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the first degree in <math>a, b,</math> and <math>c\ .</math>

the first degree in <math>a, b,</math> and <math>c\ .</math>

例如，<math>ax^2 + bxy + cy^2</math>是<math>x</math>和<math>y</math>二次齐次函数，而对<math>a, b,</math><math>c\ </math>则是一次齐次。

例如，<math>ax^2 + bxy + cy^2</math>是<math>x</math>和<math>y</math>二次齐次函数，而对<math>a, b,</math><math>c\ </math>则是一次齐次的。

By setting <math>\lambda = 1/x</math> in ({{EquationNote|1}}) we have

By setting <math>\lambda = 1/x</math> in ({{EquationNote|1}}) we have

f(x, y, z, \ldots) = x^nf(1, y/x,

f(x, y, z, \ldots) = x^nf(1, y/x,

z/x, \ldots) \equiv x^n\phi(y/x, z/x, \ldots); </math>

z/x, \ldots) \equiv x^n\phi(y/x, z/x, \ldots); </math>

将<math>\lambda = 1/x</math>带入({{EquationNote|1}})，则有齐次性的另一种表达式，如果<math>f (x, y, z,

将<math>\lambda = 1/x</math>带入({{EquationNote|1}})，则有齐次性的另一种表达式：如果<math>f (x, y, z,

\ldots)</math>满足关系：{{NumBlk|2=<math>f(x, y, z, \ldots) = x^nf(1, y/x,

\ldots)</math>满足关系：{{NumBlk|2=<math>f(x, y, z, \ldots) = x^nf(1, y/x,

z/x, \ldots) \equiv x^n\phi(y/x, z/x, \ldots);</math>|3={{EquationRef|2}}|：}}

z/x, \ldots) \equiv x^n\phi(y/x, z/x, \ldots);</math>|3={{EquationRef|2}}|：}}

function <math>\phi</math> of the ratios <math>y/x, z/x, \ldots</math>

function <math>\phi</math> of the ratios <math>y/x, z/x, \ldots</math>

alone.

alone.

If <math>f (x, y, z, \ldots)</math> is homogeneous of degree

If <math>f (x, y, z, \ldots)</math> is homogeneous of degree

{m_1}, \lambda {m_2}, \ldots ) = \lambda S(E, V, {m_1}, {m_2}, \ldots).

{m_1}, \lambda {m_2}, \ldots ) = \lambda S(E, V, {m_1}, {m_2}, \ldots).

</math>

</math>

在[https://wiki.swarma.org/index.php/%E7%83%AD%E5%8A%9B%E5%AD%A6 热力学 Thermodynamics]中，如果一个系统的标度增加<math>\lambda</math>倍而其强度量不发生变化，则该系统所有化学组分的广度量（如熵<math>S\ ,</math>能量<math>E\ ,</math>体积<math>V\ ,</math>质量<math>m_1, m_2, \ldots</math>等）也增加相同倍数。因此广度函数<math>S(E, V, m_1, m_2, \ldots)</math>在广义论证中满足齐次关系：{{NumBlk|:|<math>S(\lambda E, \lambda V, \lambda

在[[热力学|'''热力学 Thermodynamics''']]中，如果一个系统的标度增加<math>\lambda</math>倍而其强度量不发生变化，仅是该系统所有化学组分的广度量（如熵<math>S\ </math>，能量<math>E\ </math>，体积<math>V\ </math>和质量<math>m_1, m_2, \ldots</math>等）也增加相同倍数。则有广度函数<math>S(E, V, m_1, m_2, \ldots)</math>在广义论证中满足齐次关系：{{NumBlk|:|<math>S(\lambda E, \lambda V, \lambda

{m_1}, \lambda {m_2}, \ldots ) = \lambda S(E, V, {m_1}, {m_2}, \ldots).</math>|{{EquationRef|4}}}}

{m_1}, \lambda {m_2}, \ldots ) = \lambda S(E, V, {m_1}, {m_2}, \ldots).</math>|{{EquationRef|4}}}}

\cdots) =S, </math>

\cdots) =S, </math>

以<math>T</math>，<math>p</math>，<math>\mu_i</math> 分别表示温度，压力和不同组分<math>i\ </math>的化学势，根据热力学关系 <math>\partial

以<math>T</math>，<math>p</math>，<math>\mu_i</math> 分别表示温度，压力和不同组分<math>i\ </math>的化学势，根据热力学关系 <math>\partial

S/\partial E = 1/T\ ,</math> <math>\partial S/\partial V = p/T\ ,</math> 和<math>\partial S/\partial m_i = - \mu_i/T\ ;</math>再由欧拉定理可得：{{NumBlk|:|<math>\frac{1}{T} (E + pV - \mu_1m_1 - \mu_2m_2 -

S/\partial E = 1/T\ </math>， <math>\partial S/\partial V = p/T\ </math>，和<math>\partial S/\partial m_i = - \mu_i/T\ </math>：再由欧拉定理可得：{{NumBlk|:|<math>\frac{1}{T} (E + pV - \mu_1m_1 - \mu_2m_2 -

\cdots) =S,</math>|{{EquationRef|5}}}}

\cdots) =S,</math>|{{EquationRef|5}}}}

X = m_1 \frac{\partial X}{\partial

X = m_1 \frac{\partial X}{\partial

m_1} + m_2 \frac{\partial X}{\partial m_2} + \cdots , </math>

m_1} + m_2 \frac{\partial X}{\partial m_2} + \cdots , </math>

任何广度函数<math>X(T, p, m_1, m_2, \ldots)\ ,</math>（如体积<math>V\ </math>或者吉布斯自由能<math>E+pV-TS\ ,</math>）在等温等压状态下，对<math>m_i</math>都是一次齐次的，因此{{NumBlk|:|<math>X = m_1 \frac{\partial X}{\partial

任何广度函数<math>X(T, p, m_1, m_2, \ldots)\ </math>，（如体积<math>V\ </math>或者吉布斯自由能<math>E+pV-TS\ ,</math>）在等温等压状态下，对<math>m_i</math>都是一次齐次的，因此：{{NumBlk|:|<math>X = m_1 \frac{\partial X}{\partial

m_1} + m_2 \frac{\partial X}{\partial m_2} + \cdots ,</math>|{{EquationRef|6}}}}

m_1} + m_2 \frac{\partial X}{\partial m_2} + \cdots ,</math>|{{EquationRef|6}}}}