567
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第750行：
第750行： − 《数学》+ + + + − p_i = \frac{\Omega_B(E - E_i)}{\Omega_{(S,B)}(E)}. + − P _ i = frac { Omega _ b (e-e _ i)}{ Omega _ {(s，b)}(e)}. − :<math> + + − p_i = \frac{\Omega_B(E - E_i)}{\Omega_{(S,B)}(E)}. − Assuming that the heat bath's internal energy is much larger than the energy of S (E ≫ E<sub>i</sub>), we can Taylor-expand <math>\Omega_B</math> to first order in E<sub>i</sub> and use the thermodynamic relation <math>\partial S_B/\partial E = 1/T</math>, where here <math>S_B</math>, <math>T</math> are the entropy and temperature of the bath respectively:+ + + + − 假设热水池的内能远大于热水池的内能''S'' (''E'' ≫ ''E<sub>i</sub>'') ，我们可以对E<sub>i</sub> 进行一阶泰勒展开 <math>\Omega_B</math> ，并利用热力学关系式 <math>\partial S_B/\partial E = 1/T</math>，这里<math>S_B</math>, <math>T</math> 分别是热水池的熵和温度:+ + + 第824行：
第831行： − − Thus − − :<math> 第841行：
第844行： − :<math> 第853行：
第855行： − + − [数学]长角 e rangle = sum _ s e _ s p _ s = frac {1}{ z } sum _ s e _ s+ − + − + − + − + − + − E ^ {-beta e _ s } =-frac {1}{ z } frac { partial beta }+ − − : <math>\langle E \rangle = \sum_s E_s P_s = \frac{1}{Z} \sum_s E_s − − − − Z (beta，e_1，e_2，cdots) =-frac { partial ln z }{ partial beta } − − e^{- \beta E_s} = - \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \beta} − − − − <math>\langle E\rangle = k_B T^2 \frac{\partial \ln Z}{\partial T}.</math> 第883行：
第873行： − <math>E_s = E_s^{(0)} + \lambda A_s \qquad \mbox{for all}\; s </math> − 第890行：
第878行： − <math>\langle A\rangle = \sum_s A_s P_s = -\frac{1}{\beta} − − 1. a rangle = sum _ s a _ s p _ s =-frac {1}{ beta } − − − − \frac{\partial}{\partial\lambda} \ln Z(\beta,\lambda).</math> 第905行：
第886行： +
→Connection to probability theory 与概率论的结合
<math>
<math>
p_i = \frac{\Omega_B(E - E_i)}{\Omega_{(S,B)}(E)}.
</math>
Assuming that the heat bath's internal energy is much larger than the energy of S (E ≫ E<sub>i</sub>), we can Taylor-expand <math>\Omega_B</math> to first order in E<sub>i</sub> and use the thermodynamic relation <math>\partial S_B/\partial E = 1/T</math>, where here <math>S_B</math>, <math>T</math> are the entropy and temperature of the bath respectively:
假设热水池的内能远大于热水池的内能''S'' (''E'' ≫ ''E<sub>i</sub>'') ，我们可以对E<sub>i</sub> 进行一阶泰勒展开 <math>\Omega_B</math> ，并利用热力学关系式 <math>\partial S_B/\partial E = 1/T</math>，这里<math>S_B</math>, <math>T</math> 分别是热水池的熵和温度:
<math>
k \ln p_i &= k \ln \Omega_B(E - E_i) - k \ln \Omega_{(S,B)}(E) \\[5pt]
</math>
</math>
<math>
&\approx -\frac{\partial\big(k \ln \Omega_B(E)\big)}{\partial E} E_i + k \ln\Omega_B(E) - k \ln \Omega_{(S,B)}(E)
</math>
<math>
&\approx -\frac{\partial\big(k \ln \Omega_B(E)\big)}{\partial E} E_i + k \ln\Omega_B(E) - k \ln \Omega_{(S,B)}(E)
</math>
<math>
<math>
<math>
<math>
p_i \propto e^{-E_i/(kT)} = e^{-\beta E_i}.
p_i \propto e^{-E_i/(kT)} = e^{-\beta E_i}.
</math>
</math>
Z = \sum_i e^{-\beta E_i} = \frac{\Omega_{(S,B)}(E)}{\Omega_B(E)}.
Z = \sum_i e^{-\beta E_i} = \frac{\Omega_{(S,B)}(E)}{\Omega_B(E)}.
</math>
</math>
<math>\langle E \rangle = \sum_s E_s P_s = \frac{1}{Z} \sum_s E_s
<math>\langle E \rangle = \sum_s E_s P_s = \frac{1}{Z} \sum_s E_s
e^{- \beta E_s} = - \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \beta}
e^{- \beta E_s} = - \frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \beta}
Z(\beta, E_1, E_2, \cdots) = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}
</math>
Z(\beta, E_1, E_2, \cdots) = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}
</math>
or, equivalently,
or, equivalently,
或者，等价地说,
或者，等价地说,
: <math>\langle E\rangle = k_B T^2 \frac{\partial \ln Z}{\partial T}.</math>
: <math>\langle E\rangle = k_B T^2 \frac{\partial \ln Z}{\partial T}.</math>
如果微态能量依赖于参数 λ 的方式
如果微态能量依赖于参数 λ 的方式
: <math>E_s = E_s^{(0)} + \lambda A_s \qquad \mbox{for all}\; s </math>
: <math>E_s = E_s^{(0)} + \lambda A_s \qquad \mbox{for all}\; s </math>
那么 A 的期望值就是
那么 A 的期望值就是
: <math>\langle A\rangle = \sum_s A_s P_s = -\frac{1}{\beta}
: <math>\langle A\rangle = \sum_s A_s P_s = -\frac{1}{\beta}
这为我们提供了一种计算许多微观量的期望值的方法。我们将这个量人为地加到微态能量上(或者用量子力学的语言，加到哈密顿量上) ，计算出新的配分函数和期望值，然后在最终的表达式中将 λ 设置为零。这类似于量子场论路径积分表述中使用的源场方法。
这为我们提供了一种计算许多微观量的期望值的方法。我们将这个量人为地加到微态能量上(或者用量子力学的语言，加到哈密顿量上) ，计算出新的配分函数和期望值，然后在最终的表达式中将 λ 设置为零。这类似于量子场论路径积分表述中使用的源场方法。
=== Relation to thermodynamic variables 与热力学变量的关联 ===
=== Relation to thermodynamic variables 与热力学变量的关联 ===