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规模法则 (查看源代码)

2021年12月14日 (二) 14:46的版本

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→‎Scaling laws 标度律
第21行： 第21行：  
x, \lambda y, \lambda z, \ldots) \equiv \lambda^{n}f (x, y, z,
 
x, \lambda y, \lambda z, \ldots) \equiv \lambda^{n}f (x, y, z,
 
\ldots).  </math>
 
\ldots).  </math>
−
如果对所有<math>\lambda\ </math>都满足关系{{NumBlk|2=<math>f(\lambda
+
如果对所有 <math>\lambda\ </math> 都满足关系{{NumBlk|2=<math>f(\lambda
 
x, \lambda y, \lambda z, \ldots) \equiv \lambda^{n}f (x, y, z,
 
x, \lambda y, \lambda z, \ldots) \equiv \lambda^{n}f (x, y, z,
 
\ldots). </math>|3={{EquationRef|1}}|：}}
 
\ldots). </math>|3={{EquationRef|1}}|：}}
   −
则称函数<math>f (x, y, z,\ldots)</math>是变量 <math>x,y,z,\ldots</math> 的 <math>n</math> 次齐次函数。
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则称函数 <math>f (x, y, z,\ldots)</math> 是变量 <math>x,y,z,\ldots</math> 的 <math>n</math> 次齐次函数。
    
For example, <math>ax^2 + bxy + cy^2</math>  is homogeneous of degree 2 in <math>x</math> and <math>y</math> and of
 
For example, <math>ax^2 + bxy + cy^2</math>  is homogeneous of degree 2 in <math>x</math> and <math>y</math> and of
 
the first degree in <math>a, b,</math> and <math>c\ .</math>
 
the first degree in <math>a, b,</math> and <math>c\ .</math>
   −
例如，<math>ax^2 + bxy + cy^2</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 二次齐次函数，而对<math>a, b,</math> <math>c\ </math>则是一次齐次的。
+
例如，<math>ax^2 + bxy + cy^2</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 二次齐次函数，而对 <math>a, b,</math> <math>c\ </math>则是一次齐次的。
    
By setting <math>\lambda = 1/x</math> in ({{EquationNote|1}}) we have
 
By setting <math>\lambda = 1/x</math> in ({{EquationNote|1}}) we have
第61行： 第61行：  
f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z}+\cdots \equiv nf.
 
f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z}+\cdots \equiv nf.
 
</math>
 
</math>
−
如果<math>f (x, y, z, \ldots)</math>对 <math>x, y, z, \ldots</math> 是<math>n</math>次齐次的，则它满足欧拉定理：{{NumBlk|:|<math>x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial
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如果<math>f (x, y, z, \ldots)</math> 对 <math>x, y, z, \ldots</math> 是 <math>n</math> 次齐次的，则它满足欧拉定理：{{NumBlk|:|<math>x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial
 
f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z}+\cdots \equiv nf.</math>|{{EquationRef|3}}}}
 
f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z}+\cdots \equiv nf.</math>|{{EquationRef|3}}}}
   第96行： 第96行：  
X = m_1 \frac{\partial X}{\partial
 
X = m_1 \frac{\partial X}{\partial
 
m_1} + m_2 \frac{\partial X}{\partial m_2} + \cdots , </math>
 
m_1} + m_2 \frac{\partial X}{\partial m_2} + \cdots , </math>
−
任何广度函数 <math>X(T, p, m_1, m_2, \ldots)\ </math>（如体积<math>V\ </math>或者吉布斯自由能<math>E+pV-TS\ </math>）在等温等压状态下，对 <math>m_i</math> 都是一次齐次的，因此：{{NumBlk|:|<math>X = m_1 \frac{\partial X}{\partial
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任何广度函数 <math>X(T, p, m_1, m_2, \ldots)\ </math>（如体积 <math>V\ </math>或者吉布斯自由能<math>E+pV-TS\ </math>）在等温等压状态下，对 <math>m_i</math> 都是一次齐次的，因此：{{NumBlk|:|<math>X = m_1 \frac{\partial X}{\partial
 
m_1} + m_2 \frac{\partial X}{\partial m_2} + \cdots ,</math>|{{EquationRef|6}}}}
 
m_1} + m_2 \frac{\partial X}{\partial m_2} + \cdots ,</math>|{{EquationRef|6}}}}
   第161行： 第161行：  
由于<math>M = -(\partial
 
由于<math>M = -(\partial
 
F/\partial H)_T\ </math>，等温条件下自由能 <math>F</math> 可以通过积分由({{EquationNote|7}})式得出，且相应的热容 <math>C_H = -(\partial ^2
 
F/\partial H)_T\ </math>，等温条件下自由能 <math>F</math> 可以通过积分由({{EquationNote|7}})式得出，且相应的热容 <math>C_H = -(\partial ^2
−
F/\partial T^2)_H\ </math>。由({{EquationNote|7}})式可知，在<math>H=0</math> 时 <math>C_H</math> 在临界点处依<math>\mid t\mid ^{-\alpha}</math>比例发散（其中 <math>t\rightarrow 0-</math> 和 <math>t\rightarrow
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F/\partial T^2)_H\ </math>。由({{EquationNote|7}})式可知，在<math>H=0</math> 时 <math>C_H</math> 在临界点处依 <math>\mid t\mid ^{-\alpha}</math> 比例发散（其中 <math>t\rightarrow 0-</math> 和 <math>t\rightarrow
 
0+ </math> 各有不同的系数），临界点指数 <math>\alpha</math> 与<math>\beta</math> 和 <math>\gamma</math> 满足以下标度律：{{NumBlk|:|<math>\alpha +2\beta +\gamma=2. </math>|{{EquationRef|9}}}}When <math>2\beta+\gamma=2</math> the resulting <math>\alpha =0</math> means, generally, a logarithmic rather than power-law divergence together with a superimposed finite discontinuity occurring between <math>t=0+</math> and <math>t=0-</math> [4].  In the 2-dimensional Ising model the discontinuity is absent and only the logarithm remains, while in mean-field (van der Waals, Curie-Weiss, Bragg-Williams) approximation the logarithm is absent but the discontinuity is still present.
 
0+ </math> 各有不同的系数），临界点指数 <math>\alpha</math> 与<math>\beta</math> 和 <math>\gamma</math> 满足以下标度律：{{NumBlk|:|<math>\alpha +2\beta +\gamma=2. </math>|{{EquationRef|9}}}}When <math>2\beta+\gamma=2</math> the resulting <math>\alpha =0</math> means, generally, a logarithmic rather than power-law divergence together with a superimposed finite discontinuity occurring between <math>t=0+</math> and <math>t=0-</math> [4].  In the 2-dimensional Ising model the discontinuity is absent and only the logarithm remains, while in mean-field (van der Waals, Curie-Weiss, Bragg-Williams) approximation the logarithm is absent but the discontinuity is still present.
   第212行： 第212行：  
\rho kT
 
\rho kT
 
\chi =1+\rho \int h(r) \rm{d}\tau </math>
 
\chi =1+\rho \int h(r) \rm{d}\tau </math>
−
在流体研究中，由数密度 <math>\rho</math> 和 等温压缩率<math>\chi</math>，我们可以得到一个'''[https://en.wikipedia.org/wiki/Ornstein%E2%80%93Zernike_equation? 奥恩斯泰因-泽尔尼克理论]'''的精确表达式：{{NumBlk|:|<math>\rho kT
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在流体研究中，由数密度 <math>\rho</math> 和 等温压缩率 <math>\chi</math>，我们可以得到一个'''[https://en.wikipedia.org/wiki/Ornstein%E2%80%93Zernike_equation? 奥恩斯泰因-泽尔尼克理论]'''的精确表达式：{{NumBlk|:|<math>\rho kT
 
\chi =1+\rho \int h(r) \rm{d}\tau</math>|{{EquationRef|13}}}}
 
\chi =1+\rho \int h(r) \rm{d}\tau</math>|{{EquationRef|13}}}}
   第250行： 第250行：  
:<math>\label{eq:16}
 
:<math>\label{eq:16}
 
\mu = (d-1)\nu, </math>
 
\mu = (d-1)\nu, </math>
−
临界点指数取决于维数 <math>d\ </math>。人们发现，将 <math>d</math> 视为具有任意大小的连续变量可以解释说明这一观点。在一类被称为超标度的临界点指数关系中，可以清楚地看到 <math>d</math>。关联长度 <math>\xi</math> 为密度或磁化波动的相干长度。决定其大小的是体积 <math>\xi ^d</math> 中与自发波动有关的过剩自由能，且一定是<math>kT\ </math> 阶的，在临界点处具有有限值  <math>kT_c</math> 。但在这样的微元体中，典型的波动只会产生共轭相。则自由能 <math>kT</math> 为创建区域 <math>\xi^{d-1}\ </math>的界面 <math>\sigma \xi^{d-1}\ </math>的自由能。因此，当接近临界点时，<math>\sigma \xi^{d-1}</math> 具有 <math>kT_c\ </math> 阶的有限极限。再由指数 <math>\mu</math> 和 <math>\nu\ </math>的定义可得超标度关系：{{NumBlk|:|<math>\mu = (d-1)\nu,</math>|{{EquationRef|16}}}}
+
临界点指数取决于维数 <math>d\ </math>。人们发现，将 <math>d</math> 视为具有任意大小的连续变量可以解释说明这一观点。在一类被称为超标度的临界点指数关系中，可以清楚地看到 <math>d</math>。关联长度 <math>\xi</math> 为密度或磁化波动的相干长度。决定其大小的是体积 <math>\xi ^d</math> 中与自发波动有关的过剩自由能，且一定是 <math>kT\ </math> 阶的，在临界点处具有有限值  <math>kT_c</math> 。但在这样的微元体中，典型的波动只会产生共轭相。则自由能 <math>kT</math> 为创建区域 <math>\xi^{d-1}\ </math>的界面 <math>\sigma \xi^{d-1}\ </math>的自由能。因此，当接近临界点时，<math>\sigma \xi^{d-1}</math> 具有 <math>kT_c\ </math> 阶的有限极限。再由指数 <math>\mu</math> 和 <math>\nu\ </math>的定义可得超标度关系：{{NumBlk|:|<math>\mu = (d-1)\nu,</math>|{{EquationRef|16}}}}
    
a hyperscaling relation [16]. With ({{EquationNote|1=15}}) we then have also [16]
 
a hyperscaling relation [16]. With ({{EquationNote|1=15}}) we then have also [16]
栗子CUGB
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取自“https://wiki.swarma.org/index.php/特殊:移动版差异/27942”

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