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'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么

'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。