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第1行： − 此词条由Jie初步翻译。+ − + − 11个浅蓝色三角形（三顶点团）为极大团。深蓝色的四顶点团既是最大团也是极大团，该图的团数是4。+ 第23行：
第23行： − 对完全子图的研究至少可以追溯到拉姆齐定理中的图论重组，由Erdős＆Szekeres（1935）在论文《A combinatorial problem in geometry》提出的。但实际上“团”一词是来自Luce＆Perry（1949）的文章《A method of matrix analysis of group structure》，后者在社交网络中使用完全子图来对人群进行建模；该模型定义在这群人中，所有人是互相认识的。其实团这一概念在诸多科学领域中均有所应用，尤其是在生物信息学。+ 第33行：
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第181行： − 在计算机科学中，团问题指的是在给定图中查找最大团或所有团的计算问题。它是是Karp的21个NP完全问题之一。它也是固定参数难求解问题，甚至难以获得近似值。尽管如此，目前专业人士已经开发了诸多用于计算团的算法，包括可以在指数时间内求解的例如Bron–Kerbosch的算法，以及专门用于求解图族（例如平面图或完美图）这类问题的算法，并在多项式时间内解决。+ 第189行：
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第208行： − 在电气工程中，Prihar（1956）使用团来分析通信网络，Paull＆Unger（1959）使用它们来设计有效的电路，以计算部分指定的布尔函数。团也已用于自动测试模式生成：不兼容图中可能出现的故障的大团为测试集的大小提供了下限。Cong＆Smith（1993）描述了团在寻找将电子电路分层划分成较小的子单元中的应用。+
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[[文件:VR complex.svg|缩略图|
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• 23 × 1-vertex cliques (the vertices), 23个单顶点团（顶点）
• 23 × 1-vertex cliques (the vertices), 23个单顶点团（顶点）
• 42 × 2-vertex cliques (the edges), 42个双顶点团（连边）
• 42 × 2-vertex cliques (the edges), 42个双顶点团（边）
• 19 × 3-vertex cliques (light and dark blue triangles), 19个三顶点团（浅色和深色的三角形）
• 19 × 3-vertex cliques (light and dark blue triangles), 19个三顶点团（浅色和深色的三角形）
• 2 × 4-vertex cliques (dark blue areas).2个四顶点团（深色区域）
• 2 × 4-vertex cliques (dark blue areas).2个四顶点团（深色区域）
The 11 light blue triangles form maximal cliques. The two dark blue 4-cliques are both maximum and maximal, and the clique number of the graph is 4.
The 11 light blue triangles form maximal cliques. The two dark blue 4-cliques are both maximum and maximal, and the clique number of the graph is 4.
11个浅蓝色三角形（三顶点团）为极大团。2个深蓝色的四顶点团既是最大团也是极大团，该图的团数是4。
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Although the study of complete subgraphs goes back at least to the graph-theoretic reformulation of Ramsey theory by , the term clique comes from , who used complete subgraphs in social networks to model cliques of people; that is, groups of people all of whom know each other. Cliques have many other applications in the sciences and particularly in bioinformatics.
Although the study of complete subgraphs goes back at least to the graph-theoretic reformulation of Ramsey theory by , the term clique comes from , who used complete subgraphs in social networks to model cliques of people; that is, groups of people all of whom know each other. Cliques have many other applications in the sciences and particularly in bioinformatics.
对完全子图的研究至少可以追溯到'''<font color="#ff8000"> 拉姆齐定理Ramsey's theorem</font>'''中的图论重组，由Erdős＆Szekeres（1935）在论文A combinatorial problem in geometry《几何组合问题》提出的。<ref>The earlier work by {{harvtxt|Kuratowski|1930}} characterizing [[planar graph]]s by forbidden complete and [[complete bipartite graph|complete bipartite]] subgraphs was originally phrased in topological rather than graph-theoretic terms.</ref>但实际上“团”一词是来自Luce＆Perry（1949）的论文A method of matrix analysis of group structure《群结构矩阵分析的一种方法》，后者在社交网络中使用完全子图来对人群进行建模；该模型定义在这群人中，所有人是互相认识的。其实团这一概念在诸多科学领域中均有所应用，尤其是在生物信息学。
A clique, C, in an undirected graph (V, E)}} is a subset of the vertices, , such that every two distinct vertices are adjacent. This is equivalent to the condition that the induced subgraph of G induced by C is a complete graph. In some cases, the term clique may also refer to the subgraph directly.
A clique, C, in an undirected graph (V, E)}} is a subset of the vertices, , such that every two distinct vertices are adjacent. This is equivalent to the condition that the induced subgraph of G induced by C is a complete graph. In some cases, the term clique may also refer to the subgraph directly.
在一个无向图''G =（V，E）''中，团''C''是顶点''V''的子集，记作：''C⊆V''，使得每两个不同的顶点相邻。因此团''C''可以看作是该无向图''G''的导出子集，进而将此过程视为由''C''引导出的完全子集的成立条件。在某些情况下，“团”这一术语也可以直接被引用为子集。
在一个无向图''G =（V，E）''中，团''C''是顶点''V''的子集，记作：''C⊆V''，使得每两个不同的顶点相邻。这可以视作，由''C''引导出的“G”内的导出图是完全图的条件。在某些情况下，“团”这一术语也可以直接指代子图。
A maximal clique is a clique that cannot be extended by including one more adjacent vertex, that is, a clique which does not exist exclusively within the vertex set of a larger clique. Some authors define cliques in a way that requires them to be maximal, and use other terminology for complete subgraphs that are not maximal.
A maximal clique is a clique that cannot be extended by including one more adjacent vertex, that is, a clique which does not exist exclusively within the vertex set of a larger clique. Some authors define cliques in a way that requires them to be maximal, and use other terminology for complete subgraphs that are not maximal.
'''<font color="#ff8000"> 极大团Maximal clique</font>'''也是一个团，但是该团不能通过合并更多的相邻节点而进行扩张，换句话说，该团不可能被更大的团所包含。有些学者将“极大团”定义为“团”，而建议用其他术语来重新定义“非极大团”。
'''<font color="#ff8000"> 极大团Maximal clique</font>'''也是一个团，但是不能通过合并更多的相邻节点而进行扩张，换句话说，该团不可能被更大团的顶点集合所包含。有些学者将“极大团”定义为“团”，用其他完全子团的术语来重新定义“非极大团”。
The intersection number of G is the smallest number of cliques that together cover all edges of G.
The intersection number of G is the smallest number of cliques that together cover all edges of G.
图''G''的'''<font color="#ff8000"> 交叉数Intersection number</font>'''是该图中能覆盖所有连边的最少团数。
图''G''的'''<font color="#ff8000"> 交叉数Intersection number</font>'''是该图中同时能覆盖所有连边的最少团数。
The clique cover number of a graph G is the smallest number of cliques of G whose union covers the set of vertices V of the graph.
The clique cover number of a graph G is the smallest number of cliques of G whose union covers the set of vertices V of the graph.
图''G''的'''<font color="#ff8000"> 团覆盖数Clique cover number</font>'''指的是能覆盖图''G''中所有顶点集''V''的最小团个数。
图''G''的'''<font color="#ff8000"> 团覆盖数Clique cover number</font>'''指的是能覆盖图''G''中所有顶点集''V''的最少团数。
The opposite of a clique is an independent set, in the sense that every clique corresponds to an independent set in the complement graph. The clique cover problem concerns finding as few cliques as possible that include every vertex in the graph.
The opposite of a clique is an independent set, in the sense that every clique corresponds to an independent set in the complement graph. The clique cover problem concerns finding as few cliques as possible that include every vertex in the graph.
作为团的对立面，'''<font color="#ff8000"> 独立集Independent set</font>'''的存在是指图中两两互相不相邻的顶点集合。因此，每一个团都对应于补图中的独立集。集团覆盖问题涉及到寻找尽可能少的团，其中就包括图中的每个顶点。
作为团的对立面，'''<font color="#ff8000"> 独立集Independent set</font>'''是指图中两两互相不相邻的顶点集合。因此，每一个团都对应于补图中的独立集。集团覆盖问题涉及到寻找尽可能少的团，其中包括图中的每个顶点。
A related concept is a biclique, a complete bipartite subgraph. The bipartite dimension of a graph is the minimum number of bicliques needed to cover all the edges of the graph.
A related concept is a biclique, a complete bipartite subgraph. The bipartite dimension of a graph is the minimum number of bicliques needed to cover all the edges of the graph.
'''<font color="#ff8000"> 二元团biclique</font>'''是团的相关概念，指的是一个完全二分图。该图的二分维度指的是覆盖该图所有连边的最少二元团数。
'''<font color="#ff8000"> 二元团biclique</font>'''是团的相关概念，指的是一个完全二分图。该图的二分维度指的是覆盖该图所有连边所需的最少二元团数。
== Mathematics 数学运算==
== Mathematics 数学运算==
*The [[Erdős–Faber–Lovász conjecture]] is another unproven statement relating graph coloring to cliques.
*The [[Erdős–Faber–Lovász conjecture]] is another unproven statement relating graph coloring to cliques.
* 托兰定理在'''<font color="#ff8000"> 稠密图Dense graph</font>'''中给出了团大小的下界。如果一个图具有足够多的边，则它必然含有较大的团。例如，每个具有n个顶点且超过个边的图形都必然含一个三顶点团。
* '''<font color="#ff8000"> 托兰定理 Turán's theorem </font>'''在'''<font color="#ff8000"> 稠密图Dense graph</font>'''中给出了团大小的下界。如果一个图具有足够多的边，则它必然含有较大的团。例如，每个具有n个顶点且超过<math>\scriptstyle\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\cdot\lceil\frac{n}{2}\rceil</math>个边的图形都必然含一个三顶点团。
* 拉姆齐定理指出，每个图或其补图都包含至少一个具有对数个顶点的团。
* 根据Moon＆Moser（1965）的研究结果，一个具有3n个顶点的图最多可以有3n个极大团。满足此极限要求的图被称为Moon＆Moser图K3,3，...，该图相当于托兰图的特例，是托兰定理中的极端情况。
* 根据Moon＆Moser（1965）的研究结果，一个具有3n个顶点的图最多可以有3<sup>''n''</sup>个极大团。满足此极限要求的图被称为Moon＆Moser图K3,3，...，该图相当于托兰图的特例，是托兰定理中的极端情况。
* 关于Hadwiger的猜想，目前尚未得到证实，其认为图中最大的团子式的大小（即Hadwiger数）与其色数相关。
* 关于Hadwiger的猜想，目前尚未得到证实，其认为图中最大的团子式的大小（即Hadwiger数）与其色数相关。
* Erdős–Faber–Lovász猜想是另一个未经证实的陈述，同样认为图的着色与团相关。
* Erdős–Faber–Lovász猜想是另一个未经证实的陈述，同样认为图的着色与团相关。
Several important classes of graphs may be defined or characterized by their cliques:
Several important classes of graphs may be defined or characterized by their cliques:
Several important classes of graphs may be defined or characterized by their cliques:
Several important classes of graphs may be defined or characterized by their cliques:
由"团"的特性来定义和区分"图"类别的相关描述：
由"团"的特性来定义和区分几种重要的"图"类别：
*A [[triangle-free graph]] is a graph that has no cliques other than its vertices and edges.
*A [[triangle-free graph]] is a graph that has no cliques other than its vertices and edges.
* '''<font color="#ff8000"> 聚类图Cluster graph</font>'''是图的一种特例，其连接的组成部分视为团。
* '''<font color="#ff8000"> 聚类图Cluster graph</font>'''是图的一种特例，其连接的组成部分是团。
* '''<font color="#ff8000"> 框图Block graph</font>'''是图的一种特例，其双连通的部分视为团。
* '''<font color="#ff8000"> 框图Block graph</font>'''是图的一种特例，其双连通的部分是团。
* '''<font color="#ff8000"> 弦图Chordal graph</font>'''是图的一种特例，其顶点可以按照最佳删除顺序进行排序；也就是说每个顶点的相邻点（即与其构成一个团的另一个顶点）为该顶点的后续点。
* '''<font color="#ff8000"> 弦图Chordal graph</font>'''是图的一种特例，其顶点可以按照最佳删除顺序进行排序；也就是说每个顶点的相邻点（即与其构成一个团的另一个顶点）为该顶点的后续点。
* '''<font color="#ff8000"> 余图Cograph</font>'''是图的一种特例，其所有的导出子图均具有以下特性：任何极大团与任何极大独立集都相交于一个独立点。
* '''<font color="#ff8000"> 余图Cograph</font>'''是图的一种特例，其所有的导出子图均具有以下特性：任何极大团与任何极大独立集都相交于一个独立点。
* '''<font color="#ff8000"> 区间图Interval graph</font>'''是图的一种特例，其极大团按照一定顺序排列，对于每个顶点v,所有包含其顶点v的团均连续排列。
* '''<font color="#ff8000"> 区间图Interval graph</font>'''是图的一种特例，其极大团按照一定顺序排列，对于每个顶点v,所有包含其顶点v的团均连续排列。
* '''<font color="#ff8000"> 线图Line graph</font>'''是图的一种特例，其连边可以被不相交的边团覆盖，从而使得每个顶点恰好属于该覆盖区域中的两个团。
* '''<font color="#ff8000"> 线图Line graph</font>'''是图的一种特例，其连边可以被边不相交的团覆盖，从而使得每个顶点恰好属于该覆盖区域中的两个团。
* '''<font color="#ff8000"> 完美图Perfect graph</font>'''是图的一种特例，其导出子图的色数等于此导出子图的团数。
* '''<font color="#ff8000"> 完美图Perfect graph</font>'''是图的一种特例，其导出子图的色数等于此导出子图的团数。
* '''<font color="#ff8000"> 分裂图Split graph</font>'''是图的一种特例，其中存在某个团包含至少一个顶点，该顶点为每条边的端点。
* '''<font color="#ff8000"> 分裂图Split graph</font>'''是图的一种特例，其中存在某个团包含至少一个顶点，该顶点为每条边的端点。
*The [[clique graph]] of a graph is the [[intersection graph]] of its maximal cliques.
*The [[clique graph]] of a graph is the [[intersection graph]] of its maximal cliques.
* 图G的'''<font color="#ff8000"> 团复形Clique complex</font>'''属于'''<font color="#ff8000"> 抽象复形Abstract simplicial complex</font>'''，其中图G的每个团都为单纯形。
* 图G的'''<font color="#ff8000"> 团复形Clique complex</font>'''属于'''<font color="#ff8000"> 抽象复形Abstract simplicial complex</font>'''，其中图G的每个团都为单纯形。
* '''<font color="#ff8000"> 单纯形图Simplex graph</font>'''可记为无向图''κ（G）''，它具有图G中每个团的一个顶点，以及一个连边，并且该连边通过一个顶点将两个不同的团相连。
* '''<font color="#ff8000"> 单纯形图Simplex graph</font>'''可记为无向图''κ（G）''，它具有图G中每个团的一个顶点，以及一个连边，并且该连边通过一个顶点将两个不同的团相连。它是中线图的一个示例，并且与图中团的中位数相关联：三个团A，B和C的中位团m（A，B，C），其顶点至少属于团A，B和C中的两个。<ref>{{harvtxt|Barthélemy|Leclerc|Monjardet|1986}}, page 200.</ref>
* '''<font color="#ff8000"> 团相加Clique-sum</font>'''指的是将两个图合并，沿着他们共有团的顶点和连边融合形成。
* '''<font color="#ff8000"> 团相加Clique-sum</font>'''指的是将两个图合并，沿着他们共有团的顶点和连边融合形成。
* '''<font color="#ff8000"> 团宽度Clique-width</font>'''是图复杂性的一个概念，是用来说明图结构复杂性的一个参数。该图由最少数量的不同定点标签组成，并通过以下操作建立：
* '''<font color="#ff8000"> 团宽度Clique-width</font>'''是图复杂性的一个概念，是用来说明图结构复杂性的一个参数。即通过不相交的并集构建图形所需的不同顶点标签的最小数量，通过以下操作建立：
# 将两个已标记的图拆开，使其不相交；
# 将两个已标记的图拆开，使其不相交；
# 重新标记；
# 重新标记；
# 根据给定的标记，连接所有成对顶点。
# 根据给定的标记，连接所有成对顶点。
团宽度为1的图就是团的不相交并集。
* 图的'''<font color="#ff8000"> 交叉数Intersection number</font>'''指的是能覆盖图所有连边所需的最小团数。
* 图的'''<font color="#ff8000"> 交叉数Intersection number</font>'''指的是能覆盖图所有连边所需的最小团数。
* 图G的'''<font color="#ff8000"> 团图Clique graph</font>'''指的是该图的极大团的交叉图Intersection graph。主要为了展示图G的团结构。
* 图G的'''<font color="#ff8000"> 团图Clique graph</font>'''指的是该图的极大团的交叉图。主要为了展示图G的团结构。
In computer science, the clique problem is the computational problem of finding a maximum clique, or all cliques, in a given graph. It is NP-complete, one of Karp's 21 NP-complete problems. It is also fixed-parameter intractable, and hard to approximate. Nevertheless, many algorithms for computing cliques have been developed, either running in exponential time (such as the Bron–Kerbosch algorithm) or specialized to graph families such as planar graphs or perfect graphs for which the problem can be solved in polynomial time.
In computer science, the clique problem is the computational problem of finding a maximum clique, or all cliques, in a given graph. It is NP-complete, one of Karp's 21 NP-complete problems. It is also fixed-parameter intractable, and hard to approximate. Nevertheless, many algorithms for computing cliques have been developed, either running in exponential time (such as the Bron–Kerbosch algorithm) or specialized to graph families such as planar graphs or perfect graphs for which the problem can be solved in polynomial time.
在计算机科学中，团问题指的是在给定图中查找最大团或所有团的计算问题。它是是Karp提出的21个NP完全问题之一。它也是固定参数难求解问题，甚至难以获得近似值。尽管如此，目前专业人士已经开发了诸多用于计算团的算法，包括可以在指数时间内求解的例如Bron–Kerbosch算法，以及在多项式时间内专门求解图族（例如平面图或完美图）这类问题的算法。
The word "clique", in its graph-theoretic usage, arose from the work of , who used complete subgraphs to model cliques (groups of people who all know each other) in social networks. The same definition was used by in an article using less technical terms. Both works deal with uncovering cliques in a social network using matrices. For continued efforts to model social cliques graph-theoretically, see e.g. , , and .
The word "clique", in its graph-theoretic usage, arose from the work of , who used complete subgraphs to model cliques (groups of people who all know each other) in social networks. The same definition was used by in an article using less technical terms. Both works deal with uncovering cliques in a social network using matrices. For continued efforts to model social cliques graph-theoretically, see e.g. , , and .
“团clique”一词在图形理论上的使用，来源于Luce＆Perry（1949）的研究《A method of matrix analysis of group structure》，他们通过完全子图对社交网络中的集团（彼此认识的人群）进行建模。之后Festinger（1949）在较少术语的文章《The analysis of sociograms using matrix algebra》中使用了相同的定义。这两部作品都通过使用矩阵的方法来在社交网络中处理团发现问题。之后，Alba（1973），Peay（1974）和Doreian＆Woodard（1994）以图理论为基础对社交团体继续进行了图形化建模。
“团clique”一词在图形理论上的使用，来源于Luce＆Perry（1949）的研究《A method of matrix analysis of group structure》，他们通过完全子图对社交网络中的集团（彼此认识的人群）进行建模。之后Festinger（1949）在论文The analysis of sociograms using matrix algebra《使用矩阵代数的社会图分析》中以较少的术语进行了相同的定义。这两部作品都通过使用矩阵处理社交网络中的团问题。之后，Alba（1973），Peay（1974）和Doreian＆Woodard（1994）以图理论为基础对社交团体继续进行了图形化建模。
Many different problems from bioinformatics have been modeled using cliques. For instance, model the problem of clustering gene expression data as one of finding the minimum number of changes needed to transform a graph describing the data into a graph formed as the disjoint union of cliques; discuss a similar biclustering problem for expression data in which the clusters are required to be cliques. uses cliques to model ecological niches in food webs. describe the problem of inferring evolutionary trees as one of finding maximum cliques in a graph that has as its vertices characteristics of the species, where two vertices share an edge if there exists a perfect phylogeny combining those two characters. model protein structure prediction as a problem of finding cliques in a graph whose vertices represent positions of subunits of the protein. And by searching for cliques in a protein-protein interaction network, found clusters of proteins that interact closely with each other and have few interactions with proteins outside the cluster. Power graph analysis is a method for simplifying complex biological networks by finding cliques and related structures in these networks.
Many different problems from bioinformatics have been modeled using cliques. For instance, model the problem of clustering gene expression data as one of finding the minimum number of changes needed to transform a graph describing the data into a graph formed as the disjoint union of cliques; discuss a similar biclustering problem for expression data in which the clusters are required to be cliques. uses cliques to model ecological niches in food webs. describe the problem of inferring evolutionary trees as one of finding maximum cliques in a graph that has as its vertices characteristics of the species, where two vertices share an edge if there exists a perfect phylogeny combining those two characters. model protein structure prediction as a problem of finding cliques in a graph whose vertices represent positions of subunits of the protein. And by searching for cliques in a protein-protein interaction network, found clusters of proteins that interact closely with each other and have few interactions with proteins outside the cluster. Power graph analysis is a method for simplifying complex biological networks by finding cliques and related structures in these networks.
在生物信息学领域，诸多不同问题都已经通过“团”来实现建模。例如，Ben-Dor，Shamir和Yakhini（1999）对基因表达数据的聚类问题进行了建模，通过将数据描述的图转换为含有不相交团的图，并在转变过程中找寻最小改变量。另外，Tanay，Sharan＆Shamir（2002）讨论了一个类似的表达数据的双聚类问题，在该问题中，群集被描述为“团”。Sugihara（1984）使用“团”对食物网中的生态位进行建模。Day＆Sankoff（1986）将推论进化树的问题描述为在具有该物种顶点特征的图形中找到最大团的问题之一，如果存在一个可能能将这两个特征完美结合，则两个顶点共享一条边。Samudrala＆Moult（1998）将蛋白质结构预测模型化为在图中顶点表示蛋白质亚基位置的图中发现团簇的问题。通过在蛋白质-蛋白质相互作用网络中寻找群体，Spirin＆Mirny（2003）发现了彼此紧密相互作用的蛋白质簇，并且与簇外部的蛋白质几乎没有相互作用。功率图分析是一种通过在这些网络中查找团簇和相关结构来简化复杂生物网络的方法。
在生物信息学领域，诸多不同问题都已经通过“团”来实现建模。例如，Ben-Dor，Shamir和Yakhini（1999）对基因表达数据的聚类问题进行了建模，通过将数据描述的图转换为含有不相交团的图，并在转变过程中找寻最小改变量。另外，Tanay，Sharan＆Shamir（2002）讨论了一个类似的表达数据的双聚类问题，在该问题中，群集被描述为“团”。Sugihara（1984）使用“团”对食物网中的生态位进行建模。Day＆Sankoff（1986）将推论进化树的问题描述为在具有该物种顶点特征的图形中找到最大团的问题之一，如果存在一个物种能将这两个特征完美结合，则两个顶点共享一条边。Samudrala＆Moult（1998）将蛋白质结构预测模型化为，
在顶点表示蛋白质亚基位置的图中发现团簇的问题。通过在蛋白质-蛋白质相互作用网络中寻找群体，Spirin＆Mirny（2003）发现了彼此紧密相互作用的蛋白质簇，并且与簇外部的蛋白质几乎没有相互作用。功率图分析是一种通过在这些网络中查找团簇和相关结构来简化复杂生物网络的方法。
In electrical engineering, uses cliques to analyze communications networks, and use them to design efficient circuits for computing partially specified Boolean functions. Cliques have also been used in automatic test pattern generation: a large clique in an incompatibility graph of possible faults provides a lower bound on the size of a test set. describe an application of cliques in finding a hierarchical partition of an electronic circuit into smaller subunits.
In electrical engineering, uses cliques to analyze communications networks, and use them to design efficient circuits for computing partially specified Boolean functions. Cliques have also been used in automatic test pattern generation: a large clique in an incompatibility graph of possible faults provides a lower bound on the size of a test set. describe an application of cliques in finding a hierarchical partition of an electronic circuit into smaller subunits.
在电气工程中，Prihar（1956）使用团来分析通信网络，Paull＆Unger（1959）使用它们来设计有效的电路，以计算部分指定的布尔函数。团也已用于自动测试模式生成：不兼容图中可能出现故障的大团为测试集的大小提供了下限。<ref>{{harvtxt|Hamzaoglu|Patel|1998}}.</ref>Cong＆Smith（1993）描述了团在划分电子电路分层中的应用。