827.632 |pmid=17816542 |bibcode=1987Sci...238..632G }}</ref>。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为[[混沌理论]]。

==历史==

==历史==

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米（Beltrami，1990年），龙伯格(Luenberger，1979年），帕杜罗&阿尔比布（Padulo＆Arbib，1974年）和斯托加茨（Strogatz，1994年）<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.  {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html |date=June 13, 2008 }}</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami（1990年），龙伯格Luenberger（1979年），帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib（1974年）和斯托加茨 Strogatz（1994年）<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008.  {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html |date=June 13, 2008 }}</ref>等在该领域做出了杰出的贡献。

==概念==

==概念==

===动态主义 ===

===动态主义 ===

'''[[动态主义]](Dynamicism)'''，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

[[动态主义]](Dynamicism)，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

=== 非线性系统===

=== 非线性系统===

在数学中，[[非线性系统]]是指不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。从技术上讲，非线性系统是无法解决的变量不能写成独立分量的线性和的任何问题。阿非均匀系统，其是直链距的函数的存在独立变量，是根据一个严格的定义非线性的，但是这样的系统通常被研究沿着线性系统，因为它们可以被转换成一个线性系统，只要一个特定的解决方案是已知的

在数学中，[[非线性系统]]是指不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。从技术上讲，非线性系统是无法解决的变量不能写成独立分量的线性和的任何问题。阿非均匀系统，其是直链距的函数的存在独立变量，是根据一个严格的定义非线性的，但是这样的系统通常被研究沿着线性系统，因为它们可以被转换成一个线性系统，只要一个特定的解决方案是已知的

在数学中，'''非线性系统 (Nonlinear System)'''是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

在数学中，非线性系统 (Nonlinear System)是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

== 相关领域==

== 相关领域==

===算术动力学===

===算术动力学===

'''[[算术动力学]] (Arithmetic Dynamics)'''是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

[[算术动力学]] (Arithmetic Dynamics)是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

===混沌理论===

===混沌理论===

'''[[混沌理论]](Chaos theory)'''描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点（通常被称为'''蝴蝶效应 (Butterfly Effect)'''）。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

[[混沌理论]](Chaos theory)描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点（通常被称为蝴蝶效应 (Butterfly Effect)）。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

=== 复杂系统===

=== 复杂系统===

'''[[复杂系统]](Complex Systems)'''是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

[[复杂系统]](Complex Systems)是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

=== 控制理论===

=== 控制理论===

'''[[控制理论]]（Control Theory）'''是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学（社会学中的控制理论）、犯罪学及'''金融系统(Financial System)'''。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

[[控制理论]]（Control Theory）是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学（社会学中的控制理论）、犯罪学及金融系统(Financial System)。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

=== 遍历理论===

=== 遍历理论===

'''[[遍历理论]](Ergodic Theory)'''是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

[[遍历理论]](Ergodic Theory)是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

===泛函分析===

===泛函分析===

'''[[泛函分析]](Functional analysis)'''是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

[[泛函分析]](Functional analysis)是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

===图动力系统===

===图动力系统===

'''[[图动力系统]](Graph dynamical systems (GDS))'''可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性（例如：网络连接性）与其所产生的全局动力学联系起来。

[[图动力系统]](Graph dynamical systems (GDS))可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性（例如：网络连接性）与其所产生的全局动力学联系起来。

===投影动力系统===

===投影动力系统===

'''[[投影动力系统]](Projected Dynamical Systems)'''一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。

[[投影动力系统]](Projected Dynamical Systems)一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的[[流形]]给定的。

通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：

通过对投影微分方程的[[流形]]分析，给出了一个投影动力系统的表达式：

:<math>

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===符号动力学===

===符号动力学===

'''[[符号动力学]](Symbolic Dynamics)'''是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态（演化）由移位运算符给出。

[[符号动力学]](Symbolic Dynamics)是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态（演化）由移位运算符给出。

===系统动力学===

===系统动力学===

'''[[系统动力学]](System Dynamics)'''是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)<!-- Bot generated title -->] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080509163801/http://sysdyn.clexchange.org/ |date=2008-05-09 }}</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量(stocks)和流量(flows)的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

[[系统动力学]](System Dynamics)是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)<!-- Bot generated title -->] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080509163801/http://sysdyn.clexchange.org/ |date=2008-05-09 }}</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量(stocks)和流量(flows)的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

===拓扑动力学===

===拓扑动力学===

'''[[拓扑动力学]](Topological Dynamics)'''是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

[[拓扑动力学]](Topological Dynamics)是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

== 应用==

== 应用==

===在认知科学中的应用===

===在认知科学中的应用===

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的'''新皮亚杰学派（neo-Piagetian）'''中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派（neo-Piagetian）中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平（Activity Levels）'''相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化(Scalloping)”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平（Activity Levels）相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化(Scalloping)”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的<ref>{{cite journal|title=The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development|journal=Child Development|date=2000-02-25|first=Mark D.|last=Lewis|volume=71|issue=1|pages=36–43|id= |url=http://home.oise.utoronto.ca/~mlewis/Manuscripts/Promise.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1111/1467-8624.00116|pmid=10836556 |citeseerx=10.1.1.72.3668}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误<ref>{{cite journal|title=Development as a dynamic system|journal=Trends in Cognitive Sciences|date=2003-07-30|first=Linda B.|last=Smith|author2=Esther Thelen|volume=7|issue=8|pages=343–8|id= |url=http://www.indiana.edu/~cogdev/labwork/dynamicsystem.pdf|accessdate=2008-04-04|doi=10.1016/S1364-6613(03)00156-6|pmid=12907229|citeseerx=10.1.1.294.2037}}</ref>。

[[File:dong_爱奇艺.jpg|thumb|140px|right|动力系统分析]]

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====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====

====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====

本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到'''蝴蝶效应 Butterfly effect'''、'''奇异吸引子 Attractors'''等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。

本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应 Butterfly effect、奇异吸引子 Attractors等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。

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本中文词条由[[用户:打豆豆|打豆豆]]编辑，欢迎在讨论页面留言。

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'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''

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[[category:动力系统]]

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[[category:复杂系统理论]]

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[[category:计算研究领域]]

[[category:计算研究领域]]