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第332行：
第332行： − \tilde{p} \pm z \sqrt{ \frac{ \tilde{p} ( 1 - \tilde{p} )}{ n + z^2 } } .+ − Here the estimate of p is modified to − − − \tilde{p}= \frac{ n_1 + \frac{1}{2} z^2}{ n + z^2 } −
→参数估计
<math>\tilde{p} \pm z \sqrt{ \frac{ \tilde{p} (1 - \tilde{p})}{ n + z^2 }}</math> .
利用 Beta分布作为共轭先验分布时，也存在p的封闭形式的贝叶斯估计。当使用一个通用<math>\operatorname{Beta}(\alpha, \beta) </math>作为先验时，后验均值估计量为: <math>\widehat{p_b} = \frac{x+\alpha}{n+\alpha+\beta}</math>。贝叶斯估计是渐近有效的，当样本容量趋近无穷大(n →∞)时，它趋近极大似然估计（MLE）解。贝叶斯估计是有偏的(偏多少取决于先验) ，可接受的且一致的概率。
利用 Beta分布作为共轭先验分布时，也存在p的封闭形式的贝叶斯估计。当使用一个通用<math>\operatorname{Beta}(\alpha, \beta) </math>作为先验时，后验均值估计量为: <math>\widehat{p_b} = \frac{x+\alpha}{n+\alpha+\beta}</math>。贝叶斯估计是渐近有效的，当样本容量趋近无穷大(n →∞)时，它趋近极大似然估计（MLE）解。贝叶斯估计是有偏的(偏多少取决于先验) ，可接受的且一致的概率。
这里p的估计被修改为
这里p的估计被修改为
对于使用标准均匀分布作为非信息性的先验概率的特殊情况(<math>\operatorname{Beta}(\alpha=1, \beta=1) = U(0,1)</math>)，后验均值估计变为<math>\widehat{p_b} = \frac{x+1}{n+2}</math> (后验模式应只能得出标准估计量)。这种方法被称为继承法则，它是18世纪 Pierre-Simon Laplace提出的。
对于使用标准均匀分布作为非信息性的先验概率的特殊情况(<math>\operatorname{Beta}(\alpha=1, \beta=1) = U(0,1)</math>)，后验均值估计变为<math>\widehat{p_b} = \frac{x+1}{n+2}</math> (后验模式应只能得出标准估计量)。这种方法被称为继承法则，它是18世纪 Pierre-Simon Laplace提出的。
<math>\tilde{p}= \frac{ n_1 + \frac{1}{2} z^2}{ n + z^2 }</math>
<math>\tilde{p}= \frac{ n_1 + \frac{1}{2} z^2}{ n + z^2 }</math>
当估计值''p''时非常罕见，而且很小（例如：如果x=0），那么使用标准估计器会得到<math> \widehat{p} = 0,</math>，这有时是不现实的，也是不可取的。在这种情况下，有几种不同的可替代的估计方法。<ref>{{cite journal |last=Razzaghi |first=Mehdi |title=On the estimation of binomial success probability with zero occurrence in sample |journal=Journal of Modern Applied Statistical Methods |volume=1 |issue=2 |year=2002 |pages=326–332 |doi=10.22237/jmasm/1036110000 |doi-access=free }}</ref>一种方法是使用贝叶斯估计，得到: <math> \widehat{p_b} = \frac{1}{n+2}</math>)。另一种方法是利用从3个规则获得的置信区间的上界: <math> \widehat{p_{\text{rule of 3}}} = \frac{3}{n}</math>)
当估计值''p''时非常罕见，而且很小（例如：如果x=0），那么使用标准估计器会得到<math> \widehat{p} = 0,</math>，这有时是不现实的，也是不可取的。在这种情况下，有几种不同的可替代的估计方法。<ref>{{cite journal |last=Razzaghi |first=Mehdi |title=On the estimation of binomial success probability with zero occurrence in sample |journal=Journal of Modern Applied Statistical Methods |volume=1 |issue=2 |year=2002 |pages=326–332 |doi=10.22237/jmasm/1036110000 |doi-access=free }}</ref>一种方法是使用贝叶斯估计，得到: <math> \widehat{p_b} = \frac{1}{n+2}</math>)。另一种方法是利用从3个规则获得的置信区间的上界: <math> \widehat{p_{\text{rule of 3}}} = \frac{3}{n}</math>)
===值信区间 ===
===值信区间 ===