113
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
创建页面，内容为“矩阵的偏迹运算是量子力学中的一种特殊的运算，它是一种特殊的矩阵迹运算。只不过这种取迹的过程并不是对全空间…”
矩阵的偏迹运算是[[量子力学]]中的一种特殊的运算，它是一种特殊的[[矩阵迹]]运算。只不过这种取迹的过程并不是对全空间展开的，而是对某一个子空间。
==定义==
如果我们有两个[[希尔伯特空间]]分别记为H<sub>A</sub>和H<sub>B</sub>，它们可以分别用来表示两个量子系统A和B，那么我们就能对这两个空间做直积运算，从而得到系统A与B的复合系统，记为：
<math>
H_{A,B}=H_A\otimes H_B
</math>
设空间H<sub>A,B</sub>中的密度矩阵为ρ<sub>A,B</sub>。再设<math>\{\omega_i|i=1,2,...,N_B\}</math>为空间H<sub>B</sub>的一组基矢，其中N<sub>B</sub>为H<sub>B</sub>空间的维度，那么我们定义ρ<sub>A,B</sub>对子系统B求偏迹为：
<math>
\rho_A=Tr_B(\rho_{A,B})=\sum_{i=1}^{N_B}{\langle \omega_i |\rho_{A,B} |\omega_i \rangle}
</math>
上式是按照狄拉克记号写的。其中<math>\langle| \rho_{A,B} |\omega_i \rangle</math>表示ρ<sub>A,B</sub>与ω<sub>i</sub>做内积。但是我们知道，ρ<sub>A,B</sub>是复合[[希尔伯特空间]]H<sub>A,B</sub>中的矩阵，而ω<sub>i</sub>是空间H<sub>B</sub>中的变量，所以这两者做内积就比较特殊。
==复合空间中的向量与子空间中的向量的内积==
为了说明这种内积究竟是如何运算的，我们需要先定义A,B复合系统（复合空间H<sub>A,B</sub>）中的向量与B空间中的向量做内积是什么意思。假设X是H<sub>A,B</sub>中的向量。这样X可以写成：
<math>
|X\rangle = \sum_{a,b} x_{a,b} |a\rangle \otimes |b\rangle
</math>
也就是将X分解为H<sub>A,B</sub>中的一组基向量的线性叠加。其中<math>|a\rangle \otimes |b\rangle</math>就是任意一个基向量。而a,b分别又是H<sub>A</sub>和H<sub>B</sub>的基向量。既然{b}是H<sub>B</sub>的一组基，那么自然我们可以把H<sub>B</sub>中的任意一个向量Y分解：
<math>
|Y\rangle = \sum_{b} y_b |b\rangle
</math>
那么我们定义X与Y的内积为：
<math>
\langle X|Y\rangle = \sum_{a,b} x*_{a,b} \langle a| \otimes \langle b| \cdot \sum_{b} y_b |b\rangle = \sum_{a,b,b'} x*_{a,b} y_{b'} \langle a| \langle b|b' \rangle
</math>
注意，我们这里做的就按照狄拉克记号进行展开。另外，由于上式最后需要计算b与b'向量的内积，而我们知道b是H<sub>B</sub>的一组[[完全正交基]]，所以<b|b\'>=0当b不等于b\'的时候，而当b=b\'的时候，<b|b\'>=1，所以X与Y的内积可以简化为：
<math>
\langle X|Y\rangle = \sum_{a,b} x*_{a,b} y_{b} \langle a|
</math>
==复合空间中的矩阵与子空间中的向量内积==
理解了复合空间中向量与子空间向量的内积就不难理解矩阵与向量的内积了。设ρ为复合空间中的矩阵，则：
<math>
\rho_{A,B}=\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \langle a'|) \otimes (|b\rangle \langle b'|) =\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \otimes |b\rangle) (\langle b' |\otimes \langle a'|)
</math>
其中a,a'是HA中的一组基，b是HB中的基向量。|><|运算表示[[向量的直积]]运算。其中的运算法则就是按照狄拉克记号，把它分解为向量的内积运算：
<math>
\langle|Y \rho_{A,B}|Y\rangle=(\sum_b'' y_{b''}* \langle b''|)(\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \otimes |b\rangle) (\langle b' |\otimes \langle a'|))(\sum_b'' y_{b''} |b''\rangle)=\sum_{a,a'}\rho_{a,a',b'',b''} y_{b''}y_{b''}*|a\rangle \langle a|
</math>
所以我们不难理解偏迹运算写成矩阵形式相当于：
<math>
\sum_{b} \langle \omega_{b} | \rho_{A,B} | \omega_b \rangle=\sum_{a,a',b,b'}\rho_{a,a',b,b'} |a\rangle \langle a'| \langle b|b'\rangle
</math>
其中只有那些b=b'的项才能保留下来。这就是复合空间中的矩阵与子空间中的向量做内积的结果。结果是为另外一部分子空间的矩阵，也就是偏迹运算的含义。
[[category:旧词条迁移]]
==定义==
如果我们有两个[[希尔伯特空间]]分别记为H<sub>A</sub>和H<sub>B</sub>，它们可以分别用来表示两个量子系统A和B，那么我们就能对这两个空间做直积运算，从而得到系统A与B的复合系统，记为：
<math>
H_{A,B}=H_A\otimes H_B
</math>
设空间H<sub>A,B</sub>中的密度矩阵为ρ<sub>A,B</sub>。再设<math>\{\omega_i|i=1,2,...,N_B\}</math>为空间H<sub>B</sub>的一组基矢，其中N<sub>B</sub>为H<sub>B</sub>空间的维度，那么我们定义ρ<sub>A,B</sub>对子系统B求偏迹为：
<math>
\rho_A=Tr_B(\rho_{A,B})=\sum_{i=1}^{N_B}{\langle \omega_i |\rho_{A,B} |\omega_i \rangle}
</math>
上式是按照狄拉克记号写的。其中<math>\langle| \rho_{A,B} |\omega_i \rangle</math>表示ρ<sub>A,B</sub>与ω<sub>i</sub>做内积。但是我们知道，ρ<sub>A,B</sub>是复合[[希尔伯特空间]]H<sub>A,B</sub>中的矩阵，而ω<sub>i</sub>是空间H<sub>B</sub>中的变量，所以这两者做内积就比较特殊。
==复合空间中的向量与子空间中的向量的内积==
为了说明这种内积究竟是如何运算的，我们需要先定义A,B复合系统（复合空间H<sub>A,B</sub>）中的向量与B空间中的向量做内积是什么意思。假设X是H<sub>A,B</sub>中的向量。这样X可以写成：
<math>
|X\rangle = \sum_{a,b} x_{a,b} |a\rangle \otimes |b\rangle
</math>
也就是将X分解为H<sub>A,B</sub>中的一组基向量的线性叠加。其中<math>|a\rangle \otimes |b\rangle</math>就是任意一个基向量。而a,b分别又是H<sub>A</sub>和H<sub>B</sub>的基向量。既然{b}是H<sub>B</sub>的一组基，那么自然我们可以把H<sub>B</sub>中的任意一个向量Y分解：
<math>
|Y\rangle = \sum_{b} y_b |b\rangle
</math>
那么我们定义X与Y的内积为：
<math>
\langle X|Y\rangle = \sum_{a,b} x*_{a,b} \langle a| \otimes \langle b| \cdot \sum_{b} y_b |b\rangle = \sum_{a,b,b'} x*_{a,b} y_{b'} \langle a| \langle b|b' \rangle
</math>
注意，我们这里做的就按照狄拉克记号进行展开。另外，由于上式最后需要计算b与b'向量的内积，而我们知道b是H<sub>B</sub>的一组[[完全正交基]]，所以<b|b\'>=0当b不等于b\'的时候，而当b=b\'的时候，<b|b\'>=1，所以X与Y的内积可以简化为：
<math>
\langle X|Y\rangle = \sum_{a,b} x*_{a,b} y_{b} \langle a|
</math>
==复合空间中的矩阵与子空间中的向量内积==
理解了复合空间中向量与子空间向量的内积就不难理解矩阵与向量的内积了。设ρ为复合空间中的矩阵，则：
<math>
\rho_{A,B}=\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \langle a'|) \otimes (|b\rangle \langle b'|) =\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \otimes |b\rangle) (\langle b' |\otimes \langle a'|)
</math>
其中a,a'是HA中的一组基，b是HB中的基向量。|><|运算表示[[向量的直积]]运算。其中的运算法则就是按照狄拉克记号，把它分解为向量的内积运算：
<math>
\langle|Y \rho_{A,B}|Y\rangle=(\sum_b'' y_{b''}* \langle b''|)(\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \otimes |b\rangle) (\langle b' |\otimes \langle a'|))(\sum_b'' y_{b''} |b''\rangle)=\sum_{a,a'}\rho_{a,a',b'',b''} y_{b''}y_{b''}*|a\rangle \langle a|
</math>
所以我们不难理解偏迹运算写成矩阵形式相当于：
<math>
\sum_{b} \langle \omega_{b} | \rho_{A,B} | \omega_b \rangle=\sum_{a,a',b,b'}\rho_{a,a',b,b'} |a\rangle \langle a'| \langle b|b'\rangle
</math>
其中只有那些b=b'的项才能保留下来。这就是复合空间中的矩阵与子空间中的向量做内积的结果。结果是为另外一部分子空间的矩阵，也就是偏迹运算的含义。
[[category:旧词条迁移]]