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自由度 (查看源代码)

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在物理和化学中，'''~~~~自由度 Degree of freedom~~~~'''指的是形式化描述某一物理系统的状态时，一个独立的物理量。某一系统所有状态的集合称为该系统的'''相空间 Phase space'''，该系统的自由度便是相空间的维数。

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在物理和化学中，'''自由度 Degree of freedom'''指的是形式化描述某一物理系统的状态时，一个独立的物理量。某一系统所有状态的集合称为该系统的'''相空间 Phase space'''，该系统的自由度便是相空间的维数。

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'''粒子 particle '''在'''三维 three-dimensional '''空间中的位置需要三个位置坐标来标识。

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'''粒子 particle '''在'''三维 three-dimensional '''空间中的位置需要三个位置坐标来标识。

同样地，我们也能够根据三个速度分量来描述粒子运动的方向和速度，每个速度分量都参照该空间的三个维度。

如果系统的时间演变是确定的，其中某一时刻的状态唯一地确定其过去和未来的位置和速度随时间的变化，则该系统具有六个自由度。如果将粒子的运动限制在更低的维度，例如，粒子必须沿着一条线或在固定的表面上移动，那么系统的自由度则小于6。另一方面，如果一个系统带有可旋转或振动的扩展对象，那么它的自由度将大于6。

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在经典力学中，任何给定时间下'''质点 Point particle'''的状态，通常是用'''拉格朗日形式 Lagrangian formalism '''中的位置和速度坐标来描述，或者用'''哈密顿形式 Hamiltonian formalism '''中的位置和动量坐标来描述。

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在经典力学中，任何给定时间下'''质点 Point particle'''的状态，通常是用'''拉格朗日形式 Lagrangian formalism '''中的位置和速度坐标来描述，或者用'''哈密顿形式 Hamiltonian formalism '''中的位置和动量坐标来描述。

在统计力学中，自由度指的是在描述某个系统的微观状态时，单个的标量数。<ref name=":0">{{cite book |last=Reif |first=F. |title=Fundamentals of Statistical and Thermal Physics |year=2009 |publisher=Waveland Press, Inc. |location=Long Grove, IL |isbn=1-57766-612-7 |page=51}}</ref>某个系统所有微观状态的规格参数都是该系统相空间中的一个点。

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在化学的三维'''理想链 Ideal chain'''模型中，需要两个角度来描述每个'''单体 monomer '''的方向。

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在化学的三维'''理想链 Ideal chain'''模型中，需要两个角度来描述每个'''单体 monomer '''的方向。

指定二自由度通常很有用。因为它们有助于建立系统能量的二次函数。

第39行：第39行：

其等式含有一个未知数{{math|''z''2}}，不过我们可以对其求解。因此实际上是允许{{math|''x''1}}, {{math|''x''2}}, {{math|''y''1}}, {{math|''y''2}}, {{math|''z''1}}, 或者 {{math|''z''2}}其中之一是未知的。

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与经典的'''能量均分定理 Equipartition theorem'''相反，在室温下，分子的振动对'''热容量 Heat capacity'''的贡献通常可忽略不计。这是因为这些自由度被冻结了，因为能量本征值之间的间隔超过了与环境温度（kBT）相对应的能量。在下表中，这些自由度均被忽略，因为它们对总能量的影响非常小。只有平移和旋转自由度对'''热容比 Heat capacity ratio'''有些许贡献（等量）。这就是为什么在室温下，单原子气体 γ=5/3和双原子气体 γ=7/5的原因。

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与经典的'''能量均分定理 Equipartition theorem'''相反，在室温下，分子的振动对'''热容量 Heat capacity'''的贡献通常可忽略不计。这是因为这些自由度被冻结了，因为能量本征值之间的间隔超过了与环境温度（kBT）相对应的能量。在下表中，这些自由度均被忽略，因为它们对总能量的影响非常小。只有平移和旋转自由度对'''热容比 Heat capacity ratio'''有些许贡献（等量）。这就是为什么在室温下，单原子气体 γ=5/3和双原子气体 γ=7/5的原因。

不过，在非常高的温度下，差不多在振动温度(Θvib)的量级上，振动运动就不能被忽略了。

第91行：第91行：

*如果<math>E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度不是独立的。其中{{math|''X''1}}和{{math|''X''2}}的乘积是描述两个自由度之间相互作用的耦合项。

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这里的i值可以取1到N，第i个自由度Xi的值依据'''波尔兹曼分布 Boltzmann distribution '''。其'''概率密度函数 Probability density function'''如下：

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这里的i值可以取1到N，第i个自由度Xi的值依据'''波尔兹曼分布 Boltzmann distribution '''。其'''概率密度函数 Probability density function'''如下：

:<math>p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}</math>,

第119行：第119行：

*如果<math>E = X_1^2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度既是独立的并且是二次的。

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例如，在牛顿力学中，一个二自由度的动力学系统是由一组具有恒定系数的'''齐次线性微分方程 homogeneous linear differential equations '''控制的。

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例如，在牛顿力学中，一个二自由度的动力学系统是由一组具有恒定系数的'''齐次线性微分方程 homogeneous linear differential equations '''控制的。

===二次独立的自由度===

第129行：第129行：

===能量均分定理===

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在统计力学的经典极限中，在'''热力学平衡 Thermodynamic equilibrium'''状态下，N个二次且独立自由度的系统内部能量为：

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在统计力学的经典极限中，在'''热力学平衡 Thermodynamic equilibrium'''状态下，N个二次且独立自由度的系统内部能量为：

:<math>U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}</math>

第142行：第142行：

==总结==

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尽管在数学上很方便，但将系统状态描述为相空间中的一个点，从根本上讲是不准确的。在量子力学中，体系运动状态的自由度被波函数的概念所取代，并且对应于其他自由度的'''算子 Operator'''具有离散的光谱。例如，电子或光子的本征'''角动量算符 Angular momentum operator '''（对应于转动自由度）只有两个特征值。当运动具有'''普朗克常数 Planck constant'''的量级时，这种离散变得非常明显，并且可以区分出各个自由度。

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尽管在数学上很方便，但将系统状态描述为相空间中的一个点，从根本上讲是不准确的。在量子力学中，体系运动状态的自由度被波函数的概念所取代，并且对应于其他自由度的'''算子 Operator'''具有离散的光谱。例如，电子或光子的本征'''角动量算符 Angular momentum operator '''（对应于转动自由度）只有两个特征值。当运动具有'''普朗克常数 Planck constant'''的量级时，这种离散变得非常明显，并且可以区分出各个自由度。

==参考文献==

SyouTK

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