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第246行： − + − + − Do演算是一组可用于将一个表达式转换为另一个表达式的一系列操作，其总体目标是将包含do算子的表达式转换为不包含do算子的表达式。不含do算子的表达式可以仅从观察数据中估计出来，而无需进行实验干预；而实验干预可能是代价大，耗时长甚至是不道德的（例如，要求受试者吸烟）。Do演算的规则集是完备的，可用于推导出该系统中的每个真命题。有一种算法可以确定对于给定模型，是否可以在多项式时间内求解。+ 第261行：
第261行： − + − + − + − + − + − + 第311行：
第311行： − 定义：Y的潜在结果是“如果<math>X</math>被赋值为<math>x</math>，对于个体<math>u</math>来说<math>Y</math>会怎么样”。数学上可以表达为+ − + − + 第327行：
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具有相同的独立条件，因为<math> B </math>作为条件时<math> A </math>和<math> C </math>独立。但是，这两个模型的含义不同，还可能与数据不符（也就是说，如果观测数据显示在<math> B </math>作为条件后显示了<math> A </math>和<math> C </math>之间的关联，那么这两个模型都是不正确的）。相反，数据无法显示这两个模型中的哪个是正确的，因为它们具有相同的独立性条件。
具有相同的独立条件，因为<math> B </math>作为条件时<math> A </math>和<math> C </math>独立。但是，这两个模型的含义不同，还可能与数据不符（也就是说，如果观测数据显示在<math> B </math>作为条件后显示了<math> A </math>和<math> C </math>之间的关联，那么这两个模型都是不正确的）。相反，数据无法显示这两个模型中的哪个是正确的，因为它们具有相同的独立性条件。
将变量作为条件是进行假设实验的一种机制。将变量作为条件即在条件变量的给定值下分析其他变量的值。在第一个示例中，<math> B </math>作为条件意味着给定<math> B</math> 的取值的观察，此时不应显示出<math> A </math>和<math> C</math> 之间的依赖关系。如果存在这种依赖关系，则该模型是不正确的。非因果模型无法进行这种区分的，因为它们不会做出因果断言。
将变量作为条件是进行假设实验的一种机制。将变量作为条件即在条件变量的给定值下分析其他变量的值。在第一个示例中，<math> B </math>作为条件意味着给定<math> B</math> 的取值的观察，此时不应显示出<math> A </math>和<math> C</math> 之间的依赖关系。如果存在这种依赖关系，则该模型是不正确的。非因果模型无法进行这种区分的，因为它们不会做出因果断言。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=129}} 129–130]}}
=== 混杂/去混杂 Confounder/Deconfounder ===
=== 混杂/去混杂 Confounder/Deconfounder ===
设计相关性研究的基本要素是确定对所研究变量的潜在混杂影响。控制这些变量是为了消除这些影响。但是，这些混杂变量无法被先验地正确确定。因此，一项研究可能会控制不相关的变量，甚至（间接地）控制了所研究的变量。
设计相关性研究的基本要素是确定对所研究变量的潜在混杂影响。控制这些变量是为了消除这些影响。但是，这些混杂变量无法被先验地正确确定。因此，一项研究可能会控制不相关的变量，甚至（间接地）控制了所研究的变量。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=139}} 139]}}
因果模型为识别恰当的混杂变量提供了一种鲁棒的技术。形式上，如果“ <math>Y</math> 通过不经过<math> X</math> 的路径与 <math>Z</math> 关联”，则<math> Z</math> 是混杂因素。这些混杂变量通常可以使用其他研究所收集的数据来确定。数学上，如果
因果模型为识别恰当的混杂变量提供了一种鲁棒的技术。形式上，如果“ <math>Y</math> 通过不经过<math> X</math> 的路径与 <math>Z</math> 关联”，则<math> Z</math> 是混杂因素。这些混杂变量通常可以使用其他研究所收集的数据来确定。数学上，如果
:<math> P(Y|X) \neq P(Y|do(X))</math>
:<math> P(Y|X) \neq P(Y|do(X))</math>
那么X是Y的混杂因子。
那么X是Y的混杂因子。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=151}} 151]}}
在此之前，混杂因子的不正确的定义包括：
在此之前，混杂因子的不正确的定义包括：<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=152}} 152]}}
（1）“与<math>X</math>和<math>Y</math>都相关的任何变量。”
（1）“与<math>X</math>和<math>Y</math>都相关的任何变量。”
在模型中
在模型中
:<math> X \leftarrow A \rightarrow B \leftarrow C \rightarrow Y</math>
:<math> X \leftarrow A \rightarrow B \leftarrow C \rightarrow Y</math>
传统上，<math> B</math> 被认为是混杂因子，因为它与<math> X </math>和<math> Y</math> 关联，但 <math>B</math> 既不在因果路径上，也不是因果路径上任何节点的后代。控制 <math>B</math> 将使<math> B</math> 成为混杂因子。这被称为M偏差。
传统上，<math> B</math> 被认为是混杂因子，因为它与<math> X </math>和<math> Y</math> 关联，但 <math>B</math> 既不在因果路径上，也不是因果路径上任何节点的后代。控制 <math>B</math> 将使<math> B</math> 成为混杂因子。这被称为M偏差。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=161}} 161]}}
=== 后门调整 Backdoor Adjustment ===
=== 后门调整 Backdoor Adjustment ===
为了分析因果模型中<math>X</math>对<math>Y</math>的因果效应，我们需要针对所有混杂变量进行调整（去混杂）。为了确定混杂变量的集合，我们需要
为了分析因果模型中<math>X</math>对<math>Y</math>的因果效应，我们需要针对所有混杂变量进行调整（去混杂）。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=158}} 158]}}为了确定混杂变量的集合，我们需要
（1）通过该集合阻塞<math>X</math>和<math>Y</math>之间的每个非因果路径
（1）通过该集合阻塞<math>X</math>和<math>Y</math>之间的每个非因果路径
（3）不创建任何虚假路径
（3）不创建任何虚假路径
定义：从<math>X</math>到<math>Y</math>的后门路径是指，从从<math> X</math> 到<math> Y</math> 的任何以指向<math> X</math> 的箭头为开始的路径。
定义：从<math>X</math>到<math>Y</math>的后门路径是指，从从<math> X</math> 到<math> Y</math> 的任何以指向<math> X</math> 的箭头为开始的路径。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=158}} 158]}}
定义：给定模型中的一对有序变量<math>(X,Y)</math>，如果
定义：给定模型中的一对有序变量<math>(X,Y)</math>，如果
则称混杂变量集<math>Z</math>满足后门准则。
则称混杂变量集<math>Z</math>满足后门准则。
如果<math>(X,Y)</math>满足后门准则，则在控制混杂变量集<math> Z</math> 时<math> X</math> 和<math> Y</math> 是无混杂的。除了混杂变量外，没有必要控制其他任何变量。后门准则是找到混杂变量<math> Z </math>的集合的充分条件，但不是分析<math> X </math>对<math> Y </math>的因果效应必要条件。
如果<math>(X,Y)</math>满足后门准则，则在控制混杂变量集<math> Z</math> 时<math> X</math> 和<math> Y</math> 是无混杂的。除了混杂变量外，没有必要控制其他任何变量。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=158}} 158]}}后门准则是找到混杂变量<math> Z </math>的集合的充分条件，但不是分析<math> X </math>对<math> Y </math>的因果效应必要条件。
当因果模型是现实的合理表示并且满足后门准则时，则对于线性关系可以将'''<font color="#ff8000"> 偏回归系数 Partial Regression Coefficients </font>'''作为'''<font color="#ff8000"> （因果）路径系数 (Causal) Path Coefficients </font>'''。
当因果模型是现实的合理表示并且满足后门准则时，则对于线性关系可以将'''<font color="#ff8000"> 偏回归系数 Partial Regression Coefficients </font>'''作为'''<font color="#ff8000"> （因果）路径系数 (Causal) Path Coefficients </font>'''。<ref name=":1"/>{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=223}} 223]}} <ref>{{harvnb|Pearl|2009|loc=[http://bayes.cs.ucla.edu/BOOK-2K/ch3-3.pdf chapter 3-3 Controlling Confounding Bias]}}</ref>
:<math> P(Y|do(X))=\sum_z{P(Y|X,Z=z)P(Z=z)}</math>
:<math> P(Y|do(X))=\sum_z{P(Y|X,Z=z)P(Z=z)}</math>
如果阻塞路径的所有元素都不可观测，则后门路径不可计算，但是如果所有从<math> X </math>到<math> Y </math>的路径都有元素<math> z</math> ，并且<math> z</math> 到<math> Y </math>没有开放的路径，那么我们可以使用<math> z </math>的集合<math> Z </math>来测量<math> P(Y|do(X))</math>。实际上<math> Z </math>作为<math> X </math>的代理时有一些条件。
如果阻塞路径的所有元素都不可观测，则后门路径不可计算，但是如果所有从<math> X </math>到<math> Y </math>的路径都有元素<math> z</math> ，并且<math> z</math> 到<math> Y </math>没有开放的路径，那么我们可以使用<math> z </math>的集合<math> Z </math>来测量<math> P(Y|do(X))</math>。实际上<math> Z </math>作为<math> X </math>的代理时有一些条件。
定义：前门路径是这样的直接因果路径
定义：前门路径是这样的直接因果路径<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=226}} 226]}}
（1）<math>Z</math>阻断了所有<math>X</math>到<math>Y</math>的有向路径
（1）<math>Z</math>阻断了所有<math>X</math>到<math>Y</math>的有向路径
（3）所有<math>Z</math>到<math>Y</math>的后门路径都被<math>X</math>阻断
（3）所有<math>Z</math>到<math>Y</math>的后门路径都被<math>X</math>阻断
以下式子通过将前门路径上的变量集<math>Z</math>作条件，将含有do的表达式转化成不含do的表达式：
以下式子通过将前门路径上的变量集<math>Z</math>作条件，将含有do的表达式转化成不含do的表达式：<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=226}} 226]}}
:<math> P(Y|do(X))=\sum_z{[P(Z=z|X)\sum_x{P(Y|X=x,Z=z)P(X=x)}]}</math>
:<math> P(Y|do(X))=\sum_z{[P(Z=z|X)\sum_x{P(Y|X=x,Z=z)P(X=x)}]}</math>
假定上述概率涉及到的观察数据可用，则无需进行实验即可计算出最终概率，而不管是否存在其他混杂路径且无需进行后门调整。
假定上述概率涉及到的观察数据可用，则无需进行实验即可计算出最终概率，而不管是否存在其他混杂路径且无需进行后门调整。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=226}} 226]}}
== 干预 Interventions ==
== 干预 Interventions ==
=== 查询 Queries ===
=== 查询 Queries ===
查询是根据特定模型提出的问题。通常通过进行干预实验来回答这些问题。“干预”会设定模型中一个变量的值并观察结果。从数学上讲，此类查询采用以下形式（例子）：
查询是根据特定模型提出的问题。通常通过进行干预实验来回答这些问题。“干预”会设定模型中一个变量的值并观察结果。从数学上讲，此类查询采用以下形式（例子）：<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=8}} 8]}}
:<math> P(牙线价格|do(牙膏价格))</math>
:<math> P(牙线价格|do(牙膏价格))</math>
其中do算子表示该实验明确修改牙膏的价格。图模型上看，这可以阻止任何可能影响该变量的因果变量。这消除了所有指向实验变量（牙膏价格）的因果箭头。
其中do算子表示该实验明确修改牙膏的价格。图模型上看，这可以阻止任何可能影响该变量的因果变量。这消除了所有指向实验变量（牙膏价格）的因果箭头。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=40}} 40]}}
do算子也可以应用于多个变量（使它们取值固定）进行更复杂的查询。
do算子也可以应用于多个变量（使它们取值固定）进行更复杂的查询。
=== Do演算 Do-calculus ===
=== Do演算 Do-calculus ===
Do演算是一组可用于将一个表达式转换为另一个表达式的一系列操作，其总体目标是将包含do算子的表达式转换为不包含do算子的表达式。不含do算子的表达式可以仅从观察数据中估计出来，而无需进行实验干预；而实验干预可能是代价大，耗时长甚至是不道德的（例如，要求受试者吸烟）。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=231}} 231]}}Do演算的规则集是完备的，可用于推导出该系统中的每个真命题。有一种算法可以确定对于给定模型，是否可以在多项式时间内求解。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=238}} 238]}}
====do演算规则集 Do-Calculus Rules====
====do演算规则集 Do-Calculus Rules====
该版本是维基百科上do演算的表达方式。
该版本是维基百科上do演算的表达方式。
规则1用来增删观测：
规则1用来增删观测：<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=235}} 235]}}
:<math> P(Y|do(X),Z,W)=P(Y|do(X),Z)</math>
:<math> P(Y|do(X),Z,W)=P(Y|do(X),Z)</math>
在删除所有指向<math>X</math>的箭头的图中，<math>Z</math>阻塞了所有从<math>W</math>到<math>Y</math>的路径。
在删除所有指向<math>X</math>的箭头的图中，<math>Z</math>阻塞了所有从<math>W</math>到<math>Y</math>的路径。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=234}} 234]}}
规则2用来互换干预和观测：
规则2用来互换干预和观测：<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=235}} 235]}}
:<math> P(Y|do(X),Z)=P(Y|X,Z)</math>
:<math> P(Y|do(X),Z)=P(Y|X,Z)</math>
在原图中<math>Z</math>满足后门准则。
在原图中<math>Z</math>满足后门准则。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=234}} 234]}}
规则3用来增删干预：
规则3用来增删干预：<ref name=":1" />
:<math> P(Y|do(X))=P(Y)</math>
:<math> P(Y|do(X))=P(Y)</math>
在原图中<math>X</math>和<math>Y</math>间没有因果路径。
在原图中<math>X</math>和<math>Y</math>间没有因果路径。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=234}} 234]}} {{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=235}} 235]}}
=====版本2=====
=====版本2=====
===潜在结果 Potential Outcome ===
===潜在结果 Potential Outcome ===
定义：Y的潜在结果{{clarify|reason=What is an individual in this context?|date=January 2019}}是“如果<math>X</math>被赋值为<math>x</math>，对于个体<math>u</math>来说<math>Y</math>会怎么样”。数学上可以表达为<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=270}}
:<math> Y_X=Y_x(u)</math>
:<math> Y_X=Y_x(u)</math>
潜在结果是在个体<math>u</math>的层次定义的。
潜在结果是在个体<math>u</math>的层次定义的。<ref name=":1" />''{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=270}} 270]}}
传统的潜在结果是数据驱动的，而非模型驱动的，这限制了它辨析因果关系的能力。它将因果问题当作数据缺失问题，甚至在标准场景下都会给出错误的回答。
传统的潜在结果是数据驱动的，而非模型驱动的，这限制了它辨析因果关系的能力。它将因果问题当作数据缺失问题，甚至在标准场景下都会给出错误的回答。<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=275}} 275]}}
===因果推断 Causal inference ===
===因果推断 Causal inference ===
:<math> Y_x(u)</math>
:<math> Y_x(u)</math>
可以被这样计算：将因果模型<math>M</math>中指向<math>X</math>的箭头删除，计算特定的<math>x</math>的结果。形式上，
可以被这样计算：将因果模型<math>M</math>中指向<math>X</math>的箭头删除，计算特定的<math>x</math>的结果。形式上，<ref name=":1" />{{rp|[{{google books|plainurl=y|id=9H0dDQAAQBAJ|page=280}} 280]}}
:<math> Y_x(u)=Y_{M_x}(u)</math>
:<math> Y_x(u)=Y_{M_x}(u)</math>