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第3行： − − − In [[mathematics]], in the study of [[dynamical systems]] with two-dimensional [[phase space]], a '''limit cycle''' is a closed [[trajectory]] in phase space having the property that at least one other trajectory spirals into it either as time approaches infinity or as time approaches negative infinity. Such behavior is exhibited in some [[nonlinear systems]]. Limit cycles have been used to model the behavior of a great many real-world oscillatory systems. The study of limit cycles was initiated by [[Henri Poincaré]] (1854–1912). − − In mathematics, in the study of dynamical systems with two-dimensional phase space, a limit cycle is a closed trajectory in phase space having the property that at least one other trajectory spirals into it either as time approaches infinity or as time approaches negative infinity. Such behavior is exhibited in some nonlinear systems. Limit cycles have been used to model the behavior of a great many real-world oscillatory systems. The study of limit cycles was initiated by Henri Poincaré (1854–1912). − 第35行：
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[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|right|250px|thumb|'''<font color="#ff8000">范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator</font>'''的稳定极限环 ]]
[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|right|250px|thumb|'''<font color="#ff8000">范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator</font>'''的稳定极限环 ]]
在数学中，二维'''<font color="#ff8000">相空间 phase space</font>''' 动力系统的研究中，'''极限环'''是一个在相空间中的闭合轨迹，它具有当时间趋于无穷大或时间趋于负无穷大时至少有一条其他轨迹螺旋进入的性质。这种行为在一些非线性系统中表现出来。极限环已经被用来模拟许多实际振动系统的行为。对极限环的研究是由'''<font color="#ff8000">亨利·庞加莱 Henri poincaré</font>'''提出的。
在数学中，二维'''<font color="#ff8000">相空间 phase space</font>''' 动力系统的研究中，'''极限环'''是一个在相空间中的闭合轨迹，它具有当时间趋于无穷大或时间趋于负无穷大时至少有一条其他轨迹螺旋进入的性质。这种行为在一些非线性系统中表现出来。极限环已经被用来模拟许多实际振动系统的行为。对极限环的研究是由'''<font color="#ff8000">亨利·庞加莱 Henri poincaré</font>'''提出的。
给定一个极限环和它内部在时间上趋近<math>+ \infty</math>的接近极限环的轨迹，在极限环周围有一个邻域，这样所有内部开始的轨迹在时间上趋近<math> + \infty</math>时都接近极限环。相应的陈述适用于时间上趋近<math>- \infty</math>的接近极限环的内部轨道，也适用于接近极限环的外部轨道。
给定一个极限环和它内部在时间上趋近<math>+ \infty</math>的接近极限环的轨迹，在极限环周围有一个邻域，这样所有内部开始的轨迹在时间上趋近<math> + \infty</math>时都接近极限环。相应的陈述适用于时间上趋近<math>- \infty</math>的接近极限环的内部轨道，也适用于接近极限环的外部轨道。
稳定极限环是'''<font color="#ff8000">吸引子 Attractor</font>'''的例子。它们意味着自我维持的'''<font color="#ff8000">振荡 Oscillation</font>'''：闭合轨迹描述了系统的完美周期行为，任何来自这个闭合轨迹的微小扰动都会导致系统返回到它，使系统保持极限环。
稳定极限环是'''<font color="#ff8000">吸引子 Attractor</font>'''的例子。它们意味着自我维持的'''<font color="#ff8000">振荡 Oscillation</font>'''：闭合轨迹描述了系统的完美周期行为，任何来自这个闭合轨迹的微小扰动都会导致系统返回到它，使系统保持极限环。
每一个闭合轨迹在其内部都包含一个系统的'''<font color="#ff8000">驻点 Stationary Point</font>'''，即点<math>p</math>当有<math>V(p)=0</math>.'''<font color="#ff8000">本迪克森-杜拉克定理 Bendixson–Dulac theorem</font>'''和'''<font color="#ff8000">庞加莱-本迪克森定理 Poincaré–Bendixson theorem </font>'''分别预言了二维非线性动力系统极限环的缺失或存在。
每一个闭合轨迹在其内部都包含一个系统的'''<font color="#ff8000">驻点 Stationary Point</font>'''，即点<math>p</math>当有<math>V(p)=0</math>.'''<font color="#ff8000">本迪克森-杜拉克定理 Bendixson–Dulac theorem</font>'''和'''<font color="#ff8000">庞加莱-本迪克森定理 Poincaré–Bendixson theorem </font>'''分别预言了二维非线性动力系统极限环的缺失或存在。
==待解决的问题==
==待解决的问题==
一般来说，寻找极限环是一个非常困难的问题。平面上一个多项式微分方程的极限环的个数是'''<font color="#ff8000">希尔伯特第十六题 Hilbert's sixteenth problem</font>'''第二部分的主要对象。例如，在平面上是否存在一个系统<math>x'=V(x)</math>，其中<math>V</math>的两个组成部分都是两个变量的二次多项式，这样的系统有多于4个极限环。
一般来说，寻找极限环是一个非常困难的问题。平面上一个多项式微分方程的极限环的个数是'''<font color="#ff8000">希尔伯特第十六题 Hilbert's sixteenth problem</font>'''第二部分的主要对象。例如，在平面上是否存在一个系统<math>x'=V(x)</math>，其中<math>V</math>的两个组成部分都是两个变量的二次多项式，这样的系统有多于4个极限环。
== 应用 ==
== 应用 ==
[[File:Hopfbifurcation.png|thumb|400px|'''<font color="#ff8000">霍普夫分岔 Hopf bifurcation</font>'''附近不动点分支的极限环例子。红色的轨迹，深蓝色的稳定结构，浅蓝色的不稳定结构。参数的选择决定了极限环的出现和稳定性。]]
[[File:Hopfbifurcation.png|thumb|400px|'''<font color="#ff8000">霍普夫分岔 Hopf bifurcation</font>'''附近不动点分支的极限环例子。红色的轨迹，深蓝色的稳定结构，浅蓝色的不稳定结构。参数的选择决定了极限环的出现和稳定性。]]
科学应用中许多自持振荡系统的仿真里，极限环具有重要意义。一些例子包括:
科学应用中许多自持振荡系统的仿真里，极限环具有重要意义。一些例子包括:
* 空气动力学极限环振荡<ref>{{citation | last =Thomas| first =Jeffrey P.| last2 =Dowell| first2 =Earl H.| last3 =Hall| first3 =Kenneth C.| title =Nonlinear Inviscid Aerodynamic Effects on Transonic Divergence, Flutter, and Limit-Cycle Oscillations| journal =AIAA Journal| volume =40| issue =4| pages =638| publisher =American Institute of Aeronautics and Astronautics| url=https://mems.duke.edu/files/mems/thomas/downloads/hblco.pdf| access-date = December 9, 2019 | bibcode =2002AIAAJ..40..638T| year =2002| doi =10.2514/2.1720}}</ref>
* 空气动力学极限环振荡<ref>{{citation | last =Thomas| first =Jeffrey P.| last2 =Dowell| first2 =Earl H.| last3 =Hall| first3 =Kenneth C.| title =Nonlinear Inviscid Aerodynamic Effects on Transonic Divergence, Flutter, and Limit-Cycle Oscillations| journal =AIAA Journal| volume =40| issue =4| pages =638| publisher =American Institute of Aeronautics and Astronautics| url=https://mems.duke.edu/files/mems/thomas/downloads/hblco.pdf| access-date = December 9, 2019 | bibcode =2002AIAAJ..40..638T| year =2002| doi =10.2514/2.1720}}</ref>