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其中''A''，''B''，''C''为已知的矩阵，问题是要找到能够满足方程的矩阵X。所有矩阵的系数都是复数。为了使方程有意义，矩阵的行和列需要满足一定条件，''A''和 ''B'' 都要是方阵，大小分别是''n''和''m''，而''X''和''C''要是''n x'' ''m''列的矩阵，''n''和''m''也可以相等，四个矩阵都是大小相同的方阵。

其中''A''，''B''，''C''为已知的矩阵，问题是要找到能够满足方程的矩阵X。所有矩阵的系数都是复数。为了使方程有意义，矩阵的行和列需要满足一定条件，''A''和 ''B'' 都要是方阵，大小分别是''n''和''m''，然后 x 和 c 都有 n 行和 m 列。

 

当且仅当 ''A'' 和-''b'' 没有共同的本征值时，西尔韦斯特有唯一解 ''X'' 。更一般地，方程 <math>A X + X B = C.</math> 也可以视为(可能无限维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，有唯一解 ''X'' 的充分必要条件几乎相同:  ''A'' 和-''B'' 的谱不相交<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。

当且仅当 ''A'' 和-''b'' 没有共同的本征值时，西尔韦斯特有唯一解 ''X'' 。更一般地，方程 <math>A X + X B = C.</math> 也可以视为(可能无限维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。在这种情况下，此情形下，有唯一解 ''X'' 的充分必要条件几乎相同:  ''A'' 和-''B'' 的谱不相交<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。

'''定理'''。给定矩阵 <math>A\in \mathbb{C}^{n\times n}</math>和<math>B\in \mathbb{C}^{m\times m}</math>，韦斯特方程 <math>AX+XB=C</math>对任意  <math>C\in\mathbb{C}^{n\times m}</math>有唯一解 ''X'' 当且仅当 ''A'' 和''-B'' 不共享任何特征值。

'''定理''' 给定矩阵 <math>A\in \mathbb{C}^{n\times n}</math>和<math>B\in \mathbb{C}^{m\times m}</math>，韦斯特方程 <math>AX+XB=C</math>对任意  <math>C\in\mathbb{C}^{n\times m}</math>有唯一解 ''X'' 当且仅当 ''A'' 和''-B'' 不共享任何特征值。

'''证明'''。方程<math>AX+XB=C</math>是一个m和n未知的线性系统，涉及和未知数等量的方程。因此，对于任意给定的 C，它是唯一可解的当且仅当齐次方程 <math>

'''证明''' 方程<math>AX+XB=C</math>是一个m和n未知的线性系统，涉及和未知数等量的方程。因此，对于任意给定的 C，它是唯一可解的当且仅当齐次方程 <math>

AX+XB=0</math>仅存在平凡解<math>0</math>。

AX+XB=0</math>仅存在平凡解<math>0</math>。

'''Q.E.D.'''

'''Q.E.D.''' 作为谱映射定理的另一种形式，证明的第(i)部分<math>p(-B)</math>的非奇异性也可以用贝祖特的互素多项式恒等式来证明。设 q 是-''B'' 的特征多项式。由于 ''A'' 和-''B'' 不共享任何特征值，所以 p 和 q 互素。因此存在多项式 f 和 g，使得 <math>p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1</math>。利用 Cayley-Hamilton 定理，可得<math>q(-B)=0</math>，这意味着 <math>p(-B)</math>是非奇异的。

==Roth消去法则==  

==Roth消去法则==  

==数值解==

==数值解==

韦斯特方程数值解的一个经典算法是 Bartels-Stewart 算法，该算法通过 QR 算法将 矩阵''A'' 和 ''B'' 转化为舒尔形式，然后通过逆向取代法求解三角矩阵。在LAPACK，或是GNU Octave的lyap函数中，该算法的计算代价是<math>\mathcal{O}(n^3)</math><ref>{{Cite web | url=https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html | title=Function Reference: Lyap}}</ref>。也可以参阅该语言中的 sylvester 函数。自 GNU Octave Version 4.0以来，不推荐使用<code>syl</code>命令。<ref>{{Cite web | url=https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html | title=Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1))}}</ref><ref>The <code>syl</code> 命令自从GNU Octave 4.0版本以后就弃用了。</ref>在某些特定的图像处理应用程序中，导出的韦斯特方程有会有解析解<ref>{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=IEEE |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|pmid=26208345 |arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W}}</ref>。

韦斯特方程数值解的一个经典算法是 Bartels-Stewart 算法，该算法通过 QR 算法将 矩阵''A'' 和 ''B'' 转化为舒尔形式，然后通过逆向取代法求解三角矩阵。在LAPACK，或是GNU Octave的lyap函数中，该算法的计算代价是<math>\mathcal{O}(n^3)</math><ref>{{Cite web | url=https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html | title=Function Reference: Lyap}}</ref>。也可以参阅该语言中的 sylvester 函数。自 GNU Octave Version 4.0以来，不推荐使用<code>sylvester</code><code>syl</code>命令。<ref>{{Cite web | url=https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html | title=Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1))}}</ref><ref>The <code>syl</code> 命令自从GNU Octave 4.0版本以后就弃用了。</ref>在某些特定的图像处理应用程序中，导出的韦斯特方程有会有解析解<ref>{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=IEEE |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|pmid=26208345 |arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W}}</ref>。