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第424行：
第424行： − − If X ~ B(n, p) and Y | X ~ B(X, q) (the conditional distribution of Y, given X), then Y is a simple binomial random variable with distribution Y ~ B(n, pq). − − − − − The notation in the formula below differs from the previous formulas in two respects:<ref name="Wilson1927">{{Citation |last = Wilson |first=Edwin B. |date = June 1927 |title = Probable inference, the law of succession, and statistical inference |url = http://psych.stanford.edu/~jlm/pdfs/Wison27SingleProportion.pdf |journal = Journal of the American Statistical Association |volume=22 |issue=158 |pages=209–212 |access-date= 2015-01-05 |doi = 10.2307/2276774 |url-status=dead |archive-url = https://web.archive.org/web/20150113082307/http://psych.stanford.edu/~jlm/pdfs/Wison27SingleProportion.pdf |archive-date = 2015-01-13 |jstor = 2276774 }}</ref> 第441行：
第434行： − − − − − <math>\begin{align}</math> − − <math>\frac{} − <math>\Pr[Y = m] &= \sum_{k = m}^{n} \Pr[Y = m \mid X = k] \Pr[X = k] \\[2pt]</math> 第463行：
第448行： − − <math> \Pr[Y = m] = \sum_{k=m}^{n} \binom{n}{m} \binom{n-m}{k-m} p^k q^m (1-p)^{n-k} (1-q)^{k-m} </math> − − }{ 第496行：
第477行： − − <math> \Pr[Y=m] &= \binom{n}{m} (pq)^m (p - pq + 1 - p)^{n-m}\\[4pt]</math> − − <math> &= \binom{n}{m} (pq)^m (1-pq)^{n-m}</math>
→威尔逊法
====威尔逊法====
====威尔逊法====
如果X ~ B(n, p)和Y | X ~ B(X, q) (给定Y的条件分布 X) ，则Y是服从Y ~ B(n, pq)的简单二项随机变量。
如果X ~ B(n, p)和Y | X ~ B(X, q) (给定Y的条件分布 X) ，则Y是服从Y ~ B(n, pq)的简单二项随机变量。
例如，想象一下把 n 个球扔到一个篮子UX里，然后把击中的球扔到另一个篮子UY里。如果 p 是击中 UX 的概率，那么X ~ B(n, p)是击中 UX 的球数。如果 q 是击中 UY 的概率，那么击中 UY的球数是Y ~ B(X, q)，那么Y ~ B(n, pq)。
例如，想象一下把 n 个球扔到一个篮子UX里，然后把击中的球扔到另一个篮子UY里。如果 p 是击中 UX 的概率，那么X ~ B(n, p)是击中 UX 的球数。如果 q 是击中 UY 的概率，那么击中 UY的球数是Y ~ B(X, q)，那么Y ~ B(n, pq)。
下面的公式中的符号与前面的公式有两个不同之处<ref name="Wilson1927">{{Citation |last = Wilson |first=Edwin B. |date = June 1927 |title = Probable inference, the law of succession, and statistical inference |url = http://psych.stanford.edu/~jlm/pdfs/Wison27SingleProportion.pdf |journal = Journal of the American Statistical Association |volume=22 |issue=158 |pages=209–212 |access-date= 2015-01-05 |doi = 10.2307/2276774 |url-status=dead |archive-url = https://web.archive.org/web/20150113082307/http://psych.stanford.edu/~jlm/pdfs/Wison27SingleProportion.pdf |archive-date = 2015-01-13 |jstor = 2276774 }}</ref>
下面的公式中的符号与前面的公式有两个不同之处<ref name="Wilson1927">{{Citation |last = Wilson |first=Edwin B. |date = June 1927 |title = Probable inference, the law of succession, and statistical inference |url = http://psych.stanford.edu/~jlm/pdfs/Wison27SingleProportion.pdf |journal = Journal of the American Statistical Association |volume=22 |issue=158 |pages=209–212 |access-date= 2015-01-05 |doi = 10.2307/2276774 |url-status=dead |archive-url = https://web.archive.org/web/20150113082307/http://psych.stanford.edu/~jlm/pdfs/Wison27SingleProportion.pdf |archive-date = 2015-01-13 |jstor = 2276774 }}</ref>
*其次，这个公式没有使用加减法来定义两个界限。相反，我们可以使用<math>z = z_{/alpha / 2}</math>得到下限，或者使用<math>z = z_{1 - \alpha/2}</math>得到上限。例如：对于95%的置信度，误差为<math>alpha</math> = 0.05，所以用<math>z = z_{/alpha/2} = z_{0.025} = - 1.96</math>得到下限，用<math>z = z_{1 - \alpha/2} = z_{0.975} = 1.96</math>得到上限。
*其次，这个公式没有使用加减法来定义两个界限。相反，我们可以使用<math>z = z_{/alpha / 2}</math>得到下限，或者使用<math>z = z_{1 - \alpha/2}</math>得到上限。例如：对于95%的置信度，误差为<math>alpha</math> = 0.05，所以用<math>z = z_{/alpha/2} = z_{0.025} = - 1.96</math>得到下限，用<math>z = z_{1 - \alpha/2} = z_{0.975} = 1.96</math>得到上限。
由于X <math>\sim B(n, p)</math>和Y <math>\sim B(X, q)</math>，由<font color="#ff8000">全概率公式 the law of total probability </font>,
由于X <math>\sim B(n, p)</math>和Y <math>\sim B(X, q)</math>，由<font color="#ff8000">全概率公式 the law of total probability </font>,
<math> \widehat{p\,} + \frac{z^2}{2n} + z</math>
<math> \widehat{p\,} + \frac{z^2}{2n} + z</math>
<math>\frac{z^2}{4 n^2}</math>
<math>\frac{z^2}{4 n^2}</math>
对<math>p ^ k = p ^ m p ^ { k-m }</math>进行分解，从总和中取出所有不依赖于 k 的项，现在就得到了结果
对<math>p ^ k = p ^ m p ^ { k-m }</math>进行分解，从总和中取出所有不依赖于 k 的项，现在就得到了结果
<math> 1 + \frac{z^2}{n}</math>
<math> 1 + \frac{z^2}{n}</math>
| access-date =2017-07-23
| access-date =2017-07-23
<nowiki>}}</nowiki></ref>
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====比较====
====比较====