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第583行：
第583行： − To make it into a dimensionless quantity, we must divide it by ''h'', which is some quantity with units of [[action (physics)|action]] (usually taken to be [[Planck's constant]]). − + − − 经典的连续系统(多全同粒子) + 第609行：
第607行： − + − − − 第622行：
第617行： − − The [[dimension]] of <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> is the number of [[energy eigenstates]] of the system. 第641行：
第634行： − − − − In systems with multiple [[quantum states]] ''s'' sharing the same energy ''E<sub>s</sub>'', it is said that the [[energy levels]] of the system are [[Degenerate energy levels|degenerate]]. In the case of degenerate energy levels, we can write the partition function in terms of the contribution from energy levels (indexed by ''j'') as follows. − − where ''g<sub>j</sub>'' is the degeneracy factor, or number of quantum states ''s'' that have the same energy level defined by ''E<sub>j</sub>'' = ''E<sub>s</sub>''. 第662行：
第649行： − where ''Ĥ'' is the [[Hamiltonian (quantum mechanics)|quantum Hamiltonian operator]]. The exponential of an operator can be defined using the [[Characterizations of the exponential function|exponential power series]].+ + + − Ĥ是量子哈密顿算符。算子的指数可以用指数幂级数来定义。 − The classical form of ''Z'' is recovered when the trace is expressed in terms of [[coherent state]]s<ref name=":0">{{cite book |first1=John R. |last1=Klauder |first2=Bo-Sture |last2=Skagerstam+ 第679行：
第667行： − + − − are regarded as negligible. Formally, using bra–ket notation, one inserts under the trace for each degree of freedom the identity: − − 经典形式的Z 可以用迹的相干态<ref name=":0" />来表示通常被视为微不足道。正式来说，使用 bra-ket 形式，在每个自由度的迹线下插入恒等式： − − and when quantum-mechanical [[uncertainty principle|uncertainties]] in the position and momentum of a particle 第694行：
第676行： − where x, p is a normalised Gaussian wavepacket centered at 第701行：
第682行： − − 《数学》 第712行：
第691行： − A coherent state is an approximate eigenstate of both operators <math> \hat{x} </math> and <math> \hat{p} </math>, hence also of the Hamiltonian Ĥ, with errors of the size of the uncertainties. If Δx and Δp can be regarded as zero, the action of Ĥ reduces to multiplication by the classical Hamiltonian, and Z reduces to the classical configuration integral.+ − 相干态是两个算符<math> \hat{x} </math> 和 <math> \hat{p} </math>的近似本征态，因此也是哈密顿量 ''Ĥ'',的近似本征态，误差大小与不确定性有关。如果Δ''x'' 和 Δ''p''可以看作为零，则经典哈密顿量 ''Ĥ'' 的作用减为乘法， ''Z''的作用减为经典构型积分。 第736行：
第714行： − Assuming that the heat bath's internal energy is much larger than the energy of S (E ≫ E<sub>i</sub>), we can Taylor-expand <math>\Omega_B</math> to first order in E<sub>i</sub> and use the thermodynamic relation <math>\partial S_B/\partial E = 1/T</math>, where here <math>S_B</math>, <math>T</math> are the entropy and temperature of the bath respectively: 第797行：
第774行： − Since the total probability to find the system in ''some'' microstate (the sum of all ''p<sub>i</sub>'') must be equal to 1, we know that the constant of proportionality must be the [[Normalizing constant|normalization constant]], and so, we can define the partition function to be this constant: 第881行：
第857行： − − If the sub-systems have the same physical properties, then their partition functions are equal, ζ<sub>1</sub> = ζ<sub>2</sub> = ... = ζ, in which case 第890行：
第864行： − 然而，这条规则有一个众所周知的例外。如果这些子系统实际上是全同粒子的，从量子力学的意义上说，即使在原则上也无法区分它们，那么总配分函数必须除以 n！(n 阶乘) :+ − − This is to ensure that we do not "over-count" the number of microstates. While this may seem like a strange requirement, it is actually necessary to preserve the existence of a thermodynamic limit for such systems. This is known as the [[Gibbs paradox]]. 第904行：
第876行： − The partition function can be related to thermodynamic properties because it has a very important statistical meaning. The probability P<sub>s</sub> that the system occupies microstate s is − − Thus, as shown above, the partition function plays the role of a normalizing constant (note that it does ''not'' depend on ''s''), ensuring that the probabilities sum up to one: 第934行：
第903行： − − − Here, each microstate is labelled by <math>i</math>, and has total particle number <math>N_i</math> and total energy <math>E_i</math>. This partition function is closely related to the grand potential, <math>\Phi_{\rm G}</math>, by the relation 第943行：
第909行： − − − This can be contrasted to the canonical partition function above, which is related instead to the [[Helmholtz free energy]]. 第961行：
第924行： − − The grand partition function is sometimes written (equivalently) in terms of alternate variables as
无编辑摘要
<math> h </math> 是普朗克常数; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> H(q, p) </math> 是系统的哈密顿函数; <math> q </math> 是正则位置; <math> p </math> 是正则动量。
<math> h </math> 是普朗克常数; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> H(q, p) </math> 是系统的哈密顿函数; <math> q </math> 是正则位置; <math> p </math> 是正则动量。
为了使它成为一个无量纲量，我们必须将它除以带有作用单位的量 h(通常被认为是普朗克常数)。
为了使它成为一个无量纲量，我们必须将它除以带有作用单位的量 h(通常被认为是普朗克常数)。
;Classical continuous system (multiple identical particles)
;
==== 经典的连续系统(多全同粒子) ====
For a gas of <math> N </math> identical classical particles in three dimensions, the partition function is
For a gas of <math> N </math> identical classical particles in three dimensions, the partition function is
==== 量子力学离散系统 ====
==== 量子力学离散系统 ====
For a canonical ensemble that is quantum mechanical and discrete, the canonical partition function is defined as the [[trace (linear algebra)|trace]] of the Boltzmann factor:
For a canonical ensemble that is quantum mechanical and discrete, the canonical partition function is defined as the [[trace (linear algebra)|trace]] of the Boltzmann factor:
<math> \operatorname{tr} ( \circ ) </math> 是矩阵的轨迹; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符。
<math> \operatorname{tr} ( \circ ) </math> 是矩阵的轨迹; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符。
系统的能量本征态个数 <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> 是系统的能量本征态个数。
系统的能量本征态个数 <math> \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} </math> 是系统的能量本征态个数。
<math> h </math> 是普朗克常数; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符；<math> q </math>是正则位置；<math> p </math> 是正则动量。
<math> h </math> 是普朗克常数; <math> \beta </math> 是热力学beta，定义为 <math> \tfrac{1}{k_\text{B} T} </math>; <math> \hat{H} </math> 是哈密尔顿算符；<math> q </math>是正则位置；<math> p </math> 是正则动量。
在具有多个量子态''s''共享相同能量的系统中，系统的能级''E<sub>s</sub>''是简并的。在简并能级的情况下，我们可以用能级（ ''j'' ）的贡献来表示配分函数，如下:
在具有多个量子态''s''共享相同能量的系统中，系统的能级''E<sub>s</sub>''是简并的。在简并能级的情况下，我们可以用能级（ ''j'' ）的贡献来表示配分函数，如下:
<math> Z = \sum_j g_j \cdot \mathrm{e}^{-\beta E_j},</math>
<math> Z = \sum_j g_j \cdot \mathrm{e}^{-\beta E_j},</math>
其中''g<sub>j</sub>''是简并因子，或者是由 ''E<sub>j</sub>'' = ''E<sub>s</sub>'' 定义的具有相同能级的量子态 ''s'' 的数目。
其中''g<sub>j</sub>''是简并因子，或者是由 ''E<sub>j</sub>'' = ''E<sub>s</sub>'' 定义的具有相同能级的量子态 ''s'' 的数目。
<math>Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ),</math>
<math>Z = \operatorname{tr} ( \mathrm{e}^{-\beta \hat{H}} ),</math>
Ĥ是量子哈密顿算符。算子的指数可以用指数幂级数来定义。
经典形式的Z 可以用迹的相干态<ref name=":0">{{cite book |first1=John R. |last1=Klauder |first2=Bo-Sture |last2=Skagerstam
The classical form of Z is recovered when the trace is expressed in terms of coherent states
The classical form of Z is recovered when the trace is expressed in terms of coherent states
当粒子位置和动量的量子力学不确定性
当粒子位置和动量的量子力学不确定性
|publisher=World Scientific |date=1985 |pages=71–73 |isbn=978-9971-966-52-2 }}</ref>
|publisher=World Scientific |date=1985 |pages=71–73 |isbn=978-9971-966-52-2 }}</ref>来表示通常被视为微不足道。正式来说，使用 bra-ket 形式，在每个自由度的迹线下插入恒等式：
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</math>
其中 x，p 是一个被位置 x 和动量 p包围的正态高斯波包被
其中 x，p 是一个被位置 x 和动量 p包围的正态高斯波包被
<math>
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Z = \int \operatorname{tr} \left( \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} |x, p\rangle \langle x, p| \right) \frac{dx \,dp}{h}
Z = \int \operatorname{tr} \left( \mathrm{e}^{-\beta\hat{H}} |x, p\rangle \langle x, p| \right) \frac{dx \,dp}{h}
</math>
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相干态是两个算符<math> \hat{x} </math> 和 <math> \hat{p} </math>的近似本征态，因此也是哈密顿量 ''Ĥ'',的近似本征态，误差大小与不确定性有关。如果Δ''x'' 和 Δ''p''可以看作为零，则经典哈密顿量 ''Ĥ'' 的作用减为乘法， ''Z''的作用减为经典构型积分。
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假设热水池的内能远大于热水池的内能''S'' (''E'' ≫ ''E<sub>i</sub>'') ，我们可以对E<sub>i</sub> 进行一阶泰勒展开 <math>\Omega_B</math> ，并利用热力学关系式 <math>\partial S_B/\partial E = 1/T</math>，这里<math>S_B</math>, <math>T</math> 分别是热水池的熵和温度:
假设热水池的内能远大于热水池的内能''S'' (''E'' ≫ ''E<sub>i</sub>'') ，我们可以对E<sub>i</sub> 进行一阶泰勒展开 <math>\Omega_B</math> ，并利用热力学关系式 <math>\partial S_B/\partial E = 1/T</math>，这里<math>S_B</math>, <math>T</math> 分别是热水池的熵和温度:
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由于发现系统处于某种微观状态的总概率(所有 p<sub>i</sub>的和)必须等于1，我们知道比例常数必须是归一化常数，因此，我们可以将配分函数定义为这个常数:
由于发现系统处于某种微观状态的总概率(所有 p<sub>i</sub>的和)必须等于1，我们知道比例常数必须是归一化常数，因此，我们可以将配分函数定义为这个常数:
: <math>Z =\prod_{j=1}^{N} \zeta_j.</math>
: <math>Z =\prod_{j=1}^{N} \zeta_j.</math>
如果子系统具有相同的物理性质，那么它们的配分函数是相等的，ζ<sub>1</sub> = ζ<sub>2</sub> = ... = ζ，在这种情况下
如果子系统具有相同的物理性质，那么它们的配分函数是相等的，ζ<sub>1</sub> = ζ<sub>2</sub> = ... = ζ，在这种情况下
However, there is a well-known exception to this rule. If the sub-systems are actually [[identical particles]], in the [[quantum mechanics|quantum mechanical]] sense that they are impossible to distinguish even in principle, the total partition function must be divided by a ''N''! (''N'' [[factorial]]):
However, there is a well-known exception to this rule. If the sub-systems are actually [[identical particles]], in the [[quantum mechanics|quantum mechanical]] sense that they are impossible to distinguish even in principle, the total partition function must be divided by a ''N''! (''N'' [[factorial]]):
然而，这条规则有一个众所周知的例外。如果这些子系统实际上是全同粒子的，从量子力学的意义上说，基本无法区分所有的粒子，所以总配分函数必须除以 n！(n 阶乘) :
: <math>Z = \frac{\zeta^N}{N!}.</math>
: <math>Z = \frac{\zeta^N}{N!}.</math>
这是为了确保我们不会“过多计算”微型状态的数量。虽然这看起来似乎是一个奇怪的要求，但实际上有必要为这样的系统保留一个热力学极限。这就是所谓的[[吉布斯悖论]]。
这是为了确保我们不会“过多计算”微型状态的数量。虽然这看起来似乎是一个奇怪的要求，但实际上有必要为这样的系统保留一个热力学极限。这就是所谓的[[吉布斯悖论]]。
正如我们在上面定义的那样，为什么配分函数是一个重要的量可能看起来并不明显。首先，考虑其中的内容。配分函数是温度 ''T'' 和微态能量 ''E''<sub>1</sub>, ''E''<sub>2</sub>, ''E''<sub>3</sub>, 等的函数。微态能量由其他热力学变量决定，例如粒子数和体积，以及质量等微观量的组成粒子。这种对微观变量的依赖是统计力学的中心点。有了系统微观成分的模型，我们可以计算微观状态能量，从而计算配分函数，然后我们就可以计算系统的所有其他热力学特性。
正如我们在上面定义的那样，为什么配分函数是一个重要的量可能看起来并不明显。首先，考虑其中的内容。配分函数是温度 ''T'' 和微态能量 ''E''<sub>1</sub>, ''E''<sub>2</sub>, ''E''<sub>3</sub>, 等的函数。微态能量由其他热力学变量决定，例如粒子数和体积，以及质量等微观量的组成粒子。这种对微观变量的依赖是统计力学的中心点。有了系统微观成分的模型，我们可以计算微观状态能量，从而计算配分函数，然后我们就可以计算系统的所有其他热力学特性。
配分函数与热力学性质有关，因此它具有非常重要的统计意义。系统处于微观状态 ''s'' 的概率''P<sub>s</sub>''为
配分函数与热力学性质有关，因此它具有非常重要的统计意义。系统处于微观状态 ''s'' 的概率''P<sub>s</sub>''为
<math>P_s = \frac{1}{Z} \mathrm{e}^{- \beta E_s}. </math>
<math>P_s = \frac{1}{Z} \mathrm{e}^{- \beta E_s}. </math>
因此，如上所示，配分函数常数扮演了一个正常化常数的角色(注意它不依赖于 ''s'' ) ，确保概率总和为1:
因此，如上所示，配分函数常数扮演了一个正常化常数的角色(注意它不依赖于 ''s'' ) ，确保概率总和为1:
<math> \mathcal{Z}(\mu, V, T) = \sum_{i} \exp\left(\frac{N_i\mu - E_i}{k_B T} \right). </math>
<math> \mathcal{Z}(\mu, V, T) = \sum_{i} \exp\left(\frac{N_i\mu - E_i}{k_B T} \right). </math>
每个微观状态都用<math>i</math>标记，并且有总粒子数 <math>N_i</math> 和总能量 <math>E_i</math>。这种配分函数与[[大位能]]密切相关, <math>\Phi_{\rm G}</math>, 通过这种关系
每个微观状态都用<math>i</math>标记，并且有总粒子数 <math>N_i</math> 和总能量 <math>E_i</math>。这种配分函数与[[大位能]]密切相关, <math>\Phi_{\rm G}</math>, 通过这种关系
<math> -k_B T \ln \mathcal{Z} = \Phi_{\rm G} = \langle E \rangle - TS - \mu \langle N\rangle. </math>
<math> -k_B T \ln \mathcal{Z} = \Phi_{\rm G} = \langle E \rangle - TS - \mu \langle N\rangle. </math>
这可以与上面提到的正则配分函数相对照，后者与亥姆霍兹自由能相关。
这可以与上面提到的正则配分函数相对照，后者与亥姆霍兹自由能相关。
巨正则系综理论的一个重要应用是精确地导出没有相互作用的多体量子气体的统计数据(费米-狄拉克统计费米子，玻色子玻色子玻色-爱因斯坦统计) ，然而，它的应用范围要比这广泛得多。巨正则系综也可以用来描述经典系统，甚至相互作用的量子气体。
巨正则系综理论的一个重要应用是精确地导出没有相互作用的多体量子气体的统计数据(费米-狄拉克统计费米子，玻色子玻色子玻色-爱因斯坦统计) ，然而，它的应用范围要比这广泛得多。巨正则系综也可以用来描述经典系统，甚至相互作用的量子气体。
巨配分函数有时候是用交替变量<ref>{{cite book | isbn = 9780120831807 | title = Exactly solved models in statistical mechanics | last1 = Baxter | first1 = Rodney J. | year = 1982 | publisher = Academic Press Inc. | pages = }}</ref>来表示的
巨配分函数有时候是用交替变量<ref>{{cite book | isbn = 9780120831807 | title = Exactly solved models in statistical mechanics | last1 = Baxter | first1 = Rodney J. | year = 1982 | publisher = Academic Press Inc. | pages = }}</ref>来表示的