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第35行： − '''线性Linear'''、'''非线性Nonlinear'''、'''亚线性 Sublinear'''、'''超线性 Superlinear'''：描述量与量之间的一种变化关系，例如<math>y=a+b*x^n</math>，其中<math>n>1</math>。当<math>n=1</math>时，表示为线性关系；<math>n\neq 1</math>时，表示为非线性关系；当<math>0<n<1</math>时，表示为亚线性关系；当<math>n>1</math>时，表示为超线性关系。+ 第47行：
第47行： − 对于一个单一的多项式方程，'''求根算法 Root-finding Algorithms'''可用于其求解（即找到满足该方程的变量的值集）。而代数方程组则相对复杂，其研究是现代数学的较难分支——'''代数几何 Algebraic Geometry'''领域的动力之一。甚至很难判断一个给定的代数系统是否有复数解（见'''希尔伯特零点定律 Hilbert's Nullstellensatz'''）。不过，对于具有有限个复数解的系统的多项式方程组，我们现在已经有了充分的理解，并且找到了有效的求解方法<ref>{{cite journal |last1= Lazard |first1= D. |title= Thirty years of Polynomial System Solving, and now? |doi= 10.1016/j.jsc.2008.03.004 |journal= Journal of Symbolic Computation |volume= 44 |issue= 3 |pages= 222–231 |year= 2009 |pmid= |pmc=}}</ref>。+ 第61行：
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换句话说，在非线性方程系统中，待解的方程不能被写成未知变量或函数的线性组合。无论方程中是否有已知的线性函数，系统都可以被定义为非线性。特别是当一个微分方程的未知函数及其导数是线性的，即使其他变量是非线性的，也称该方程是线性的。
换句话说，在非线性方程系统中，待解的方程不能被写成未知变量或函数的线性组合。无论方程中是否有已知的线性函数，系统都可以被定义为非线性。特别是当一个微分方程的未知函数及其导数是线性的，即使其他变量是非线性的，也称该方程是线性的。
由于非线性动力学方程难以求解，通常用线性方程来近似非线性系统（'''[[线性化]] Linearization'''）。这种方法对于一定范围的输入和某些精度要求下的效果不错，但一些有趣的现象如'''[[孤子]] Soliton'''、'''[[混沌]] Chaos'''和'''[[奇异性]] Singularity'''在线性化后被隐藏<ref>[http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Earth--Atmospheric--and-Planetary-Sciences/12-006JFall-2006/CourseHome/index.htm Nonlinear Dynamics I: Chaos] at [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/index.htm MIT's OpenCourseWare]</ref>。因此，非线性系统的动态行为在某些方面可能看起来违反直觉、不可预测、甚至混沌。尽管这种混沌行为可能感觉很像随机行为，但它实际上并不是随机的。例如，天气的某些方面被认为是混沌的，其系统某部分的微小扰动就会产生复杂的整体影响。这种非线性是目前技术无法进行精确长期预测的原因之一。
由于非线性动力学方程难以求解，通常用线性方程来近似非线性系统（[[线性化]] Linearization）。这种方法对于一定范围的输入和某些精度要求下的效果不错，但一些有趣的现象如[[孤子]] Soliton、[[混沌]] Chaos和[[奇异性]] Singularity在线性化后被隐藏<ref>[http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Earth--Atmospheric--and-Planetary-Sciences/12-006JFall-2006/CourseHome/index.htm Nonlinear Dynamics I: Chaos] at [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/index.htm MIT's OpenCourseWare]</ref>。因此，非线性系统的动态行为在某些方面可能看起来违反直觉、不可预测、甚至混沌。尽管这种混沌行为可能感觉很像随机行为，但它实际上并不是随机的。例如，天气的某些方面被认为是混沌的，其系统某部分的微小扰动就会产生复杂的整体影响。这种非线性是目前技术无法进行精确长期预测的原因之一。
有些作者用非线性科学这一术语来研究非线性系统。这一术语引起了其他人的争议:
有些作者用非线性科学这一术语来研究非线性系统。这一术语引起了其他人的争议:
===相关概念辨析===
===相关概念辨析===
线性Linear、非线性 Nonlinear、亚线性 Sublinear、超线性 Superlinear：描述量与量之间的一种变化关系，例如<math>y=a+b*x^n</math>，其中<math>n>1</math>。当<math>n=1</math>时，表示为线性关系；<math>n\neq 1</math>时，表示为非线性关系；当<math>0<n<1</math>时，表示为亚线性关系；当<math>n>1</math>时，表示为超线性关系。
亚线性与超线性属于非线性变化关系范畴。当两个变量之间存在亚线性关系时，其典型特性是因变量的变化速率会随着自变量的增大而减小，即其一阶导数会随着自变量的增大而减小；两个变量之间存在超线性关系时，其典型特性是因变量的变化速率会随着自变量的增大而增大，即其一阶导数会随着自变量的增大而增大。
亚线性与超线性属于非线性变化关系范畴。当两个变量之间存在亚线性关系时，其典型特性是因变量的变化速率会随着自变量的增大而减小，即其一阶导数会随着自变量的增大而减小；两个变量之间存在超线性关系时，其典型特性是因变量的变化速率会随着自变量的增大而增大，即其一阶导数会随着自变量的增大而增大。
:<math>x^2 + x - 1 = 0\,.</math>
:<math>x^2 + x - 1 = 0\,.</math>
对于一个单一的多项式方程，求根算法可用于其求解（即找到满足该方程的变量的值集）。而代数方程组则相对复杂，其研究是现代数学的较难分支——代数几何领域的动力之一。甚至很难判断一个给定的代数系统是否有复数解（见[[希尔伯特零点定律]] Hilbert's Nullstellensatz'''）。不过，对于具有有限个复数解的系统的多项式方程组，我们现在已经有了充分的理解，并且找到了有效的求解方法<ref>{{cite journal |last1= Lazard |first1= D. |title= Thirty years of Polynomial System Solving, and now? |doi= 10.1016/j.jsc.2008.03.004 |journal= Journal of Symbolic Computation |volume= 44 |issue= 3 |pages= 222–231 |year= 2009 |pmid= |pmc=}}</ref>。
==非线性递推关系==
==非线性递推关系==
===常微分方程===
===常微分方程===
一阶[[常微分方程]]，尤其是自治（自主）方程，通常可以用'''分离变量法 Separation of Variables'''来精确求解。例如，非线性方程
一阶[[常微分方程]]，尤其是自治（自主）方程，通常可以用分离变量法来精确求解。例如，非线性方程
:<math>\frac{d u}{d x} = -u^2</math>
:<math>\frac{d u}{d x} = -u^2</math>