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沙堆群的阶还是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理的一般版本，它是以吸收顶点为根的有向生成树的个数。

沙堆群的阶还是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理的一般版本，它是以吸收顶点为根的有向生成树的个数。

===一个扩展沙堆模型===

===扩展沙堆模型===

[[File:Harmonic Sandpile Dynamics.gif|thumb|由谐波函数<math>H=x*y</math>在规模为255x255的方格上引起的沙堆动力学。]]

[[File:Harmonic Sandpile Dynamics.gif|thumb|由谐波函数<math>H=x*y</math>在规模为255x255的方格上引起的沙堆动力学。]]

为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构，Lang和Shkolnikov在2019年提出了“一个扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同（即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />），除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下，网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变，即假设当沙粒数达到或超过4时，内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。

为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构，Lang和Shkolnikov在2019年提出了“扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同（即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />），除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下，网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变，即假设当沙粒数达到或超过4时，内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。