更改

'''西尔韦斯特方程'''是控制论中的矩阵方程，形式如下<ref>This equation is also commonly written in the equivalent form of ''AX''&nbsp;−&nbsp;''XB''&nbsp;=&nbsp;''C''.</ref>:  

'''西尔韦斯特方程'''是控制论中的矩阵方程，形式如下<ref>这个方程也有常见的等价形式 ''AX''&nbsp;−&nbsp;''XB''&nbsp;=&nbsp;''C''.</ref>:  

<math>A X + X B = C.</math>

<math>A X + X B = C.</math>

利用克罗内克积符号和向量化算子操作符<math>\operatorname{vec}</math>，我们可以以下形式重写韦斯特方程:  

利用克罗内克积符号和向量化算子操作符<math>\operatorname{vec}</math>，我们可以以下形式重写韦斯特方程:  

:<math> (I_m \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>

:<math> (I_m \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>

其中 ''A'' 是 n × m的矩阵，''B'' 是m × m的矩阵，X 是n × m的矩阵，<math>I_k</math> 是 <math>k \times k</math>的单位矩阵。在这种形式下，该方程可以看作是一个大小为<math>mn \times mn</math>的线性系统<ref>However, rewriting the equation in this form is not advised for the numerical solution since this version is costly to solve and can be [[ill-conditioned]].</ref>。然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。

其中 ''A'' 是 n × m的矩阵，''B'' 是m × m的矩阵，X 是n × m的矩阵，<math>I_k</math> 是 <math>k \times k</math>的单位矩阵。在这种形式下，该方程可以看作是一个大小为<math>mn \times mn</math>的线性系统<ref>然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。</ref>。然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。

'''定理'''。给定矩阵 <math>A\in \mathbb{C}^{n\times n}</math>和<math>B\in \mathbb{C}^{m\times m}</math>，韦斯特方程 <math>AX+XB=C</math>对任意  <math>C\in\mathbb{C}^{n\times m}</math>有唯一解 ''X'' 当且仅当 ''A'' 和''-B'' 不共享任何特征值。

'''定理'''。给定矩阵 <math>A\in \mathbb{C}^{n\times n}</math>和<math>B\in \mathbb{C}^{m\times m}</math>，韦斯特方程 <math>AX+XB=C</math>对任意  <math>C\in\mathbb{C}^{n\times m}</math>有唯一解 ''X'' 当且仅当 ''A'' 和''-B'' 不共享任何特征值。

'''Q.E.D.'''

'''Q.E.D.'''

 

作为谱映射定理的另一种形式，证明的第(i)部分<math>p(-B)</math>的非奇异性也可以用贝祖特的互素多项式恒等式来证明。设 q 是-''B'' 的特征多项式。由于 ''A'' 和-''B'' 不共享任何特征值，所以 p 和 q 互素。因此存在多项式 f 和 g，使得 <math>p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1</math>。利用 Cayley-Hamilton 定理，可得<math>q(-B)=0</math>，这意味着 <math>p(-B)</math>是非奇异的。

 

作为谱映射定理的另一种形式，证明的第(i)部分<math>\mathrm{Im}(uv^*)</math>的非奇异性也可以用贝祖特的互素多项式恒等式来证明。设 q 是-B 的特征多项式。由于 A 和-B 不共享任何特征值，所以 p 和 q 互素。因此存在多项式 f 和 g，使得 <math>p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1</math>。利用 Cayley-Hamilton 定理，可得<math>q(-B)=0</math>，这意味着 <math>p(-B)</math>是非奇异的。

这个定理对实矩阵仍然成立，但需要注意的是考虑它们的复特征值。充分条件的证明仍然适用; 对于必要条件的证明，请注意 <math>\mathrm{Re}(uv^*)</math>和 <math>\mathrm{Im}(uv^*)</math> 都满足齐次方程 ''AX + XB = 0''，而它们不能同时为零。

这个定理对实矩阵仍然成立，但需要注意的是考虑它们的复特征值。充分条件的证明仍然适用; 对于必要条件的证明，请注意 <math>\mathrm{Re}(uv^*)</math>和 <math>\mathrm{Im}(uv^*)</math> 都满足齐次方程 ''AX + XB = 0''，而它们不能同时为零。

= Roth消去法则 =  

=Roth消去法则=  

给定两个大小分别为''n'' 和 ''m'' 的复方阵 ''A'' 和 ''B''，以及大小为 n × m 的矩阵 ''C''，我们可以确认下列两个大小为 ''n + m'' 的方阵[math]\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}[/math]和[math]\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}[/math]是否相似。当存在矩阵 ''X'' 使得 ''AX-XB'' ''='' ''C'' ，这两个矩阵就是相似的。换句话说，''X'' 是维斯特方程的解。这就是众所周知的'''Roth消去法则'''<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888|jstor=3619888}}</ref>。

给定两个大小分别为''n'' 和 ''m'' 的复方阵 ''A'' 和 ''B''，以及大小为 n × m 的矩阵 ''C''，我们可以确认下列两个大小为 ''n + m'' 的方阵[math]\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}[/math]和[math]\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}[/math]是否相似。当存在矩阵 ''X'' 使得 ''AX-XB'' ''='' ''C'' ，这两个矩阵就是相似的。换句话说，''X'' 是维斯特方程的解。这就是众所周知的'''Roth消去法则'''<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888|jstor=3619888}}</ref>。

Roth消去法则无法一般化到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中。<ref>Bhatia and Rosenthal, p.3</ref>  

Roth消去法则无法一般化到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中。<ref>Bhatia and Rosenthal, p.3</ref>  

==数值解==

==数值解==

韦斯特方程数值解的一个经典算法是 Bartels-Stewart 算法，该算法通过 QR 算法将 矩阵''A'' 和 ''B'' 转化为舒尔形式，然后通过逆向取代法求解三角矩阵。在LAPACK，或是GNU Octave的lyap函数中，该算法的计算代价是[[Big O notation|<math>\mathcal{O}(n^3)</math>]]<ref>{{Cite web | url=https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html | title=Function Reference: Lyap}}</ref>。也可以参阅该语言中的 sylvester 函数。自 GNU Octave Version 4.0以来，不推荐使用syl  命令。<ref>{{Cite web | url=https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html | title=Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1))}}</ref><ref>The <code>syl</code> command is deprecated since GNU Octave Version 4.0</ref>在某些特定的图像处理应用程序中，导出的韦斯特方程有会有解析解<ref>{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=[[IEEE Transactions on Image Processing|IEEE]] |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|pmid=26208345 |arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W}}</ref>。

韦斯特方程数值解的一个经典算法是 Bartels-Stewart 算法，该算法通过 QR 算法将 矩阵''A'' 和 ''B'' 转化为舒尔形式，然后通过逆向取代法求解三角矩阵。在LAPACK，或是GNU Octave的lyap函数中，该算法的计算代价是[[Big O notation|<math>\mathcal{O}(n^3)</math>]]<ref>{{Cite web | url=https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html | title=Function Reference: Lyap}}</ref>。也可以参阅该语言中的 sylvester 函数。自 GNU Octave Version 4.0以来，不推荐使用<code>syl</code>命令。<ref>{{Cite web | url=https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html | title=Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1))}}</ref><ref>The <code>syl</code> 命令自从GNU Octave 4.0版本以后就弃用了。</ref>在某些特定的图像处理应用程序中，导出的韦斯特方程有会有解析解<ref>{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=[[IEEE Transactions on Image Processing|IEEE]] |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|pmid=26208345 |arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W}}</ref>。

==相关条目==

==相关条目==

* 李雅普诺夫方程

*李雅普诺夫方程

* 代数Riccati方程

*代数Riccati方程

==脚注==

==脚注==

==引用==

==引用==

* {{cite journal |first=J. |last=Sylvester |title=Sur l'equations en matrices <math>px = xq</math> |journal=[[C. R. Acad. Sci. Paris]] |volume=99 |year=1884 |issue=2 |pages=67–71, 115–116 }}

*{{cite journal |first=J. |last=Sylvester |title=Sur l'equations en matrices <math>px = xq</math> |journal=[[C. R. Acad. Sci. Paris]] |volume=99 |year=1884 |issue=2 |pages=67–71, 115–116 }}

* {{cite journal |first=R. H. |last=Bartels |first2=G. W. |last2=Stewart |title=Solution of the matrix equation <math>AX +XB = C</math> |journal=[[Comm. ACM]] |volume=15 |year=1972 |issue=9 |pages=820–826 |doi=10.1145/361573.361582 }}

*{{cite journal |first=R. H. |last=Bartels |first2=G. W. |last2=Stewart |title=Solution of the matrix equation <math>AX +XB = C</math> |journal=[[Comm. ACM]] |volume=15 |year=1972 |issue=9 |pages=820–826 |doi=10.1145/361573.361582 }}

* {{cite journal |first=R. |last=Bhatia |first2=P. |last2=Rosenthal |title=How and why to solve the operator equation <math>AX -XB = Y </math> ? |journal=[[Bull. London Math. Soc.]] |volume=29 |issue=1 |year=1997 |pages=1–21 |doi=10.1112/S0024609396001828 }}

*{{cite journal |first=R. |last=Bhatia |first2=P. |last2=Rosenthal |title=How and why to solve the operator equation <math>AX -XB = Y </math> ? |journal=[[Bull. London Math. Soc.]] |volume=29 |issue=1 |year=1997 |pages=1–21 |doi=10.1112/S0024609396001828 }}

* {{cite journal |first=S.-G. |last=Lee |first2=Q.-P. |last2=Vu |title=Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum |journal=[[Linear Algebra and its Applications|Linear Algebra Appl.]] |volume=435 |year=2011 |issue=9 |pages=2097–2109 |doi=10.1016/j.laa.2010.09.034 |doi-access=free }}

*{{cite journal |first=S.-G. |last=Lee |first2=Q.-P. |last2=Vu |title=Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum |journal=[[Linear Algebra and its Applications|Linear Algebra Appl.]] |volume=435 |year=2011 |issue=9 |pages=2097–2109 |doi=10.1016/j.laa.2010.09.034 |doi-access=free }}

* {{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=[[IEEE Transactions on Image Processing]] |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W |pmid=26208345}}

*{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=[[IEEE Transactions on Image Processing]] |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W |pmid=26208345}}

* {{cite book|last1=Birkhoff and MacLane|title=A survey of Modern Algebra|publisher=Macmillan|pages=213, 299}}

*{{cite book|last1=Birkhoff and MacLane|title=A survey of Modern Algebra|publisher=Macmillan|pages=213, 299}}

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==外部链接==

== 外部链接==

* [http://calculator-fx.com/calculator/linear-algebra/solve-sylvester-equation Online solver for arbitrary sized matrices.]{{deadlink|date=May 2021}}

*[http://calculator-fx.com/calculator/linear-algebra/solve-sylvester-equation Online solver for arbitrary sized matrices.]{{deadlink|date=May 2021}}

* [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/LyapunovSolve.html Mathematica function to solve the Sylvester equation]

*[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/LyapunovSolve.html Mathematica function to solve the Sylvester equation]

* [http://www.mathworks.co.uk/help/matlab/ref/sylvester.html MATLAB function to solve the Sylvester equation]

*[http://www.mathworks.co.uk/help/matlab/ref/sylvester.html MATLAB function to solve the Sylvester equation]

* Online solver for arbitrary sized matrices.

* Online solver for arbitrary sized matrices.

* Mathematica function to solve the Sylvester equation

*Mathematica function to solve the Sylvester equation

* MATLAB function to solve the Sylvester equation

*MATLAB function to solve the Sylvester equation

 

 

[[Category:Matrices]]

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[[Category:Control theory]]

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范畴: 矩阵范畴: 控制论

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