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===Differential equations and mathematical physics微分方程与数学物理===

===微分方程与数学物理===

在为他关于微分方程组奇点研究的博士论文辩护后，庞加莱以“微分方程定义的曲线”（1881-1882）为题写了一系列回忆录。<ref>French: "Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle"</ref>在这些文章中，他建立了一个新的数学分支，叫做“[[微分方程定性理论]]”。Poincaré表明，即使微分方程不能用已知函数来求解，但是从方程的形式来看，可以找到关于解的性质和行为的丰富信息。特别地，Poincaré研究了积分曲线在平面上的轨迹性质，给出了奇异点（鞍点、焦点、中心、节点）的分类，引入了极限环和环指数的概念，证明了除某些特殊情况外，极限环的个数始终是有限的。庞加莱还发展了积分不变量和变分方程解的一般理论。对于有限差分方程，他开创了一个新的方向——解的渐近分析。他将这些成果应用于研究[[数学物理]]和[[天体力学]]的实际问题，所采用的方法是其拓扑学工作的基础。<ref>{{cite book|editor1-last=Kolmogorov|editor1-first = A.N.|editor2-first = A.P.|editor2-last= Yushkevich|title = Mathematics of the 19th century |volume= 3| pages = 162–174, 283|isbn= 978-3764358457|date = 24 March 1998}}</ref>

在为他关于微分方程组奇点研究的博士论文辩护后，庞加莱以“微分方程定义的曲线”（1881-1882）为题写了一系列回忆录。<ref>French: "Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle"</ref>在这些文章中，他建立了一个新的数学分支，叫做“[[微分方程定性理论]]”。Poincaré表明，即使微分方程不能用已知函数来求解，但是从方程的形式来看，可以找到关于解的性质和行为的丰富信息。特别地，Poincaré研究了积分曲线在平面上的轨迹性质，给出了奇异点（鞍点、焦点、中心、节点）的分类，引入了极限环和环指数的概念，证明了除某些特殊情况外，极限环的个数始终是有限的。庞加莱还发展了积分不变量和变分方程解的一般理论。对于有限差分方程，他开创了一个新的方向——解的渐近分析。他将这些成果应用于研究[[数学物理]]和[[天体力学]]的实际问题，所采用的方法是其拓扑学工作的基础。<ref>{{cite book|editor1-last=Kolmogorov|editor1-first = A.N.|editor2-first = A.P.|editor2-last= Yushkevich|title = Mathematics of the 19th century |volume= 3| pages = 162–174, 283|isbn= 978-3764358457|date = 24 March 1998}}</ref>