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=Roth消去法则=  

=Roth消去法则=  

给定两个大小分别为''n'' 和 ''m'' 的复方阵 ''A'' 和 ''B''，以及大小为 ''n × m'' 的矩阵 ''C''，我们可以确认下列两个大小为 ''n + m'' 的方阵[math]\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}[/math]和[math]\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}[/math]是否相似。当存在矩阵 ''X'' 使得 ''AX-XB'' ''='' ''C'' ，这两个矩阵就是相似的。换句话说，''X'' 是维斯特方程的解。这就是众所周知的'''Roth消去法则'''<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888|jstor=3619888}}</ref>。

给定两个大小分别为''n'' 和 ''m'' 的复方阵 ''A'' 和 ''B''，以及大小为 ''n × m'' 的矩阵 ''C''，我们可以确认下列两个大小为 ''n + m'' 的方阵[math]\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}[/math]和[math]\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}[/math]是否相似。当存在矩阵 ''X'' 使得 ''AX-XB'' ''='' ''C'' ，这两个矩阵就是相似的。换句话说，''X'' 是维斯特方程的解。这就是众所周知的'''Roth消去法则'''<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888}}</ref>。

一种简便的检查方式如下：如果''AX-XB = C''，那么：

一种简便的检查方式如下：如果''AX-XB = C''，那么：

Roth消去法则无法一般化到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中。<ref>Bhatia and Rosenthal, p.3</ref>  

Roth消去法则无法一般化到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中。<ref>Bhatia and Rosenthal, p.3</ref>  

==数值解==

==数值解==

韦斯特方程数值解的一个经典算法是 Bartels-Stewart 算法，该算法通过 QR 算法将 矩阵''A'' 和 ''B'' 转化为舒尔形式，然后通过逆向取代法求解三角矩阵。在LAPACK，或是GNU Octave的lyap函数中，该算法的计算代价是[[Big O notation|<math>\mathcal{O}(n^3)</math>]]<ref>{{Cite web | url=https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html | title=Function Reference: Lyap}}</ref>。也可以参阅该语言中的 sylvester 函数。自 GNU Octave Version 4.0以来，不推荐使用<code>syl</code>命令。<ref>{{Cite web | url=https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html | title=Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1))}}</ref><ref>The <code>syl</code> 命令自从GNU Octave 4.0版本以后就弃用了。</ref>在某些特定的图像处理应用程序中，导出的韦斯特方程有会有解析解<ref>{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=[[IEEE Transactions on Image Processing|IEEE]] |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|pmid=26208345 |arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W}}</ref>。

韦斯特方程数值解的一个经典算法是 Bartels-Stewart 算法，该算法通过 QR 算法将 矩阵''A'' 和 ''B'' 转化为舒尔形式，然后通过逆向取代法求解三角矩阵。在LAPACK，或是GNU Octave的lyap函数中，该算法的计算代价是[[Big O notation|<math>\mathcal{O}(n^3)</math>]]<ref>{{Cite web | url=https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html | title=Function Reference: Lyap}}</ref>。也可以参阅该语言中的 sylvester 函数。自 GNU Octave Version 4.0以来，不推荐使用<code>syl</code>命令。<ref>{{Cite web | url=https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html | title=Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1))}}</ref><ref>The <code>syl</code> 命令自从GNU Octave 4.0版本以后就弃用了。</ref>在某些特定的图像处理应用程序中，导出的韦斯特方程有会有解析解<ref>{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=IEEE |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|pmid=26208345 |arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W}}</ref>。

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