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第1行： − [[Category:Statistical Mechanics]]+ + + + − 生命或许是宇宙中最复杂、最多样化的现象，它展现出了大大小小、纷繁异常的组织、功能和行为。据估计，地球上有超过800万个不同的生物物种。［1］它们体形不一，最小的细菌质量不足1皮克，而最大的动物——蓝鲸则重100多吨。前往巴西的热带雨林，你可以在一块足球场面积大小的区域内找到100多种树木和分属数千个物种的数百万只昆虫。每个物种的孕育、出生、繁殖和死亡有太多令人惊异的不同。许多细菌仅能存活1小时，只需十万亿分之一瓦特的代谢率便能存活；而鲸类可以存活100年之久，其代谢率达到数百瓦特。［2］我们人类为这个星球所带来的社会生活的复杂性和多样性则在这幅绚丽多彩的生物生命画卷上增添了浓墨重彩的一笔，尤其是那些潜藏在城市外表下的商业、建筑及每位城市居民所表现出来的多样文化和他们背后隐藏的喜怒哀乐，以及所有这些非同寻常的现象。+ + 第27行：
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第265行： − + − + + − [1] C. Domb, ''The Critical Point'' (Taylor & Francis, 1996). − + − + + + + + + − [3] C. Domb and D.L. Hunter, Proc. Phys. Soc. '''86'''+ − (1965) 1147. − + + + + − [5] L.P. Kadanoff, Physics '''2''' (1966) 263.+ − [6] A.Z. Patashinskii and V.L. Pokrovskii, − Soviet Physics JETP '''23''' (1966) 292. − + − 176.+ − [8] B. Widom, J. Chem. Phys. '''41''' (1964) 1633.+ − [9] J.W. Essam and M.E. Fisher, J. Chem. Phys. ''' 38''' (1963) 802. − + + − [11] R.L. Scott, J. Chem. Phys. '''21''' (1953) 209.+ − [12] C. Domb and M.F. Sykes, Proc. Roy. Soc. A '''240''' (1957) 214.+ − [13] M.E. Fisher, Physica '''25''' (1959) 521. − + + − [15] M.E. Fisher, J. Math. Phys. '''5''' (1964) 944. − [16] B. Widom, J. Chem. Phys. '''43''' (1965) 3892.+ − + − [17] P.G. Watson, J. Phys. C1 (1968) 268.+ − − [18] G. Stell, Phys. Rev. Lett. '''20''' (1968) 533. − − [19] K.G. Wilson, Phys. Rev. B '''4''' (1971) 3174. − − [20] K.G. Wilson, Phys. Rev. B '''4''' (1971) 3184. − − [21] K.G. Wilson and M.E. Fisher, Phys. Rev. Lett. '''28''' (1972) 240. − − * Tomasz Downarowicz (2007) [[Entropy]]. Scholarpedia, 2(11):3901. − * Eugene M. Izhikevich (2007) [[Equilibrium]]. Scholarpedia, 2(10):2014. − * Giovanni Gallavotti (2008) [[Fluctuations]]. Scholarpedia, 3(6):5893. − * Cesar A. Hidalgo R. and Albert-Laszlo Barabasi (2008) [[Scale-free networks]]. Scholarpedia, 3(1):1716. − * http://www.scholarpedia.org/w/index.php?title=Scaling_laws&action=edit − * https://imagej.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Glossary.htm#scalingrulemmt − − <br> − − − 集智俱乐部公众号文章 − Nature 物理：规模法则制约肿瘤生长 | 集智俱乐部 (swarma.org)https://swarma.org/?p=20903 − 集智学园+ + − 规模法则如何制约生长与死亡——AI&Society 第九期<nowiki/>https://campus.swarma.org/course/636 − 规模的背后——关于规模法则本质的探寻 (swarma.org)https://campus.swarma.org/course/639 − 复杂世界，简单规则 (swarma.org)https://campus.swarma.org/course/638+
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==引言==
==引言==
规模（scale）是除去时间、空间之外另一个重要的维度。规模缩放（Scaling）的过程中隐藏着世界非线性本质奥秘背后的共性——规模法则。结合[[伯努瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot]]的《大自然的分形几何》、[[杰弗里·韦斯特 Geoffery West]] 的[[规模 Scale|《规模》]]以及唐纳德[[杰弗里·韦斯特 Geoffery West|·]]特科特 Donnald Turcotte《分形与混沌——在地质学与地球物理学中的应用》等文献资料，介绍规模法则的相关的内容。
规模（scale）是除去时间、空间之外另一个重要的维度。规模缩放（Scaling）的过程中隐藏着世界非线性本质奥秘背后的共性——规模法则。结合[[伯努瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot]]的《大自然的分形几何》、[[杰弗里·韦斯特 Geoffery West]] 的[[规模 Scale|《规模》]]以及唐纳德[[杰弗里·韦斯特 Geoffery West|·]]特科特 Donnald Turcotte《分形与混沌——在地质学与地球物理学中的应用》等文献资料，介绍规模法则的相关的内容。
生命或许是宇宙中最复杂、最多样化的现象，它展现出了大大小小、纷繁异常的组织、功能和行为。据估计，地球上有超过800万个不同的生物物种。<ref>C. Domb, ''The Critical Point'' (Taylor & Francis, 1996).</ref>它们体形不一，最小的细菌质量不足1皮克，而最大的动物——蓝鲸则重100多吨。前往巴西的热带雨林，你可以在一块足球场面积大小的区域内找到100多种树木和分属数千个物种的数百万只昆虫。每个物种的孕育、出生、繁殖和死亡有太多令人惊异的不同。许多细菌仅能存活1小时，只需十万亿分之一瓦特的代谢率便能存活；而鲸类可以存活100年之久，其代谢率达到数百瓦特。<ref> M.E. Fisher, Repts. Prog. Phys. '''30''', part 2
(1967) 615.</ref>我们人类为这个星球所带来的社会生活的复杂性和多样性则在这幅绚丽多彩的生物生命画卷上增添了浓墨重彩的一笔，尤其是那些潜藏在城市外表下的商业、建筑及每位城市居民所表现出来的多样文化和他们背后隐藏的喜怒哀乐，以及所有这些非同寻常的现象。
当我们将以上任何一种复杂的现象与非常简单的行星围绕太阳公转的规律或手表和苹果手机的计时规律相比的时候，自然会思考：在所有这些复杂性和多样性的背后，有没有可能也存在一种类似的潜在规律呢？是否存在一些令人信服的简单法则，确实是从植物、动物等生物体到城市、公司等所有复杂系统都会遵循的？全球各地的森林、草原和城市中正在上演的一幕幕景象是否都是随机的、变化无常的，是一个又一个的偶然事件吗？鉴于产生多样化结果进化过程的随机性，与直觉不同的是，任何规律或系统性行为的出现似乎都不太可能。毕竟，组成生物圈的每个生物体、每个子系统、每个器官、每个细胞、每个基因都是在独特的历史轨迹上，在与众不同的生态环境中，通过自然选择过程进化而来的。现在，让我们来看看图1~图4。每幅图都呈现一个已知变量与其规模大小的关系，这些变量都在人们的生活中扮演着重要的角色。图1是动物代谢率与其体重的关系图。图2是不同动物一生中的心跳次数与其体重的关系图。图3是一座城市所产生的专利数量与该城市人口的关系图。图4是上市公司的净收入和总资产与其雇员人数的关系图。
当我们将以上任何一种复杂的现象与非常简单的行星围绕太阳公转的规律或手表和苹果手机的计时规律相比的时候，自然会思考：在所有这些复杂性和多样性的背后，有没有可能也存在一种类似的潜在规律呢？是否存在一些令人信服的简单法则，确实是从植物、动物等生物体到城市、公司等所有复杂系统都会遵循的？全球各地的森林、草原和城市中正在上演的一幕幕景象是否都是随机的、变化无常的，是一个又一个的偶然事件吗？鉴于产生多样化结果进化过程的随机性，与直觉不同的是，任何规律或系统性行为的出现似乎都不太可能。毕竟，组成生物圈的每个生物体、每个子系统、每个器官、每个细胞、每个基因都是在独特的历史轨迹上，在与众不同的生态环境中，通过自然选择过程进化而来的。现在，让我们来看看图1~图4。每幅图都呈现一个已知变量与其规模大小的关系，这些变量都在人们的生活中扮演着重要的角色。图1是动物代谢率与其体重的关系图。图2是不同动物一生中的心跳次数与其体重的关系图。图3是一座城市所产生的专利数量与该城市人口的关系图。图4是上市公司的净收入和总资产与其雇员人数的关系图。
• 我们如何确保人类设计的仅有1万年进化历史的系统能够继续与已经进化了数十亿年的自然生物世界共存？我们能否维持一个受思想和财富创造所驱动、充满生机活力、不断创新的社会？地球是否注定会变成一个充斥着贫民窟、冲突和破坏的星球？
• 我们如何确保人类设计的仅有1万年进化历史的系统能够继续与已经进化了数十亿年的自然生物世界共存？我们能否维持一个受思想和财富创造所驱动、充满生机活力、不断创新的社会？地球是否注定会变成一个充斥着贫民窟、冲突和破坏的星球？
== 生命的简单性、一致性与复杂性 ==
== 生命的简单性、一致性与复杂性 ==
=== 潜藏在复杂性下的简单性：网络原理与[[克莱伯定律]]、[[自相似|自相似性]]和[[异速生长律]] ===
=== 潜藏在复杂性下的简单性：网络原理与[[克莱伯定律]]、[[自相似|自相似性]]和[[异速生长律]] ===
规模法则在生物学中的机理源头根植于多重网络的通用数学、动力学和组织特性，这些网络将能量、物质和信息分配至细胞、线粒体等渗透进生物体内的细微点。由于生物网络的结构如此多样，并与规模法则的同一性形成鲜明对比，它们的一般属性必须独立于它们各自的进化设计之外。
规模法则在生物学中的机理源头根植于多重网络的通用数学、动力学和组织特性，这些网络将能量、物质和信息分配至细胞、线粒体等渗透进生物体内的细微点。由于生物网络的结构如此多样，并与规模法则的同一性形成鲜明对比，它们的一般属性必须独立于它们各自的进化设计之外。
==== 空间填充 ====
==== 空间填充 ====
空间填充背后的理念很简单，也很直观。粗略地说，它意味着网络的触角必须延伸至它所服务的整个系统的各个角落，正如图3–7所示。更加具体地说，无论网络的几何学和拓扑结构如何，它都必须服务生物体的所有生物子单元或子系统。我们可以用一个更加熟悉的例子来理解：人体循环系统是一个经典的分级网络，心脏会向始于主动脉的多层次网络输送血液，经过规模不断缩小的血管到达最小的毛细血管，然后再通过网络系统返回至心脏。空间填充就是指毛细血管作为终端单元或网络的末支，必须服务于人体内的每一个细胞，高效地为细胞供给足够的血液和氧气。事实上，这一切只需要毛细血管距离细胞足够近，以使得足够的氧气能够高效地穿透毛细血管壁，并通过细胞的外膜。
空间填充背后的理念很简单，也很直观。粗略地说，它意味着网络的触角必须延伸至它所服务的整个系统的各个角落，正如图3–7所示。更加具体地说，无论网络的几何学和拓扑结构如何，它都必须服务生物体的所有生物子单元或子系统。我们可以用一个更加熟悉的例子来理解：人体循环系统是一个经典的分级网络，心脏会向始于主动脉的多层次网络输送血液，经过规模不断缩小的血管到达最小的毛细血管，然后再通过网络系统返回至心脏。空间填充就是指毛细血管作为终端单元或网络的末支，必须服务于人体内的每一个细胞，高效地为细胞供给足够的血液和氧气。事实上，这一切只需要毛细血管距离细胞足够近，以使得足够的氧气能够高效地穿透毛细血管壁，并通过细胞的外膜。
==== 终端单元的恒定性 ====
==== 终端单元的恒定性 ====
终端单元的恒定性可以放在自然选择的节约天性的背景下来了解。毛细血管、线粒体、细胞等是新物种的相应网络的“现成”基石，会相应地进行调节。终端单元的恒定性构成了分类的特性。例如，所有的哺乳动物都有相同的毛细血管。这一类别中的不同物种，如大象、人和老鼠之间的区别就在于网络布局的大小。从这个角度而言，分类之间的差别，即哺乳动物、植物和鱼等之间的差别，是由它们自身不同网络的终端单元的不同特性决定的。尽管所有的哺乳动物都有相似的毛细血管和线粒体，鱼类也同样如此，但哺乳动物的毛细血管和线粒体与鱼的毛细血管和线粒体存在大小及整体特点的不同。
终端单元的恒定性可以放在自然选择的节约天性的背景下来了解。毛细血管、线粒体、细胞等是新物种的相应网络的“现成”基石，会相应地进行调节。终端单元的恒定性构成了分类的特性。例如，所有的哺乳动物都有相同的毛细血管。这一类别中的不同物种，如大象、人和老鼠之间的区别就在于网络布局的大小。从这个角度而言，分类之间的差别，即哺乳动物、植物和鱼等之间的差别，是由它们自身不同网络的终端单元的不同特性决定的。尽管所有的哺乳动物都有相似的毛细血管和线粒体，鱼类也同样如此，但哺乳动物的毛细血管和线粒体与鱼的毛细血管和线粒体存在大小及整体特点的不同。
==== 优化 ====
==== 优化 ====
优化原则位于自然界所有基本法则的核心，无论是牛顿定律、麦克斯韦的电磁学理论、量子力学、爱因斯坦的相对论，还是基本粒子的大一统理论。它们的现代构成都是一个数学框架，其中一个被称作“作用量”的数值被最小化，这个数值与能量存在松散关系。所有的物理学定律都源自“最小作用量原理”，该原理认为，在一个系统能够拥有或遵循的所有可能配置中，最终得以实现的是作用量最小的那个配置。因此，宇宙自大爆炸以来的动力学、架构和时间演化，来自黑洞及传输手机信息所用的卫星和信息本身，所有的电子、光子、希格斯粒子，以及物理学中的一切，都是由这个优化原则决定的。
优化原则位于自然界所有基本法则的核心，无论是牛顿定律、麦克斯韦的电磁学理论、量子力学、爱因斯坦的相对论，还是基本粒子的大一统理论。它们的现代构成都是一个数学框架，其中一个被称作“作用量”的数值被最小化，这个数值与能量存在松散关系。所有的物理学定律都源自“最小作用量原理”，该原理认为，在一个系统能够拥有或遵循的所有可能配置中，最终得以实现的是作用量最小的那个配置。因此，宇宙自大爆炸以来的动力学、架构和时间演化，来自黑洞及传输手机信息所用的卫星和信息本身，所有的电子、光子、希格斯粒子，以及物理学中的一切，都是由这个优化原则决定的。
=== 哺乳动物、植物的代谢率和循环系统 ===
=== 哺乳动物、植物的代谢率和循环系统 ===
所谓的等面积分支其实就是我们的循环系统构建的方式，这已经由对许多哺乳动物、植物的详细测量数据证实。植物虽然没有心跳，通过维管系统的流动是稳定的、非搏动性的，但它们的维管就像搏动性的循环系统一样按比例变化，这乍看上去有些令人吃惊。然而，如果你把树木看作一捆紧紧捆绑在一起的纤维，从树干开始，继而延伸至它的枝杈，整个分级结构的横截面面积就必须保持一致。图3–8展示了这一纤维束结构与哺乳动物的管道结构的比较。等面积分支的有趣结果便是，树干的横截面面积与网络末端（叶柄）所有小枝杈的横截面面积总和相当。令人吃惊的是，达·芬奇知道这一点。我复制了他的笔记本中重要的一页，他在这一页中呈现了这个事实，如图3–9所示。
所谓的等面积分支其实就是我们的循环系统构建的方式，这已经由对许多哺乳动物、植物的详细测量数据证实。植物虽然没有心跳，通过维管系统的流动是稳定的、非搏动性的，但它们的维管就像搏动性的循环系统一样按比例变化，这乍看上去有些令人吃惊。然而，如果你把树木看作一捆紧紧捆绑在一起的纤维，从树干开始，继而延伸至它的枝杈，整个分级结构的横截面面积就必须保持一致。图3–8展示了这一纤维束结构与哺乳动物的管道结构的比较。等面积分支的有趣结果便是，树干的横截面面积与网络末端（叶柄）所有小枝杈的横截面面积总和相当。令人吃惊的是，达·芬奇知道这一点。我复制了他的笔记本中重要的一页，他在这一页中呈现了这个事实，如图3–9所示。
尽管这个简单的几何图形显示出了树木遵循等面积分支的原因，但它还是过于简单了。然而，利用此前提及的空间填充和优化网络通用原则，再加上生物力学的限制要求枝杈有足够的韧性以抵御风的扰动，使其能够弯曲不受到损害，可以通过更加现实的树木模型推导出等面积分支法则。这一分析表明，植物同哺乳动物一样按比例变化，无论在个体内部还是在不同的物种之间，包括代谢率的3/4幂律，即使它们的物理结构完全不同。［14］
尽管这个简单的几何图形显示出了树木遵循等面积分支的原因，但它还是过于简单了。然而，利用此前提及的空间填充和优化网络通用原则，再加上生物力学的限制要求枝杈有足够的韧性以抵御风的扰动，使其能够弯曲不受到损害，可以通过更加现实的树木模型推导出等面积分支法则。这一分析表明，植物同哺乳动物一样按比例变化，无论在个体内部还是在不同的物种之间，包括代谢率的3/4幂律，即使它们的物理结构完全不同。<ref>E.A. Guggenheim, J. Chem. Phys. '''13''' (1945) 253.</ref>
== 城市和公司是大型的生物体吗？ ==
== 城市和公司是大型的生物体吗？ ==
这很自然地引出以下问题：城市与公司的动力学和架构是否也是类似的优化原则的结果？在它们的多重网络系统中，得到优化的是什么？城市的组织是为了使社会互动最大化吗？通过移动时间最小化来优化交通吗？它们是否最终受到每个公民、每家公司都要将自己的资产、利益和财富最大化的野心驱动？
这很自然地引出以下问题：城市与公司的动力学和架构是否也是类似的优化原则的结果？在它们的多重网络系统中，得到优化的是什么？城市的组织是为了使社会互动最大化吗？通过移动时间最小化来优化交通吗？它们是否最终受到每个公民、每家公司都要将自己的资产、利益和财富最大化的野心驱动？
== 物理学中的标度律 ==
== 物理学中的标度律 ==
F/\partial H)_T\ </math>，等温条件下自由能 <math>F</math> 可以通过积分由({{EquationNote|7}})式得出，且相应的热容 <math>C_H = -(\partial ^2
F/\partial H)_T\ </math>，等温条件下自由能 <math>F</math> 可以通过积分由({{EquationNote|7}})式得出，且相应的热容 <math>C_H = -(\partial ^2
F/\partial T^2)_H\ </math>。由({{EquationNote|7}})式可知，在<math>H=0</math> 时 <math>C_H</math> 在临界点处依 <math>\mid t\mid ^{-\alpha}</math> 比例发散（其中 <math>t\rightarrow 0-</math> 和 <math>t\rightarrow
F/\partial T^2)_H\ </math>。由({{EquationNote|7}})式可知，在<math>H=0</math> 时 <math>C_H</math> 在临界点处依 <math>\mid t\mid ^{-\alpha}</math> 比例发散（其中 <math>t\rightarrow 0-</math> 和 <math>t\rightarrow
0+ </math> 各有不同的系数），临界点指数 <math>\alpha</math> 与<math>\beta</math> 和 <math>\gamma</math> 满足以下标度律[9]：{{NumBlk|:|<math>\alpha +2\beta +\gamma=2. </math>|{{EquationRef|9}}}}
0+ </math> 各有不同的系数），临界点指数 <math>\alpha</math> 与<math>\beta</math> 和 <math>\gamma</math> 满足以下标度律<ref>J.W. Essam and M.E. Fisher, J. Chem. Phys. ''' 38''' (1963) 802.</ref>：{{NumBlk|:|<math>\alpha +2\beta +\gamma=2. </math>|{{EquationRef|9}}}}
当 <math>2\beta+\gamma=2</math>，则有 <math>\alpha =0</math>，这通常意味着对数发散而不是幂律发散，并且在 <math>t=0+</math> 和 <math>t=0-</math> 之间存在叠加有限不连续。[4]在二维伊辛模型中，仅有对数关系而这种不连续是不存在的；而在平均场近似中情形相反。
当 <math>2\beta+\gamma=2</math>，则有 <math>\alpha =0</math>，这通常意味着对数发散而不是幂律发散，并且在 <math>t=0+</math> 和 <math>t=0-</math> 之间存在叠加有限不连续。<ref>B. Widom, J. Chem. Phys. '''43''' (1965) 3898.</ref>在二维伊辛模型中，仅有对数关系而这种不连续是不存在的；而在平均场近似中情形相反。
=== 临界指数 Critical exponents ===
=== 临界指数 Critical exponents ===
({{EquationNote|8}})和({{EquationNote|9}})分别来自Rice [10]和Scott [11]的贡献。它们大概是历史上最早版本的临界指数关系。在此之后，Domb和Sykes[12]以及Fisher[13]注意到指数 <math>\gamma</math> 实际上比平均场值<math>\gamma =1</math> 大。而在更早之前，Guggenheim的对应状态分析就清楚地表明 <math>\beta</math>值更靠近1/3而非平均场值的1/2。之后在 <math>\gamma
({{EquationNote|8}})和({{EquationNote|9}})分别来自Rice <ref>O.K. Rice, J. Chem. Phys. '''23''' (1955) 169.</ref>和Scott<ref>R.L. Scott, J. Chem. Phys. '''21''' (1953) 209.</ref>的贡献。它们大概是历史上最早版本的临界指数关系。在此之后，Domb和Sykes<ref>C. Domb and M.F. Sykes, Proc. Roy. Soc. A '''240''' (1957) 214.</ref>以及Fisher<ref>M.E. Fisher, Physica '''25''' (1959) 521.</ref>注意到指数 <math>\gamma</math> 实际上比平均场值<math>\gamma =1</math> 大。而在更早之前，Guggenheim的对应状态分析就清楚地表明 <math>\beta</math>值更靠近1/3而非平均场值的1/2。之后在 <math>\gamma
=1</math> 和 <math>\beta \simeq 1/3\ </math>的假设下，里斯由({{EquationNote|8}})式总结出 <math>\delta = 1+1/\beta
=1</math> 和 <math>\beta \simeq 1/3\ </math>的假设下，里斯由({{EquationNote|8}})式总结出 <math>\delta = 1+1/\beta
\simeq 4</math>（如今已知正确值接近5）。同时斯考特由({{EquationNote|9}})式得出 <math>\alpha =1-2\beta \simeq 1/3</math>（正确值接近1/10）。另外平均场值 <math>\delta
\simeq 4</math>（如今已知正确值接近5）。同时斯考特由({{EquationNote|9}})式得出 <math>\alpha =1-2\beta \simeq 1/3</math>（正确值接近1/10）。另外平均场值 <math>\delta
:<math>\label{eq:15}
:<math>\label{eq:15}
\mu + \nu = 2-\alpha= \gamma +2\beta, </math>
\mu + \nu = 2-\alpha= \gamma +2\beta, </math>
液-气平衡时的表面张力 <math>\sigma</math>，或共存的、相反磁化畴之间的界面单位面积上的类似过剩自由能，在临界点(居里点)与 <math>(-t)^\mu</math>（<math>\mu</math>对应此处临界点指数）成比例消失。界面区域的厚度与关联长度 <math>\xi</math> 的数量级相当，因此 <math>\sigma/\xi</math> 是与界面区域相关的单位体积自由能。在它的大小和它的奇异临界点行为中，每单位体积的自由能和在体相中是一样的，从体相中，依据关于温度的两个微分可以得出热容。因此，<math>\sigma/\xi</math> 依 <math>(-t)^{2-\alpha}\ </math> 成比例消失；再联系({{EquationNote|1=9}})式可以得到另一个标度关系[15]：{{NumBlk|:|<math>\mu + \nu = 2-\alpha= \gamma +2\beta,</math>|{{EquationRef|15}}}}
液-气平衡时的表面张力 <math>\sigma</math>，或共存的、相反磁化畴之间的界面单位面积上的类似过剩自由能，在临界点(居里点)与 <math>(-t)^\mu</math>（<math>\mu</math>对应此处临界点指数）成比例消失。界面区域的厚度与关联长度 <math>\xi</math> 的数量级相当，因此 <math>\sigma/\xi</math> 是与界面区域相关的单位体积自由能。在它的大小和它的奇异临界点行为中，每单位体积的自由能和在体相中是一样的，从体相中，依据关于温度的两个微分可以得出热容。因此，<math>\sigma/\xi</math> 依 <math>(-t)^{2-\alpha}\ </math> 成比例消失；再联系({{EquationNote|1=9}})式可以得到另一个标度关系<ref>M.E. Fisher, J. Math. Phys. '''5''' (1964) 944.</ref>：{{NumBlk|:|<math>\mu + \nu = 2-\alpha= \gamma +2\beta,</math>|{{EquationRef|15}}}}
其他标度关系<ref = "16"/> <ref>P.G. Watson, J. Phys. C1 (1968) 268.</ref>。
=== 临界点指数与空间维度 ===
=== 临界点指数与空间维度 ===
再由({{EquationNote|1=15}})有[16]：{{NumBlk|:|<math>d\nu = 2-\alpha = \gamma+2\beta,</math>|{{EquationRef|17}}}}
再由({{EquationNote|1=15}})有<ref = "16">B. Widom, J. Chem. Phys. '''43''' (1965) 3892.</ref>：{{NumBlk|:|<math>d\nu = 2-\alpha = \gamma+2\beta,</math>|{{EquationRef|17}}}}
结合({{EquationNote|1=8}})和({{EquationNote|1=14}})得到[18]：{{NumBlk|:|<math>2-\eta = \frac{\delta -1}{\delta +1} d. </math>|{{EquationRef|18}}}}
结合({{EquationNote|1=8}})和({{EquationNote|1=14}})得到<ref>G. Stell, Phys. Rev. Lett. '''20''' (1968) 533.</ref>：{{NumBlk|:|<math>2-\eta = \frac{\delta -1}{\delta +1} d. </math>|{{EquationRef|18}}}}
这一行为也反映在'''重整化群理论 renormalization-group theory'''中[19-21]。最简单的情形是，重整化群流中有两个相互竞争的不动点，一点与依赖 <math>d</math> 的指数相关，同时满足与 <math>d</math> 无关的标度关系和超标度关系，另一点则与平均场理论的 <math>d</math> 无关指数相关[21]。前者决定了当 <math>d<4\ </math> 时的主导临界点行为。<math>d=4</math> 时，这两个不动点重合，指数现在是平均场理论的指数，但在平均场幂律中增加了对数因子。对于 <math>d>4</math>，两固定点再次分开，此时主导临界点行为源自平均场理论的指数。综上所述，两固定点产生的影响覆盖所有 <math>d\ </math>的取值范围，但是随着 <math>d\ </math>取值的变化，主导临界点行为会在二者之间切换。
这一行为也反映在'''重整化群理论 renormalization-group theory'''中<ref ="19"> K.G. Wilson, Phys. Rev. B '''4''' (1971) 3174.</ref><ref ="20">K.G. Wilson, Phys. Rev. B '''4''' (1971) 3184</ref><ref ="21">K.G. Wilson and M.E. Fisher, Phys. Rev. Lett. '''28''' (1972) 240.</ref>。最简单的情形是，重整化群流中有两个相互竞争的不动点，一点与依赖 <math>d</math> 的指数相关，同时满足与 <math>d</math> 无关的标度关系和超标度关系，另一点则与平均场理论的 <math>d</math> 无关指数相关<ref ="21"/>。前者决定了当 <math>d<4\ </math> 时的主导临界点行为。<math>d=4</math> 时，这两个不动点重合，指数现在是平均场理论的指数，但在平均场幂律中增加了对数因子。对于 <math>d>4</math>，两固定点再次分开，此时主导临界点行为源自平均场理论的指数。综上所述，两固定点产生的影响覆盖所有 <math>d\ </math>的取值范围，但是随着 <math>d\ </math>取值的变化，主导临界点行为会在二者之间切换。
===齐次性的成因与块自旋===
===齐次性的成因与块自旋===
来自于重整化群理论的卡丹诺夫块自旋（图2）[5]为({{EquationNote|1=7}})和({{EquationNote|1=10}})中的齐次性以及由它们推导出的指数关系提供了物理解释[19,20]。
来自于重整化群理论的卡丹诺夫块自旋（图2）<ref>L.P. Kadanoff, Physics '''2''' (1966) 263.</ref>为({{EquationNote|1=7}})和({{EquationNote|1=10}})中的齐次性以及由它们推导出的指数关系提供了物理解释<ref ="19"/><ref ="20"/>。
因此，块自旋图产生了热力学函数和相关函数的临界点标度关系，以及标度指数之间的 <math>d</math> 无关和 <math>d</math> 依赖关系。重正化群理论证实了块自旋图的本质[19,20]。
因此，块自旋图产生了热力学函数和相关函数的临界点标度关系，以及标度指数之间的 <math>d</math> 无关和 <math>d</math> 依赖关系。重正化群理论证实了块自旋图的本质<ref ="19"/><ref ="20"/>。
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== References 参考文献 ==
== 参考文献 ==
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[2] M.E. Fisher, Repts. Prog. Phys. '''30''', part 2
==另见==
(1967) 615.
* Tomasz Downarowicz (2007) [[Entropy]]. Scholarpedia, 2(11):3901.
* Eugene M. Izhikevich (2007) [[Equilibrium]]. Scholarpedia, 2(10):2014.
* Giovanni Gallavotti (2008) [[Fluctuations]]. Scholarpedia, 3(6):5893.
* Cesar A. Hidalgo R. and Albert-Laszlo Barabasi (2008) [[Scale-free networks]]. Scholarpedia, 3(1):1716.
* http://www.scholarpedia.org/w/index.php?title=Scaling_laws&action=edit
* https://imagej.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Glossary.htm#scalingrulemmt
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[4] B. Widom, J. Chem. Phys. '''43''' (1965) 3898.
== 编者推荐 ==
===集智课程===
====[https://campus.swarma.org/course/636 规模法则如何制约生长与死亡]====
世界是复杂的，我们总在试图去讨论复杂世界的背后有怎样的规则。在理论物理学家、圣塔菲研究所的前所长，杰弗里·韦斯特（Geoffrey West）眼中，有一种不变的标准可以衡量看似毫无关联的世间万物——无论是生物体的体重与寿命，还是互联网的增长与链接，甚至是企业的生长与衰败。这个法则是标准而统一、客观而美丽的，这就是规模法则。
在本次活动中，我们邀请了北京师范大学教授张江、电子科技大学教授吕琳媛，为我们揭示《规模》所代表的新的世界观与新的规律。
[7] R.B. Griffiths, Phys. Rev. '''158''' (1967)
====[https://campus.swarma.org/course/639 规模的背后——关于规模法则本质的探寻]====
什么是规模（Scale）？规模在英文中并不只是表达了一种大小尺度的关系，而更有一种拉伸、缩放的含义，在你使用缩放的视角，从多个尺度对系统进行观察的过程中，有很多非线性的有趣性质将会体现出来。
本课程从复杂系统的研究视角出发，带我们去审视和思考生物领域和城市发展中规模法则的体现，去探寻事物发展中的本质规律。
[10] O.K. Rice, J. Chem. Phys. '''23''' (1955) 169.
====[https://campus.swarma.org/course/638 复杂世界，简单规则]====
大自然是绚丽而精彩的，虽然人类的认知有限，但我们也发现了上百万种动物，40多万种植物6000多种语言……在大大小小的自然系统的背后是否存在着普适、简单的规律呢？
事实上，规律是存在的，无论是自然规律，城市规划，还是公司运营，人们都无法忽视规模法则的重要性，我们必须学会以规模的角度考虑事物量变时的非线性效应，正如杰弗里·韦斯特所说：一座城市或一家公司的经济产出、繁荣、创意和文化都根植于其居民、基础设施和环境的多重反馈机制的非线性特质。
本课程从自然界的规模法则，谈及城市规划中的规模法则，进而对于公司这样一个集体的发展，基于规模法则提出相关的建议，探寻复杂性背后的简单机制。
[14] E.A. Guggenheim, J. Chem. Phys. '''13''' (1945) 253.
===集智文章===
* [https://swarma.org/?p=20903 Nature 物理：规模法则制约肿瘤生长]
==编者推荐==
===集智课程===
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==另见==
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