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考虑一个如下图所示的晶格世界:
考虑一个如下图所示的晶格世界:
===网格上的小磁针===
===网格上的小磁针===
[[File:伊辛.png||伊辛模型示例|center]]
[[File:Ising.png|thumb|伊辛模型示例|center]]
假设第<math>i</math>个节点是一个小磁针（或者一个村民），每个小磁针有上下两种状态（村民有上,下两种意见），我们用<math>s_i</math>来表示这个状态，并且
假设第<math>i</math>个节点是一个小磁针（或者一个村民），每个小磁针有上下两种状态（村民有上,下两种意见），我们用<math>s_i</math>来表示这个状态，并且
首先，我们可以将+1对应为黑色，-1对应为白色，从而用图表示出在不同温度下系统达到稳态的模拟结果，如下图：
首先，我们可以将+1对应为黑色，-1对应为白色，从而用图表示出在不同温度下系统达到稳态的模拟结果，如下图：
[[File:伊辛result.png||伊辛 Model Simulation|center]]
[[File:Isingresult.png||Ising Model Simulation|center]]
在图中，不同的行对应了不同的温度值。第一行的温度<math>T>T_C</math>，第二行<math>T\approx T_C</math>，第三行<math>T<T_C</math>。其中，<math>T_C</math>为临界温度，我们将在后面介绍如何计算该数值。当温度小于临界值的时候，伊辛模型中大多数磁针都取相同的颜色，系统处于较为秩序的状态。当温度大于临界值的时候，每个小磁针的颜色会比较混乱无序，系统处于随机的状态。而当温度接近临界的时候，系统的运行介于随机与秩序之间，也就是进入了[[混沌边缘]]地带。我们将这种状态称为[[临界状态]]。
在图中，不同的行对应了不同的温度值。第一行的温度<math>T>T_C</math>，第二行<math>T\approx T_C</math>，第三行<math>T<T_C</math>。其中，<math>T_C</math>为临界温度，我们将在后面介绍如何计算该数值。当温度小于临界值的时候，伊辛模型中大多数磁针都取相同的颜色，系统处于较为秩序的状态。当温度大于临界值的时候，每个小磁针的颜色会比较混乱无序，系统处于随机的状态。而当温度接近临界的时候，系统的运行介于随机与秩序之间，也就是进入了[[混沌边缘]]地带。我们将这种状态称为[[临界状态]]。
通过计算机模拟实验，也可以通过平均场近似方法解析地给出平均磁矩随参数<math>H</math>和<math>T</math>的变化情况：
通过计算机模拟实验，也可以通过平均场近似方法解析地给出平均磁矩随参数<math>H</math>和<math>T</math>的变化情况：
[[File:M.png||m随H,T的变化|center]]
[[File:M.png|thumb|m随H,T的变化|center]]
注意，这张图在<math>H=0</math>的位置发生了断裂，这意味着系统在此参数附近存在着突变的现象。另外，当我们从<math>H=0</math>这个截面观察该图形，会发现，当<math>T</math>比较小的时候，<math>m</math>的值同时存在两个分支，一个大于0，一个小于0。这表明，当外界磁场消失以后，如果温度足够低低于临界数值<math>T_C</math>的话，小磁针的平均方向可能朝上也可能朝下，系统出现了[[对称性破缺]]。图中豁口的交汇点对应的恰恰是临界温度<math>T_C</math>的位置。如果<math>T>T_C</math>，则<math>m</math>始终为0，系统处于对称的状态。进一步，我们还可以画出<math>m</math>在不同参数T下随参数H的变化图：
注意，这张图在<math>H=0</math>的位置发生了断裂，这意味着系统在此参数附近存在着突变的现象。另外，当我们从<math>H=0</math>这个截面观察该图形，会发现，当<math>T</math>比较小的时候，<math>m</math>的值同时存在两个分支，一个大于0，一个小于0。这表明，当外界磁场消失以后，如果温度足够低低于临界数值<math>T_C</math>的话，小磁针的平均方向可能朝上也可能朝下，系统出现了[[对称性破缺]]。图中豁口的交汇点对应的恰恰是临界温度<math>T_C</math>的位置。如果<math>T>T_C</math>，则<math>m</math>始终为0，系统处于对称的状态。进一步，我们还可以画出<math>m</math>在不同参数T下随参数H的变化图：
[[File:Phasetransition.png|center|m随H的变化]]
[[File:Phasetransition.png|center|thumb|m随H的变化]]
这张图更加清晰地揭示出系统发生了相变。首先，我们看到当<math>T<T_c</math>的时候，m随H的曲线发生了断裂。也就是说当H值连续地从小于0变到大于0的时候，热力学量<math>m</math>从小于0不连续地变到了大于0。这种热力学函数随参数发生不连续的变化现象称为[[一级相变]]。当<math>T=T_C</math>的时候，这条<math>m</math>对<math>H/<math>的曲线又连接到了一起，没有在<math>H=0</math>的点发生断裂。但如果我们考察m-H曲线的斜率会发现，斜率是无穷大。当热力学量随某一参数的变化连续，但是导数发散的时候，我们称该系统正在发生[[二级相变]]，也叫[[连续相变]]。
这张图更加清晰地揭示出系统发生了相变。首先，我们看到当<math>T<T_c</math>的时候，m随H的曲线发生了断裂。也就是说当H值连续地从小于0变到大于0的时候，热力学量<math>m</math>从小于0不连续地变到了大于0。这种热力学函数随参数发生不连续的变化现象称为[[一级相变]]。当<math>T=T_C</math>的时候，这条<math>m</math>对<math>H/<math>的曲线又连接到了一起，没有在<math>H=0</math>的点发生断裂。但如果我们考察m-H曲线的斜率会发现，斜率是无穷大。当热力学量随某一参数的变化连续，但是导数发散的时候，我们称该系统正在发生[[二级相变]]，也叫[[连续相变]]。
为了更深入地理解<math>m</math>值在临界点<math>T=T_C, H=0</math>附近的行为，我们将研究<math>m</math>与归一化的温度(<math>(T_C-T)/T_C</math>)的关系如下图：
为了更深入地理解<math>m</math>值在临界点<math>T=T_C, H=0</math>附近的行为，我们将研究<math>m</math>与归一化的温度(<math>(T_C-T)/T_C</math>)的关系如下图：
[[File:Mpowerlaw.png|临界点行为|center]]
[[File:Mpowerlaw.png|thumb|临界点行为|center]]
上图表示了<math>m</math>随归一化温度呈现出幂律规律的变化，可以用如下公式表示：
上图表示了<math>m</math>随归一化温度呈现出幂律规律的变化，可以用如下公式表示：
[[临界现象]]不仅仅是伊辛模型、铁磁物质所独有的，它具有相当的普遍性。它会在很多复杂系统中体现出来，例如气-液相变过程、湍流，甚至股票市场、经济系统等。临界系统体现出的一个重要特征就是：自相似性和长关联性。伊辛模型临界状态模拟图如下：
[[临界现象]]不仅仅是伊辛模型、铁磁物质所独有的，它具有相当的普遍性。它会在很多复杂系统中体现出来，例如气-液相变过程、湍流，甚至股票市场、经济系统等。临界系统体现出的一个重要特征就是：自相似性和长关联性。伊辛模型临界状态模拟图如下：
[[File:伊辛result2.png|center|临界状态下的伊辛模型]]
[[File:Isingresult2.png|center|thumb|临界状态下的伊辛模型]]
这是在外场<math>H=0</math>，温度刚好等于临界温度的时候各个小磁针构成的一个构型。该图中，同一种颜色（即状态一致）的小磁针形成了彼此连通的团簇。这些团簇的尺寸有大有小。单独一个团簇具有一定的自相似性，它构成了一个[[分形]]。并且团簇的形态会在多个尺度重现类似的模式。假如我们将系统放大或者缩小，我们将无法分辨出不同之处，这就是[[无标度]]性这个名词的来源。
这是在外场<math>H=0</math>，温度刚好等于临界温度的时候各个小磁针构成的一个构型。该图中，同一种颜色（即状态一致）的小磁针形成了彼此连通的团簇。这些团簇的尺寸有大有小。单独一个团簇具有一定的自相似性，它构成了一个[[分形]]。并且团簇的形态会在多个尺度重现类似的模式。假如我们将系统放大或者缩小，我们将无法分辨出不同之处，这就是[[无标度]]性这个名词的来源。
==编者推荐==
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[[File:复杂网络上的伊辛.jpg|400px|thumb|[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的伊辛模型]]]
[[File:复杂网络Ising.jpg|400px|thumb|[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的伊辛模型]]]
===集智文章===
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====[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的伊辛模型]====
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