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由于'''<font color="#ff8000">洛施密特悖论 Loschmidt's paradox</font>'''，第二定律的导出必须对过去做出一个假设，即系统在过去的某个时刻是不相关的；这样的假设允许进行简单的概率处理。这个假设通常被认为是一个'''<font color="#ff8000">边界条件 boundary condition</font>'''，因此热力学第二定律最终是过去某个地方的初始条件的结果，可能是在宇宙的开始('''<font color="#ff8000">大爆炸 the Big Bang</font>''') ，尽管也有人提出了其他场景。.<ref name="Hawking AOT">{{cite journal|last=Hawking|first=SW|title=Arrow of time in cosmology|journal=Phys. Rev. D|year=1985|volume=32|issue=10|pages=2489–2495|doi=10.1103/PhysRevD.32.2489|pmid=9956019|bibcode = 1985PhRvD..32.2489H }}</ref><ref>{{cite book | last = Greene | first = Brian |title = The Fabric of the Cosmos | url = https://archive.org/details/fabricofcosmossp00gree | url-access = registration | publisher = Alfred A. Knopf | year = 2004 | page = [https://archive.org/details/fabricofcosmossp00gree/page/171 171] | isbn = 978-0-375-41288-2}}</ref><ref name=Lebowitz>{{cite journal|last=Lebowitz|first=Joel L.|title= Boltzmann's Entropy and Time's Arrow|journal=Physics Today|date=September 1993|volume=46|issue=9|pages=32–38|url=http://users.df.uba.ar/ariel/materias/FT3_2008_1C/papers_pdf/lebowitz_370.pdf|accessdate=2013-02-22|doi=10.1063/1.881363|bibcode = 1993PhT....46i..32L }}</ref>

由于'''<font color="#ff8000">洛施密特悖论 Loschmidt's paradox</font>'''，第二定律的导出必须对过去做出一个假设，即系统在过去的某个时刻是不相关的；这样的假设允许进行简单的概率处理。这个假设通常被认为是一个'''<font color="#ff8000">边界条件 boundary condition</font>'''，因此热力学第二定律最终是过去某个地方的初始条件的结果，可能是在宇宙的开始（'''<font color="#ff8000">大爆炸 the Big Bang</font>'''），尽管也有人提出了其他场景。<ref name="Hawking AOT">{{cite journal|last=Hawking|first=SW|title=Arrow of time in cosmology|journal=Phys. Rev. D|year=1985|volume=32|issue=10|pages=2489–2495|doi=10.1103/PhysRevD.32.2489|pmid=9956019|bibcode = 1985PhRvD..32.2489H }}</ref><ref>{{cite book | last = Greene | first = Brian |title = The Fabric of the Cosmos | url = https://archive.org/details/fabricofcosmossp00gree | url-access = registration | publisher = Alfred A. Knopf | year = 2004 | page = [https://archive.org/details/fabricofcosmossp00gree/page/171 171] | isbn = 978-0-375-41288-2}}</ref><ref name=Lebowitz>{{cite journal|last=Lebowitz|first=Joel L.|title= Boltzmann's Entropy and Time's Arrow|journal=Physics Today|date=September 1993|volume=46|issue=9|pages=32–38|url=http://users.df.uba.ar/ariel/materias/FT3_2008_1C/papers_pdf/lebowitz_370.pdf|accessdate=2013-02-22|doi=10.1063/1.881363|bibcode = 1993PhT....46i..32L }}</ref>

其中<math>\Omega\left(E\right)</math> 是处于 <math>E</math>和<math>E +\delta E</math>这个小区间内的量子态数目。这里的 <math>\delta E</math> 是一个宏观上很小的固定能量区间。严格地说，这意味着熵取决于对<math>\delta E</math>的选择。然而在热力学极限下（例如无穷大系统的极限），狭义的熵(单位体积或单位质量的熵)不依赖于 <math>\delta E</math>。

其中<math>\Omega\left(E\right)</math> 是处于 <math>E</math>和<math>E +\delta E</math>这个小区间内的量子态数目。这里的 <math>\delta E</math> 是一个宏观上很小的固定能量区间。严格地说，这意味着熵取决于对<math>\delta E</math>的选择。然而在热力学极限下（例如无穷大系统的极限），狭义的熵（单位体积或单位质量的熵）不依赖于 <math>\delta E</math>。

假设我们有一个孤立系统，其宏观状态由许多变量指定。这些宏观变量可以是总体积、活塞在系统中的位置等。从而<math>\Omega</math>将取决于这些变量的值。如果某个变量不是固定的（我们不会在某个位置夹住活塞) ，那么因为在平衡状态下到达所有可到达状态的可能性是相等的，平衡状态下的自由变量会使 <math>\Omega</math> 最大，因为这是平衡状态下最可能的情况。

假设我们有一个孤立系统，其宏观状态由许多变量指定。这些宏观变量可以是总体积、活塞在系统中的位置等。从而<math>\Omega</math>将取决于这些变量的值。如果某个变量不是固定的（我们不会在某个位置夹住活塞） ，那么因为在平衡状态下到达所有可到达状态的可能性是相等的，平衡状态下的自由变量会使 <math>\Omega</math> 最大，因为这是平衡状态下最可能的情况。

假设我们初始位于一个平衡状态，突然移除了对一个变量的约束。我们做完这件事的时候，可达到的微观状态的数为<math>\Omega</math>，但是系统还没有达到平衡，所以系统处于某些可达到的状态的实际概率还不等于先验概率 <math>1/\Omega</math>。我们已经知道，最终的平衡状态相对于之前的平衡状态，熵会增加或者保持不变。然而，玻耳兹曼的'''<font color="#ff8000"> H定理H-theorem</font>'''证明系统在不处于平衡态的期间，那个量作为时间的函数单调增加。

假设我们初始位于一个平衡状态，突然移除了对一个变量的约束。我们做完这件事的时候，可达到的微观状态的数为<math>\Omega</math>，但是系统还没有达到平衡，所以系统处于某些可达到的状态的实际概率还不等于先验概率 <math>1/\Omega</math>。我们已经知道，最终的平衡状态相对于之前的平衡状态，熵会增加或者保持不变。然而，玻耳兹曼的'''<font color="#ff8000"> H定理 H-theorem</font>'''证明系统在不处于平衡态的期间，那个量作为时间的函数单调增加。

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