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第68行： − + − 给定一个实整体动力系统(R，X，Φ) ，其中X为相空间，Φ为演化函数，+ 第79行：
第79行： − + 第86行：
第86行： − 具有此性质的最小正t称为点x的素数周期。+ − + − + −
→Dynamical system
参数<math>r</math>随着取值的不同，呈现周期性。对于介于0到1之间的<math>r</math>，0是唯一的周期点，周期为1（给出了吸引所有轨道的序列0,0,0，... ）。对于介于1到3之间的<math>r</math>，值0仍然是周期性的，但不是吸引点，而该值是周期1的吸引周期点。当<math>r</math>大于3但小于1+时，存在一对周期2的点，它们共同构成一个吸引序列，非吸引周期1点为0。当参数<math>r</math>的值上升到4时，会出现周期为正的一组周期点；对于<math>r</math>的某些值，这些重复序列中的一个被吸引，而对于其他值，则没有一个被吸引(几乎所有的轨道都是混乱的)。
参数<math>r</math>随着取值的不同，呈现周期性。对于介于0到1之间的<math>r</math>，0是唯一的周期点，周期为1（给出了吸引所有轨道的序列0,0,0，... ）。对于介于1到3之间的<math>r</math>，值0仍然是周期性的，但不是吸引点，而该值是周期1的吸引周期点。当<math>r</math>大于3但小于1+时，存在一对周期2的点，它们共同构成一个吸引序列，非吸引周期1点为0。当参数<math>r</math>的值上升到4时，会出现周期为正的一组周期点；对于<math>r</math>的某些值，这些重复序列中的一个被吸引，而对于其他值，则没有一个被吸引(几乎所有的轨道都是混乱的)。
== Dynamical system ==
==[[动力系统]]==
Given a [[real global dynamical system]] ('''R''', ''X'', Φ) with ''X'' the [[Phase space (dynamical system)|phase space]] and Φ the [[evolution function]],
Given a [[real global dynamical system]] ('''R''', ''X'', Φ) with ''X'' the [[Phase space (dynamical system)|phase space]] and Φ the [[evolution function]],
给定一个连续时间的动力系统<math>(R，X，Φ) </math>，其中<math>X</math>为相空间，<math>Φ</math>为状态转移函数，
a point ''x'' in ''X'' is called ''periodic'' with ''period'' ''t'' if there exists a ''t'' > 0 so that
a point ''x'' in ''X'' is called ''periodic'' with ''period'' ''t'' if there exists a ''t'' > 0 so that
如果存在 t > & thinsp; 0，则X中的点x称为周期为t的周期。因此
如果存在 <math>t >=0</math>，则<math>X</math>中的点<math>x</math>称为周期为<math>t</math>的周期。因此
<math>\Phi(t, x) = x\,</math>
<math>\Phi(t, x) = x\,</math>
The smallest positive ''t'' with this property is called ''prime period'' of the point ''x''.
The smallest positive ''t'' with this property is called ''prime period'' of the point ''x''.
具有此性质的最小正<math>t</math>称为点<math>x</math>的素数周期。
=== Properties ===
=== 性质 ===
* Given a periodic point ''x'' with period ''p'', then <math>\Phi(t,x) = \Phi(t+p,x)</math> for all ''t'' in '''R'''
* Given a periodic point ''x'' with period ''p'', then <math>\Phi(t,x) = \Phi(t+p,x)</math> for all ''t'' in '''R'''
* 给定一个周期为“p”的周期点“x”，则对于“R”中所有“t”的Phi(t,x) = \Phi(t+p,x)
* 给定一个周期为“p”的周期点“x”，则对于<math>R</math>中所有<math>x</math>的<math>\Phi(t,x) = \Phi(t+p,x)</math>
* Given a periodic point ''x'' then all points on the [[orbit (dynamics)|orbit]] <math>\gamma_x</math> through ''x'' are periodic with the same prime period.
* Given a periodic point ''x'' then all points on the [[orbit (dynamics)|orbit]] <math>\gamma_x</math> through ''x'' are periodic with the same prime period.
* 给定周期点“x”，则在轨道 <math>\gamma_x</math>上的所有点都具有相同的素数周期
* 给定周期点“x”，则在轨道 <math>\gamma_x</math>上的所有点都具有相同的素数周期
==See also==
==See also==