更改

  ==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）whereby the configurations are rescaled to always have the same physical dimension翻译存疑 ==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）

  ==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）whereby the configurations are rescaled to always have the same physical dimension翻译存疑 ==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）

== Generalizations and related models归纳与相关模型==

== 归纳与相关模型==

=== Sandpile models on infinite grids有向图上的沙堆模型===

===有向图上的沙堆模型===

[[File:Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上，然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置，绿色表示1颗，紫色表示2颗，金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。]]

[[File:Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上，然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置，绿色表示1颗，紫色表示2颗，金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。]]

沙堆模型可以推广到无限网格中。这种归纳法的一个挑战是，一般来说，不能保证每次雪崩最终都会停止。因此，一些一般化方法只考虑了构型的稳定性，因为这一点是能保证的。

沙堆模型可以推广到无限网格中。这种归纳法的一个挑战是，一般来说，不能保证每次雪崩最终都会停止。因此，一些一般化方法只考虑了构型的稳定性，因为这一点是能保证的。

在（无限）方格上有一个相当流行的模型，其位置<math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math>定义如下：

在（无限）方格上有一个相当流行的模型，其位置<math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math>定义如下：

从\mathbf{z}</math>中有限值<math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math>的一些非负配置开始，这意味着

从\mathbf{z}</math>中有限值<math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math>的一些非负配置开始，这意味着

:<math>\sum_{x,y}z(x,y)<\infty.</math>

:<math>\sum_{x,y}z(x,y)<\infty.</math>

任何位置<math>(x,y)</math>有

任何位置<math>(x,y)</math>有

:<math>z(x,y)\geq 4</math>

:<math>z(x,y)\geq 4</math>

就是“不稳定的”，并且会产生崩塌，将它位置上的沙粒分发给它的四个邻居：

就是“不稳定的”，并且会产生崩塌，将它位置上的沙粒分发给它的四个邻居：

:<math>z(x, y \pm 1) \rightarrow z( x, y \pm 1 ) + 1.</math>

:<math>z(x, y \pm 1) \rightarrow z( x, y \pm 1 ) + 1.</math>

由于初始构型是有限的，这一过程必然会随着沙粒向外散布终止。

由于初始构型是有限的，这一过程必然会随着沙粒向外散布终止。

给出了该模型的一个常见特例，即除原点外的所有顶点的初始配置都为零。如果原点放置大量沙粒，松弛后的构型形成分形图案(见图)。当初始颗粒数趋于无穷时，重缩放的稳定构型收敛到唯一极限。<ref name="Pegden2013" /><ref name="Levine2016" />

给出了该模型的一个常见特例，即除原点外的所有顶点的初始构型都为零。如果原点放置大量沙粒，松弛后的构型形成分形图案(见图)。当初始颗粒数趋于无穷时，重缩放的稳定构型收敛到唯一极限。<ref name="Pegden2013" /><ref name="Levine2016" />

=== Sandpile models on directed graphs有向图上的沙堆模型===

===有向图上的沙堆模型===

沙堆模型可以推广到任意有向多重图。规则是任何顶点<math>v</math>有

沙堆模型可以推广到任意有向多重图。规则是任何顶点<math>v</math>有

:<math>z(v)\geq \deg^{+}(v)</math>

:<math>z(v)\geq \deg^{+}(v)</math>

则是不稳定的；崩塌将它的碎片沿着边的输出方向，分发给它的邻居：

则是不稳定的；崩塌将它的碎片沿着边的输出方向，分发给它的邻居：

:<math>z(v) \rightarrow z(v) - \deg^{+}(v) + \deg(v,v)</math>

:<math>z(v) \rightarrow z(v) - \deg^{+}(v) + \deg(v,v)</math>

并且，对于每个<math>u\neq v</math>：

并且，对于每个<math>u\neq v</math>：

:<math>z(u) \rightarrow z(u) + \deg(v,u)</math>

:<math>z(u) \rightarrow z(u) + \deg(v,u)</math>

其中，<math>\deg(v,u)</math>是从<math>v</math>到<math>u</math>的边数。

其中，<math>\deg(v,u)</math>是从<math>v</math>到<math>u</math>的边数。

在这种情况下，拉普拉斯矩阵是不对称的。如果我们指定一个沉没顶点<math>s</math>，使得每一个顶点都有一条到<math>s</math>的路径，那么有限图上的稳定操作是定义良好的，并且沙堆群可以像之前一样被写出来

在这种情况下，拉普拉斯矩阵是不对称的。如果我们指定一个沉没顶点<math>s</math>，使得每一个顶点都有一条到<math>s</math>的路径，那么有限图上的稳定操作是定义良好的，并且沙堆群可以像之前一样被写出来

:<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>

:<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>

The order of the sandpile group is again the determinant of <math>\Delta'</math>, which by the general version of the [[Kirchhoff's theorem|matrix tree theorem]] is the number of oriented [[spanning tree]]s rooted at the sink.

The order of the sandpile group is again the determinant of <math>\Delta'</math>, which by the general version of the [[Kirchhoff's theorem|matrix tree theorem]] is the number of oriented [[spanning tree]]s rooted at the sink.

沙堆群的顺序又是<math>\Delta'</math>的行列式，根据[[矩阵树定理]]的一般版本，它是根在沉没顶点的有向[[spanning tree]]生成树的数目。

沙堆群的顺序又是<math>\Delta'</math>的行列式，根据[[矩阵树定理]]的一般版本，它是根在沉没顶点的有向[[spanning tree]]生成树的数目。

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）The order of the sandpile group翻译存疑。

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）The order of the sandpile group翻译存疑。==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）

=== The extended sandpile model扩展沙堆模型===

===扩展沙堆模型===

[[File:Harmonic Sandpile Dynamics.gif|thumb|由谐波函数H=x*y在255x255方格网格上引起的沙堆动力学。]]

[[File:Harmonic Sandpile Dynamics.gif|thumb|由谐波函数H=x*y在255x255方格网格上引起的沙堆动力学。]]

为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构，Lang和Shkolnikov在2019年提出了“扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同（即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />），除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下，网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变，即假设当沙粒数达到或超过4时，内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。

为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构，Lang和Shkolnikov在2019年提出了“扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同（即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />），除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下，网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变，即假设当沙粒数达到或超过4时，内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。

扩展沙堆模型的递归构型也形成了一个阿贝尔群，称为“扩展沙堆群”，通常的扩展沙堆群是一个[[离散子群]]。与通常的沙堆群不同，扩展沙堆群是一个连续的[[李群]]。只因为它是由添加沙粒到网格的边界<math>\partial\Gamma</math>上形成的，扩展后的沙堆群还具有维度<math>|\partial\Gamma|</math>的环面拓扑结构，并且按通常沙堆组的顺序给出的体积。<ref name="Lang2019" />

扩展沙堆模型的递归构型也形成了一个阿贝尔群，称为“扩展沙堆群”，通常的扩展沙堆群是一个[[离散子群]]。与通常的沙堆群不同，扩展沙堆群是一个连续的[[李群]]。只因为它是由添加沙粒到网格的边界<math>\partial\Gamma</math>上形成的，扩展后的沙堆群还具有维度<math>|\partial\Gamma|</math>的环面拓扑结构，并且按通常沙堆组的顺序给出的体积。<ref name="Lang2019" />

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）Since it is generated by only adding grains of sand to the boundary <math>\partial\Gamma</math> of the grid翻译存疑。a volume given by the order of the usual sandpile group.翻译存疑。

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）Since it is generated by only adding grains of sand to the boundary <math>\partial\Gamma</math> of the grid翻译存疑。a volume given by the order of the usual sandpile group.翻译存疑。==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）

Of specific interest is the question how the recurrent configurations dynamically change along the continuous [[geodesic]]s of this torus passing through the identity. This question leads to the definition of the sandpile dynamics

Of specific interest is the question how the recurrent configurations dynamically change along the continuous [[geodesic]]s of this torus passing through the identity. This question leads to the definition of the sandpile dynamics

特别感兴趣的问题是循环构型如何通过恒等式，沿着这个环面的连续[[测地线]]动态变化的问题。这个问题引出了沙堆动力学的定义

特别感兴趣的问题是循环构型如何通过恒等式，沿着这个环面的连续[[测地线]]动态变化的问题。这个问题引出了沙堆动力学的定义

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）identity在整篇文章中的翻译需进行统一，如何翻译？？同一性，恒等式？？

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）identity在整篇文章中的翻译需进行统一，如何翻译？？同一性，恒等式？？==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）

:<math>D_H(t)=(I-t\Delta H)^\circ</math> （扩展沙堆模型）

:<math>D_H(t)=(I-t\Delta H)^\circ</math> （扩展沙堆模型）

respectively  

respectively  

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）上面的整个长句翻译需要重新审校Informaly, this renormalization simply maps

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）上面的整个长句翻译需要重新审校Informaly, this renormalization simply maps

=== The divisible sandpile 可分割的沙堆===

=== 可分割的沙堆===

Levine和Peres在2008年提出了一个与之密切相关的模型，即所谓的“可分割的沙堆模型”。<ref>{{Cite journal|last1=Levine|first1=Lionel|last2=Peres|first2=Yuval|date=2008-10-29|title=Strong Spherical Asymptotics for Rotor-Router Aggregation and the Divisible Sandpile|journal=Potential Analysis|language=en|volume=30|issue=1|pages=1–27|doi=10.1007/s11118-008-9104-6|issn=0926-2601|arxiv=0704.0688|s2cid=2227479}}</ref>与每个位置<math>x</math>上的沙粒数量为离散数不同，有一个实数<math>s(x)</math>代表位置的总质量。如果这个质量是负的，我们就可以把它理解为一个空洞。当一个位置上的质量大于1时，就会发生崩塌; 它将多余的部分均匀地分发给它的邻居，这就导致了如果一个位置在<math>t</math>的时刻质量是1，它在以后的所有时间质量都是1。

Levine和Peres在2008年提出了一个与之密切相关的模型，即所谓的“可分割的沙堆模型”。<ref>{{Cite journal|last1=Levine|first1=Lionel|last2=Peres|first2=Yuval|date=2008-10-29|title=Strong Spherical Asymptotics for Rotor-Router Aggregation and the Divisible Sandpile|journal=Potential Analysis|language=en|volume=30|issue=1|pages=1–27|doi=10.1007/s11118-008-9104-6|issn=0926-2601|arxiv=0704.0688|s2cid=2227479}}</ref>与每个位置<math>x</math>上的沙粒数量为离散数不同，有一个实数<math>s(x)</math>代表位置的总质量。如果这个质量是负的，我们就可以把它理解为一个空洞。当一个位置上的质量大于1时，就会发生崩塌; 它将多余的部分均匀地分发给它的邻居，这就导致了如果一个位置在<math>t</math>的时刻质量是1，它在以后的所有时间质量都是1。

== References引用 ==

== References引用 ==