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其中，d为该网络所嵌入的空间维数。下图展示了一个2维的Banavar最优树示例：

其中，d为该网络所嵌入的空间维数。下图展示了一个2维的Banavar最优树示例：

[[文件:2维的Banavar最优树.png|缩略图|2维的Banavar最优树]]

 

[[File:1.png|400px|Banavar的最优树模型]]

我们看到，Banavar最优树是一种对称的网络，黑色节点为根。每条边上的流量标在了旁边，可以验证，通过任意一点的流量刚好是以该节点为根的子树上的所有节点流量之和。并且每个节点的耗散流都是1。

我们看到，Banavar最优树是一种对称的网络，黑色节点为根。每条边上的流量标在了旁边，可以验证，通过任意一点的流量刚好是以该节点为根的子树上的所有节点流量之和。并且每个节点的耗散流都是1。

[[File:garlashellitrees.PNG|400px]]

[[File:garlashellitrees.PNG|400px]]

上图展示了从左图原始网络通过断边的方式得到右侧的生成树的过程。并且对于右侧的生成树计算A_i和C_i的数值标在了右图上。其中圆圈里的数值为该节点的A_i，而圆圈旁边的数值为C_i。显然一个网络可以得到很多种不同的生成树，于是Garlaschelli不得不对所有原始网络的生成树来做平均。Garlaschelli通过分析大量的食物网，发现A_i和C_i存在着普适的幂律关系，并且幂指数都是1.13左右，如下图：

上图展示了从左图原始网络通过断边的方式得到右侧的生成树的过程。并且对于右侧的生成树计算A_i和C_i的数值标在了右图上。其中圆圈里的数值为该节点的A_i，而圆圈旁边的数值为C_i。显然一个网络可以得到很多种不同的生成树，于是Garlaschelli不得不对所有原始网络的生成树来做平均。Garlaschelli通过分析大量的食物网，发现A_i和C_i存在着普适的幂律关系，并且幂指数都是1.13左右，如下图：

同理，我们也可以从另一个角度理解C_i，假如所有流经i节点的粒子都被染成红色，那么C_i刚好就是存在于整个网络上的红色粒子数<ref name="scalingbehavior">{{cite journal|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Liangpeng|last2=Guo|title=Scaling Behaviors of Weighted Food Webs as Transportation Networks|journal=Theoretical Biology|volume=264|page=760-770|year=2010}}</ref>。对于Banavar最优网络，这部分红色粒子恰好分布在以i为根的子树上了。如下图所示：

同理，我们也可以从另一个角度理解C_i，假如所有流经i节点的粒子都被染成红色，那么C_i刚好就是存在于整个网络上的红色粒子数<ref name="scalingbehavior">{{cite journal|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Liangpeng|last2=Guo|title=Scaling Behaviors of Weighted Food Webs as Transportation Networks|journal=Theoretical Biology|volume=264|page=760-770|year=2010}}</ref>。对于Banavar最优网络，这部分红色粒子恰好分布在以i为根的子树上了。如下图所示：

[[File:examplenetworkbinaryandflow.PNG|500px|图1 示例网络的A_i和C_i]]

[[File:Examplenetworkbinaryandflow.png|400px|图1 示例网络的A_i和C_i]]

左图是一个示例的树结构，右图是计算A_i和C_i所隐含的流网络前提，其中A_i是通过节点i的流量，C_i是子树上的总流量，也就是所有红色粒子总数。

左图是一个示例的树结构，右图是计算A_i和C_i所隐含的流网络前提，其中A_i是通过节点i的流量，C_i是子树上的总流量，也就是所有红色粒子总数。

例如对于下图左边的一般网络来说：

例如对于下图左边的一般网络来说：

[[File:examplenetworkandflow.PNG|500px]]

[[File:Examplenetworkandflow.png|400px]]

每个节点的A_i和C_i计算的数值如右图所示（圆圈内的数字为A_i，外面的数字为C_i）。

每个节点的A_i和C_i计算的数值如右图所示（圆圈内的数字为A_i，外面的数字为C_i）。

文献<ref name="scalingbehavior"/>研究了21个生态流网络的异速标度律情况，如下图所示：

文献<ref name="scalingbehavior"/>研究了21个生态流网络的异速标度律情况，如下图所示：

[[File:ecologicalnetworkallometry.PNG|800px]]

[[File:Ecologicalnetworkallometry.png|400px]]

图示了4个生态流网络的异速标度律在双对数坐标系下的拟合情况。我们可以看出，对于这四个网络来说，A_i、C_i的散点分布得非常接近于异速标度律那条直线，而且斜率，也就是幂指数η非常接近于1。下表则列出了更多的生态流网络的异速标度律：

图示了4个生态流网络的异速标度律在双对数坐标系下的拟合情况。我们可以看出，对于这四个网络来说，A_i、C_i的散点分布得非常接近于异速标度律那条直线，而且斜率，也就是幂指数η非常接近于1。下表则列出了更多的生态流网络的异速标度律：

[[File:ecologicalnetworkallometry21.PNG|600px]]

[[File:Ecologicalnetworkallometry21.png|400px]]

我们看到，几乎所有的生态流网络遵循异速标度律的情况都比较好，而且幂指数η很接近于1，同时比1大一点点。但也有少数的网络幂指数小于1或大于1。我们说生态流网络几乎都是中性的。

我们看到，几乎所有的生态流网络遵循异速标度律的情况都比较好，而且幂指数η很接近于1，同时比1大一点点。但也有少数的网络幂指数小于1或大于1。我们说生态流网络几乎都是中性的。

有趣的是，国际贸易网中的流量数据还包含了具体的产品种类，也就是说，我们可以按照产品种类的不同而把原始的国际贸易流量网分解成一系列的子流网络，每个子网络对应一种产品，参见[[国际贸易网]]。我们可以分别计算这些产品对应流网络的异速标度律，从而计算它们的异速标度指数。

有趣的是，国际贸易网中的流量数据还包含了具体的产品种类，也就是说，我们可以按照产品种类的不同而把原始的国际贸易流量网分解成一系列的子流网络，每个子网络对应一种产品，参见[[国际贸易网]]。我们可以分别计算这些产品对应流网络的异速标度律，从而计算它们的异速标度指数。

[[File:tradenetworkallometrypowergenerator.PNG|600px]]

[[File:Tradenetworkallometrypowergenerator.png|400px]]

该图展示的是Power-generating equipment即发电设备这种产品的异速标度律图，其中幂指数η=1.14显著大于1。下图展示了该商品的贸易网络：

该图展示的是Power-generating equipment即发电设备这种产品的异速标度律图，其中幂指数η=1.14显著大于1。下图展示了该商品的贸易网络：

[[File:tradenetworkpowergenerator.PNG|800px]]

[[File:Tradenetworkpowergenerator.png|400px]]

我们看到少数几个大国（美国、日本等国）作为大的出口国控制了整个网络，该网络属于中心化的。

我们看到少数几个大国（美国、日本等国）作为大的出口国控制了整个网络，该网络属于中心化的。

与此形成对比的是蔬菜和水果这类产品构成的贸易网络，如图：

与此形成对比的是蔬菜和水果这类产品构成的贸易网络，如图：

[[File:tradenetworkvegetable.PNG|800px]]

[[File:Tradenetworkvegetable.png|400px]]

在该网络中，那些大节点（流量A_i大，如美国、德国）基本都是进口国，即贸易逆差的国家（红色节点）。也就是说它们处于整个蔬菜水果贸易的末端，因此，流经它们的商品在整个网络中不会有很大的影响范围，所以它们的C_i不会太大，这样，该网络就会具有较小的幂指数，事实上该网络的η=1.04，远比发电设备产品的幂指数小。

在该网络中，那些大节点（流量A_i大，如美国、德国）基本都是进口国，即贸易逆差的国家（红色节点）。也就是说它们处于整个蔬菜水果贸易的末端，因此，流经它们的商品在整个网络中不会有很大的影响范围，所以它们的C_i不会太大，这样，该网络就会具有较小的幂指数，事实上该网络的η=1.04，远比发电设备产品的幂指数小。

进一步，文章作者对将近800种商品子网络计算了η，得到了下面的统计图：

进一步，文章作者对将近800种商品子网络计算了η，得到了下面的统计图：

[[File:tradenetworketadistribution.PNG|800px]]

[[File:Tradenetworketadistribution.png|400px]]

该图的横坐标是η数值，纵坐标是该数值在这800个商品网络中出现的频率。通过这张图，我们能看出大部分商品的η值集中在1.09附近，也就是说这些产品的贸易网络大体上是中心化的。

该图的横坐标是η数值，纵坐标是该数值在这800个商品网络中出现的频率。通过这张图，我们能看出大部分商品的η值集中在1.09附近，也就是说这些产品的贸易网络大体上是中心化的。

Table1.UN dataset 中SITC4编号下商品指数η（排序后）

Table1.UN dataset 中SITC4编号下商品指数η（排序后）

 

[[File:Ordered_eta_SITC4.png|400px]]

[[File:Ordered_eta_SITC4.PNG|500px]]

Table2.OECD dataset 中商品指数η（排序后）

Table2.OECD dataset 中商品指数η（排序后）

[[File:Ordered_eta_OECD.PNG|500px]]

[[File:500px-Ordered_eta_OECD.png|400px]]

=====商品复杂性的一般反映=====

=====商品复杂性的一般反映=====