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[[File:Heat.gif|thumb|right|以三维表示温度的二维热方程解的可视化]]
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# {{math|''B''<sup>2</sup> − ''AC'' < 0}} (椭圆型微分方程)：在定义方程和解的区域内部，椭圆型偏微分方程的解在系数允许的程度内光滑。例如，拉普拉斯方程的解在它们被定义的区域内是解析的，但可能假设边界值是不光滑的。亚音速流体的运动可以用椭圆型偏微分方程近似，欧拉-特里科米方程在 {{math|''x'' < 0}} 时是椭圆型偏微分方程。
# {{math|''B''<sup>2</sup> − ''AC'' < 0}} (椭圆型微分方程)：在定义方程和解的区域内部，椭圆型偏微分方程的解在系数允许的程度内光滑。例如，拉普拉斯方程的解在它们被定义的区域内是解析的，但可能假设边界值是不光滑的。亚音速流体的运动可以用椭圆型偏微分方程近似，欧拉-特里科米方程在 {{math|''x'' < 0}} 时是椭圆型偏微分方程。
# {{math|''B''<sup>2</sup> − ''AC'' {{=}} 0}}（抛物型偏微分方程）：在每一点上都是抛物线型的方程可以通过改变自变量从而转化成类似于热方程的形式。随着转换后的时间变量的增加，方程的解变得平滑。欧拉-特里科米方程在特征线 {{math|''x'' {{=}} 0}} 上是抛物线型的。
# {{math|''B''<sup>2</sup> − ''AC'' {{=}} 0}}（抛物型偏微分方程）：在每一点上都是抛物线型的方程可以通过改变自变量从而转化成类似于热方程的形式。随着转换后的时间变量的增加，方程的解变得平滑。欧拉-特里科米方程在特征线 {{math|''x'' {{=}} 0}} 上是抛物线型的。
# {{math|''B''<sup>2</sup> − ''AC'' > 0}} (双曲型偏微分方程)：双曲型方程在初始数据中保留了函数或导数的任何不连续性。波动方程就是其中的一个例子。超音速流体的运动可以用双曲型偏微分方程近似，欧拉-特里科米方程在 {{math|''x'' > 0}} 时是双曲型的。
# {{math|''B''<sup>2</sup> − ''AC'' > 0}} (双曲型偏微分方程)：双曲型方程在初始数据中保留了函数或导数的任何不连续性。波动方程就是其中的一个例子。超音速流体的运动可以用双曲型偏微分方程近似，欧拉-特里科米方程在 {{math|''x'' > 0}} 时是双曲型的。
# 椭圆形方程: 特征值全部为正或全部为负。
# 椭圆形方程: 特征值全部为正或全部为负。
# 抛物线形方程:除了一个为零值，特征值全部为正或全部为负。
# 抛物线形方程:除了一个为零值，特征值全部为正或全部为负。
# 双曲形方程: 只有一个负特征值，其余的都是正特征值，或者只有一个正特征值，其余的都是负特征值。
# 双曲形方程: 只有一个负特征值，其余的都是正特征值，或者只有一个正特征值，其余的都是负特征值。
# 超双形方程: 存在多于一个正特征值和多于一个的负特征值，且不存在零特征值。对于超双曲方程，只存在有限的理论(Courant 和 Hilbert，1962)。
# 超双形方程: 存在多于一个正特征值和多于一个的负特征值，且不存在零特征值。对于超双曲方程，只存在有限的理论(Courant 和 Hilbert，1962)。
# 如果对于 {{mvar|L}} 没有曲面是特征的，则一阶系统 {{math|''Lu'' {{=}} 0}} 是椭圆形的：{{mvar|u}}在 {{mvar|S}} 的值和微分方程总能够决定 {{mvar|S}} 上 {{mvar|u}} 的法向导数。
# 如果对于 {{mvar|L}} 没有曲面是特征的，则一阶系统 {{math|''Lu'' {{=}} 0}} 是椭圆形的：{{mvar|u}}在 {{mvar|S}} 的值和微分方程总能够决定 {{mvar|S}} 上 {{mvar|u}} 的法向导数。
# 如果在该点存在一个法向量为 {{mvar|ξ}}的 '''类空曲面 Spacclike Surface {{mvar|S}} ，则一阶系统在那一点是双曲的。这意味着，给定任意正交于 {{mvar|ξ}} 的非平凡向量 {{mvar|η}} 和一个标量乘子 {{mvar|λ}}，方程 {{math|''Q''(''λξ'' + ''η'') {{=}} 0}} 有 {{mvar|m}} 个实根 {{math|''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>,… ''λ''<sub>''m''</sub>}}。如果这些根始终不同，则该系统是严格双曲形的。这个条件的几何解释如下: 特征形式 {{math|''Q''(''ζ'') {{=}} 0}} 定义了一个具有齐次坐标 ζ的圆锥(法线圆锥)。在双曲形的情况下，这个圆锥体有 {{mvar|m}} 层，并且轴 {{math|''ζ'' {{=}} ''λξ''}} 在这些层中运动: 它不与任何一层相交。但是当从原点偏离η时，这条轴线与每一层都相交。在椭圆形的情况下，法向圆锥没有实层。
# 如果在该点存在一个法向量为 {{mvar|ξ}}的 '''类空曲面 Spacclike Surface {{mvar|S}} ，则一阶系统在那一点是双曲的。这意味着，给定任意正交于 {{mvar|ξ}} 的非平凡向量 {{mvar|η}} 和一个标量乘子 {{mvar|λ}}，方程 {{math|''Q''(''λξ'' + ''η'') {{=}} 0}} 有 {{mvar|m}} 个实根 {{math|''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>,… ''λ''<sub>''m''</sub>}}。如果这些根始终不同，则该系统是严格双曲形的。这个条件的几何解释如下: 特征形式 {{math|''Q''(''ζ'') {{=}} 0}} 定义了一个具有齐次坐标 ζ的圆锥(法线圆锥)。在双曲形的情况下，这个圆锥体有 {{mvar|m}} 层，并且轴 {{math|''ζ'' {{=}} ''λξ''}} 在这些层中运动: 它不与任何一层相交。但是当从原点偏离η时，这条轴线与每一层都相交。在椭圆形的情况下，法向圆锥没有实层。