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玻尔兹曼方程是一个非线性积分微分方程，方程中的未知函数是位置和动量六维空间中的一个概率密度函数。方程解的存在唯一性仍然是未完全解决的问题，但是近期的一些结果是很有希望的。

玻尔兹曼方程是一个非线性积分微分方程，方程中的未知函数是位置和动量六维空间中的一个概率密度函数。方程解的存在唯一性仍然是未完全解决的问题，但是近期的一些结果是很有希望的。

==Overview==

==Overview 概述==

===The phase space and density function===

===The phase space and density function 相空间和密度函数===

The set of all possible positions r and momenta p is called the phase space of the system; in other words a set of three coordinates for each position coordinate x, y, z, and three more for each momentum component p_x, p_y, p_z. The entire space is 6-dimensional: a point in this space is (r, p) = (x, y, z, p_x, p_y, p_z), and each coordinate is parameterized by time t. The small volume ("differential volume element") is written  

The set of all possible positions r and momenta p is called the phase space of the system; in other words a set of three coordinates for each position coordinate x, y, z, and three more for each momentum component p_x, p_y, p_z. The entire space is 6-dimensional: a point in this space is (r, p) = (x, y, z, p_x, p_y, p_z), and each coordinate is parameterized by time t. The small volume ("differential volume element") is written  

所有可能的位置 r 和动量 p 的集合称为系统的相空间; 换句话说，每个位置坐标 x，y，z 的集合有三个坐标，每个动量分量 p < sub > x </sub > ，p < sub > y </sub > ，p < sub > z </sub > 。整个空间是6维的: 这个空间中的一个点是(r，p) = (x，y，z，p < sub > x </sub > ，p < sub > y </sub > ，p < sub > z </sub >) ，每个坐标由时间 t 参数化。写入小体积(“微分体积元”)

系统所有可能的位置'''r'''和动量'''p'''的集合称为系统的相空间，每个位置是三个坐标 x，y，z 的集合，另外有三个坐标表示每个动量分量 ''p_x, p_y, p_z''。整个空间是6维的：空间中的一个点是('''r''', '''p''') = (''x, y, z, p_x, p_y, p_z'')，每个坐标由时间 t 参数化。小体积元(“微分体积元”)写作

is the number of molecules which all have positions lying within a volume element <math> d^3\bf{r}</math> about r and momenta lying within a momentum space element <math> \mathrm{d}^3\bf{p}</math> about p, at time t. Integrating over a region of position space and momentum space gives the total number of particles which have positions and momenta in that region:

is the number of molecules which all have positions lying within a volume element <math> d^3\bf{r}</math> about r and momenta lying within a momentum space element <math> \mathrm{d}^3\bf{p}</math> about p, at time t. Integrating over a region of position space and momentum space gives the total number of particles which have positions and momenta in that region:

位于动量空间元素中的 r 和动量的分子数目，在时间 t 上。在位置空间和动量空间的一个区域上积分，得出在该区域中具有位置和动量的粒子总数:

由于 n 分子的概率都有 r 和 p 在 < math > mathrm { d } ^ 3 bf { r } </math > < math > < mathrm { d } ^ 3 bf { p } </math > 存在疑问，方程的核心是一个量 f，它给出了单位相空间体积的概率，或单位长度立方的概率，在一瞬间。这是一个概率密度函数: f (r，p，t) ，定义为,位于动量空间元素中的 r 和动量的分子数目，在时间 t 上。在位置空间和动量空间的一个区域上积分，得出在该区域中具有位置和动量的粒子总数:

Note that some authors use the particle velocity '''v''' instead of momentum '''p'''; they are related in the definition of momentum by '''p''' = ''m'''''v'''.

Note that some authors use the particle velocity '''v''' instead of momentum '''p'''; they are related in the definition of momentum by '''p''' = ''m'''''v'''.

==The force and diffusion terms==

==The force and diffusion terms==