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第53行： − <math>\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \Delta \mathcal{H}</math>+ − 第78行：
第61行： − + − − − <math>F \leq F_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle \mathcal{H} \rangle_0 - T S_0,</math> − − 第90行：
第68行： − <math>\mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),</math>+ 第97行：
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第178行： − <math>P^{(i)}_0(\xi_i) = \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i^{MF}(\xi_i)},\quad i = 1, 2, \ldots, N,</math>+ 第215行：
第184行： − <math>h_i^\text{MF}(\xi_i) = \sum_{\{j \mid (i,j) \in \mathcal{P}\}} \operatorname{Tr}_j V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(j)}_0(\xi_j).</math><br />+ − <math>H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,</math> +
→Applications 应用
此后，平均场论被广泛应用于物理学及其以外的领域，包括推论统计学、图形模型、神经科学<ref name=":1" />、人工智能、传染病模型<ref name=":2" />、排队论<ref name=":3" />、计算机网络性能和博弈论<ref name=":4" />，量子反应均衡等。
此后，平均场论被广泛应用于物理学及其以外的领域，包括推论统计学、图形模型、神经科学<ref name=":1" />、人工智能、传染病模型<ref name=":2" />、排队论<ref name=":3" />、计算机网络性能和博弈论<ref name=":4" />，量子反应均衡等。
== Origins 起源 ==
== Origins ==
The ideas first appeared in physics ([[statistical mechanics]]) in the work of [[Pierre Curie]]<ref name=":5">{{Cite journal | last1 = Kadanoff | first1 = L. P. | authorlink1 = Leo Kadanoff| title = More is the Same; Phase Transitions and Mean Field Theories | doi = 10.1007/s10955-009-9814-1 | journal = Journal of Statistical Physics | volume = 137 | issue = 5–6 | pages = 777–797 | year = 2009 | arxiv = 0906.0653| pmid = | pmc = |bibcode = 2009JSP...137..777K | s2cid = 9074428 }}</ref> and [[Pierre Weiss]] to describe [[phase transitions]].<ref name=":6">{{cite journal | title = L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique | first = Pierre | last = Weiss | authorlink = Pierre Weiss | journal = J. Phys. Theor. Appl. | volume = 6 | issue = 1 | year= 1907 | pages= 661–690 | doi = 10.1051/jphystap:019070060066100 | url = http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241247/en }}</ref> MFT has been used in the [[Bragg–Williams approximation]], models on [[Bethe lattice]], [[Landau theory]], [[Pierre–Weiss approximation]], [[Flory–Huggins solution theory]], and [[Scheutjens–Fleer theory]].
The ideas first appeared in physics ([[statistical mechanics]]) in the work of [[Pierre Curie]]<ref name=":5">{{Cite journal | last1 = Kadanoff | first1 = L. P. | authorlink1 = Leo Kadanoff| title = More is the Same; Phase Transitions and Mean Field Theories | doi = 10.1007/s10955-009-9814-1 | journal = Journal of Statistical Physics | volume = 137 | issue = 5–6 | pages = 777–797 | year = 2009 | arxiv = 0906.0653| pmid = | pmc = |bibcode = 2009JSP...137..777K | s2cid = 9074428 }}</ref> and [[Pierre Weiss]] to describe [[phase transitions]].<ref name=":6">{{cite journal | title = L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique | first = Pierre | last = Weiss | authorlink = Pierre Weiss | journal = J. Phys. Theor. Appl. | volume = 6 | issue = 1 | year= 1907 | pages= 661–690 | doi = 10.1051/jphystap:019070060066100 | url = http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241247/en }}</ref> MFT has been used in the [[Bragg–Williams approximation]], models on [[Bethe lattice]], [[Landau theory]], [[Pierre–Weiss approximation]], [[Flory–Huggins solution theory]], and [[Scheutjens–Fleer theory]].
这个想法最早出现在物理学的统计力学中，由 Pierre Curie<ref name=":5" /> 和 Pierre Weiss 描述相变<ref name=":6" />的著作中。平均场论在 Bragg-Williams 近似、 Bethe 晶格模型、 Landau 理论、 Pierre-Weiss 近似、 Flory-Huggins 解理论和 Scheutjens-Fleer 理论中都有应用。
这个想法最早出现在物理学的统计力学中，由 Pierre Curie<ref name=":5" /> 和 Pierre Weiss 描述相变<ref name=":6" />的著作中。平均场论在 Bragg-Williams 近似、 Bethe 晶格模型、 Landau 理论、 Pierre-Weiss 近似、 Flory-Huggins 解理论和 Scheutjens-Fleer 理论中都有应用。
具有许多(有时是无数个)自由度的系统，除了一些简单的情况(例如:高斯随机场理论，一维伊辛模型)，通常难以精确地求解或以封闭的解析形式计算。一个复杂的组合问题的出现使得计算一个系统的配分函数变得困难。平均场论是一种近似方法，它常常使原问题变得可解，易于计算。有时，平均场论可以给出非常精确的近似值。
具有许多(有时是无数个)自由度的系统，除了一些简单的情况(例如:高斯随机场理论，一维伊辛模型)，通常难以精确地求解或以封闭的解析形式计算。一个复杂的组合问题的出现使得计算一个系统的配分函数变得困难。平均场论是一种近似方法，它常常使原问题变得可解，易于计算。有时，平均场论可以给出非常精确的近似值。
在场论中，哈密顿量可以根据场平均周围起伏的大小来展计算。在这种背景下，平均场论可以看作是哈密顿量在涨落中的“零阶”展开。物理上，这意味着平均场系统没有波动，但这与“平均场”取代所有相互作用的观点不谋而合。
在场论中，哈密顿量可以根据场平均周围起伏的大小来展计算。在这种背景下，平均场论可以看作是哈密顿量在涨落中的“零阶”展开。物理上，这意味着平均场系统没有波动，但这与“平均场”取代所有相互作用的观点不谋而合。
平均场论常常为研究高阶波动提供便利。例如，当计算配分函数时，研究哈密顿量中相互作用项的组合有时候最多能产生微扰结果，或可以修正平均场近似值的费曼图。
平均场论常常为研究高阶波动提供便利。例如，当计算配分函数时，研究哈密顿量中相互作用项的组合有时候最多能产生微扰结果，或可以修正平均场近似值的费曼图。
== Validity ==
== Validity ==
一般来说，维数在确定平均场方法是否适用于任何特定问题时起着重要作用。有时存在一个[临界维度]，高于该临界维度的平均场论 有效，低于该维度的平均场论无效。
一般来说，维数在确定平均场方法是否适用于任何特定问题时起着重要作用。有时存在一个[临界维度]，高于该临界维度的平均场论 有效，低于该维度的平均场论无效。
由此，平均场论中的许多相互作用会被一个有效的相互作用所取代。如果场或粒子在原系统中表现出许多随机相互作用，它们往往会相互抵消，从而使平均有效相互作用和平均场论更加精确。这在高维情况下也是成立的，比如当哈密顿量包括远程力时，或者当粒子被扩展时(例如:聚合物)。金兹堡准则是衡量一个近似不好的平均场如何波动的表达式，通常取决于系统中的空间维数。
由此，平均场论中的许多相互作用会被一个有效的相互作用所取代。如果场或粒子在原系统中表现出许多随机相互作用，它们往往会相互抵消，从而使平均有效相互作用和平均场论更加精确。这在高维情况下也是成立的，比如当哈密顿量包括远程力时，或者当粒子被扩展时(例如:聚合物)。金兹堡准则是衡量一个近似不好的平均场如何波动的表达式，通常取决于系统中的空间维数。
==Formal approach (Hamiltonian)==
==Formal approach (Hamiltonian)==
平均场理论的形式基础是波格留波夫不等式。这个不等式说明了哈密顿量系统的自由能
平均场理论的形式基础是波格留波夫不等式。这个不等式说明了哈密顿量系统的自由能
<math>\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \Delta \mathcal{H}</math>
上界:
上界:
<math>F \leq F_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle \mathcal{H} \rangle_0 - T S_0,</math>
其中，<math>S_0</math>是熵，而 <math>F</math>和<math>F_0</math>是亥姆霍兹自由能。平均值取参考系平衡系综的哈密顿量。在特殊情况下，参考哈密顿量是非相互作用系统的哈密顿量<math>\mathcal{H}_0</math>，因此可以写成
其中，<math>S_0</math>是熵，而 <math>F</math>和<math>F_0</math>是亥姆霍兹自由能。平均值取参考系平衡系综的哈密顿量。在特殊情况下，参考哈密顿量是非相互作用系统的哈密顿量<math>\mathcal{H}_0</math>，因此可以写成
<math>\mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),</math>
<math>\xi_i</math> 是我们的统计系统的各个组成部分(原子、自旋等等)的自由度，我们可以考虑通过最小化不平等的右边来加强上限。最小化参考系是使用不相关自由度的真实系统的“最佳”近似，被称为平均场近似。
<math>\xi_i</math> 是我们的统计系统的各个组成部分(原子、自旋等等)的自由度，我们可以考虑通过最小化不平等的右边来加强上限。最小化参考系是使用不相关自由度的真实系统的“最佳”近似，被称为平均场近似。
对于最常见的情况，目标哈密顿函数只包含成对相互作用，例如,
对于最常见的情况，目标哈密顿函数只包含成对相互作用，例如,
<math>\mathcal{H} = \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j),</math>
where <math>\mathcal{P}</math> is the set of pairs that interact, the minimizing procedure can be carried out formally. Define <math>\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)</math> as the generalized sum of the observable <math>f</math> over the degrees of freedom of the single component (sum for discrete variables, integrals for continuous ones). The approximating free energy is given by
where <math>\mathcal{P}</math> is the set of pairs that interact, the minimizing procedure can be carried out formally. Define <math>\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)</math> as the generalized sum of the observable <math>f</math> over the degrees of freedom of the single component (sum for discrete variables, integrals for continuous ones). The approximating free energy is given by
其中<math>\mathcal{P}</math>是相互作用的对集合，最小化过程可以正式执行。定义<math>\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)</math>为单个分量自由度上可观测的<math>f</math>的广义和(离散变量的和，连续变量的积分)。给出了近似自由能的表达式
其中<math>\mathcal{P}</math>是相互作用的对集合，最小化过程可以正式执行。定义<math>\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)</math>为单个分量自由度上可观测的<math>f</math>的广义和(离散变量的和，连续变量的积分)。给出了近似自由能的表达式
<math>\begin{align}
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结束{ align } </math >
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where <math>P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)</math> is the probability to find the reference system in the state specified by the variables <math>(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)</math>. This probability is given by the normalized [[Boltzmann factor]]
where <math>P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)</math> is the probability to find the reference system in the state specified by the variables <math>(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)</math>. This probability is given by the normalized [[Boltzmann factor]]
结束{ align } </math >
结束{ align } </math >
where <math>Z_0</math> is the [[Partition function (statistical mechanics)|partition function]]. Thus
where <math>Z_0</math> is the [[Partition function (statistical mechanics)|partition function]]. Thus
结束{ align } </math >
结束{ align } </math >
In order to minimize, we take the derivative with respect to the single-degree-of-freedom probabilities <math>P^{(i)}_0</math> using a [[Lagrange multiplier]] to ensure proper normalization. The end result is the set of self-consistency equations
In order to minimize, we take the derivative with respect to the single-degree-of-freedom probabilities <math>P^{(i)}_0</math> using a [[Lagrange multiplier]] to ensure proper normalization. The end result is the set of self-consistency equations
为了得到最小化，我们对单自由度概率 <math>P^{(i)}_0</math> 求导，使用拉格朗日乘数来确保正确的归一化。最终得到的结果是自洽方程组
为了得到最小化，我们对单自由度概率 <math>P^{(i)}_0</math> 求导，使用拉格朗日乘数来确保正确的归一化。最终得到的结果是自洽方程组
<math>P^{(i)}_0(\xi_i) = \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i^{MF}(\xi_i)},\quad i = 1, 2, \ldots, N,</math>
where the mean field is given by
where the mean field is given by
平均场是为
平均场是为
<math>h_i^\text{MF}(\xi_i) = \sum_{\{j \mid (i,j) \in \mathcal{P}\}} \operatorname{Tr}_j V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(j)}_0(\xi_j).</math>
<br /><math>H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,</math>
==Applications 应用==
==Applications 应用==