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第36行： − 一些报告表明，许多网络是无标度的，尽管统计分析驳斥了其中许多的说法，并对其他说法提出了严重质疑。他们提出了[https://en.wikipedia.org/wiki/Preferential_attachment 优先依附]和[https://en.wikipedia.org/wiki/Fitness_model_(network_theory) 适应度模型]作为解释真实网络中推测的幂律分布的机制。+ + + + + + + 第131行：
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→定义
==定义==
==定义==
在[http://wiki.swarma.net/index.php/网络理论 网络理论]的研究中，复杂网络是由数量巨大的节点和节点之间错综复杂的关系共同构成的网络结构。用数学的语言来说，就是一个有着足够复杂的拓扑结构特征的图。复杂网络具有简单网络，如晶格网络、随机图等结构所不具备的特性，而这些特性往往出现在真实世界的网络结构中。复杂网络的研究是现今科学研究中的一个热点，与现实中各类高复杂性系统，如的互联网网络、神经网络和社会网络的研究有密切关系。
大多数社会、生物和技术网络显示了大量非平凡的拓扑特征，它们的元素之间的连接模式既不是纯规则的也不是纯随机的。这些特征包括程度分布的重尾，高集聚系数，顶点之间的协调性或不协调性，社团结构和等级结构。在有向网络的情况下，这些特征还包括互惠性、三元显著性特征和其他特征。相比之下，许多过去研究过的网络数学模型，例如格和随机图，并没有表现出这些特征。最复杂的结构可以通过具有中等数量相互作用的网络来实现。即对于中等概率而言，最大信息量(熵)是可获得的。
在[http://wiki.swarma.net/index.php/网络理论 网络理论]的研究中，复杂网络是由数量巨大的节点和节点之间错综复杂的关系共同构成的网络结构。用数学的语言来说，就是一个有着足够复杂的拓扑结构特征的图。复杂网络具有简单网络，如晶格网络、随机图等结构所不具备的特性，而这些特性往往出现在真实世界的网络结构中。复杂网络的研究是现今科学研究中的一个热点，与现实中各类高复杂性系统，如互联网网络、神经网络和社会网络的研究有密切关系。
而无标度网络和小世界网络是复杂网络研究的热点，它们的发现和定义是该领域的典型案例。两者都拥有着各自独有的结构特征。即无标度网络的幂律度分布和小世界网络的短路径长度和高聚集性。然而，随着复杂网络研究的重要性和普及程度的不断提高，网络结构的许多其他方面也引起了人们的关注。
近年来，复杂网络的研究已经扩展到多层网络。如果这些网络是相互依存的，它们比单一网络更容易受到随机故障和有针对性的攻击，并出现级联故障和一级渗透过渡。此外，还研究了节点失效和恢复情况下网络的集体行为。人们已经发现，这样的网络可能会出现自发的失败和自发的恢复。
这个领域继续以快速的步伐发展，并且汇集了来自数学、物理学、电力系统、生物学、气候学、计算机科学、社会学、流行病学等许多领域的研究人员。来自网络科学和工程学的思想和工具已经应用于代谢和遗传调控网络的分析; 生态系统稳定性和稳健性的研究; 临床科学; 可扩展通信网络的建模和设计，如复杂无线网络的生成和可视化; 疫苗接种战略的发展以控制疾病; 以及广泛的其他实际问题。同时，网络理论最近被发现可以用来识别城市交通中的瓶颈。网络科学是各个领域许多会议的主题，也是众多外行人和专家著作的主题。
==复杂网络研究简史==
==复杂网络研究简史==
===无标度网络===
===无标度网络===
无标度网络是一个符合[https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law 幂律]的[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_distribution 度分布][https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_network 网络]，至少是渐近的。也就是说，网络中有k个节点的节点分式P(k)对于k为较大的值，如<ref>[https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f4884468c8f31235f968aed34bab4e769cce4f]</ref>，同时，γ参数的值通常是在2到3之间，虽然有时也可能在这些范围之外。
无标度网络是一个符合[https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law 幂律]的[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_distribution 度分布][https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_network 网络]，至少是渐近的。也就是说，网络中有k个节点的节点分式P(k)对于k为较大的值，如<ref>[https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f4884468c8f31235f968aed34bab4e769cce4f]</ref>，同时，γ参数的值通常是在2到3之间，虽然有时也可能在这些范围之外。
一些报告表明，许多网络是无标度的，尽管统计分析驳斥了其中许多的说法，并对其他说法提出了严重质疑，他们提出了[https://en.wikipedia.org/wiki/Preferential_attachment 优先依附]和[https://en.wikipedia.org/wiki/Fitness_model_(network_theory) 适应度模型]作为解释真实网络中推测的幂律分布的机制。
对无标度网络的兴趣始于1990年代后期，当时报告了在现实世界网络中幂律分布的发现，如万维网、自治系统网络、一些互联网路由器网络、蛋白质互动网络、电子邮件网络等。建立具有幂律分布的网络有许多不同的方法。圣诞过程是幂定律的典型生成过程，自1925年就为人所知。然而，由于其频繁的重新发现，它被许多其他的名字所熟知，例如，赫伯特·西蒙的吉布拉特原则，马太效应，累积优势，巴拉巴西和阿尔伯特的幂律度分布的优先依恋。近年来，双曲几何图被认为是构造无标度网络的另外一种方法。一些具有幂律分布的网络(以及其他特定类型的网络结构)可以很好地抵抗节点的随机删除ーー也就是说，绝大多数节点保持连接在一个巨大的组件中。这种网络对于旨在快速破坏网络的有针对性的攻击非常敏感。
当图是均匀随机的，除了度分布，这些临界顶点是最高度的，因此牵涉到疾病(包括自然与人为)在社会和通信网络的传播、时尚的传播(两者都是模型渗流或分支过程)。随机图(ER)的节点间的顺序为 log N的平均距离，其中 N是节点数，无标度图可以有 log log N的距离。这样的图被称为超小世界网络。
===网络科学===
===网络科学===
[[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png/500px-Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png]]
[[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png/500px-Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png]]
双曲几何常用的[https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model 模型]有四种：[https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_model 克莱恩模型]、[https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_disk_model 庞加莱圆盘模型]、[https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_half-plane_model 庞加莱半平面模型]和洛伦茨或[https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid_model 双曲面模型]。这些模型定义了满足双曲几何公理的双曲平面。尽管它们的名字，上面提到的前三个模型是由[https://en.wikipedia.org/wiki/Eugenio_Beltrami 贝尔特拉米]作为双曲空间模型引入的，而不是由[https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincaré 庞加莱]或[https://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein 克莱恩]提出的。所有这些模型都可以扩展到更多的维度。
双曲几何常用的[https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model 模型]有四种：[https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_model 克莱恩模型]、[https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_disk_model 庞加莱圆盘模型]、[https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_half-plane_model 庞加莱半平面模型]和洛伦茨或[https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid_model 双曲面模型]。这些模型定义了满足双曲几何公理的双曲平面。尽管它们的名字，上面提到的前三个模型是由[https://en.wikipedia.org/wiki/Eugenio_Beltrami 贝尔特拉米]作为双曲空间模型引入的，而不是由[https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincaré 庞加莱]或[https://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein 克莱恩]提出的。所有这些模型都可以扩展到更多的维度。
==参考文献==
==参考文献==