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此词条暂由水流心不竞初译，未经审校，带来阅读不便，请见谅。

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{{Probability distribution

{{Probability distribution

在概率论和统计学中，'''<font color="#ff8000"> 泊松分布 Poisson distribution</font>'''是以法国数学家西莫恩·德尼·泊松 Siméon Denis Poisson命名的，是一个离散的概率分布，它表示在一个固定的时间段或空间中一定数量的事件的发生概率，这些事件以一个已知的常数平均速率发生，并且独立于与上一个事件的间隔发生时间。还可以用来表示其他有特定间隔的事件数量，如距离、面积或体积。

在概率论和统计学中，'''<font color="#ff8000"> 泊松分布 Poisson distribution</font>'''是以法国数学家西莫恩·德尼·泊松 Siméon Denis Poisson命名的，是一个离散的概率分布，它表示在一个固定的时间段或空间中一定数量的事件的发生概率，这些事件以一个已知的常数平均速率发生，并且独立于与上一个事件的间隔发生时间。还可以用来表示其他有特定间隔的事件数量，如距离、面积或体积。

 

For instance, an individual keeping track of the amount of mail they receive each day may notice that they receive an average number of 4 letters per day. If receiving any particular piece of mail does not affect the arrival times of future pieces of mail, i.e., if pieces of mail from a wide range of sources arrive independently of one another, then a reasonable assumption is that the number of pieces of mail received in a day obeys a Poisson distribution.{{r|Brooks2007}} Other examples that may follow a Poisson distribution include the number of phone calls received by a call center per hour and the number of decay events per second from a radioactive source.

For instance, an individual keeping track of the amount of mail they receive each day may notice that they receive an average number of 4 letters per day. If receiving any particular piece of mail does not affect the arrival times of future pieces of mail, i.e., if pieces of mail from a wide range of sources arrive independently of one another, then a reasonable assumption is that the number of pieces of mail received in a day obeys a Poisson distribution.{{r|Brooks2007}} Other examples that may follow a Poisson distribution include the number of phone calls received by a call center per hour and the number of decay events per second from a radioactive source.

例如，记录每天收到邮件数量的个人可能会注意到，他们平均每天收到4封信。如果收到任何邮件都并不影响未来邮件的到达时间，也就是说，如果不同来源的邮件彼此独立地到达，那么一个合理的假设是，每天收到的邮件数量服从一个'''<font color="#ff8000">泊松分布</font>'''。其他可能遵循一个'''<font color="#ff8000">泊松分布</font>'''的例子包括：呼叫中心每小时接到的电话数量和每秒从放射源衰变事件的数量。

例如，记录每天收到邮件数量的个人可能会注意到，他们平均每天收到4封信。如果收到任何邮件都并不影响未来邮件的到达时间，也就是说，如果不同来源的邮件彼此独立地到达，那么一个合理的假设是，每天收到的邮件数量服从一个'''<font color="#ff8000">泊松分布</font>'''。其他可能遵循一个'''<font color="#ff8000">泊松分布</font>'''的例子包括：呼叫中心每小时接到的电话数量和每秒从放射源衰变事件的数量。

 

== Definitions定义 ==

== Definitions定义 ==

如果不用事件的平均数字 < math > lambda </math > ，而是给出事件发生的时间率 < math > r </math > ，那么这个方程就可以适用。然后是 < math > > lambda = r t </math > (以1/time 为单位的 < math > r </math >) ，以及

如果不用事件的平均数字 < math > lambda </math > ，而是给出事件发生的时间率 < math > r </math > ，那么这个方程就可以适用。然后是 < math > > lambda = r t </math > (以1/time 为单位的 < math > r </math >) ，以及

 

: <math>P(k \text{ events in interval } t) = \frac{(r t)^k e^{-r t}}{k!}</math>

: <math>P(k \text{ events in interval } t) = \frac{(r t)^k e^{-r t}}{k!}</math>

在某一条河流上，洪水平均每100年发生泛滥一次。计算在100年间洪水泛滥次数= 0,1,2,3,4,5，或6次的概率，假设（其分布）适用泊松模型。

在某一条河流上，洪水平均每100年发生泛滥一次。计算在100年间洪水泛滥次数= 0,1,2,3,4,5，或6次的概率，假设（其分布）适用泊松模型。

 

Because the average event rate is one overflow flood per 100 years, ''λ'' = 1

Because the average event rate is one overflow flood per 100 years, ''λ'' = 1

Suppose that astronomers estimate that large meteorites (above a certain size) hit the earth on average once every 100 years (λ = 1 event per 100 years), and that the number of meteorite hits follows a Poisson distribution. What is the probability of  = 0 meteorite hits in the next 100 years?

Suppose that astronomers estimate that large meteorites (above a certain size) hit the earth on average once every 100 years (λ = 1 event per 100 years), and that the number of meteorite hits follows a Poisson distribution. What is the probability of  = 0 meteorite hits in the next 100 years?

假设天文学家估计，大型陨石(超过一定大小)平均每100年撞击地球一次(= 每100年撞击一次) ，而且陨石撞击的次数紧随泊松分布之后。在接下来的100年里，被陨石击中k=0的概率是多少？

假设天文学家估计，大型陨石(超过一定大小)平均每100年撞击地球一次(= 每100年撞击一次) ，而且陨石撞击的次数服从泊松分布。在接下来的100年里，被陨石击中k=0的概率是多少？

 

: <math> P(k = \text{0 meteorites hit in next 100 years}) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{1}{e} \approx 0.37 </math>

: <math> P(k = \text{0 meteorites hit in next 100 years}) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{1}{e} \approx 0.37 </math>

一次大的强震会增加发生类似震级余震的可能性，那么一个国家每年发生5级地震的次数可能不会服从'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''。

一次大的强震会增加发生类似震级余震的可能性，那么一个国家每年发生5级地震的次数可能不会服从'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''。

 

Examples in which at least one event is guaranteed are not Poission distributed; but may be modeled using a [[Zero-truncated Poisson distribution]].

Examples in which at least one event is guaranteed are not Poission distributed; but may be modeled using a [[Zero-truncated Poisson distribution]].

至少有一个事件确定发生的情况不是 Poission 分布式的，但也许可以使用零截断'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''进行建模。

至少有一个事件确定发生的情况不是 Poission 分布式的，但也许可以使用零截断'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''进行建模。

 

Count distributions in which the number of intervals with zero events is higher than predicted by a Poisson model may be modeled using a [[Zero-inflated model]].

Count distributions in which the number of intervals with zero events is higher than predicted by a Poisson model may be modeled using a [[Zero-inflated model]].

其中{括号}表示第二类 Stirling 数。多项式的系数具有组合意义。事实上，当泊松分佈的期望值是1时，那么 Dobinski 的公式说第 n 个时刻等于一组大小为 n 的分区的数目。

其中{括号}表示第二类 Stirling 数。多项式的系数具有组合意义。事实上，当泊松分佈的期望值是1时，那么 Dobinski 的公式说第 n 个时刻等于一组大小为 n 的分区的数目。

 

For the non-centered moments we define <math>B=k/\lambda</math>, then{{r|Jagadeesan2017}}

For the non-centered moments we define <math>B=k/\lambda</math>, then{{r|Jagadeesan2017}}

如果对于 < math > i = 1，dotsc，n </math > 是独立的，那么 < math > sum { i = 1} ^ n xi sim 操作者名{ Pois }左(sum { i = 1} ^ n lambda _ i 右) </math > 。一个逆定理是雷科夫定理，它说如果两个独立的随机变量之和是'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''的，那么这两个独立的随机变量之和也是'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''的。

如果对于 < math > i = 1，dotsc，n </math > 是独立的，那么 < math > sum { i = 1} ^ n xi sim 操作者名{ Pois }左(sum { i = 1} ^ n lambda _ i 右) </math > 。一个逆定理是雷科夫定理，它说如果两个独立的随机变量之和是'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''的，那么这两个独立的随机变量之和也是'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''的。

 

=== Other properties 其他特性===

=== Other properties 其他特性===

===Genera通常l===

===Genera通常l===

 

* If <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> and <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> are independent, then the difference <math> Y = X_1 - X_2</math> follows a [[Skellam distribution]].

* If <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> and <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> are independent, then the difference <math> Y = X_1 - X_2</math> follows a [[Skellam distribution]].

一个简单的方法来产生一个二变量的泊松分佈分布: 取3个独立的 Poisson 分布 < math > y _ 1，y _ 2，y _ 3 </math > ，用 < math > lambda _ 1，lambda _ 2，lambda _ 3 </math > 然后设置 < math > x _ 1 = y _ 1 + y _ 3，x _ 2 = y _ 2 + y _ 3 </math > 。二元概率密度函数变量的泊松分佈变量是

一个简单的方法来产生一个二变量的泊松分佈分布: 取3个独立的 Poisson 分布 < math > y _ 1，y _ 2，y _ 3 </math > ，用 < math > lambda _ 1，lambda _ 2，lambda _ 3 </math > 然后设置 < math > x _ 1 = y _ 1 + y _ 3，x _ 2 = y _ 2 + y _ 3 </math > 。二元概率密度函数变量的泊松分佈变量是

 

: <math>

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换句话说，让 x _ n </math > 是随机变量，因此 x _ n </math > 具有值 < math > alpha </math > 具有概率 < math > frac { lambda }{ n } </math > ，值0具有剩余的概率。同时假设家庭成员 x1，x2，ldots </math > 是自由独立的。然后将极限值设为 < math > n，以确定 < math > x1 + cdots + xn </math > 的规律

换句话说，让 x _ n </math > 是随机变量，因此 x _ n </math > 具有值 < math > alpha </math > 具有概率 < math > frac { lambda }{ n } </math > ，值0具有剩余的概率。同时假设家庭成员 x1，x2，ldots </math > 是自由独立的。然后将极限值设为 < math > n，以确定 < math > x1 + cdots + xn </math > 的规律

 

is given by the Free Poisson law with parameters <math>\lambda,\alpha</math>.

is given by the Free Poisson law with parameters <math>\lambda,\alpha</math>.

这个定义类似于从(经典)泊松过程获得经典'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''的一种方法。

这个定义类似于从(经典)泊松过程获得经典'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution.</font>'''的一种方法。

 

The measure associated to the free Poisson law is given by<ref>James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.</ref>

The measure associated to the free Poisson law is given by<ref>James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.</ref>

'''<font color="#ff8000">置信区间Confidence interval </font>'''的平均'''<font color="#ff8000"> 泊松分布Poisson distribution</font>'''可以用泊松分布和卡方分布的累积分布函数之间的关系来表示。卡方分布本身与伽玛分布密切相关，这导致了另一种表达方式。给定一个来自平均泊松分佈的观测值 k，一个带有置信水平的置信区间是

'''<font color="#ff8000">置信区间Confidence interval </font>'''的平均'''<font color="#ff8000"> 泊松分布Poisson distribution</font>'''可以用泊松分布和卡方分布的累积分布函数之间的关系来表示。卡方分布本身与伽玛分布密切相关，这导致了另一种表达方式。给定一个来自平均泊松分佈的观测值 k，一个带有置信水平的置信区间是

 

:<math>\tfrac 12\chi^{2}(\alpha/2; 2k) \le \mu \le \tfrac 12 \chi^{2}(1-\alpha/2; 2k+2), </math>

:<math>\tfrac 12\chi^{2}(\alpha/2; 2k) \le \mu \le \tfrac 12 \chi^{2}(1-\alpha/2; 2k+2), </math>

为了在与上述相同的上下文中应用这些公式(给定一个 n 个测量值 k < sub > i </sub > 每个取自一个泊松分佈的平均值) ，我们将设置

为了在与上述相同的上下文中应用这些公式(给定一个 n 个测量值 k < sub > i </sub > 每个取自一个泊松分佈的平均值) ，我们将设置

 

:<math>k=\sum_{i=1}^n k_i ,\!</math>

:<math>k=\sum_{i=1}^n k_i ,\!</math>

在'''<font color="#ff8000"> Bayesian inference 贝叶斯推理</font>'''中，泊松分佈的速率参数的'''<font color="#ff8000"> 共轭先验Conjugate prior</font>'''是伽玛分布。让

在'''<font color="#ff8000"> Bayesian inference 贝叶斯推理</font>'''中，泊松分佈的速率参数的'''<font color="#ff8000"> 共轭先验Conjugate prior</font>'''是伽玛分布。让

 

:<math>\lambda \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \beta) \!</math>

:<math>\lambda \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \beta) \!</math>

单一额外观察的后验预测分布是负二项分布，有时称为泊松分佈。

单一额外观察的后验预测分布是负二项分布，有时称为泊松分佈。

 

=== Simultaneous estimation of multiple Poisson means 多重泊松均值的同步估计===

=== Simultaneous estimation of multiple Poisson means 多重泊松均值的同步估计===

'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution</font>'''可以应用在很多领域，包括:

'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution</font>'''可以应用在很多领域，包括:

 

* [[Telecommunication]] example: telephone calls arriving in a system.

* [[Telecommunication]] example: telephone calls arriving in a system.

*[[电信]]示例：到达系统的电话。

*[[电信]]示例：到达系统的电话。

* [[Astronomy]] example: photons arriving at a telescope.

* [[Astronomy]] example: photons arriving at a telescope.

*[[天文学]]例子：到达望远镜的光子。

*[[天文学]]例子：到达望远镜的光子。

泊松分佈过程与泊松过程有关。它适用于各种离散性质的现象(也就是说，那些可能发生0,1,2,3，... 在给定时间内或在给定区域) ，只要现象发生的概率在时间或空间上是常数。可以被模仿为泊松分佈的活动包括:

泊松分佈过程与泊松过程有关。它适用于各种离散性质的现象(也就是说，那些可能发生0,1,2,3，... 在给定时间内或在给定区域) ，只要现象发生的概率在时间或空间上是常数。可以被模仿为泊松分佈的活动包括:

   <!--

   <!--

泊松分佈(黑线)与[二项分布(红圈) ，n = 20(蓝圈) ，n = 1000(绿圈)的比较。所有分布的平均值都是5。水平轴显示事件的数量 k。随着 n 变得越来越大，泊松分佈变成了一个越来越好的平均二项分布。]

泊松分佈(黑线)与[二项分布(红圈) ，n = 20(蓝圈) ，n = 1000(绿圈)的比较。所有分布的平均值都是5。水平轴显示事件的数量 k。随着 n 变得越来越大，泊松分佈变成了一个越来越好的平均二项分布。]

 

 

The rate of an event is related to the probability of an event occurring in some small subinterval (of time, space or otherwise). In the case of the Poisson distribution, one assumes that there exists a small enough subinterval for which the probability of an event occurring twice is "negligible". With this assumption one can derive the Poisson distribution from the Binomial one, given only the information of expected number of total events in the whole interval. Let this total number be <math>\lambda</math>. Divide the whole interval into <math>n</math> subintervals <math>I_1,\dots,I_n</math> of equal size, such that <math>n</math> > <math>\lambda</math> (since we are interested in only very small portions of the interval this assumption is meaningful). This means that the expected number of events in an interval <math>I_i</math> for each <math>i</math> is equal to <math>\lambda/n</math>. Now we assume that the occurrence of an event in the whole interval can be seen as a [[Bernoulli trial]], where the <math>i^{th}</math> trial corresponds to looking whether an event happens at the subinterval <math>I_i</math> with probability <math>\lambda/n</math>. The expected number of total events in <math>n</math> such trials would be <math>\lambda</math>, the expected number of total events in the whole interval. Hence for each subdivision of the interval we have approximated the occurrence of the event as a Bernoulli process of the form <math>\textrm{B}(n,\lambda/n)</math>. As we have noted before we want to consider only very small subintervals. Therefore, we take the limit as <math>n</math> goes to infinity.

The rate of an event is related to the probability of an event occurring in some small subinterval (of time, space or otherwise). In the case of the Poisson distribution, one assumes that there exists a small enough subinterval for which the probability of an event occurring twice is "negligible". With this assumption one can derive the Poisson distribution from the Binomial one, given only the information of expected number of total events in the whole interval. Let this total number be <math>\lambda</math>. Divide the whole interval into <math>n</math> subintervals <math>I_1,\dots,I_n</math> of equal size, such that <math>n</math> > <math>\lambda</math> (since we are interested in only very small portions of the interval this assumption is meaningful). This means that the expected number of events in an interval <math>I_i</math> for each <math>i</math> is equal to <math>\lambda/n</math>. Now we assume that the occurrence of an event in the whole interval can be seen as a [[Bernoulli trial]], where the <math>i^{th}</math> trial corresponds to looking whether an event happens at the subinterval <math>I_i</math> with probability <math>\lambda/n</math>. The expected number of total events in <math>n</math> such trials would be <math>\lambda</math>, the expected number of total events in the whole interval. Hence for each subdivision of the interval we have approximated the occurrence of the event as a Bernoulli process of the form <math>\textrm{B}(n,\lambda/n)</math>. As we have noted before we want to consider only very small subintervals. Therefore, we take the limit as <math>n</math> goes to infinity.

事件的发生率与事件发生在某个小的子间隔(时间、空间或其他)的概率有关。在泊松分佈的例子中，我们假设存在一个足够小的子区间，其中一个事件发生两次的概率是“可以忽略的”。有了这个假设，我们就可以从二项式中推导出泊松分佈，只需要给出整个时间间隔内预期的事件总数的信息。设这个总数是 < math > > lambda </math > 。将整个区间分为 < math > n </math > 子区间 < math > i _ 1，点，i _ n </math > 大小相等，这样 < math > n </math > < math > lambda </math > (因为我们只对区间的很小一部分感兴趣，所以这个假设是有意义的)。这意味着每个 < math > i </math > 中期望的事件数等于 < math > lambda/n </math > 。现在，我们假设一个事件在整个时间间隔内的发生可以被看作是伯努利试验，其中，“ math”试验对应于观察一个事件是否在子时间间隔内发生。在 < math > n </math > 这样的试验中预期的总事件数是 < math > lambda </math > ，这是整个间隔中预期的总事件数。因此，对于区间的每一个细分，我们都近似地将事件的发生作为形式 < math > textrm { b }(n，lambda/n) </math > 的伯努利过程。正如我们之前指出的，我们只想考虑非常小的子区间。因此，我们将极限取为 < math > n </math > 到无穷大。

事件的发生率与事件发生在某个小的子间隔(时间、空间或其他)的概率有关。在泊松分佈的例子中，我们假设存在一个足够小的子区间，其中一个事件发生两次的概率是“可以忽略的”。有了这个假设，我们就可以从二项式中推导出泊松分佈，只需要给出整个时间间隔内预期的事件总数的信息。设这个总数是 < math > > lambda </math > 。将整个区间分为 < math > n </math > 子区间 < math > i _ 1，点，i _ n </math > 大小相等，这样 < math > n </math > < math > lambda </math > (因为我们只对区间的很小一部分感兴趣，所以这个假设是有意义的)。这意味着每个 < math > i </math > 中期望的事件数等于 < math > lambda/n </math > 。现在，我们假设一个事件在整个时间间隔内的发生可以被看作是伯努利试验，其中，“ math”试验对应于观察一个事件是否在子时间间隔内发生。在 < math > n </math > 这样的试验中预期的总事件数是 < math > lambda </math > ，这是整个间隔中预期的总事件数。因此，对于区间的每一个细分，我们都近似地将事件的发生作为形式 < math > textrm { b }(n，lambda/n) </math > 的伯努利过程。正如我们之前指出的，我们只想考虑非常小的子区间。因此，我们将极限取为 < math > n </math > 到无穷大。

 

In this case the binomial distribution converges to what is known as the Poisson distribution by the [[Poisson limit theorem]].

In this case the binomial distribution converges to what is known as the Poisson distribution by the [[Poisson limit theorem]].

在这种情况下，二项分布收敛于泊松极限定理所称的泊松分佈。

在这种情况下，二项分布收敛于泊松极限定理所称的泊松分佈。

 

在这种情况下，n 是非常大的，p 是非常小的(所以期望 np 是中等大小)。然后，分布可以近似于不那么麻烦的泊松分佈

在这种情况下，n 是非常大的，p 是非常小的(所以期望 np 是中等大小)。然后，分布可以近似于不那么麻烦的泊松分佈

 

:<math>X \sim \textrm{Pois}(np). \,</math>

:<math>X \sim \textrm{Pois}(np). \,</math>

这种近似有时被称为稀有事件定律，因为 n 个伯努利事件中的每一个很少发生。这个名称可能有误导性，因为如果参数 np 不小，那么 Poisson 过程中成功事件的总计数就不会很少。例如，一个小时内打给忙碌总机的电话数量跟随着一个泊松分佈，这些事件在接线员看来是频繁的，但是从普通人的角度来看，这些事件很少发生，因为他们不太可能在那个小时内打电话给总机。

这种近似有时被称为稀有事件定律，因为 n 个伯努利事件中的每一个很少发生。这个名称可能有误导性，因为如果参数 np 不小，那么 Poisson 过程中成功事件的总计数就不会很少。例如，一个小时内打给忙碌总机的电话数量跟随着一个泊松分佈，这些事件在接线员看来是频繁的，但是从普通人的角度来看，这些事件很少发生，因为他们不太可能在那个小时内打电话给总机。

 

法律一词有时被用作概率分布的同义词，法律的趋同意味着分配的趋同。因此，泊松分佈有时被称为“小数定律” ，因为它是一个事件发生次数的概率分布，这个事件很少发生，但却有很多机会发生。小数定律》是拉迪斯劳斯·博特基威茨的一本关于泊松分佈的书，出版于1898年。

法律一词有时被用作概率分布的同义词，法律的趋同意味着分配的趋同。因此，泊松分佈有时被称为“小数定律” ，因为它是一个事件发生次数的概率分布，这个事件很少发生，但却有很多机会发生。小数定律》是拉迪斯劳斯·博特基威茨的一本关于泊松分佈的书，出版于1898年。

 

==='''<font color="#ff8000">  Poisson point process 泊松点过程</font>'''===

==='''<font color="#ff8000">  Poisson point process 泊松点过程</font>'''===

泊松分佈是位于某个有限区域的泊松过程的点数。更具体地说，如果 d 是某个区域空间，例如欧几里德空间 r < sup > d </sup > ，对于这个区域 | d | ，区域的面积、体积或者更一般地说，区域的勒贝格测度是有限的，如果表示 d 中的点数，那么

泊松分佈是位于某个有限区域的泊松过程的点数。更具体地说，如果 d 是某个区域空间，例如欧几里德空间 r < sup > d </sup > ，对于这个区域 | d | ，区域的面积、体积或者更一般地说，区域的勒贝格测度是有限的，如果表示 d 中的点数，那么

 

在'''<font color="#ff8000"> 因果集合论Causal Set theory</font>'''中，时空的离散元素在集合中遵循一个泊松分佈。

在'''<font color="#ff8000"> 因果集合论Causal Set theory</font>'''中，时空的离散元素在集合中遵循一个泊松分佈。

==Computational methods计算方法==

==Computational methods计算方法==

计算 < math > p (k; lambda) </math > 对于给定的 < math > k </math > 和 < math > lambda </math > 是一项琐碎的任务，可以通过使用 < math > p (k; lambda) </math > 的标准定义来完成，包括指数函数、幂函数和阶乘函数。然而，传统上对泊松分佈的定义包含了两个容易在计算机上溢出的术语: < sup > k </sup > 和 k。分数 < sup > k </sup > 到 k！也可能产生舍入误差，与 e < sup >-</sup > 相比，舍入误差非常大，因此给出错误的结果。因此，对于数值稳定性来说，泊松概率质量函数应该被评估为

计算 < math > p (k; lambda) </math > 对于给定的 < math > k </math > 和 < math > lambda </math > 是一项琐碎的任务，可以通过使用 < math > p (k; lambda) </math > 的标准定义来完成，包括指数函数、幂函数和阶乘函数。然而，传统上对泊松分佈的定义包含了两个容易在计算机上溢出的术语: < sup > k </sup > 和 k。分数 < sup > k </sup > 到 k！也可能产生舍入误差，与 e < sup >-</sup > 相比，舍入误差非常大，因此给出错误的结果。因此，对于数值稳定性来说，泊松概率质量函数应该被评估为

:<math>\!f(k; \lambda)= \exp \left[ k\ln \lambda  - \lambda  - \ln \Gamma (k+1) \right],</math>

:<math>\!f(k; \lambda)= \exp \left[ k\ln \lambda  - \lambda  - \ln \Gamma (k+1) \right],</math>

一些计算语言提供了'''<font color="#ff8000"> 内置函数Built-in functions</font>'''来评估泊松分佈

一些计算语言提供了'''<font color="#ff8000"> 内置函数Built-in functions</font>'''来评估泊松分佈

 

* [[R (programming language)|R]]: function <code>dpois(x, lambda)</code>;

* [[R (programming language)|R]]: function <code>dpois(x, lambda)</code>;

=== Random drawing from the Poisson distribution 从泊松分布中抽取随机量===

=== Random drawing from the Poisson distribution 从泊松分布中抽取随机量===

The less trivial task is to draw random integers from the Poisson distribution with given <math>\lambda</math>.

The less trivial task is to draw random integers from the Poisson distribution with given <math>\lambda</math>.

对于较大的值，l = e </sup >-</sup > 的值可能非常小，以至于很难表示。这可以通过改变算法来解决，该算法使用附加参数 STEP，使得 e < sup >-STEP </sup > 不会底流:

对于较大的值，l = e </sup >-</sup > 的值可能非常小，以至于很难表示。这可以通过改变算法来解决，该算法使用附加参数 STEP，使得 e < sup >-STEP </sup > 不会底流:

 

  '''algorithm''' ''poisson random number (Junhao, based on Knuth)'':

  '''algorithm''' ''poisson random number (Junhao, based on Knuth)'':

这项工作通过关注某些随机变量 n (其中包括在给定时间间隔内发生的离散事件(有时称为“事件”或“到达事件”)的数量)来推断某一国家的错误定罪数量。这个结果早在1711年就已经在《亚伯拉罕·棣莫弗》给出了。在 Ludis 举行的猜测活动。这使它成为斯蒂格勒定律的一个例子，也使一些作者提出，'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution </font>'''应该以德莫伊弗雷的名字命名。

这项工作通过关注某些随机变量 n (其中包括在给定时间间隔内发生的离散事件(有时称为“事件”或“到达事件”)的数量)来推断某一国家的错误定罪数量。这个结果早在1711年就已经在《亚伯拉罕·棣莫弗》给出了。在 Ludis 举行的猜测活动。这使它成为斯蒂格勒定律的一个例子，也使一些作者提出，'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution </font>'''应该以德莫伊弗雷的名字命名。

 

In 1860, [[Simon Newcomb]] fitted the Poisson distribution to the number of stars found in a unit of space.{{r|Newcomb1860}}

In 1860, [[Simon Newcomb]] fitted the Poisson distribution to the number of stars found in a unit of space.{{r|Newcomb1860}}

这种分布的进一步实际应用是在1898年，当时拉迪斯劳斯·博特基威茨被赋予任务调查普鲁士军队中被马踢意外杀死的士兵人数; 这个实验将'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution </font>'''引入可靠性技术领域。

这种分布的进一步实际应用是在1898年，当时拉迪斯劳斯·博特基威茨被赋予任务调查普鲁士军队中被马踢意外杀死的士兵人数; 这个实验将'''<font color="#ff8000"> 泊松分佈Poisson distribution </font>'''引入可靠性技术领域。

 

== See also又及 ==

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