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'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''是数学领域中的一部分．主要在描述复杂的动力系统，一般会用微分方程或差分方程来表示。当采用微分方程时，该理论被称为“连续动力系统”，若用差分方程来表示，则称为“离散动力系统”。若其时间只在一些特定区域连续，在其余区域离散，或时间是任意的时间集合(像康托尔集)，需要用时标微积分来处理。有时也会需要用混合的算子来处理，像微分差分。从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广，也是运动方程的推广，不受极小作用原理[[欧拉-拉格朗日方程]]的约束。当采用差分方程时，该理论被称为[[离散动力系统]]。当时间变量运行在一个某些区间离散、其他区间连续的集合、或者像 [[Cantor集]]一样任意的时间集合上时，人们就能得到时间尺度上的动力方程。[[算子]] Operators是一个函数空间到函数空间上的映射O：X→X，广义的讲，对任何函数进行某一项操作都可以认为是一个算子，如求幂次、求微分等。某些情况下，也可以用[[混合算子]] Mixed Operators来建模，如微分-差分方程。

'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

该理论涉及动力学系统的长期定性行为，研究了通常以机械或物理性质为主的系统(例如行星轨道和行星)的运动方程式的性质以及其常用的的解决方案，电子电路的求解方式以及[[生物学]]，[[经济学]]等领域产生的系统。许多现代研究集中在[[混沌系统]]的研究上。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动态系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

 

 

 

[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]

==综述 ==

==综述 ==