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==相关分布==

==相关分布==

===通常===

===通常===

* 如果<math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> 且<math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math>独立, 则差值<math> Y = X_1 - X_2</math> 遵循[[Skellam分布]].

* 如果<math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> 且<math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math>独立, 则差值<math> Y = X_1 - X_2</math> 遵循[[Skellam分布]]。

 

:具体来说，如果<math>X_1+X_2=k</math> ，那么<math>\!X_1\sim \mathrm{Binom}(k, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2))</math>。

:具体来说，如果<math>X_1+X_2=k</math> ，那么<math>\!X_1\sim \mathrm{Binom}(k, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2))</math>。

:更一般地说，如果''X''₁, ''X''₂,..., ''X''_''n'' 是独立的随机变量，参数λ₁, λ₂,..., λ_n然后

:更一般地说，如果''X''₁, ''X''₂,..., ''X''_''n'' 是独立的随机变量，参数λ₁, λ₂,..., λ_n然后

:: 给定 <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math> <math>X_i \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right)</math>. 事实上， <math>\{X_i\} \sim \mathrm{Multinom}\left(k, \left\{\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right\}\right)</math>.

:: 给定 <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math> <math>X_i \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right)</math>. 事实上， <math>\{X_i\} \sim \mathrm{Multinom}\left(k, \left\{\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right\}\right)</math>。

* If <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math> and the distribution of <math>Y</math>, conditional on ''X''&nbsp;=&nbsp;''k'', is a [[binomial distribution]], <math>Y \mid (X = k) \sim \mathrm{Binom}(k, p)</math>, then the distribution of Y follows a Poisson distribution <math>Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p)\,</math>. In fact, if <math>\{Y_i\} </math>, conditional on X = k, follows a multinomial distribution, <math>\{Y_i\} \mid (X = k) \sim \mathrm{Multinom}\left(k, p_i\right)</math>, then each <math>Y_i</math> follows an independent Poisson distribution <math>Y_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p_i), \rho(Y_i, Y_j) = 0</math>.

* 如果 <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math>, 和分布<math>Y</math>是，以''X''&nbsp;=&nbsp;''k''为条件，是二项式分布，<math>Y \mid (X = k) \sim \mathrm{Binom}(k, p)</math>，则 Y 的分布服从泊松分布。事实上，如果<math>\{Y_i\} </math>, 以 X = k 为条件, 服从多项式分布,<math>\{Y_i\} \mid (X = k) \sim \mathrm{Multinom}\left(k, p_i\right)</math>，那么每个 <math>Y_i</math> 遵循独立的泊松分布<math>Y_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p_i), \rho(Y_i, Y_j) = 0</math>。

* The Poisson distribution can be derived as a limiting case to the binomial distribution as the number of trials goes to infinity and the [[expected value|expected]] number of successes remains fixed — see [[#law of rare events|law of rare events]] below. Therefore, it can be used as an approximation of the binomial distribution if ''n'' is sufficiently large and ''p'' is sufficiently small. There is a rule of thumb stating that the Poisson distribution is a good approximation of the binomial distribution if n is at least 20 and ''p'' is smaller than or equal to 0.05, and an excellent approximation if ''n''&nbsp;≥&nbsp;100 and ''np''&nbsp;≤&nbsp;10.{{r|NIST2006}}

 

* 泊松分布可以作为二项式分布的一个极限情况推导出来，因为试验次数趋于无穷，而预期的成功次数保持不变——参见下面的罕见事件定律。因此，如果''n''足够大且''p''足够小，则它可以用作二项式分布的近似值。有一条经验法则表明，如果''n''至少为 20 且''p''小于或等于 0.05，则泊松分布是二项式分布的良好近似，如果''n'' ≥ 100 且''np'' ≤ 10 ，则是极好的近似。

:: <math>F_\mathrm{Binomial}(k;n, p) \approx F_\mathrm{Poisson}(k;\lambda=np)\,</math>

:: <math>F_\mathrm{Binomial}(k;n, p) \approx F_\mathrm{Poisson}(k;\lambda=np)\,</math>

* [[Variance-stabilizing transformation]]: If <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math>, then

* Variance-stabilizing转换: 如果<math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math>, 则

::<math>Y = 2 \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(2\sqrt{\lambda};1)</math>,

::<math>Y = 2 \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(2\sqrt{\lambda};1)</math>,

:在这种转换下，收敛到正态的速度(如<math>\lambda</math>增加)远远快于未转换的变量。还有一些稍微复杂一些的稳定方差的变换，其中之一就是安斯科姆变换。有关转换的更多一般用途，请参见数据转换(统计信息)。

:在这种转换下，收敛到正态的速度(如<math>\lambda</math>增加)远远快于未转换的变量。还有一些稍微复杂一些的稳定方差的变换，其中之一就是安斯科姆变换。有关转换的更多一般用途，请参见数据转换(统计信息)。如果对于每个''t''&nbsp;>&nbsp;0，时间间隔[0,&nbsp;''t'']中的到达次数服从均值为''λt''的泊松分布，则到达间隔时间 序列是具有均值 1/''λ''的独立同分布指数随机变量。

* If for every ''t''&nbsp;>&nbsp;0 the number of arrivals in the time interval [0,&nbsp;''t''] follows the Poisson distribution with mean ''λt'', then the sequence of inter-arrival times are independent and identically distributed [[exponential distribution|exponential]] random variables having mean&nbsp;1/''λ''.{{r|Ross2010|p=317–319}}

* 泊松分布和卡方分布的累积分布函数有以下关系：

 

 

::<math>F_\text{Poisson}(k;\lambda)  = 1-F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1))  \quad\quad \text{ integer } k,</math>

::<math>F_\text{Poisson}(k;\lambda)  = 1-F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1))  \quad\quad \text{ integer } k,</math>

 

::<math>\Pr(X=k)=F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1))  -F_{\chi^2}(2\lambda;2k) .</math>

::<math>\Pr(X=k)=F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1))  -F_{\chi^2}(2\lambda;2k) .</math>