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→不完全性定理
1. 如果一个（逻辑或公理形式）形式系统是一致性的，它的逻辑就不可能是完整的。
1. 如果一个（逻辑或公理形式）形式系统是一致性的，它的逻辑就不可能是完整的。
在他1932年的两页论文中，哥德尔反驳了直觉主义逻辑的有限值性。在证明中，他隐含地使用了后来被称为的<font color="#ff8000"> 哥德尔-达米特中间逻辑 Gödel–Dummett intermediate logic</font>（或哥德尔模糊逻辑）。
在他1932年的两页论文中，哥德尔反驳了直觉主义逻辑的有限值性。在证明中，他隐含地使用了后来被称为的'''哥德尔-达米特中间逻辑 Gödel–Dummett intermediate logic'''（或哥德尔模糊逻辑）。
2. 公理的一致性不能在它们自己的系统内得到证明。
2. 公理的一致性不能在它们自己的系统内得到证明。
事后看来，不完全性定理的核心思想相当简单。哥德尔基本上构造了一个公式，证明它在给定的形式系统中是不可证明的。如果这是可以证明的，那就错了。因此，总会有至少一个真实但无法证明的陈述。也就是说，对于任何可计算可枚举的算术公理集（也就是说，一个原则上可以由一台具有无限资源的理想计算机打印出来的集合），都有一个公式是正确的，但在该系统中是不可证明的。然而，为了精确起见，哥德尔需要产生一种方法来编码（作为自然数）语句、证明和可证明性的概念；他使用一种称为'''哥德尔编码 Gödel numbering'''来实现这一点。
事后看来，不完全性定理的核心思想相当简单。哥德尔基本上构造了一个公式，证明它在给定的形式系统中是不可证明的。如果这是可以证明的，那就错了。因此，总会有至少一个真实但无法证明的陈述。也就是说，对于任何可计算可枚举的算术公理集（也就是说，一个原则上可以由一台具有无限资源的理想计算机打印出来的集合），都有一个公式是正确的，但在该系统中是不可证明的。然而，为了精确起见，哥德尔需要产生一种方法来编码（作为自然数）语句、证明和可证明性的概念；他使用一种称为'''哥德尔编码 Gödel numbering'''来实现这一点。