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第193行： − [[费利克斯·克莱因]]在他的“Erlangen程序”（1872）中明确地定义了这个主题：任意连续变换的几何不变量，一种几何学。正如[[约翰本尼迪克特名单]]所建议的，引入了术语“拓扑”，而不是以前使用的“分析位置”。一些重要的概念是由[[恩里科·贝蒂]]和[[伯恩哈德·黎曼]]介绍的。但这一科学的基础，对于任何维度的空间，都是由庞卡莱创造的。他关于这个主题的第一篇文章发表在1894年。+ − 他对几何学的研究导致了[[同伦]]和[[同伦（数学）|同调]]的抽象拓扑定义。他还首先介绍了组合拓扑的基本概念和不变量，如贝蒂Betti数和[[基本群]]。Poincaré证明了n维多面体的边数、顶点数和面数的公式（Euler-Poincaré定理），给出了维数直观概念的第一个精确表达式。<ref>{{citation|last=Aleksandrov|first=Pavel S. |title= Poincaré and topology| pages = 27–81|date=September 2019}}</ref>+ 第208行：
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第298行： − 庞加莱的哲学观点与[[伯特兰·罗素]]和[[哥特罗布·弗雷格]]相反，他们认为数学是[[逻辑]]的一个分支。庞加莱强烈反对，声称[[直觉（知识）|直觉]]是数学的生命。庞加莱在他的书“[[科学与假设]]”中提出了一个有趣的观点：对于一个肤浅的观察者来说，科学的真理是不容置疑的；科学的逻辑是绝对正确的，如果科学家有时是错误的，这仅仅是因为他们错误地理解了它的规则。+ 第304行：
第304行： − 庞加莱认为[[算术]]是[[分析/合成区别|合成]]。他认为[[皮亚诺的公理]]不能用归纳法原理进行非循环证明（Murzi，1998），因此得出结论认为算术是“综合的而非分析的”。庞加莱接着说，数学不能从逻辑中推导出来，因为它不是分析性的。他的观点与[[Immanuel Kant]]的观点相似（Kolak，2001，Folina 1992）。他强烈反对Cantorian[[set theory]]，反对其使用[[不精确性|非指示性]]定义{{Citation needed|date=March 2018}}。+ − 然而，庞加莱并没有在哲学和数学的所有分支中分享康德的观点。例如，在几何学中，庞加莱认为[[非欧几里德几何|非欧几里德空间]]的结构可以通过分析得到。庞加莱认为传统在物理学中起着重要的作用。他的观点（以及后来一些更极端的版本）被称为“[[传统主义]]”。<nowiki><ref>Yemima Ben-Menahem, </nowiki>''Conventionalism: From Poincare to Quine'', Cambridge University Press, 2006, p. 39.</ref>庞加莱认为[[牛顿第一定律]]不是经验性的，而是力学的传统框架假设（Gargani，2012）。.<ref>{{Citation|author=Gargani Julien|title=Poincaré, le hasard et l'étude des systèmes complexes|publisher=L'Harmattan|year=2012|page=124|url=http://www.editions-harmattan.fr/index.asp?navig=catalogue&obj=livre&no=38754|access-date=5 June 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304140554/http://www.editions-harmattan.fr/index.asp?navig=catalogue&obj=livre&no=38754|archive-date=4 March 2016|url-status=dead}}</ref>他还认为物理空间的几何学是传统的。他考虑了物理场的几何结构或温度梯度可以改变的例子，要么将一个空间描述为由刚性标尺测量的非欧几里德空间，要么描述为标尺通过可变热分布而膨胀或收缩的欧几里德空间。然而，庞加莱认为我们太习惯了[[欧几里德几何]]，我们宁愿改变物理定律来保存欧几里德几何，而不是转向非欧几里德物理几何。<ref>{{Citation|title=Science and Hypothesis|first1=Henri |last1=Poincaré |publisher=Cosimo, Inc. Press|year=2007|page=50|url=https://books.google.com/books?id=2QXqHaVbkgoC&pg=PA50}}</ref>+ − 庞加莱在巴黎心理学学会之前的著名演讲（出版为“[[科学与假设]]”、[[科学的价值]]”和“科学与方法”）被[[Jacques Hadamard]]引用为创意和发明由两个心理阶段组成的思想来源，首先是可能的解决方案的随机组合一个问题，然后是一个批判性的评估<ref>Hadamard, Jacques. ''An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field''. Princeton Univ Press (1945)</ref>+
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他还讨论了另外两个无法解释的效应: (1)洛伦兹变质量理论<math>\gamma m</math>暗示的质量不守恒，亚伯拉罕变质量理论和考夫曼关于快速运动电子质量的实验，以及(2)居里夫人镭实验中的能量不守恒。并证明了任意函数<math>\ell\left（\varepsilon\right）</math>对于所有<math>\varepsilon</math>必须是统一的（Lorentz通过一个不同的参数设置<math>\ell=1</math>），以使变换形成一个组。在1906年发表的论文的放大版中，庞加莱指出组合<math>x^2+y^2+z^2-c^2t^2</math>是[[不变量（数学）|不变量]]。他指出，通过引入<math>ct\sqrt{-1}</math>作为第四个虚坐标，Lorentz变换仅仅是四维空间中绕原点的旋转，他使用了[[四向量]]的早期形式。<ref name="long">、{{Citation| author=Poincaré, H. | year=1906 | title=Sur la dynamique de l'électron (On the Dynamics of the Electron) | journal=Rendiconti del Circolo Matematico Rendiconti del Circolo di Palermo | volume =21 | pages =129–176}}</ref>
他还讨论了另外两个无法解释的效应: (1)洛伦兹变质量理论<math>\gamma m</math>暗示的质量不守恒，亚伯拉罕变质量理论和考夫曼关于快速运动电子质量的实验，以及(2)居里夫人镭实验中的能量不守恒。并证明了任意函数<math>\ell\left（\varepsilon\right）</math>对于所有<math>\varepsilon</math>必须是统一的（Lorentz通过一个不同的参数设置<math>\ell=1</math>），以使变换形成一个组。在1906年发表的论文的放大版中，庞加莱指出组合<math>x^2+y^2+z^2-c^2t^2</math>是不变量。他指出，通过引入<math>ct\sqrt{-1}</math>作为第四个虚坐标，Lorentz变换仅仅是四维空间中绕原点的旋转，他使用了四向量的早期形式。<ref name="long">、{{Citation| author=Poincaré, H. | year=1906 | title=Sur la dynamique de l'électron (On the Dynamics of the Electron) | journal=Rendiconti del Circolo Matematico Rendiconti del Circolo di Palermo | volume =21 | pages =129–176}}</ref>
像以前的质量-能量等效性一样，庞加莱（1900）发现了质量和电磁能之间的关系。在研究牛顿运动定律和[[洛伦兹以太理论]]之间的冲突时，他试图确定当包含电磁场时，重心是否仍以匀速运动。<ref name=action>{{Citation
像以前的质量-能量等效性一样，庞加莱（1900）发现了质量和电磁能之间的关系。在研究牛顿运动定律和洛伦兹以太理论之间的冲突时，他试图确定当包含电磁场时，重心是否仍以匀速运动。<ref name=action>{{Citation
| last=Poincaré|first= Henri | year=1900 | title=La théorie de Lorentz et le principe de réaction | journal=Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles | volume =5 | pages =252–278| title-link=s:fr:La théorie de Lorentz et le principe de réaction }}. See also the [http://www.physicsinsights.org/poincare-1900.pdf English translation]</ref>他注意到作用/反作用原理不仅适用于物质，而且电磁场有其自身的动量。庞加莱得出结论，电磁波的电磁场能量表现为一个虚拟的流体（“流体虚拟”），质量密度为''E''/''c''<sup>2</sup>。如果[[质心框架]]由物质的质量和虚拟流体的质量共同定义，并且如果虚拟流体是不可摧毁的，它既不会被创造也不会被摧毁，那么质量中心框架的运动保持一致。但是电磁能可以转化成其他形式的能量。因此，庞加莱假设在空间的每一点都存在一个非电能流体，它可以将电磁能转化为它，它也携带着与能量成比例的质量。这样，质心的运动保持一致。庞加莱说，人们不应该对这些假设感到太惊讶，因为它们只是数学上的虚构。
| last=Poincaré|first= Henri | year=1900 | title=La théorie de Lorentz et le principe de réaction | journal=Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles | volume =5 | pages =252–278| title-link=s:fr:La théorie de Lorentz et le principe de réaction }}. See also the [http://www.physicsinsights.org/poincare-1900.pdf English translation]</ref>他注意到作用/反作用原理不仅适用于物质，而且电磁场有其自身的动量。庞加莱得出结论，电磁波的电磁场能量表现为一个虚拟的流体（“流体虚拟”），质量密度为''E''/''c''<sup>2</sup>。如果质心框架由物质的质量和虚拟流体的质量共同定义，并且如果虚拟流体是不可摧毁的，它既不会被创造也不会被摧毁，那么质量中心框架的运动保持一致。但是电磁能可以转化成其他形式的能量。因此，庞加莱假设在空间的每一点都存在一个非电能流体，它可以将电磁能转化为它，它也携带着与能量成比例的质量。这样，质心的运动保持一致。庞加莱说，人们不应该对这些假设感到太惊讶，因为它们只是数学上的虚构。
然而，庞加莱的解决方案导致了一个悖论：如果<font color="#ff8000"> 赫兹振子</font>朝某个方向辐射，它将受到虚拟流体惯性的[[反冲]]。庞加莱对移动源的帧执行了[[洛伦兹升压 Lorentz boost]]（顺序为“v”/“c”）。他指出，能量守恒在这两个框架中都成立，但动量守恒定律被违反了。这就允许了[[永动机]]，一个他深恶痛绝的概念。自然法则必须在参照系中有所不同，相对论原理就不成立了。因此，他认为，在这种情况下，<font color="#ff8000"> 乙太</font>中必须有另一种补偿机制。
然而，庞加莱的解决方案导致了一个悖论：如果<font color="#ff8000"> 赫兹振子</font>朝某个方向辐射，它将受到虚拟流体惯性的反冲。庞加莱对移动源的帧执行了洛伦兹升压 Lorentz boost（顺序为“v”/“c”）。他指出，能量守恒在这两个框架中都成立，但动量守恒定律被违反了。这就允许了永动机，一个他深恶痛绝的概念。自然法则必须在参照系中有所不同，相对论原理就不成立了。因此，他认为，在这种情况下，<font color="#ff8000"> 乙太</font>中必须有另一种补偿机制。
====引力波====
====引力波====
这个主题是由 <font color="#ff8000"> 费利克斯·克莱因 Felix Klein</font>在他的《爱尔兰根纲领(1872)中明确定义的: 任意连续变换的几何不变量，一种几何学。正如利斯廷所建议的那样，引入了术语“拓扑” ，而不是之前使用的“分析位置”。一些重要的概念是由恩里科·贝蒂 Enrico Betti 和波恩哈德·黎曼介绍的。但是对于任何维度的空间来说，这门科学的基础都是由庞加莱创造的。他的第一篇关于这个主题的文章发表于1894年。1905年，亨利·庞加莱首次提出了由物体发出并以光速传播的[[引力波]]（“ondes graviques”）。<ref name="1905 paper">[http://www.academie-sciences.fr/pdf/dossiers/Poincare/Poincare_pdf/Poincare_CR1905.pdf] (PDF) Membres de l'Académie des sciences depuis sa création : Henri Poincare. Sur la dynamique de l' electron. Note de H. Poincaré. C.R. T.140 (1905) 1504–1508.</ref>“重要的一点是，检查者必须对重力的作用进行修正。“这是一个假设万有引力传播的管道，它是地球引力传播的一个假设，它是地球引力的一个重要组成部分。”他对几何的研究导致了<font color="#ff8000"> 同伦和同调 Homotopy and Homology</font>的抽象拓扑定义。他还首先介绍了组合拓扑的基本概念和不变量，如 贝蒂Betti 数和基本群。证明了 n 维多面体的边数、顶点数和面数的一个公式（欧拉-庞加莱定理） ，给出了直观维数概念的第一个精确表达式。
这个主题是由 <font color="#ff8000"> 费利克斯·克莱因 Felix Klein</font>在他的《爱尔兰根纲领(1872)中明确定义的: 任意连续变换的几何不变量，一种几何学。正如利斯廷所建议的那样，引入了术语“拓扑” ，而不是之前使用的“分析位置”。一些重要的概念是由恩里科·贝蒂 Enrico Betti 和波恩哈德·黎曼介绍的。但是对于任何维度的空间来说，这门科学的基础都是由庞加莱创造的。他的第一篇关于这个主题的文章发表于1894年。1905年，亨利·庞加莱首次提出了由物体发出并以光速传播的引力波（“ondes graviques”）。<ref name="1905 paper">[http://www.academie-sciences.fr/pdf/dossiers/Poincare/Poincare_pdf/Poincare_CR1905.pdf] (PDF) Membres de l'Académie des sciences depuis sa création : Henri Poincare. Sur la dynamique de l' electron. Note de H. Poincaré. C.R. T.140 (1905) 1504–1508.</ref>“重要的一点是，检查者必须对重力的作用进行修正。“这是一个假设万有引力传播的管道，它是地球引力传播的一个假设，它是地球引力的一个重要组成部分。”他对几何的研究导致了<font color="#ff8000"> 同伦和同调 Homotopy and Homology</font>的抽象拓扑定义。他还首先介绍了组合拓扑的基本概念和不变量，如 贝蒂Betti 数和基本群。证明了 n 维多面体的边数、顶点数和面数的一个公式（欧拉-庞加莱定理） ，给出了直观维数概念的第一个精确表达式。
====庞加莱和爱因斯坦====
====庞加莱和爱因斯坦====
爱因斯坦关于相对论的第一篇论文发表在庞加莱的短篇论文《1905年论文》发表三个月之后，但在庞加莱的长篇论文发表之前。<ref name="long" />爱因斯坦依靠相对论原理推导出洛伦兹变换，并使用了类似的时钟同步程序（[[爱因斯坦同步]]）庞加莱（1900年）曾描述过，但爱因斯坦的论文很了不起，因为它根本没有参考文献。庞加莱从未承认爱因斯坦在[[狭义相对论]]上的工作。然而，爱因斯坦在1919年5月3日写给[[汉斯-瓦因格]]的信中对庞加莱的观点表示了认同的倾向，当时爱因斯坦认为瓦辛格的总体观点接近于他自己，而庞加莱则接近瓦辛格。<ref>{{cite book|series=The Collected Papers of Albert Einstein |url=http://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol9-trans/52 |publisher=Princeton U.P. |accessdate=|volume = 9|title = The Berlin Years: Correspondence, January 1919-April 1920 (English translation supplement)|page = 30}}另见本函及其评注{{cite journal |last=Sass |first=Hans-Martin |date=1979 |title=Einstein über "wahre Kultur" und die Stellung der Geometrie im Wissenschaftssystem: Ein Brief Albert Einsteins an Hans Vaihinger vom Jahre 1919 |journal=Zeitschrift für allgemeine Wissenschaftstheorie |volume=10 |issue=2 |pages=316–319 |language=de |doi=10.1007/bf01802352}}</ref> 在公开场合，爱因斯坦在1921年的一次演讲中追认了庞加莱，他的演讲名为“几何与Erfahrung”，与[[非欧几里德几何]]有关，但与狭义相对论无关。在他去世前几年，爱因斯坦评价庞加莱是相对论的先驱之一，他说：
爱因斯坦关于相对论的第一篇论文发表在庞加莱的短篇论文《1905年论文》发表三个月之后，但在庞加莱的长篇论文发表之前。<ref name="long" />爱因斯坦依靠相对论原理推导出洛伦兹变换，并使用了类似的时钟同步程序（爱因斯坦同步）庞加莱（1900年）曾描述过，但爱因斯坦的论文很了不起，因为它根本没有参考文献。庞加莱从未承认爱因斯坦在狭义相对论上的工作。然而，爱因斯坦在1919年5月3日写给汉斯-瓦因格的信中对庞加莱的观点表示了认同的倾向，当时爱因斯坦认为瓦辛格的总体观点接近于他自己，而庞加莱则接近瓦辛格。<ref>{{cite book|series=The Collected Papers of Albert Einstein |url=http://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol9-trans/52 |publisher=Princeton U.P. |accessdate=|volume = 9|title = The Berlin Years: Correspondence, January 1919-April 1920 (English translation supplement)|page = 30}}另见本函及其评注{{cite journal |last=Sass |first=Hans-Martin |date=1979 |title=Einstein über "wahre Kultur" und die Stellung der Geometrie im Wissenschaftssystem: Ein Brief Albert Einsteins an Hans Vaihinger vom Jahre 1919 |journal=Zeitschrift für allgemeine Wissenschaftstheorie |volume=10 |issue=2 |pages=316–319 |language=de |doi=10.1007/bf01802352}}</ref> 在公开场合，爱因斯坦在1921年的一次演讲中追认了庞加莱，他的演讲名为“几何与Erfahrung”，与非欧几里德几何有关，但与狭义相对论无关。在他去世前几年，爱因斯坦评价庞加莱是相对论的先驱之一，他说：
这些专著包括一个关于庞加莱的想法，这个想法后来成为数学“混沌理论”(特别是庞加莱始态复现定理)和动力系统的一般理论的基础。庞加莱为引力旋转流体的平衡图撰写了重要的天文学著作。他引入了分岔点的重要概念，证明了非椭球形平衡点的存在性及其稳定性。因为这个发现，庞加莱收到了英国皇家天文学会金质奖章。虽然这是大多数历史学家的观点，但少数人更进一步，比如[[E.T.Whittaker]]，他认为庞加莱和洛伦兹才是相对论的真正发现者<ref>Whittaker 1953, Secondary sources on relativity</ref>。
这些专著包括一个关于庞加莱的想法，这个想法后来成为数学“混沌理论”(特别是庞加莱始态复现定理)和动力系统的一般理论的基础。庞加莱为引力旋转流体的平衡图撰写了重要的天文学著作。他引入了分岔点的重要概念，证明了非椭球形平衡点的存在性及其稳定性。因为这个发现，庞加莱收到了英国皇家天文学会金质奖章。虽然这是大多数历史学家的观点，但少数人更进一步，比如E.T.Whittaker，他认为庞加莱和洛伦兹才是相对论的真正发现者<ref>Whittaker 1953, Secondary sources on relativity</ref>。
===代数与数论===
===代数与数论===
===拓扑学===
===拓扑学===
费利克斯·克莱因在他的“Erlangen程序”（1872）中明确地定义了这个主题：任意连续变换的几何不变量，一种几何学。正如[[约翰本尼迪克特名单]]所建议的，引入了术语“拓扑”，而不是以前使用的“分析位置”。一些重要的概念是由恩里科·贝蒂和伯恩哈德·黎曼介绍的。但这一科学的基础，对于任何维度的空间，都是由庞卡莱创造的。他关于这个主题的第一篇文章发表在1894年。
他对几何学的研究导致了同伦和同调的抽象拓扑定义。他还首先介绍了组合拓扑的基本概念和不变量，如贝蒂Betti数和基本群。Poincaré证明了n维多面体的边数、顶点数和面数的公式（Euler-Poincaré定理），给出了维数直观概念的第一个精确表达式。<ref>{{citation|last=Aleksandrov|first=Pavel S. |title= Poincaré and topology| pages = 27–81|date=September 2019}}</ref>
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庞加莱肖像摄影: Henri Manuel
庞加莱肖像摄影: Henri Manuel
庞加莱出版了两本经典专著《天体力学的新方法》（1892-1899）和《天体力学讲座》（1905-1910）。其中，他成功地将他们的研究成果应用于三体的运动问题，并详细研究了解的行为（频率、稳定性、渐近性等）。介绍了<font color="#ff8000">小参数法、不动点、积分不变量、变分方程、渐近展开的收敛性</font>。推广Bruns（1887）的一个理论，庞加莱证明了<font color="#ff8000"> 三体问题</font>是不可积的。换言之，<font color="#ff8000"> 三体问题</font>的一般解不能通过物体的明确坐标和速度用代数函数和超越函数来表示。他在这方面的工作是自[[艾萨克牛顿]]以来在天体力学方面的第一个重大成就。<ref>J. Stillwell, Mathematics and its history, [https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA254 page 254]</ref>
庞加莱出版了两本经典专著《天体力学的新方法》（1892-1899）和《天体力学讲座》（1905-1910）。其中，他成功地将他们的研究成果应用于三体的运动问题，并详细研究了解的行为（频率、稳定性、渐近性等）。介绍了<font color="#ff8000">小参数法、不动点、积分不变量、变分方程、渐近展开的收敛性</font>。推广Bruns（1887）的一个理论，庞加莱证明了<font color="#ff8000"> 三体问题</font>是不可积的。换言之，<font color="#ff8000"> 三体问题</font>的一般解不能通过物体的明确坐标和速度用代数函数和超越函数来表示。他在这方面的工作是自艾萨克牛顿以来在天体力学方面的第一个重大成就。<ref>J. Stillwell, Mathematics and its history, [https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA254 page 254]</ref>
庞加莱的工作习惯被比作一只蜜蜂从一朵花飞到另一朵花。庞加莱对自己的思维方式很感兴趣; 他研究了自己的习惯，并于1908年在巴黎的普通心理学研究所就自己的观察发表了演讲。他把自己的思维方式与他如何做出几项发现联系起来。这些专著包括了庞加莱的思想，这后来成为数学“[[混沌理论]]”的基础（特别参见[[庞加莱递推定理]]）和[[动力系统]]的一般理论庞加莱为引力旋转流体的平衡图写了重要的天文学著作。他引入了<font color="#ff8000"> 分支点</font>的重要概念，证明了非椭球体（包括环形和梨形）等平衡图形的存在性及其稳定性。这项天文发现奖（1900年）被英国皇家天文学会授予。<ref>A. Kozenko, The theory of planetary figures, pages = 25–26, September 2019</ref>
庞加莱的工作习惯被比作一只蜜蜂从一朵花飞到另一朵花。庞加莱对自己的思维方式很感兴趣; 他研究了自己的习惯，并于1908年在巴黎的普通心理学研究所就自己的观察发表了演讲。他把自己的思维方式与他如何做出几项发现联系起来。这些专著包括了庞加莱的思想，这后来成为数学“[[混沌理论]]”的基础（特别参见庞加莱递推定理）和[[动力系统]]的一般理论庞加莱为引力旋转流体的平衡图写了重要的天文学著作。他引入了<font color="#ff8000"> 分支点</font>的重要概念，证明了非椭球体（包括环形和梨形）等平衡图形的存在性及其稳定性。这项天文发现奖（1900年）被英国皇家天文学会授予。<ref>A. Kozenko, The theory of planetary figures, pages = 25–26, September 2019</ref>
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===微分方程与数学物理===
===微分方程与数学物理===
在为他关于微分方程组奇点研究的博士论文辩护后，庞加莱以“微分方程定义的曲线”（1881-1882）为题写了一系列回忆录。<ref>French: "Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle"</ref>在这些文章中，他建立了一个新的数学分支，叫做“[[微分方程定性理论]]”。Poincaré表明，即使微分方程不能用已知函数来求解，但是从方程的形式来看，可以找到关于解的性质和行为的丰富信息。特别地，Poincaré研究了积分曲线在平面上的轨迹性质，给出了奇异点（鞍点、焦点、中心、节点）的分类，引入了极限环和环指数的概念，证明了除某些特殊情况外，极限环的个数始终是有限的。庞加莱还发展了积分不变量和变分方程解的一般理论。对于有限差分方程，他开创了一个新的方向——解的渐近分析。他将这些成果应用于研究[[数学物理]]和[[天体力学]]的实际问题，所采用的方法是其拓扑学工作的基础。<ref>{{cite book|editor1-last=Kolmogorov|editor1-first = A.N.|editor2-first = A.P.|editor2-last= Yushkevich|title = Mathematics of the 19th century |volume= 3| pages = 162–174, 283|isbn= 978-3764358457|date = 24 March 1998}}</ref>
在为他关于微分方程组奇点研究的博士论文辩护后，庞加莱以“微分方程定义的曲线”（1881-1882）为题写了一系列回忆录。<ref>French: "Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle"</ref>在这些文章中，他建立了一个新的数学分支，叫做“微分方程定性理论”。Poincaré表明，即使微分方程不能用已知函数来求解，但是从方程的形式来看，可以找到关于解的性质和行为的丰富信息。特别地，Poincaré研究了积分曲线在平面上的轨迹性质，给出了奇异点（鞍点、焦点、中心、节点）的分类，引入了极限环和环指数的概念，证明了除某些特殊情况外，极限环的个数始终是有限的。庞加莱还发展了积分不变量和变分方程解的一般理论。对于有限差分方程，他开创了一个新的方向——解的渐近分析。他将这些成果应用于研究数学物理和天体力学的实际问题，所采用的方法是其拓扑学工作的基础。<ref>{{cite book|editor1-last=Kolmogorov|editor1-first = A.N.|editor2-first = A.P.|editor2-last= Yushkevich|title = Mathematics of the 19th century |volume= 3| pages = 162–174, 283|isbn= 978-3764358457|date = 24 March 1998}}</ref>
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庞加莱的哲学观点与伯特兰·罗素和哥特罗布·弗雷格相反，他们认为数学是逻辑的一个分支。庞加莱强烈反对，声称直觉是数学的生命。庞加莱在他的书“科学与假设”中提出了一个有趣的观点：对于一个肤浅的观察者来说，科学的真理是不容置疑的；科学的逻辑是绝对正确的，如果科学家有时是错误的，这仅仅是因为他们错误地理解了它的规则。
庞加莱认为算术是合成。他认为皮亚诺的公理不能用归纳法原理进行非循环证明（Murzi，1998），因此得出结论认为算术是“综合的而非分析的”。庞加莱接着说，数学不能从逻辑中推导出来，因为它不是分析性的。他的观点与Immanuel Kant的观点相似（Kolak，2001，Folina 1992）。他强烈反对Cantorian set theory，反对其使用非指示性定义。
然而，庞加莱并没有在哲学和数学的所有分支中分享康德的观点。例如，在几何学中，庞加莱认为非欧几里德空间的结构可以通过分析得到。庞加莱认为传统在物理学中起着重要的作用。他的观点（以及后来一些更极端的版本）被称为“传统主义”。<nowiki><ref>Yemima Ben-Menahem, </nowiki>''Conventionalism: From Poincare to Quine'', Cambridge University Press, 2006, p. 39.</ref>庞加莱认为牛顿第一定律不是经验性的，而是力学的传统框架假设（Gargani，2012）。.<ref>{{Citation|author=Gargani Julien|title=Poincaré, le hasard et l'étude des systèmes complexes|publisher=L'Harmattan|year=2012|page=124|url=http://www.editions-harmattan.fr/index.asp?navig=catalogue&obj=livre&no=38754|access-date=5 June 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304140554/http://www.editions-harmattan.fr/index.asp?navig=catalogue&obj=livre&no=38754|archive-date=4 March 2016|url-status=dead}}</ref>他还认为物理空间的几何学是传统的。他考虑了物理场的几何结构或温度梯度可以改变的例子，要么将一个空间描述为由刚性标尺测量的非欧几里德空间，要么描述为标尺通过可变热分布而膨胀或收缩的欧几里德空间。然而，庞加莱认为我们太习惯了欧几里德几何，我们宁愿改变物理定律来保存欧几里德几何，而不是转向非欧几里德物理几何。<ref>{{Citation|title=Science and Hypothesis|first1=Henri |last1=Poincaré |publisher=Cosimo, Inc. Press|year=2007|page=50|url=https://books.google.com/books?id=2QXqHaVbkgoC&pg=PA50}}</ref>
===自由意志===
===自由意志===
庞加莱在巴黎心理学学会之前的著名演讲（出版为“科学与假设”、科学的价值”和“科学与方法”）被Jacques Hadamard引用为创意和发明由两个心理阶段组成的思想来源，首先是可能的解决方案的随机组合一个问题，然后是一个批判性的评估<ref>Hadamard, Jacques. ''An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field''. Princeton Univ Press (1945)</ref>
尽管庞加莱经常谈到确定性宇宙，但他说潜意识中新可能性的产生涉及到[随机性|机会]]。可以肯定的是，在经过一段长时间的无意识工作之后，以一种突然的光明出现在头脑中的组合通常是有用的和富有成效的组合……所有的组合都是潜意识自我自动作用的结果，但是那些有趣的组合却进入了意识领域……只有少数人是和谐的，因此同时又是有用的和美丽的，它们将能够影响我所说的几何学家的特殊情感；一旦被唤起，就会把我们的注意力引向它们，从而使它们有机会变得有意识……与此相反，在潜意识自我中，存在着我称之为自由的统治，如果一个人可以把这个名字命名为纯粹的缺乏纪律和偶然产生的混乱。<ref>{{cite book|title =Science and Method|chapter= 3: Mathematical Creation|date= 1914|chapter-url = https://ebooks.adelaide.edu.au/p/poincare/henri/science-and-method/book1.3.html|first = Henri|last =Poincaré }}</ref>
尽管庞加莱经常谈到确定性宇宙，但他说潜意识中新可能性的产生涉及到[随机性|机会]]。可以肯定的是，在经过一段长时间的无意识工作之后，以一种突然的光明出现在头脑中的组合通常是有用的和富有成效的组合……所有的组合都是潜意识自我自动作用的结果，但是那些有趣的组合却进入了意识领域……只有少数人是和谐的，因此同时又是有用的和美丽的，它们将能够影响我所说的几何学家的特殊情感；一旦被唤起，就会把我们的注意力引向它们，从而使它们有机会变得有意识……与此相反，在潜意识自我中，存在着我称之为自由的统治，如果一个人可以把这个名字命名为纯粹的缺乏纪律和偶然产生的混乱。<ref>{{cite book|title =Science and Method|chapter= 3: Mathematical Creation|date= 1914|chapter-url = https://ebooks.adelaide.edu.au/p/poincare/henri/science-and-method/book1.3.html|first = Henri|last =Poincaré }}</ref>