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第26行： − − *stable if for every (small) <math>\epsilon > 0</math>, there exists a <math>\delta > 0 </math> such that every solution <math>f(t) </math> having initial conditions within distance <math> \delta </math> i.e. <math> \| f(t_0) - f_e \| < \delta</math> of the equilibrium remains within distance <math> \epsilon </math> i.e. <math>\| f(t) - f_e \| < \epsilon</math> for all <math> t \ge t_0 </math>. − − *asymptotically stable if it is stable and, in addition, there exists <math>\delta_0 > 0</math> such that whenever <math>\| f(t_0) - f_e \| < \delta_0 </math> then <math>f(t) \rightarrow f_e </math>as <math>t \rightarrow \infty </math>. − + − − − Stability means that the trajectories do not change too much under small perturbations. The opposite situation, where a nearby orbit is getting repelled from the given orbit, is also of interest. In general, perturbing the initial state in some directions results in the trajectory asymptotically approaching the given one and in other directions to the trajectory getting away from it. There may also be directions for which the behavior of the perturbed orbit is more complicated (neither converging nor escaping completely), and then stability theory does not give sufficient information about the dynamics. − − 稳定性意味着在微小的扰动下轨迹不会发生太大的变化。相反的情况，即附近的轨道与给定的轨道互相排斥，这也是有趣的。一般来说，在某些方向扰动初始状态使得轨迹渐近地接近给定轨迹，而在其他方向扰动则使得轨迹远离给定轨迹。也可能存在某些方向扰动轨道行为比较复杂(既不会收敛也不会完全逃逸)，从而稳定性理论不能给出关于这样的动力学的充分信息。 − − − One of the key ideas in stability theory is that the qualitative behavior of an orbit under perturbations can be analyzed using the linearization of the system near the orbit. In particular, at each equilibrium of a smooth dynamical system with an n-dimensional phase space, there is a certain n×n matrix A whose eigenvalues characterize the behavior of the nearby points (Hartman–Grobman theorem). More precisely, if all eigenvalues are negative real numbers or complex numbers with negative real parts then the point is a stable attracting fixed point, and the nearby points converge to it at an exponential rate, cf Lyapunov stability and exponential stability. If none of the eigenvalues are purely imaginary (or zero) then the attracting and repelling directions are related to the eigenspaces of the matrix A with eigenvalues whose real part is negative and, respectively, positive. Analogous statements are known for perturbations of more complicated orbits.+ − 稳定性理论的关键思想之一是利用轨道附近系统的线性化，来分析轨道在扰动下的定性行为。特别地，在 n 维<font color="#ff8000">相空间 phase space</font>的光滑动力系统的每个平衡点上，都存在一个 n×n 的矩阵 A，其特征值刻画了邻近点的行为(<font color="#ff8000">Hartman-Grobman 定理 Hartman–Grobman theorem</font>)。更确切地说，如果所有的特征值都是负实数或实部为负的复数，那么这个平衡点就是一个稳定的吸引子，并且附近的点以指数速率收敛到它，参考<font color="#ff8000">李雅普诺夫稳定性 Lyapunov stability</font>和<font color="#ff8000">指数稳定性 exponential stability</font>。如果所有的特征值都不是纯虚数(或零) ，那么吸引方向和排斥方向都与矩阵 A 的特征空间有关，其特征值的实部分别为负和正。对于更复杂的轨道的扰动，也有类似的陈述。+ + − The simplest kind of an orbit is a fixed point, or an equilibrium. If a mechanical system is in a stable equilibrium state then a small push will result in a localized motion, for example, small oscillations as in the case of a pendulum. In a system with damping, a stable equilibrium state is moreover asymptotically stable. On the other hand, for an unstable equilibrium, such as a ball resting on a top of a hill, certain small pushes will result in a motion with a large amplitude that may or may not converge to the original state.+ − 最简单的一种轨道是一个不动点，或者叫做平衡点。如果一个力学系统处于稳定的平衡状态，那么一个小的推力会导致局部运动，例如，象钟摆那样的小的振动。在有阻尼的系统中，稳定的平衡态是渐近稳定的。另一方面，对于一个不稳定的平衡，例如一个球停留在山顶上，某些小的推力就会导致一个大幅度的运动，这个运动可能会也可能不会收敛到原始状态。 + − There are useful tests of stability for the case of a linear system. Stability of a nonlinear system can often be inferred from the stability of its linearization. − − 关于线性系统的稳定性有许多有用的检验方法。非线性系统的稳定性常常可以从其线性化的系统的稳定性中推断出来。 − − − ===Maps 映射=== − Let {{Math|''f'': '''R''' → '''R'''}} be a [[continuously differentiable function]] with a fixed point {{Math|''a''}}, {{Math|1=''f''(''a'') = ''a''}}. Consider the dynamical system obtained by iterating the function {{Math|''f''}}:+ − Let be a continuously differentiable function with a fixed point , . Consider the dynamical system obtained by iterating the function :+ − 另{{Math|''f'': '''R''' → '''R'''}}是一个连续可微函数且存在一个不动点{{Math|''a''}}，{{Math|1=''f''(''a'') = ''a''}}。考虑一个通过迭代函数得到的动力系统:
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对于一个一阶常微分方程自治系统的平衡解<math>f_e</math>：
对于一个一阶常微分方程自治系统的平衡解<math>f_e</math>：
* 如果对于任意（小的）<math>\epsilon > 0</math>，存在<math>\delta > 0 </math>，使得只要初始条件与平衡点的距离在<math> \delta </math>范围内，例如<math> \| f(t_0) - f_e \| < \delta</math>，就有，对任何<math> t \ge t_0 </math>满足解 <math>f(t) </math> 与平衡点的距离在 <math> \epsilon </math> 范围内，例如<math>\| f(t) - f_e \| < \epsilon</math>，那么该平衡点称为稳定的。
* 如果对于任意（小的）<math>\epsilon > 0</math>，存在<math>\delta > 0 </math>，使得只要初始条件与平衡点的距离在<math> \delta </math>范围内，例如<math> \| f(t_0) - f_e \| < \delta</math>，就有，对任何<math> t \ge t_0 </math>满足解 <math>f(t) </math> 与平衡点的距离在 <math> \epsilon </math> 范围内，例如<math>\| f(t) - f_e \| < \epsilon</math>，那么该平衡点称为稳定的。
*如果该平衡点是稳定的，并且存在 <math>\delta_0 > 0</math>，使得对于任何<math>\| f(t_0) - f_e \| < \delta_0 </math>，当<math>t \rightarrow \infty </math>时都有<math>f(t) \rightarrow f_e </math>，那么该平衡点时渐近稳定的。
*如果该平衡点是稳定的，并且存在 <math>\delta_0 > 0</math>，使得对于任何<math>\| f(t_0) - f_e \| < \delta_0 </math>，当<math>t \rightarrow \infty </math>时都有<math>f(t) \rightarrow f_e </math>，那么该平衡点是渐近稳定的。
稳定性意味着在微小的扰动下轨迹不会发生太大的变化。相反的情况中，微小的扰动会使得轨迹发生较大变化，即附近的轨道与给定的轨道互相排斥，这也是一种有趣的现象。一般来说，在某些方向对初始状态的扰动使得轨道渐近地接近给定轨道，而在其他方向的扰动则使得轨道远离给定轨道。也可能存在对初始状态在某些方向的扰动使得轨道行为变得比较复杂（比如既不会收敛也不会完全逃逸），从而稳定性理论不能对于这样的动力学状态给予充分的预测信息。
稳定性理论的关键思想之一是用轨道附近系统的线性化，来分析轨道在扰动下的定性行为。特别地，在 n 维<font color="#ff8000">相空间 Phase space</font>的光滑动力系统的每个平衡点上，都存在一个 n×n 的矩阵 A，其特征值刻画了邻近点的动力学行为<font color="#ff8000">（Hartman-Grobman 定理 Hartman–Grobman theorem）</font>。更确切地说，如果矩阵所有的特征值都是负实数或实部为负的复数，那么这个平衡点就是一个稳定的吸引子，并且附近的点以指数速率收敛到它，参考<font color="#ff8000">李雅普诺夫稳定性 Lyapunov stability</font>和<font color="#ff8000">指数稳定性 Exponential stability</font>。如果所有的特征值都不是纯虚数(或零) ，那么吸引方向和排斥方向都与矩阵 A 的特征空间有关，其特征值的实部分别为负和正。对于更复杂的轨道上的扰动情形，也有类似的表述。
==Stability of fixed points 不动点稳定性==
==Stability of fixed points 不动点稳定性==
最简单的一种轨道就是一个不动点，称为平衡态，或者叫做平衡点。如果一个力学系统处于稳定的平衡状态，那么只需要一个很小的推力就会导致局部运动的发生，例如，类似钟摆那样的小规模的振动。在有阻尼的系统中，稳定的平衡态是渐近稳定的。另一方面，对于一个不稳定的平衡，例如一个球停留在山顶的最高顶点上，一个极其微小的推力就会导致一个大幅度的运动，这个运动可能会也可能不会收敛到原始状态。
对于线性系统而言，存在许多行之有效的测试方法来检验线性系统的稳定性。非线性系统的稳定性通常可以首先考虑其线性化的系统，并从其线性化系统的稳定性中推断出原非线性系统的稳定性。
===Maps 映射===
设 {{Math|''f'': '''R''' → '''R'''}}是一个连续可微函数，且存在一个不动点{{Math|''a''}}，使得 {{Math|1=''f''(''a'') = ''a''}}。
考虑一个通过迭代函数得到的动力系统: