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假设每个主体 ''i'' 被赋予一个正权重。对于每个分配 ''x'' ，将 ''x'' 的福利定义为 ''x'' 中所有主体的配置的加权和，即:<math>W_a(x) := \sum_{i=1}^n a_i u_i(x)</math>.

假设每个主体 ''i'' 被赋予一个正权重。对于每个分配 ''x'' ，将 ''x'' 的福利定义为 ''x'' 中所有主体的配置的加权和，即:<math>W_a(x) := \sum_{i=1}^n a_i u_i(x)</math>.

假设<math>x_a</math>此处需插入公式'''是一个在所有分配中使福利最大化的分配，即:<math>x_a \in \arg \max_{x} W_a(x)</math>.

假设<math>x_a</math>此处需插入公式'''是一个在所有分配中使福利最大化的分配，即:<math>x_a \in \arg \max_{x} W_a(x)</math>.

很容易证明分配<math>x_a</math>是帕累托有效的: 因为所有<math>x_a</math>的权重都是正的，任何帕累托改进都会增加加权和，这与<math>x_a</math>'的定义相矛盾。

很容易证明分配<math>x_a</math>是帕累托有效的：因为所有<math>x_a</math>的权重都是正的，任何帕累托改进都会增加加权和，这与<math>x_a</math>的定义相矛盾。

日本新瓦尔拉斯经济学家根岸隆史  Takashi Negishi证明，<ref>{{cite journal |last=Negishi |first=Takashi |date=1960 |title=Welfare Economics and Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy |journal=Metroeconomica |volume=12 |issue=2–3 |pages=92–97 |doi=10.1111/j.1467-999X.1960.tb00275.x }}</ref>在某些假设下，该命题的逆命题也成立，即对于每一个帕累托有效的配置''x''，都存在一个正向量''a''，使最大化。哈尔·瓦里安提供了一个较短的证明。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0047-2727(76)90018-9 |title=Two problems in the theory of fairness |journal=Journal of Public Economics |volume=5 |issue=3–4 |pages=249–260 |year=1976 |last1=Varian |first1=Hal R. |hdl=1721.1/64180 |hdl-access=free }}</ref>

日本新瓦尔拉斯经济学家根岸隆史  Takashi Negishi证明，<ref>{{cite journal |last=Negishi |first=Takashi |date=1960 |title=Welfare Economics and Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy |journal=Metroeconomica |volume=12 |issue=2–3 |pages=92–97 |doi=10.1111/j.1467-999X.1960.tb00275.x }}</ref>在某些假设下，该命题的逆命题也成立，即对于每一个帕累托有效的配置''x''，都存在一个正向量''a''，使最大化。哈尔·瓦里安提供了一个较短的证明。<ref>{{cite journal |doi=10.1016/0047-2727(76)90018-9 |title=Two problems in the theory of fairness |journal=Journal of Public Economics |volume=5 |issue=3–4 |pages=249–260 |year=1976 |last1=Varian |first1=Hal R. |hdl=1721.1/64180 |hdl-access=free }}</ref>