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第10行： − 突变论起源于20世纪60年代法国数学家René Thom的一系列工作。得益于Christopher Zeeman的努力，突变论在20世纪70年代变得非常流行。突变论考虑这样一种特殊情况:长期稳定的平衡可以由一个光滑的、定义明确的势函数([[李雅普诺夫函数]])的最小值确定。+ 第49行：
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第60行： − 它们产生强烈的引力透镜效应事件，为天文学家提供了探测黑洞和宇宙暗物质的方法之一---- 通过引力透镜效应现象产生遥远类星体的多幅图像。<ref>A.O. Petters, H. Levine and J. Wambsganss, Singularity Theory and Gravitational Lensing", Birkhäuser Boston (2001)</ref>+
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分岔理论对环境中微小变化导致系统动力学行为发生突变的现象进行研究和分类，对动力学方程的解如何依赖方程中的参数进行定性分析。这可能会导致突然而剧烈的变化，例如，无法对时间和规模进行预测的滑坡现象。
分岔理论对环境中微小变化导致系统动力学行为发生突变的现象进行研究和分类，对动力学方程的解如何依赖方程中的参数进行定性分析。这可能会导致突然而剧烈的变化，例如，无法对时间和规模进行预测的滑坡现象。
突变论起源于20世纪60年代法国数学家[[René Thom]]的一系列工作。得益于Christopher Zeeman的努力，突变论在20世纪70年代变得非常流行。突变论考虑这样一种特殊情况:长期稳定的平衡可以由一个光滑的、定义明确的势函数([[李雅普诺夫函数]])的最小值确定。
非线性系统某些参数的微小变化可以导致平衡态的出现或消失，或者从吸引变为排斥，又或相反，从而导致系统行为产生巨大而突然的变化。然而，在较大的参数空间中，突变论揭示了这种分叉点往往作为定性几何结构的一部分出现。
非线性系统某些参数的微小变化可以导致平衡态的出现或消失，或者从吸引变为排斥，又或相反，从而导致系统行为产生巨大而突然的变化。然而，在较大的参数空间中，突变论揭示了这种分叉点往往作为定性几何结构的一部分出现。
一个著名的建议是尖点灾难可以用来模拟一只受到压力的狗的行为，它可能会变得胆怯或生气。<ref>E.C. Zeeman, [http://www.gaianxaos.com/pdf/dynamics/zeeman-catastrophe_theory.pdf Catastrophe Theory], ''Scientific American'', April 1976; pp. 65–70, 75–83</ref> 建议是，在适度的压力({{nowrap|''a'' > 0}}) ，狗将展示一个平稳过渡的反应，从吓唬到愤怒，这取决于它是如何挑起的。但是较高的应力水平对应于向该区域的移动({{nowrap|''a'' < 0}})。然后，如果狗开始恐吓，它会继续恐吓，因为它被激怒越来越多，直到它达到’折叠’点，其会突然，不间断地跳转到愤怒的模式。一旦进入“愤怒”模式，即使直接刺激参数大大降低，它也会继续愤怒。
一个著名的建议是尖点灾难可以用来模拟一只受到压力的狗的行为，它可能会变得胆怯或生气。<ref>E.C. Zeeman, [http://www.gaianxaos.com/pdf/dynamics/zeeman-catastrophe_theory.pdf Catastrophe Theory], ''Scientific American'', April 1976; pp. 65–70, 75–83</ref> 建议是，在适度的压力({{nowrap|''a'' > 0}}) ，狗将展示一个平稳过渡的反应，从吓唬到愤怒，这取决于它是如何挑起的。但是较高的应力水平对应于向该区域的移动({{nowrap|''a'' < 0}})。然后，如果狗开始恐吓，它会继续恐吓，因为它被激怒越来越多，直到它达到“折叠”点，其会突然，不间断地跳转到愤怒的模式。一旦进入“愤怒”模式，即使直接刺激参数大大降低，它也会继续愤怒。
一个简单的机械系统，“塞曼灾难机器” ，很好地说明了尖点灾难。在这种装置中，弹簧末端位置的平滑变化可以引起附加轮转动位置的突然变化。<ref>Cross, Daniel J., [http://lagrange.physics.drexel.edu/flash/zcm/ Zeeman's Catastrophe Machine in Flash]</ref>
一个简单的机械系统，“塞曼灾难机器” ，很好地说明了尖点灾难。在这种装置中，弹簧末端位置的平滑变化可以引起附加轮转动位置的突然变化。<ref>Cross, Daniel J., [http://lagrange.physics.drexel.edu/flash/zcm/ Zeeman's Catastrophe Machine in Flash]</ref>
折叠分岔和尖点几何是迄今为止突变理论最重要的实际结果。它们是在物理学、工程学和数学模型中反复出现的模式。
折叠分岔和尖点几何是迄今为止突变理论最重要的实际结果。它们是在物理学、工程学和数学模型中反复出现的模式。
它们产生强烈的引力透镜效应事件，为天文学家提供了探测黑洞和宇宙暗物质的方法之一——通过引力透镜效应现象产生遥远类星体的多幅图像。<ref>A.O. Petters, H. Levine and J. Wambsganss, Singularity Theory and Gravitational Lensing", Birkhäuser Boston (2001)</ref>