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第85行： − 统计力学是现代[[物理学]]的支柱之一。它描述了宏观观察量(如温度和压力)如何与围绕平均值波动的微观参数相联系。它将热力学量(比如[[热容]])与微观行为联系起来，而在[[经典热力学]]中，唯一可行的选择就是测量各种材料的热力学量，然后列成表格。<ref name="gibbs">{{cite book |last=Gibbs |first=Josiah Willard |author-link=Josiah Willard Gibbs |title=Elementary Principles in Statistical Mechanics |year=1902 |publisher=[[Charles Scribner's Sons]] |location=New York |title-link=Elementary Principles in Statistical Mechanics }}</ref>+ 第115行：
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</ref> 马克斯·普朗克 Max Planck命名{{math|''k''<sub>B</sub>}}为玻尔兹曼常数 Boltzmann constant'''。<ref>{{Citation
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统计力学是现代物理学的支柱之一。它描述了宏观观察量(如温度和压力)如何与围绕平均值波动的微观参数相联系。它将热力学量(比如热容)与微观行为联系起来，而在经典热力学中，唯一可行的选择就是测量各种材料的热力学量，然后列成表格。<ref name="gibbs">{{cite book |last=Gibbs |first=Josiah Willard |author-link=Josiah Willard Gibbs |title=Elementary Principles in Statistical Mechanics |year=1902 |publisher=[[Charles Scribner's Sons]] |location=New York |title-link=Elementary Principles in Statistical Mechanics }}</ref>
==个人简介==
==个人简介==
===学术生涯===
===学术生涯===
1869年，25岁的玻尔兹曼经斯特凡的推荐，被任命为斯蒂里亚省格拉茨大学的数学物理正教授。<ref>{{cite journal |url=http://www.kvarkadabra.net/2001/12/ludwig-boltzmann/ |title=Ludwig Boltzmann in prva študentka fizike in matematike slovenskega rodu |language=Slovenian |trans-title=Ludwig Boltzmann and the First Student of Physics and Mathematics of Slovene Descent |date=December 2001 |last=Južnič |first=Stanislav |website=Kvarkadabra.net |issue=12 |accessdate=17 February 2012}}</ref>1869年，他在海德堡与罗伯特·本森 [[Robert Bunsen]]和里奥·柯尼斯堡 [[Leo Königsberger]]一起工作数月，1871年在柏林与古斯塔夫·基尔霍夫 [[Gustav Kirchhoff]]和赫尔曼·冯·赫姆霍尔兹 [[Hermann von Helmholtz]]进行合作。1873年玻尔兹曼加入维也纳大学担任数学教授，直至1876年。
1869年，25岁的玻尔兹曼经斯特凡的推荐，被任命为斯蒂里亚省格拉茨大学的数学物理正教授。<ref>{{cite journal |url=http://www.kvarkadabra.net/2001/12/ludwig-boltzmann/ |title=Ludwig Boltzmann in prva študentka fizike in matematike slovenskega rodu |language=Slovenian |trans-title=Ludwig Boltzmann and the First Student of Physics and Mathematics of Slovene Descent |date=December 2001 |last=Južnič |first=Stanislav |website=Kvarkadabra.net |issue=12 |accessdate=17 February 2012}}</ref>1869年，他在海德堡与罗伯特·本森 Robert Bunsen和里奥·柯尼斯堡 Leo Königsberger一起工作数月，1871年在柏林与古斯塔夫·基尔霍夫 Gustav Kirchhoff和赫尔曼·冯·赫姆霍尔兹 Hermann von Helmholtz进行合作。1873年玻尔兹曼加入维也纳大学担任数学教授，直至1876年。
[[File:Boltzmann-grp.jpg|thumb|left|280px|Ludwig Boltzmann and co-workers in Graz, 1887: (standing, from the left) [[Walther Nernst|Nernst]], [[Heinrich Streintz|Streintz]], [[Svante Arrhenius|Arrhenius]], Hiecke, (sitting, from the left) Aulinger, [[Albert von Ettingshausen|Ettingshausen]], Boltzmann, [[Ignacij Klemenčič|Klemenčič]], Hausmanninger
[[File:Boltzmann-grp.jpg|thumb|left|280px|Ludwig Boltzmann and co-workers in Graz, 1887: (standing, from the left) [[Walther Nernst|Nernst]], [[Heinrich Streintz|Streintz]], [[Svante Arrhenius|Arrhenius]], Hiecke, (sitting, from the left) Aulinger, [[Albert von Ettingshausen|Ettingshausen]], Boltzmann, [[Ignacij Klemenčič|Klemenčič]], Hausmanninger
1887年，玻尔兹曼与他的合作者们在格拉茨（后排左起：能斯特，施特莱恩，阿伦尼乌斯，海耶克；前排左起：奥林格尔，埃廷斯豪森，玻尔兹曼，克莱门契奇，豪斯曼宁格）|链接=Special:FilePath/Boltzmann-grp.jpg]]
1887年，玻尔兹曼与他的合作者们在格拉茨（后排左起：能斯特，施特莱恩，阿伦尼乌斯，海耶克；前排左起：奥林格尔，埃廷斯豪森，玻尔兹曼，克莱门契奇，豪斯曼宁格）|链接=Special:FilePath/Boltzmann-grp.jpg]]
1872年，远在女性可以被奥地利大学录取之前，他遇到了亨里埃特·冯·艾根特勒 Henriette von Aigentler，这是一位有抱负的格拉茨数学和物理女教师。然而她被拒绝旁听大学讲座。玻尔兹曼支持她上诉的决定，之后上诉成功。1876年7月17日，路德维希·玻尔兹曼与亨里埃特结婚；他们共育有三女一子：亨里埃特 Henriette (1880年)、艾达 Ida (1884年)、爱尔莎 Else (1891年)、亚瑟·路德维希 Arthur Ludwig (1881年)。<ref>https://www.boltzmann.com/ludwig-boltzmann/biography/</ref>玻尔兹曼回到格拉茨担任实验物理学的主席。他在格拉茨的学生中有斯凡特·阿伦尼乌斯 [[Svante Arrhenius]]和瓦尔特·能斯特 [[Walther Nernst]]。<ref name="springer">{{Cite journal |quote=Paul Ehrenfest (1880–1933) along with Nernst, Arrhenius, and Meitner must be considered among Boltzmann's most outstanding students. |last1=Jäger |first1=Gustav |last2=Nabl |first2=Josef |last3=Meyer |first3=Stephan |date=April 1999 |title=Three Assistants on Boltzmann |journal=Synthese |volume=119 |issue=1–2 |pages=69–84 |doi=10.1023/A:1005239104047|s2cid=30499879 }}</ref><ref name="huji">{{cite web |url=http://chem.ch.huji.ac.il/history/nernst.htm |title=Walther Hermann Nernst |quote=Walther Hermann Nernst visited lectures by Ludwig Boltzmann |archive-url=https://web.archive.org/web/20080612133921/http://chem.ch.huji.ac.il/history/nernst.htm |archive-date=2008-06-12 }}</ref>
1872年，远在女性可以被奥地利大学录取之前，他遇到了亨里埃特·冯·艾根特勒 Henriette von Aigentler，这是一位有抱负的格拉茨数学和物理女教师。然而她被拒绝旁听大学讲座。玻尔兹曼支持她上诉的决定，之后上诉成功。1876年7月17日，路德维希·玻尔兹曼与亨里埃特结婚；他们共育有三女一子：亨里埃特 Henriette (1880年)、艾达 Ida (1884年)、爱尔莎 Else (1891年)、亚瑟·路德维希 Arthur Ludwig (1881年)。<ref>https://www.boltzmann.com/ludwig-boltzmann/biography/</ref>玻尔兹曼回到格拉茨担任实验物理学的主席。他在格拉茨的学生中有斯凡特·阿伦尼乌斯 Svante Arrhenius和瓦尔特·能斯特 Walther Nernst。<ref name="springer">{{Cite journal |quote=Paul Ehrenfest (1880–1933) along with Nernst, Arrhenius, and Meitner must be considered among Boltzmann's most outstanding students. |last1=Jäger |first1=Gustav |last2=Nabl |first2=Josef |last3=Meyer |first3=Stephan |date=April 1999 |title=Three Assistants on Boltzmann |journal=Synthese |volume=119 |issue=1–2 |pages=69–84 |doi=10.1023/A:1005239104047|s2cid=30499879 }}</ref><ref name="huji">{{cite web |url=http://chem.ch.huji.ac.il/history/nernst.htm |title=Walther Hermann Nernst |quote=Walther Hermann Nernst visited lectures by Ludwig Boltzmann |archive-url=https://web.archive.org/web/20080612133921/http://chem.ch.huji.ac.il/history/nernst.htm |archive-date=2008-06-12 }}</ref>
他十分享受在格拉茨度过的14个春秋，正是在那里，他发展了他的自然界的统计概念。
他十分享受在格拉茨度过的14个春秋，正是在那里，他发展了他的自然界的统计概念。
玻尔兹曼于1890年被任命为德国巴伐利亚慕尼黑大学理论物理学主席。
玻尔兹曼于1890年被任命为德国巴伐利亚慕尼黑大学理论物理学主席。
1894年，波尔兹曼接替他的老师约瑟夫·斯特凡 [[Joseph Stefan]] 成为维也纳大学理论物理学教授。
1894年，波尔兹曼接替他的老师约瑟夫·斯特凡 Joseph Stefan成为维也纳大学理论物理学教授。
===晚年生活与逝世缘由===
===晚年生活与逝世缘由===
晚年的玻尔兹曼致力于维护自己所创立的理论。<ref name="Carlo">Cercignani, Carlo (1998) Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms. Oxford University Press. {{ISBN|9780198501541}}</ref> 在维也纳，他和一些同事相处不很融洽，尤其是恩斯特·马赫Ernst Mach (1895年成为哲学和科学史教授)。1895年，格奥尔格·赫尔姆 Georg Helm 和威廉·奥斯特瓦尔德 Wilhelm Ostwald 在吕贝克的一次会议上提出了他们关于能量学的观点。他们认为宇宙的主要组成部分是能量，而不是物质。会议辩论中，玻尔兹曼的观点赢得了其他支持原子理论的物理学家的赞同。<ref>{{cite journal|author=Max Planck|title=Gegen die neure Energetik|journal=Annalen der Physik|volume=57|issue=1|year=1896|pages=72–78|doi=10.1002/andp.18962930107 |bibcode = 1896AnP...293...72P |url=https://zenodo.org/record/1423910}}</ref> 在威廉·奥斯特瓦尔德的邀请下，玻尔兹曼于1900年前往莱比锡大学，填补辞世的古斯塔夫·海因里希·维德曼 [[Gustav Heinrich Wiedemann]] 留下的空缺，出任物理学首席教授。在马赫因健康原因退休以后，玻尔兹曼于1902年返回维也纳。<ref name="Carlo" /> 1903年，玻尔兹曼与古斯塔夫·冯·埃舍里希[[Gustav von Escherich]]、埃米尔·穆勒 [[Emil Müller (mathematician)|Emil Müller]]一同创立了奥地利数学学会。他的门生包括：卡尔·普里贝拉姆 [[Karl Přibram]]（经济学家），保罗·埃伦费斯特 [[Paul Ehrenfest]]（理论物理学家），丽斯·迈特纳 [[Lise Meitner]]（物理学家，被爱因斯坦称为“德国居里夫人”）。<ref name="Carlo" />
晚年的玻尔兹曼致力于维护自己所创立的理论。<ref name="Carlo">Cercignani, Carlo (1998) Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms. Oxford University Press. {{ISBN|9780198501541}}</ref> 在维也纳，他和一些同事相处不很融洽，尤其是恩斯特·马赫Ernst Mach (1895年成为哲学和科学史教授)。1895年，格奥尔格·赫尔姆 Georg Helm 和威廉·奥斯特瓦尔德 Wilhelm Ostwald 在吕贝克的一次会议上提出了他们关于能量学的观点。他们认为宇宙的主要组成部分是能量，而不是物质。会议辩论中，玻尔兹曼的观点赢得了其他支持原子理论的物理学家的赞同。<ref>{{cite journal|author=Max Planck|title=Gegen die neure Energetik|journal=Annalen der Physik|volume=57|issue=1|year=1896|pages=72–78|doi=10.1002/andp.18962930107 |bibcode = 1896AnP...293...72P |url=https://zenodo.org/record/1423910}}</ref> 在威廉·奥斯特瓦尔德的邀请下，玻尔兹曼于1900年前往莱比锡大学，填补辞世的古斯塔夫·海因里希·维德曼 Gustav Heinrich Wiedemann留下的空缺，出任物理学首席教授。在马赫因健康原因退休以后，玻尔兹曼于1902年返回维也纳。<ref name="Carlo" /> 1903年，玻尔兹曼与古斯塔夫·冯·埃舍里希 Gustav von Escherich、埃米尔·穆勒 Emil Müller一同创立了奥地利数学学会。他的门生包括：卡尔·普里贝拉姆 Karl Přibram（经济学家），保罗·埃伦费斯特 Paul Ehrenfest（理论物理学家），丽斯·迈特纳 Lise Meitner（物理学家，被爱因斯坦称为“德国居里夫人”）。<ref name="Carlo" />
在维也纳大学，玻尔兹曼教授物理和哲学。他有关自然哲学的讲座颇受欢迎。开课当天，即使已经事先安排了最大的讲堂，现场依然是座无虚席，观者如山。讲座取得巨大成功，轰动全国，奥匈帝国皇帝也邀请玻尔兹曼入宫进行招待。<ref>The Boltzmann Equation: Theory and Applications, E.G.D. Cohen, W. Thirring, ed., Springer Science & Business Media, 2012</ref>
在维也纳大学，玻尔兹曼教授物理和哲学。他有关自然哲学的讲座颇受欢迎。开课当天，即使已经事先安排了最大的讲堂，现场依然是座无虚席，观者如山。讲座取得巨大成功，轰动全国，奥匈帝国皇帝也邀请玻尔兹曼入宫进行招待。<ref>The Boltzmann Equation: Theory and Applications, E.G.D. Cohen, W. Thirring, ed., Springer Science & Business Media, 2012</ref>
玻尔兹曼的气体动力学理论似乎假定了原子和分子的真实性，但几乎所有德国哲学家和许多科学家，如恩斯特·马赫和物理化学家威廉·奥斯特瓦尔德，都不相信它们的存在。<ref>{{cite book | last=Bronowski | first=Jacob | authorlink=Jacob Bronowski | title=The Ascent Of Man | chapter=World Within World | publisher=Little Brown & Co | year=1974 | isbn=978-0-316-10930-7 | page=265 | chapter-url=https://archive.org/details/ascentofmanbron00bron }}</ref> 在19世纪90年代，玻尔兹曼试图形成一个折中立场，使原子主义者和反原子主义者都可以在不争论原子存在与否的情况下研究物理学。他的解决方案是使用赫兹的理论，即原子是‘Bilder’，即模型或图片。原子论者可以认为这些图像是真实的原子，而反原子论者则认为这些图像代表了一种有用但不真实的模型，然而这两类人都不完全满意。此外，由于玻尔兹曼关于原子和分子真实存在的假设，特别是对于[[热力学第二定律]]的统计解释，奥斯特瓦尔德和许多“纯热力学”的捍卫者试图努力驳斥气体动力学理论和统计力学。
玻尔兹曼的气体动力学理论似乎假定了原子和分子的真实性，但几乎所有德国哲学家和许多科学家，如恩斯特·马赫和物理化学家威廉·奥斯特瓦尔德，都不相信它们的存在。<ref>{{cite book | last=Bronowski | first=Jacob | authorlink=Jacob Bronowski | title=The Ascent Of Man | chapter=World Within World | publisher=Little Brown & Co | year=1974 | isbn=978-0-316-10930-7 | page=265 | chapter-url=https://archive.org/details/ascentofmanbron00bron }}</ref> 在19世纪90年代，玻尔兹曼试图形成一个折中立场，使原子主义者和反原子主义者都可以在不争论原子存在与否的情况下研究物理学。他的解决方案是使用赫兹的理论，即原子是‘Bilder’，即模型或图片。原子论者可以认为这些图像是真实的原子，而反原子论者则认为这些图像代表了一种有用但不真实的模型，然而这两类人都不完全满意。此外，由于玻尔兹曼关于原子和分子真实存在的假设，特别是对于[[热力学第二定律]]的统计解释，奥斯特瓦尔德和许多“纯热力学”的捍卫者试图努力驳斥气体动力学理论和统计力学。
在世纪之交，玻尔兹曼的理论受到另一种哲学的威胁。一些物理学家，包括马赫的学生古斯塔夫·乔曼，把赫兹的理论解释为——所有的电磁行为都是连续的，就好像没有原子和分子的存在，同样所有的物理行为最终都是电磁性质的。1900年左右的这一运动使玻尔兹曼深感沮丧，因为这可能意味着他的动力学理论和热力学第二定律的统计解释的终结。
1901年马赫在维也纳辞职后，玻尔兹曼回到学校，并决定自己成为一名哲学家，以驳斥哲学上对物理学的异议，但他很快又受到了打击。1904年，在圣路易斯举行的一次物理会议上，大多数物理学家似乎都拒绝接受原子，他甚至没有被邀请参加物理部分。相反，他被困在“应用数学”的讨论会，他猛烈地攻击哲学，特别是在所谓的达尔文主义的基础上，但实际上是根据拉马克的后天特征遗传理论，人们从过去继承了糟糕的哲学，科学家很难克服这种遗传。'''
1901年马赫在维也纳辞职后，玻尔兹曼回到学校，并决定自己成为一名哲学家，以驳斥哲学上对物理学的异议，但他很快又受到了打击。1904年，在圣路易斯举行的一次物理会议上，大多数物理学家似乎都拒绝接受原子，他甚至没有被邀请参加物理部分。相反，他被困在“应用数学”的讨论会，他猛烈地攻击哲学，特别是在所谓的达尔文主义的基础上，但实际上是根据拉马克的后天特征遗传理论，人们从过去继承了糟糕的哲学，科学家很难克服这种遗传。'''
==物理学贡献==
==物理学贡献==
玻尔兹曼最重要的科学贡献是在动力学理论上，包括推动应用'''麦克斯韦-玻尔兹曼分布 [[Maxwell–Boltzmann distribution]]''' 描述气体中分子的速度。直至今日，'''麦克斯韦-玻尔兹曼统计 [[Maxwell–Boltzmann statistics]]''' 和'''玻尔兹曼分布 [[Boltzmann distribution]]''' 仍然是经典统计力学基石之一。他们也适用于解释其他不需要量子统计的现象，另外提供了关于温度内涵的洞见。
玻尔兹曼最重要的科学贡献是在动力学理论上，包括推动应用'''麦克斯韦-玻尔兹曼分布 Maxwell–Boltzmann distribution''' 描述气体中分子的速度。直至今日，'''麦克斯韦-玻尔兹曼统计 Maxwell–Boltzmann statistics''' 和'''玻尔兹曼分布 Boltzmann distribution''' 仍然是经典统计力学基石之一。他们也适用于解释其他不需要量子统计的现象，另外提供了关于温度内涵的洞见。
[[File:Boltzmanns-molecule.jpg|225px|thumb|right|Boltzmann's 1898 I<sub>2</sub> molecule diagram showing atomic "sensitive region" (α, β) overlap.
[[File:Boltzmanns-molecule.jpg|225px|thumb|right|Boltzmann's 1898 I<sub>2</sub> molecule diagram showing atomic "sensitive region" (α, β) overlap.
1898年玻尔兹曼所作碘分子示意图，其中原子“敏感区域”(α，β)发生重叠。|链接=Special:FilePath/Boltzmanns-molecule.jpg]]
1898年玻尔兹曼所作碘分子示意图，其中原子“敏感区域”(α，β)发生重叠。|链接=Special:FilePath/Boltzmanns-molecule.jpg]]
自1808年，约翰·道尔顿 John Dalton 提出原子理论以来、包括詹姆斯·克拉克·麦克斯韦James Clerk Maxwell（苏格兰）和乔赛亚·威拉德·吉布斯Josiah Willard Gibbs（美）在内，大多数化学家都认同玻尔兹曼对原子和分子的看法，但很多物理学家直到几十年后才认同这一观点。玻尔兹曼与当时著名的德国物理学杂志的编辑有长期的争执，后者拒绝让玻尔兹曼将原子和分子作为方便的理论结构之外的任何东西。玻尔兹曼去世几年后，佩兰 [[Jean Baptiste Perrin|Perrin]] 基于爱因斯坦 [[Albert Einstein|Einstein]] 1905年的理论研究，对胶体悬浮液进行了研究(1908-1909)，证实了阿伏伽德罗数 [[Avogadro's number]] 和玻尔兹曼常数的值，使世界相信微小粒子确实存在。
自1808年，约翰·道尔顿 John Dalton 提出原子理论以来、包括詹姆斯·克拉克·麦克斯韦James Clerk Maxwell（苏格兰）和乔赛亚·威拉德·吉布斯Josiah Willard Gibbs（美）在内，大多数化学家都认同玻尔兹曼对原子和分子的看法，但很多物理学家直到几十年后才认同这一观点。玻尔兹曼与当时著名的德国物理学杂志的编辑有长期的争执，后者拒绝让玻尔兹曼将原子和分子作为方便的理论结构之外的任何东西。玻尔兹曼去世几年后，佩兰 Perrin基于爱因斯坦 Einstein1905年的理论研究，对胶体悬浮液进行了研究(1908-1909)，证实了阿伏伽德罗数 Avogadro's number和玻尔兹曼常数的值，使世界相信微小粒子确实存在。
普朗克曾说：“熵和概率之间的对数关系是由玻尔兹曼在他的气体动力学理论中首次提出的”。<ref>Max Planck, p. 119.</ref> 也就是著名的熵公式：<ref>The concept of [[entropy]] was introduced by [[Rudolf Clausius]] in 1865. He was the first to enunciate the [[second law of thermodynamics]] by saying that "entropy always increases".</ref><ref>An alternative is the [[Information entropy#Formal definitions|information entropy]] definition introduced in 1948 by [[Claude Elwood Shannon|Claude Shannon]].[https://archive.is/20070503225307/http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html] It was intended for use in communication theory, but is applicable in all areas. It reduces to Boltzmann's expression when all the probabilities are equal, but can, of course, be used when they are not. Its virtue is that it yields immediate results without resorting to [[factorial]]s or [[Stirling's approximation]]. Similar formulas are found, however, as far back as the work of Boltzmann, and explicitly in [[H-theorem#Quantum mechanical H-theorem|Gibbs]] (see reference).</ref><math> S = k_B \ln W </math>，其中''k<sub>B</sub>'' 是玻尔兹曼常数，''W'' 代表德文中宏观状态出现的概率，<ref>{{cite book|last=Pauli| first=Wolfgang| title=Statistical Mechanics|publisher=MIT Press|location=Cambridge|year=1973|isbn=978-0-262-66035-8}}, p. 21</ref>更准确一些来说，是对应于系统宏观状态的可能微观状态的数量——在一个系统的(可观察的)热力学状态下的(不可观测的)“方式”的数量，可以通过分配不同的位置和动量给不同的分子来实现。玻尔兹曼的范式是N个相同粒子的理想气体，其中Ni处于第i个微观位置和动量条件(范围)。''W'' 可以用排列公式计算：<math> W = N! \prod_i \frac{1}{N_i!} </math>，其中''i'' 的范围包含所有可能的分子状态，<math>!</math>代表阶乘。分母中的“修正”解释了相同条件下难以区分的粒子。
普朗克曾说：“熵和概率之间的对数关系是由玻尔兹曼在他的气体动力学理论中首次提出的”。<ref>Max Planck, p. 119.</ref> 也就是著名的熵公式：<ref>The concept of [[entropy]] was introduced by [[Rudolf Clausius]] in 1865. He was the first to enunciate the [[second law of thermodynamics]] by saying that "entropy always increases".</ref><ref>An alternative is the [[Information entropy#Formal definitions|information entropy]] definition introduced in 1948 by [[Claude Elwood Shannon|Claude Shannon]].[https://archive.is/20070503225307/http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html] It was intended for use in communication theory, but is applicable in all areas. It reduces to Boltzmann's expression when all the probabilities are equal, but can, of course, be used when they are not. Its virtue is that it yields immediate results without resorting to [[factorial]]s or [[Stirling's approximation]]. Similar formulas are found, however, as far back as the work of Boltzmann, and explicitly in [[H-theorem#Quantum mechanical H-theorem|Gibbs]] (see reference).</ref><math> S = k_B \ln W </math>，其中''k<sub>B</sub>'' 是玻尔兹曼常数，''W'' 代表德文中宏观状态出现的概率，<ref>{{cite book|last=Pauli| first=Wolfgang| title=Statistical Mechanics|publisher=MIT Press|location=Cambridge|year=1973|isbn=978-0-262-66035-8}}, p. 21</ref>更准确一些来说，是对应于系统宏观状态的可能微观状态的数量——在一个系统的(可观察的)热力学状态下的(不可观测的)“方式”的数量，可以通过分配不同的位置和动量给不同的分子来实现。玻尔兹曼的范式是N个相同粒子的理想气体，其中Ni处于第i个微观位置和动量条件(范围)。''W'' 可以用排列公式计算：<math> W = N! \prod_i \frac{1}{N_i!} </math>，其中''i'' 的范围包含所有可能的分子状态，<math>!</math>代表阶乘。分母中的“修正”解释了相同条件下难以区分的粒子。
建立玻尔兹曼方程是用来描述理想气体的动力学规律的。
建立玻尔兹曼方程是用来描述理想气体的动力学规律的。
其中 ''ƒ'' 代表某一时刻单个粒子位置和动量的函数分布（见[[麦克斯韦-玻尔兹曼方程|麦克斯韦-玻尔兹曼分布]]），''F'' 代表力，''m'' 代表粒子的质量，''t'' 是时间，''v'' 是粒子的平均速度。
其中 ''ƒ'' 代表某一时刻单个粒子位置和动量的函数分布（见麦克斯韦-玻尔兹曼方程|麦克斯韦-玻尔兹曼分布），''F'' 代表力，''m'' 代表粒子的质量，''t'' 是时间，''v'' 是粒子的平均速度。
该方程描述了单粒子相空间中一团点密度分布的位置和动量概率分布的时空变化(见'''[[哈密顿力学]] [[Hamiltonian mechanics]]''')。左边的第一项表示分布函数的显式时间变化，而第二项给出空间变化，第三项描述作用于粒子的任何力响。方程右边表示碰撞的影响。
该方程描述了单粒子相空间中一团点密度分布的位置和动量概率分布的时空变化(见'''哈密顿力学 Hamiltonian mechanics''')。左边的第一项表示分布函数的显式时间变化，而第二项给出空间变化，第三项描述作用于粒子的任何力响。方程右边表示碰撞的影响。
原则上，在给定适当的边界条件下，上述方程完全描述了气体粒子系综的动力学。这个一阶微分方程看似简单的，因为ƒ可以表示一个任意的单粒子分布函数。另外，作用在粒子上的力直接取决于速度分布函数ƒ。然而玻尔兹曼方程是出了名的难以进行积分。大卫·希尔伯特 [[David Hilbert]] 花了数年时间试图解决这个问题，但没有实现任何真正的突破。
原则上，在给定适当的边界条件下，上述方程完全描述了气体粒子系综的动力学。这个一阶微分方程看似简单的，因为ƒ可以表示一个任意的单粒子分布函数。另外，作用在粒子上的力直接取决于速度分布函数ƒ。然而玻尔兹曼方程是出了名的难以进行积分。大卫·希尔伯特 David Hilbert花了数年时间试图解决这个问题，但没有实现任何真正的突破。
玻尔兹曼假设的碰撞项的形式是近似的。然而，对于理想气体，玻尔兹曼方程的标准查普曼-恩斯库格解是非常精确的；只有在激波条件下才会得到错误的结果。
玻尔兹曼多年来一直试图用他的气体动力学方程——著名的“H”定理来“证明”热力学第二定律。然而，他在公式化碰撞项时所做的关键假设是“分子混沌”，该假设打破了时间反转对称性，这对于任何可能指向第二定律的内容都是必要的。玻尔兹曼表面上的成功仅仅来自概率假设，所以他与洛施密特 [[Johann Josef Loschmidt|Loschmidt]] 和其他人就'''洛施密特悖论 [[Loschmidt's paradox]]''' 的长期争论最终以他的失败告终。
玻尔兹曼多年来一直试图用他的气体动力学方程——著名的“H”定理来“证明”热力学第二定律。然而，他在公式化碰撞项时所做的关键假设是“分子混沌”，该假设打破了时间反转对称性，这对于任何可能指向第二定律的内容都是必要的。玻尔兹曼表面上的成功仅仅来自概率假设，所以他与洛施密特 Loschmidt和其他人就'''洛施密特悖论 Loschmidt's paradox''' 的长期争论最终以他的失败告终。
最后，在20世纪70年代科恩 E.G.D. Cohen和多夫曼 J. R. Dorfman证明了玻尔兹曼方程在高密度上的系统(幂级数)推广在数学上是不可能的。因此，稠密气体和液体的'''非平衡统计力学 [[non-equilibrium statistical mechanics|nonequilibrium statistical mechanics]]'''侧重于'''格林-久保亮五关系 [[Green–Kubo relations]]'''、'''涨落定理 [[fluctuation theorem|Fluctuation theorem]]''' 和其他方法。
最后，在20世纪70年代科恩 E.G.D. Cohen和多夫曼 J. R. Dorfman证明了玻尔兹曼方程在高密度上的系统(幂级数)推广在数学上是不可能的。因此，稠密气体和液体的'''非平衡统计力学 nonequilibrium statistical mechanics'''侧重于'''格林-久保亮五关系 Green–Kubo relations'''、'''涨落定理 fluctuation theorem|Fluctuation theorem''' 和其他方法。
==拓展阅读==
==拓展阅读==
*Roman Sexl & John Blackmore (eds.), "Ludwig Boltzmann – Ausgewahlte Abhandlungen", (Ludwig Boltzmann Gesamtausgabe, Band 8), Vieweg, Braunschweig, 1982.
*Roman Sexl & John Blackmore (eds.), "Ludwig Boltzmann – Ausgewahlte Abhandlungen", (Ludwig Boltzmann Gesamtausgabe, Band 8), Vieweg, Braunschweig, 1982.
*John Blackmore (ed.), "Ludwig Boltzmann – His Later Life and Philosophy, 1900–1906, Book One: A Documentary History", Kluwer, 1995. {{ISBN|978-0-7923-3231-2}}
*John Blackmore (ed.), "Ludwig Boltzmann – His Later Life and Philosophy, 1900–1906, Book One: A Documentary History", Kluwer, 1995.
*John Blackmore, "Ludwig Boltzmann – His Later Life and Philosophy, 1900–1906, Book Two: The Philosopher", Kluwer, Dordrecht, Netherlands, 1995. {{ISBN|978-0-7923-3464-4}}
*John Blackmore, "Ludwig Boltzmann – His Later Life and Philosophy, 1900–1906, Book Two: The Philosopher", Kluwer, Dordrecht, Netherlands, 1995.
*John Blackmore (ed.), "Ludwig Boltzmann – Troubled Genius as Philosopher", in Synthese, Volume 119, Nos. 1 & 2, 1999, pp. 1–232.
*John Blackmore (ed.), "Ludwig Boltzmann – Troubled Genius as Philosopher", in Synthese, Volume 119, Nos. 1 & 2, 1999, pp. 1–232.
*{{cite book|last1=Blundell|first1=Stephen|last2=Blundell|first2=Katherine M.|title=Concepts in Thermal Physics|url=https://books.google.com/books?id=vuBHXwAACAAJ|year=2006|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-856769-1|page=29}}
*{{cite book|last1=Blundell|first1=Stephen|last2=Blundell|first2=Katherine M.|title=Concepts in Thermal Physics|url=https://books.google.com/books?id=vuBHXwAACAAJ|year=2006|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-856769-1|page=29}}
*{{cite book | last = Cercignani | first = Carlo | author-link = Carlo Cercignani | title = Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms | publisher = Oxford University Press | year = 1998 | isbn = 9780198501541 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/ludwigboltzmannm0000cerc }}
*{{cite book | last = Cercignani | first = Carlo | author-link = Carlo Cercignani | title = Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms | publisher = Oxford University Press | year = 1998 | isbn = 9780198501541 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/ludwigboltzmannm0000cerc }}
*{{Cite book |last=Darrigol |first = Olivier |title = Atoms, Mechanics, and Probability: Ludwig Boltzmann's Statistico-Mechanical |publisher = [[Oxford University Press]] |year = 2018 |url = https://books.google.com/books?id=APBIDwAAQBAJ&pg=PA376 |isbn = 978-0-19-881617-1}}
*{{Cite book |last=Darrigol |first = Olivier |title = Atoms, Mechanics, and Probability: Ludwig Boltzmann's Statistico-Mechanical |publisher = [[Oxford University Press]] |year = 2018 |url = https://books.google.com/books?id=APBIDwAAQBAJ&pg=PA376 |isbn = 978-0-19-881617-1}}
*[[Paul Ehrenfest|Ehrenfest, P.]] & [[Tatyana Afanasyeva|Ehrenfest, T.]] (1911) "Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik", in [[Klein's encyclopedia|''Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen'']] Band IV, 2. Teil ( F. Klein and C. Müller (eds.). Leipzig: Teubner, pp. 3–90. Translated as ''The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics''. New York: Cornell University Press, 1959. {{ISBN|0-486-49504-3}}
*[[Paul Ehrenfest|Ehrenfest, P.]] & [[Tatyana Afanasyeva|Ehrenfest, T.]] (1911) "Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik", in [[Klein's encyclopedia|''Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen'']] Band IV, 2. Teil ( F. Klein and C. Müller (eds.). Leipzig: Teubner, pp. 3–90. Translated as ''The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics''. New York: Cornell University Press, 1959.
*{{cite journal | last=Everdell | first=William R | year=1988 | title=The Problem of Continuity and the Origins of Modernism: 1870–1913 | journal=History of European Ideas | volume=9 | issue=5 | pages=531–552 | doi=10.1016/0191-6599(88)90001-0 }}
*{{cite journal | last=Everdell | first=William R | year=1988 | title=The Problem of Continuity and the Origins of Modernism: 1870–1913 | journal=History of European Ideas | volume=9 | issue=5 | pages=531–552 | doi=10.1016/0191-6599(88)90001-0 }}
*{{cite book | last=Everdell | first=William R | year=1997 | title=The First Moderns | url=https://archive.org/details/firstmodernsprof00ever | url-access=registration | edition= | publisher=University of Chicago Press | location=Chicago }}
*{{cite book | last=Everdell | first=William R | year=1997 | title=The First Moderns | url=https://archive.org/details/firstmodernsprof00ever | url-access=registration | edition= | publisher=University of Chicago Press | location=Chicago }}
*{{cite journal | last=Lotka | first=A. J. | year=1922 | title=Contribution to the Energetics of Evolution | doi= 10.1073/pnas.8.6.147 | journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. | volume=8 | issue=6 | pages=147–51 | pmid=16576642 | pmc=1085052 |bibcode = 1922PNAS....8..147L }}
*{{cite journal | last=Lotka | first=A. J. | year=1922 | title=Contribution to the Energetics of Evolution | doi= 10.1073/pnas.8.6.147 | journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. | volume=8 | issue=6 | pages=147–51 | pmid=16576642 | pmc=1085052 |bibcode = 1922PNAS....8..147L }}
*{{cite book | last= Meyer| first=Stefan | authorlink=Stefan Meyer (physicist) | title=Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage 20. Februar 1904 | url= https://archive.org/details/festschriftludw00meyegoog| publisher=J. A. Barth | year=1904 |language = German }}
*{{cite book | last= Meyer| first=Stefan | authorlink=Stefan Meyer (physicist) | title=Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage 20. Februar 1904 | url= https://archive.org/details/festschriftludw00meyegoog| publisher=J. A. Barth | year=1904 |language = German }}
*{{cite book | last=Planck | first=Max | authorlink=Max Planck | title=The Theory of Heat Radiation | url=https://archive.org/details/theoryofheatradi00planrich | publisher=P. Blakiston Son & Co | year=1914}} English translation by Morton Masius of the 2nd ed. of ''Waermestrahlung''. Reprinted by Dover (1959) & (1991). {{ISBN|0-486-66811-8}}
*{{cite book | last=Planck | first=Max | authorlink=Max Planck | title=The Theory of Heat Radiation | url=https://archive.org/details/theoryofheatradi00planrich | publisher=P. Blakiston Son & Co | year=1914}} English translation by Morton Masius of the 2nd ed. of ''Waermestrahlung''. Reprinted by Dover (1959) & (1991).
*{{cite book | last=Tolman | first=Richard C. | title=The Principles of Statistical Mechanics | publisher=Oxford University Press | year=1938}} Reprinted: Dover (1979). {{ISBN|0-486-63896-0}}
*{{cite book | last=Tolman | first=Richard C. | title=The Principles of Statistical Mechanics | publisher=Oxford University Press | year=1938}} Reprinted: Dover (1979).
==外部链接{{Sister project links|wikt=no|commons=Ludwig Boltzmann|b=no|n=no|q=Ludwig Boltzmann|s=Author:Ludwig Eduard Boltzmann|v=no|species=no|voy=no}}==
==外部链接{{Sister project links|wikt=no|commons=Ludwig Boltzmann|b=no|n=no|q=Ludwig Boltzmann|s=Author:Ludwig Eduard Boltzmann|v=no|species=no|voy=no}}==